Intйgration de logiciels de gйomйtrie dynamique en cycle 3 et en sixiиme : quels dispositifs de formation et quel accompagnement ?

1
Intégration de logiciels de géométrie dynamique
en cycle 3 et en sixième  quels dispositifs de
formation et quel accompagnement ? 

• Brigitte Grugeon-Allys
• IUFM dAmiens
• Équipe DIDIREM, Université Paris 7

2
Objectifs de la formation

• Les logiciels Geoplanw et Cabri-géomètre
• Les enjeux de la transition cycle 3 et sixième en
  géométrie
• Analyse de séances dinitiation
• quels choix ?
• quelles institutionnalisations?
• Analyse des choix de progressions
• compétences visées
• place des connaissances instrumentales
• rapports papier-crayon et logiciel
• Analyse de dispositifs de formation et de leur
  accompagnement

3
Plan

• Introduction
• Séances dinitiation proposées aux élèves
• Analyse des choix
• synthèse et apports théoriques sur la genèse
  instrumentale
• Progressions en CM2 et en sixième
• Analyse des choix (du côté de lenseignant, du
  côté de l élève)
• synthèse autour des dintégration dun logiciel
  de géométrie dynamique dans le travail
  mathématique conditions et des contraintes
• Dispositifs de formation et daccompagnement
• Analyse des choix
• Discussion
• Perspectives

4
Introduction

• En quoi lusage des logiciels de géométrie
  dynamique peut-il favoriser la négociation du
  passage dune géométrie perceptive à une
  géométrie théorique dans la transition école /
  collège ? Comment ?
• Quelles sont les conditions et les contraintes de
  cette intégration du double point de vue de
  lélève et des pratiques des enseignants ?
• Quelles sont les connaissances nécessaires à une
  gestion efficace de ces outils logiciels comme
  instrument du travail mathématique pour lélève,
  comme moyens denseignement pour le professeur ?
• Quels sont les rapports dialectiques entre les
  apprentissages instrumentaux et géométriques dans
  les différents environnements dapprentissage ?
• Quels nouveaux dispositifs de formation mettre en
  place pour permettre un accompagnement des
  enseignants à moyen terme dans leur démarche de
  réinvestissement de la formation et dintégration
  des logiciels de géométrie dynamique ?

5
Appuis théoriques

• Approche multidimensionnelle de lintégration de
  logiciels (CNCRE 2000)
• Enseignement de la géométrie et distinction
  dessin / figure (Laborde 1994, Parzysz 2001,
  Houdement et Kuzniak 1999)
• Dimension instrumentale et conceptuelle (Rabardel
  1999)
• Dimension institutionnelle avec lapproche
  anthropologique en termes de tâches / techniques
  (Chevallard 1999)
• Dialectique ancien / nouveau (Douady 1986, Assude
  2002)
• Dimension relative aux pratiques enseignantes, au
  travail et au rôle du maître dans la classe
  (place de linstitutionnalisation)
• Dimension temporelle de lenseignement

6
Principaux enjeux de la géométrie dans
larticulation école / collège

• Proximité des programmes et continuité des
  apprentissages
• Quelle évolution du rapport à la géométrie ?
• Dessin
  Figure
• Objets physiques --gt Objets théoriques
  
• validations perceptives --gt validations
  déductives
• Articuler trois étapes dans lappréhension des
  objets géométriques
• géométrie  concrète 
• géométrie spatio-graphique  techniques liées
  à lusage des instruments et validations
  instrumentées
• géométrie  proto- axiomatique  techniques
  portent sur des objets théoriques représentés par
  des dessins, validations par des raisonnements de
  type déductif

7
Difficultés rencontrées par les élèves en
géométrie

• Le statut de la figure
• Distinction dessin / figure
• Prise en compte des propriétés spatiales
  pertinentes dun dessin
• La prégnance de la mesure
• Lorganisation des informations dans lanalyse
  dune figure 
• Les difficultés dordre linguistique

8
Principaux apports des logiciels de géométrie
dynamique en complémentarité des instruments
habituels

• Faire abandonner les repères spatiaux pour
  caractériser les figures.
• Faire expliciter les caractéristiques des objets
  et des relations en jeu pour les construire
• Faire distinguer, par le dynamisme de la figure,
  des propriétés qui relèvent de la position, de
  lorientation, du spatial et qui ne résistent pas
  au déplacement des propriétés géométriques
  invariantes qui résistent au déplacement

9
Principaux apports des logiciels de géométrie
dynamique (suite)

• Mettre en évidence les relations entre les objets
  et les liens entre relations
• Faire conjecturer dautres propriétés
  invariantes 
• Augmenter le champ dexpérimentation et favoriser
  larticulation entre différents types de contrôle
  à partir de linterprétation des rétroactions
  logicielles 
• Articuler différents modes de représentation 
  langage géométrique, schémas figuratifs,

10
Présentation des expérimentations

• Prise en compte du long terme (CM1, CM2, 6e, ...)
  
