Smantique dnotationnelle

1
Sémantique dénotationnelle

• Idée
• Le sens dun programme est un objet mathématique
• (souvent, une fonction)

2
Notation lambda (l)

• But une notation pour les fonctions
• Ex. la fonction qui met au carré (sqr en
  Pascal)
• l x. x x
• l est une déclaration de paramètre qui suit les
  règles de visibilité
• l x . x sqr ((lx. x x) (x 2))
• On peut simplifier grâce aux règles
• b (l x . E) (A) se simplifie en E A / x
• E où toutes les occurrences libres de x sont
• remplacées par A
• h (l x . E(x)) se simplifie en E, si E na
  aucune occurrence libre de x

3
Exemple de simplification
l x. x sqr ((lx . x x) (x 2)) portée
l x. x (l x. x x) ((l x. x x)
(x 2)) Il y a deux endroit où b sapplique
1 , 2 1 l x. x ((lx. x x) (x
2)) (lx. x x) (x 2) 3 l x. x (((x
2) (x 2)) (lx. x x) (x 2)) 4 l x. x
(((x 2) (x 2)) ((x 2) (x 2)))
l x. 4x2 9x 16 si on emploie les
simplifications arithmétiques. On pourrait aussi
appliquer les règles dans un autre ordre on
arrive au même résultat (Théorème de
Church-Rosser) Ex. 2 l x. x (lx. x
x) (x2 x2) 1 l x. x
(x2 x2) (x2 x2)
def.
4
Domaines sémantiques

• Quel objet mathématique représente le sens dun
  programme ?
• Ceci dépend du langage considéré, et du sens
  quon lui accorde.
• Ex. Pour Pascal, on convient habituellement que
  
• - il devrait être déterministe
• (OK si on évite les effets de bord dans les
  fonctions)
• - on ne considère que les états initiaux et
  finaux des fichiers
• le sens est une fonction des états
  initiaux vers les états finaux.
• Ex. Pour les langages concurrents (Ada, LOTOS,
  CSP, CCS,...) les opérations intermédiaires
  visibles comptent aussi
• le sens est un objet plus compliqué (p.ex.
  des arbres)

5
Compositionnalité

• On veut donner un sens à chaque partie de façon à
  ce que le sens dun composé se déduise du sens de
  ses composants.
• Avantages
• Si deux composants ont le même sens, on peut
  toujours remplacer lun par lautre (p.ex.
  compilateur optimisant)
• La définition de la sémantique suivra la
  structure de la syntaxe.

6
Exemple séquence en Pascal

• Le sens d'une instruction S, noté S , est
  une fonction de l'état initial vers l'état final
• Alors le sens d'une séquence est la composition
  fonctionnelle du sens de ses composants
• S1 S2 l x. S2 ( S1 (x))
  S2 S1

7
Non-terminaison

• Certains programmes bouclent pour certaines
  données
• Ex. la fonction factorielle pour les nombres
  négatifs
• pour représenter cela, on ajoute une valeur
  spéciale
• bouclage ou bottom
• à lensemble des résultats.
• Comme ce résultat peut être largument dun autre
  appel, il faut aussi lajouter dans les données.

8
Strict

• Si un paramètre est nécessaire pour évaluer une
  fonction, dès que l'évaluation du paramètre ne
  termine pas, l'appel de fonction ne termine pas
  non plus.
• Def. une fonction F est stricte dans son ième
  argument
• si F(x1, , , xi-1, , xi1, ...)

9
Exemple Pascal

• Presque toutes les fonctions de la sémantique de
  Pascal sont strictes, parce qu'on évalue tous les
  paramètres avant un appel.
• Exception le sens de l'instruction if ne
  nécessite pas d'évaluer une des deux parties.

10
Etat

• On représente ici l'état d'un programme par une
  fonction des variables vers leur valeur

11
Sémantique des instructions Pascal

• S1 S2 S2 S1
• skip l x. x
• if E then S1 else S2 lx.
• if ( E (x) true) then S1 (x)
• else S2 (x)
• V E lx. li. if i V then E
  (x) else x(i)
• while E do S lx. if ( E (x) true)
  then while E do S S (x)
• else x

12
Récursivité

• la définition du while est récursive, mais pas
  bien fondée.
• Comment calculer son sens ?
• Ce doit être une solution de
• W lx. if E (x) then W S (x) else
  x.
• Cette équation peut avoir plusieurs solutions,
  mais une seule est intuitive.
• Les solutions sont appellées points fixes de
• F lW. lx. if E (x) then W S (x)
  else x.

13
Ordre dinformation

• Pour comparer les solutions et choisir la plus
  naturelle, on définit un ordre partiel ?
• X ?Y se lit
•  Y contient au moins linfo de X  
• ou
•  X approxime Y 

14
Bouclage

• Considérons le programme f(x) f(x)1
• Cette équation na pas de solution dans les
  nombres
• Le programme boucle à lexécution
• On ajoute une valeur spéciale ? qui représente le
  fait quun programme boucle.
• ? ?1 est alors la seule solution.

