Seminiare Combinatoire - PowerPoint PPT Presentation

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Seminiare Combinatoire

Description:

Trouver un graphe avec le nombre de sommets le plus grande possible avec le ... Le cycle qu'on obtient en ajoutant une ar te une carcasse est un s parateur ... – PowerPoint PPT presentation

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Transcript and Presenter's Notes

Title: Seminiare Combinatoire


1
UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE PROBLEMES DE
DEGRE-DIAMETRE DE GRAPHES DANS LE CAS
GENERAL Serge TISHCHENKO à Paris novembre
2007 EQUIPE COMBINATOIRE ET OPTIMISATION
2
Problème de degré-diamètre
Le degré d'un sommet est la taille de son
voisinage. Le degré d'un graphe est le degré
maximum de tous ses sommets
Le diamètre d'un graphe est la plus longue
distance entre une paire de sommets de ce graphe
Trouver un graphe avec le nombre de sommets le
plus grande possible avec le degré D et le
diamètre D fixes est le problème de
degré-diamètre.
3
LIMITES SUPERIEURS DES GRAPHES PLANAIRES AVEC
DEGRE MAXIMUM ? ET DIAMETRE D
 
4
LIMITES INFERIEURES DES GRAPHES PLANAIRES AVEC
DEGRE MAXIMUM ? ET DIAMETRE D

5
Les graphes plans de diamètre 2
6
M. Fellows, P. Hell, K. Seyffarth, Constructions
of large planar networks with given degree and
diameter, 1998.
On arrive à une construction du graphe plan de
diamètre 2n dont la taille maximum possible pour
un degré fixé D gt 640n/3 est D(3D /
2-2)(D-1)n-1-2 / (D-2)
7
Les graphes plans de diamètre 3
Paul Erdös est-ce quun graphe planaire et
3-régulier de diamètre 3 peut posséder plus de
12 sommets?
8
Irrelevance de chemin
Lidée de la méthode est basée sur le calcul des
chemins liant les paires de sommets. Notons
quune paire de sommets peut être connectée par
plusieurs chemins différents. Un 3-chemin peut
être une boucle (un 3-cycle) et dans ce cas il ne
connecte aucune paire de sommets. On considère de
tels cas comme lirrelevance de chemin.
9
Le nombre total de chemins de longueur 1, 2, ou
3 est
Chacun des deux sommets est connecté par un
chemin relevant. Le nombre des chemins relevants
est au moins égal au nombre des paires de sommets
différentes
Le nombre des chemins irrelevants est
La relation générale entre la caractéristique
dEuler et la taille du graphe
10
Les graphes de diamètre 3 plongés dans la bande
de Möbius
11
Les graphes de diamètre 3 plongés dans les
surfaces
12
Théorème. Dans un graphe 3-régulier de diamètre 3