• Ecole Launay, Beauvais (1999-2001)
• Classes de CM1 et CM2 (suivi sur 2 ans)
• Classes de CM2 à Laon et à Cergy Pontoise
• Collège Fauqueux, Beauvais (1999-2002)
• Classes de sixième et cinquième (suivi sur 2 ans
  de la classe de CM2)
• Autres expérimentations (1999-2002)
• Comparaison des logiciels GeoplanW et Cabri
  Géomètre 2

11
Les choix des séances dinitiation (1)

• Choix explicites
• mise en contact des élèves avec le maximum de
  fonctionnalités (pas de mesure) mais dune façon
  organisée
• pas dobjets mathématiques nouveaux
• institutionnalisation de connaissances
  instrumentales liées au logiciel
• les élèves (en individuel ou en binôme) doivent
  expérimenter, observer et analyser les
  rétroactions logicielles, confronter leurs points
  de vue et écrire des remarques pendant le travail
  sur logiciel

12
Les choix des séances dinitiation de Launay et
de Fauqueux (2)

• Institutionnalisation de quelques connaissances
  instrumentales liées au logiciel GeoplanW
• construction des objets géométriques (nécessité
  dexpliciter les relations entre objets à partir
  des primitives géométriques et des boîtes de
  dialogue)
• fonctionnalités du logiciel et nature des
  rétroactions logicielles
• - statuts des points (point libre, point sur
  objet, point fixe)
• - permanence des propriétés par déformation
• - distinction  non dessiné /  supprimer ,
  rôle de  supprimer 

13
En quoi ces logiciels sont-ils différents ?

• Par les problématiques caractérisant chaque
  logiciel manipulation directe pour cabri
  Géomètre II avec des transformations contrôlables
  en temps réel, création et description dobjets
  pour obtenir une représentation graphique
  dynamique et interactive pour GeoplanW
• En conséquence, des différences importantes
• Pour le modèle géométrique implémenté (objets de
  base)
• les objets géométriques (objets de base)
• les caractéristiques des figures logicielles
• Pour linterface
• la structuration des menus et des fonctionnalités
• les modes de création et de déplacement
• La nature des rétroactions (textuelle / visuelle)
  et interprétation

14

• Logiciel geoplanW
• Supprimer un objet et tous les objets en relation
  avec lui
• Afficher / ne pas afficher (non dessiné)
• Utiliser un style de crayon pour colorier des
  lignes, pour remplir des surfaces (ou les
  hachurer)
• Utiliser un style de crayon pour dessiner
  différents types de traits (épaisseur et
  pointillé)
• Modifier un objet
• Renommer un objet
• Réaliser lhistorique
• Afficher le rappels des objets
• Éditer le texte de la figure
• Copier image (ajustée ou non)
• Afficher des commentaires
• Agrandir / réduire des dessins
• Redéfinir un objet dans laction
• Modifier les menus
• Annuler la dernière action

• Logiciel Cabri Géomètre II
• Supprimer un objet (le sélectionner et touche
  Supp) et tous les objets en relation avec lui
• Montrer/cacher
• Utiliser un style de crayon pour colorier des
  lignes, pour remplir des surfaces (ou les
  hachurer)
• Utiliser un style de crayon pour dessiner
  différents types de traits (épaisseur et
  pointillé)
• Nommer un objet
• Réaliser lhistorique
• Marquer un codage dégalité de longueurs,
  dangle, de perpendicularité, clignoter
• Afficher un texte de commentaires
• Agrandir / réduire des dessins
• Redéfinir un objet
• Tester la validité de propriétés mathématiques
• Configurer les outils
• Annuler la dernière action

15
Éléments danalyse (1)

• conflit entre la souris et le crayon
• action prioritaire au début, évolution liée au
  travail en binôme
• conflit entre lancien et le nouveau
• expliciter les relations dans les boîtes de
  dialogue
• désigner les objets
• écrire des remarques est difficile mais est
  facilité par le travail entre élèves du binôme
• conflit entre une direction et lerrance
• difficultés à lire et à suivre les consignes

16
Éléments danalyse (2)

• les connaissances instrumentales ne sont pas
  forcément tout de suite opératoires
• exemple
• lusage des boîtes de dialogue et la désignation
• lusage des fonctionnalités internes
• linterprétation des rétroactions logicielles
• la mobilisation du déplacement pour vérifier la
  construction
• La mobilisation des trois types de points et leur
  opérationnalité dans les constructions
• il est essentiel de prendre en charge le rapport
  entre les connaissances instrumentales et les
  connaissances mathématiques

17
Séquence sur les quadrilatères en CM2 Launay
Première étape
Situation générale - étude des propriétés
géométriques des quadrilatères - construire de
plusieurs façons un quadrilatère
papier/crayon Construction libre dun rectangle
puis de quadrilatères particuliers Tri et
classement de quadrilatères particuliers
GeoplanW construction dun rectangle sans
contrainte puis avec contrainte
Visées Analyser différents quadrilatères
particuliers, analyser leurs propriétés pour
pouvoir ensuite les classer Distinguer différents
moyens de construire un rectangle, puis dautres
quadrilatères particuliers en liaison avec leurs
propriétés
18
Séquence sur les quadrilatères en CM2 -
LaunayDeuxième étape
des figures GeoplanW déjà construites à déformer
des questions à traiter
Charger en mosaïque les figures  oui1 ,
 oui2 ,  non1 ,  non2  Déplacer les
points. Quelles propriétés doit avoir un
quadrilatère pour faire partie de la famille
 oui  ? Quelle est la condition pour quun
parallélogramme soit un rectangle ?
oui1
oui2
non1
non2
Visées Observer et analyser les propriétés dune
figure distinguer dessin / figure Établir un
programme de construction et les liens entre
propriétés et construction Établir des liens
entre les différents quadrilatères particuliers
19
Deuxième étape

• Avec geoplanW
• 1. Étude de figures prédéfinies Fi qui résistent
  ou non
• (parallélogramme, rectangle, losange, carré
  construit à partir des côtés)
• Conjecture des propriétés et des procédés de
  construction
• Validation par déplacement (et mesurage ou
  construction)
• puis
• à partir de lhistorique de la figure Fi
• Découverte et analyse du programme de
  construction
• 2. Construction dune figure Fi
• puis validation par déplacement

20
Séquence sur les quadrilatères en CM2 -
LaunayTroisième étape
Visées Réinvestir un programme de
construction Établir des liens entre propriétés
et construction pour construire un quadrilatère
qui garde la même forme 
21
Analyse de la séquence Launay - Types de tâches

• t1 construire des quadrilatères
• t2 construire des quadrilatères à partir des
  diagonales étant donnés des segments de longueur
  donnée
• t3 reconnaître des quadrilatères dans une
  figure complexe
• t4 décrire les différents éléments dune figure
  et notamment dun quadrilatère
• t5 décrire les propriétés de certains
  quadrilatères
• t6 établir des liens entre différents
  quadrilatères
• t7 élaborer un programme de construction
• t8 construire un carré à partir de ses
  diagonales
• t9 construire un carré à partir de ses côtés

22
Analyse de la séquence - Types de techniques

• - technique perceptive (TP)
• - technique perceptivo-théorique (TPT)
• - technique programme de construction (TPC)
• - technique analytique (TA)

23
Analyse de la séquence - Evolution des types de
tâches et des types de techniques - Launay
24
Analyse de la première séance à Launay

• - Séance organisée autour dune tâche ancienne en
  utilisant des instruments anciens situation
  ouverte par la diversité des procédures de
  construction demandées
• utilisation de techniques perceptives des carrés
  et des rectangles essentiellement
• Peu de nouvelles constructions pour un même élève

25
Analyse de la deuxième séance à Launay

• Séance organisée autour dune tâche ancienne qui
  doit être accomplie par une technique nouvelle
  instrumentée
• Utilisation initiale de techniques perceptives
  remises en cause par déplacement
• Grande hétérogénéité des techniques
• Difficultés conceptuelles
• Difficultés instrumentales (construction, statut
  des points non opérationnel, interprétation des
  rétroactions logicielles)

26
Analyse de la troisième séance à Launay

• Séance organisée autour dune tâche ancienne qui
  doit être accomplie par une technique nouvelle
  instrumentée
• Utilisation initiale de techniques perceptives
  remises en cause par déplacement
• Mobilisation plus difficile de techniques TPT
  liées
• aux difficultés instrumentales (gestion des boîte
  de dialogue, statut des points non opérationnel,
  interprétation partielle des rétroactions
  logicielles, construction à partir déléments de
  la figure non détruits) mais
• rôle important des interactions entre élèves
• Découverte par les élèves dune technique pour
  écrire les étapes de construction usage de la
  liste des objets présents dans le menu supprimer