T.1
13
(No Transcript)
14
Séparateurs
Le 2-séparateur de Lipton-Tarjan
Le cycle quon obtient en ajoutant une arête à
une carcasse est un séparateur dans un graphe
plan. Lipton et Tarjan ont démontré quil existe
une arête telle que le séparateur partage le
graphe au moins comme 1 2. La taille du
séparateur est au maximum 2r 1, où r est le
rayon du graphe
15
Algorithme de recherche du 2-séparateur
La recherche de 2-séparateur est sur base de la
fonction b E(G\C) ? R On cherche une arête
bleue qui donne un 2-séparateur avec les
propriétés désirées
Si larête a ne convient pas, on considère la
face qui est incident à a et deux autres arêtes
a1 et a2. On choisi parmi les deux. On montre que
cet algorithme mène toujours au résultat désiré
16
Problème de degré-diamètre
Combien des sommets a un graphe de diamètre d et
de degré maximum D ?
Toute paire de sommets est connectée par chemin
de longueur d. Si les sommets se trouvent dans
les sous-ensembles séparés alors ce chemin passe
le séparateur.
17
Application du 2-séparateur
Au moins dans un sous-ensemble Ai tout sommet est
connecté au 2-séparateur par chemin de longueur
d/2. La taille de séparateur donne la limite
du maximum nombre des sommets dans un
sous-ensemble Ai
M. Fellows, P. Hell, K. Seyffarth, Large planar
graphs with given diameter and maximum degree,
Discrete Appl. Math. 61, 133-153 (1995)
18
Théorème 1. Soit un graphe triangulaire et
plan dont les sommets, les arêtes et les faces
ont un poids non-négative. Soit possède
une carcasse avec le chemin de coût
maximal . Alors il existe un séparateur C
qui sépare en trois parties indépendantes
A, B, C C est un cycle, toutes les arêtes duquel
sauf une seule e sont des arêtes de la carcasse
. (1) (2) Où
est le poids minimum dun des sommets de C
est la face incident à larête e, est
lensemble des arêtes incidentes à . Face
ce trouve dans le plus lourde des deux
ensembles . Dans le cas où
elle ce trouve dans lensemble possédant
le plus grand nombre de faces. T. 3
19
Exemple 1. Graphes ne sont
pas planaires. Démonstration. La démonstration
est par labsurde. Considérons un graphe
planaire . Dans ce cas létoile
de diamètre 2 est sa carcasse. Daprès
le Corollaire 1.1 T. 3 il existe un séparateur
C tel que et C sépare en deux
parties indépendantes A et B telles que Doù
A et B ne sont pas vides. Alors il y a une paire
de sommets x et y, x dans A et y dans B, qui
nest pas liée par une arête.
20
Exemple 2. Graphes
ne sont pas planaires. Démonstration. La
démonstration est par labsurde. Considérons un
graphe planaire .
Dans ce cas il a une carcasse de diamètre 3.
Daprès le Corollaire 1.1 T. 3 il existe un
cycle ou un chemin tel
quil sépare en deux parties indépendants
A et B telles que Doù A et B ne sont pas
vides. Alors tout les sommets de lunion
sont dans la même partie du graphe bipartie
. Comme C est soit un cycle soit un chemin du
longueur au plus 4, C possède dau plus 2 sommets
dans lautre partie. Doù soit , soit
.
21
Lipton-Tarjan
Optimal
22
Le 3-séparateur
Si on ajoute deux arêtes à une carcasse, le
sous-graphe plan obtenu a trois faces. Cest un
3-séparateur qui partage le graphe plan en trois
parties déconnexées chaque partie se trouve à
lintérieur de la face correspondante. De même
façon si lon ajoute N-1 arêtes, on obtient un
N-séparateur dans le graphe plan
23
recherche dun 3-séparateur
1. On cherche un 2-séparateur S2 avec séparation
b(S2) plus proche de 1/3
2. On cherche dans G un 2-séparateur S2 avec la
meilleure séparation.
24
5. Applications des séparateurs
25
La théorie des graphes connaît également de
nombreuses applications pratiques dans le domaine
de la gestion, qui utilise des graphes dits
valués. Les arêtes ou les sommets du graphe sont
affectés d'un paramètre économique correspondant
à certaines contraintes coûts (transport,
distances, durées de travaux, stocks...) ou poids
(circulation automobile, courant électrique,
débits de ventes, informations binaires...). Tous
les résultats sont généralisés dans le cas où les
sommets, les arêtes et les faces sont des poids,
et les sommets et les arêtes ont les coûts. On
donne aussi un algorithme de séparation optimale
du graphe par un 2-séparateur ou un 3-séparateur
dont le coût est minimal
26
Perspectives
Généraliser les résultats pour le cas dun graphe
non-plan (de genre fixe)
27
(No Transcript)
28
Les graphes de diamètre 2 plongés dans la bande
de Möbius
29
Les graphes de diamètre 2 plongés dans la bande
de Möbius
30
Les graphes de diamètre 2 plongés dans le tore
31
Les graphes de diamètre 2 plongés dans le tore
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