27
Analyse de la séquence (1)

• - articulation des tâches en GeoplanW et en
  papier-crayon
• - articulation entre des tâches anciennes et
  nouvelles
• - deux types de tâches organisent le travail
  conceptuel des élèves (t1 et t5) même si ces
  tâches se déploient ensuite dans dautres tâches
  (t2, t7, t6) t2, t8, t6
• - évolution des techniques visées de TP à TPT
  mais en passant par dautres techniques comme TA
  ou TPC à linitiative des élèves

28
Analyse de la séquence (2)

• un principe est à la base du choix des types de
  tâches une connaissance doit apparaître en tant
  quoutil pour résoudre une difficulté ou une
  question
• ce principe de base est un des éléments pour
  trouver la juste distance entre lancien et le
  nouveau qui est lune des conditions de
  lintégration
• Ce principe de base vise à travailler les
  distinctions spatial / géométrique , perceptif /
  théorique

29
Séquence sur la symétrie axiale en sixième -
Fauqueux
30
Analyse de la séquence Fauqueux - Types de tâches

• t1 rechercher les axes de symétrie de figures
  usuelles
• t2 construire les axes de symétrie de figures
  usuelles
• t3 construire les axes de symétrie du carré
  avec contrainte (loutil bissectrice)
• t4 construire les axes de symétrie dune figure
  non usuelle sur papier quadrillé sans recours au
  pliage
• t5 construire sur P/C la médiatrice ou la
  médiatrice dune figure usuelle
• t6 construire une figure avec contrainte
• t7 construire figure symétrique par pliage
• t8 construire limage dune figure par symétrie
  axiale (un point et trace)
• t9 construire limage dune figure par symétrie
  axiale

31
Analyse de la séquence - Evolution des types de
tâches et des types de techniques - Fauqueux
32
Des éléments à prendre en compte pour organiser
la formation

• Lintégration du logiciel dans un enseignement
  est complexe et met en jeu plusieurs dimensions
  (instrumentale, épistémologique, cognitive,
  anthropologique, didactique)
• Pour permettre les conditions dune intégration
   réussie  de logiciels dans lenseignement de
  la géométrie, la  formation initiale  en stage
  semble incomplète un accompagnement des
  enseignants en classe est nécessaire.
• Des indices de lintégration dun logiciel dans
  l enseignement de la géométrie
• Lutilisation du logiciel dans la progression est
  régulière et mise en place sur le long terme
• Lanalyse a priori des séquences prend en compte
  les apports et les contraintes du logiciel dans
  un juste équilibre entre lancien et le nouveau,
  en particulier, linstrumentation, les tâches
  papier - crayon / logiciel, ..
• Les phases collectives des séquences (phases de
  description, de confrontation et de validation
  des procédures employées par les élèves, et les
  phases d institutionnalisation) font référence
  aux tâches réalisées devant lordinateur
• Lutilisation du logiciel a effectivement
  favorisé les apprentissages visés.

33
Hypothèse de travail

• Le dispositif de formation et daccompagnement
  prenant en compte les critères précédents doit
  faciliter
• une évolution du  rapport à la géométrie  des
  enseignants concernés
• compréhension des ruptures dordre
  épistémologique
• prise de conscience de différents niveaux de
  rationalité
• une meilleure intégration du logiciel choisi dans
  lenseignement de la géométrie

34
Des compétences vers une meilleure intégration

• pour un enseignant,
• mieux analyser les difficultés rencontrées lors
  de la mise en œuvre des scénarios élaborés en
  stage à partir de différentes dimensions
  instrumentale (Rabardel), épistémologique
  (Parzsyz), cognitive, anthropologique
  (Chevallard), situation didactique (Brousseau),
  ..)
• mieux prendre en compte ces différentes
  dimensions dans la construction et la mise en
  œuvre de lensemble des séquences de géométrie
  (juste équilibre entre lancien et le nouveau
  dans le choix des types de tâches, larticulation
  entre instrument papier-crayon et logiciel, le
  rapport entre connaissances instrumentale /
  géométrique, ..)
• mieux prendre conscience des ruptures dordre
  épistémologique en jeu dans lapprentissage de la
  géométrie (liées par exemple à la distinction
  dessin / figure)(Parzysz, Laborde) et des
  différents niveaux de rationalité en jeu dans la
  résolution de problèmes.

35
Présentation dune formation autour de
lintégration de logiciels de géométrie dynamique

• Stage 125C en cycle 3 travail autour de la
  distinction dessin / figure, de linstrumentation
  de GeoplanW, de progressions en géométrie en CM2
  intégrant GeoplanW
• Echanges à distance, en particulier, grâce à un
  site Internet spécialement créé pour cela avec
  des stagiaires du stage 125C
• Suivi de stagiaires qui ont mis en place de façon
  autonome une progression en géométrie avec le
  logiciel GeoplanW
• Organisation en 2002-2003 dobservations dans les
  classes de ces stagiaires et de réunions avec les
  stagiaires et les circonscriptions.

36
Des entrée pour lorganisation dune formation

• Journées de formation organisées autour de
  plusieurs dimensions
• dimension institutionnelle lenseignement de la
  géométrie dans la transition entre le cycle 3 et
  la sixième, continuités et ruptures
• dimension cognitive typologie des difficultés
  en géométrie (à ce niveau scolaire) le rôle de
  la résolution deproblèmes dans lapprentissage de
  la géométrie (ex de problèmes)
• dimension didactique larticulation de tâches
  papier/crayon / logiciel conception et gestion
  de situations (rôle des différentes phases)
• dimension instrumentale la question de la
  genèse instrumentale de tout nouvel outil, de
  linstitutionnalisation de connaissances autres
  que mathématique
• dimension temporelle nécessité dun temps long

37
Contenus de formation un exemple

• Des dispositifs de formation pour travailler
• la transition école / collège
• Ruptures et continuités en géométrie
• Le rôle de la résolution de problèmes le rôle
  des instruments en géométrie exemples
• linstrumentation dun logiciel conditions et
  contraintes
• la conception dune progression en géométrie
  mobilisant instruments habituels et logiciel
  les variables à prendre en compte
• la prise en compte des paramètres matériels
  (nombre dordinateurs)
• la gestion des séances (rôle clef du professeur
  dans les différentes phases)

38
Un exemple le stage 125C

• La transition école / collège
• Comparaison des programmes de fin de cycle 3 et
  de sixième
• Analyse des item sur la géométrie des évaluations
  nationales de 6ième
• Analyse de tâches complexes
• Séances dinitiation (Geoplanw, Cabri Géomètre
  II)
• Condition et contraintes dintégration
• Comparaison des logiciels leurs apports pour
  lapprentissage de la géométrie
• Analyse de situations puis de progression les
  choix
• Connaisance apparaît comme outil efficace de
  résolution (choix des menus)
• tâches logicielle / papier-crayon
• tâches ancienne / nouvelle
• Définition de scénario rôle des phases de
  formulation, de validation, dinstitutionnalisatio
  n
• Conception de progression prenant en compte des
  contextes matériels variés

39
Suivi des stagiaires ont mis en place de façon
autonome une progression en géométrie avec le
logiciel GeoplanW

• Huit stagiaires ont mis en place de façon
  autonome une progression en géométrie avec
  Geoplanw
• 3 enseignats de lécole de Lassigny (12
  ordinateurs et un aide-éducateur)
• 2 enseignants de lécole de Thourotte (12
  ordinateurs)
• 3 enseignants de lécole de Morienval (1 ou 2
  ordinateurs dans la classe)
• Expérimentation de Lassigny
• 12 ordinateurs, 2 ateliers tournants, 2 élèves
  par ordinateur
• 3 séances dinitiation avec institutionnalisation
• 5 séances articulant papier - crayon et logiciel

40
Des critères pour analyser lintégration des
logiciels dans lenseignement de la géométrie

• Du côté du professeur
• choix a priori et articulation des types de
  tâches (ancien/ nouveau, p-c/ logiciel)
• gestion des phases de mise en commun, en classe
  entière
• discussion des points communs et des différences,
  quant à la réalisation dune tâche donnée, selon
  quon utilise ou non le logiciel,
• discussion autour de la verbalisation des
  relations géométriques, des techniques utilisées,
  de la validation,
• distinction dans le vocabulaire utilisé des
  termes  dessin  et  figure 
• Du côté de lélève
• au niveau instrumental la mobilisation ou non
  de connaissances instrumentales (statut des
  points, ..) dans la résolution
• au niveau géométrique évolution des techniques
  de résolution (perceptive vers perceptivo-théoriqu
  e)