15
Ordre partiel

• Un ordre partiel est une relation
• Réflexive X ?X
• Transitive X ?Y et Y?Z implique X ?Z
• Antisymétrique X?Y et Y?X implique XY

16
Supremum

• Un majorant de Y est un élément b plus grand que
  tous ceux d'Y
• b?Maj(Y) ?y?Y, y?b
• Un majorant plus petit que les autres est le
  supremum de Y
• ssup(Y)
• ssi
• s ?Maj(Y) et ?m ?Maj(Y), s?m

17
Chaîne

• Une chaîne est une suite croissante
• (xi)i ?N telle que xi?xi1

18
Domaine

• Un domaine ou ordre partiel complet (CPO)
• est un ensemble X muni d'un ordre partiel ?
• X contient un minorant ?
• Toute chaîne de X a un supremum
• Intuition
• Un programme qui boucle ne fournit aucune info
  ??X
• On peut représenter linfo accumulée par un
  programme par le supremum de ses calculs partiels

19
CPO plat

• Pour les valeurs classiques, on ajoute juste ? en
  dessous
• x ?y ssi x ? ou x y
• Par exemple les entiers avec ?, noté Z?, est
  obtenu ainsi.
• -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
• ?
• Exercice est-ce bien un CPO?

20
CPO Union disjointe

• Si on a deux CPOs A, B on forme le type union
  disjointe de A et B en rajoutant encore un ?
  en-dessous

A
B
?B
?A
Indique une valeur inconnue de B
?AB
Indique une valeur inconnue
21
Ordre ponctuel

• Pour les fonctions, on emploie lordre ponctuel
• f ?D?C g ssi ?x?D, f(x) ?Cg(x)
• Lélément minimum est la fonction qui renvoie
  toujours ?.

22
Fonction monotone

• Une application entre CPOs est monotone si elle
  préserve l'ordre
• Si x ? y alors f(x) ?f(y)

23
Théorème de Tarski

• Si F est une application monotone dun CPO dans
  lui-même, elle a un plus petit point fixe, noté
  fix(F).

24
Continuité pour lordre

• Une fonction f est continue si elle préserve les
  suprémums
• Pour toute chaîne C f(sup (C) ) sup(f (C))
• Attention cette continuité nest pas celle de la
  topologie usuelle sur les nombres rééls!
• Avec cette déf, toute fonction continue est
  monotone.

25
Théorème de Scott

• Si f est une application continue dun CPO dans
  lui-même, son plus petit point fixe peut se
  calculer en itérant f à partir de ?
• ?, f(?), f(f(?)), f(f(f(?))),
• et en prenant le supremum
• fix(f) supi(fi(?))
• où fi(x) note f(f(f(x)))

26
Preuve

• Ce supremum est un point fixe
• ? f0(?) ? f(?) puisque CPO
• fi(?) ? fi1(?) par monotonie
• (fi(?)) i ?N est une chaîne, donc a un supremum s
  supi(fi(?))
• f(s) f(supi(fi(?))) supi(f(fi(?))) s

27
Preuve (2)

• Il est le plus petit Soit v un autre point fixe
• ? v puisque CPO
• fi(?) ? fi(v) v par monotonie càd v majorant
• s ? v def. supremum

28
Exemple

• Quel est le sens de la fonction récursive ML
• f b if b then 3 else 2f(b)
• f bool ? int
• Cest le plus petit point fixe de H
• H f b if b then 3 else 2f(b)
• On le calcule par la chaîne
• ?
• H ? if b then 3 else ?
• H(H ?) if b then 3 else ?
• Donc, ? igt0, Hi ? if b then 3 else ? fix H
  f

29
Continuité

• Pour appliquer le théorème de Scott, il faut que
  la fonction soit  continue 
• En pratique toute fonction écrite en ML, Pascal,
  est continue.
• Schéma de preuve
• Les fonctions de base sont continues
• La composition préserve la continuité
• Un point fixe dune fonctionnelle continue est
  continu.

30
Exemple de point fixe

• Quel est le sens de
• f n n(if n0 then 0 else f(f(n-1))
• R le plus petit point fixe de
• H f n n(if n0 then 0 else f(f(n-1))
• H0 ? n ?
• H1 ? n n(if n0 then 0 else ?)
• if n0 then 0 else ?
• H2 ? n n(if n0 then 0 else H1 ? (if n-10
  then 0 else ?))
• n(if n0 then 0 else if n1 then 0 else ?)
• if n0 then 0 else if n1 then 1 else ?

31
Exemple de point fixe

• H3 ? n H(H2 ?) n
• n(if n0 then 0 else H2 ?(H2
  ?(n-1))
• n(if n0 then 0 else H2 ?(if n-10 then 0
  else if n-11 then 1 else ?))
• if n0 then n0 else if n1 then n H2 ? 0
  else if n2 then n H2 ? 1 else ?
• if n0 then 0 else if n1 then 1 else if n2
  then 2 H2 ? 1 else ?
• if n0 then 0 else if n1 then 1 else if n2
  then 3 else ?

32
Exemple de point fixe

• H4 ? n H(H3 ?) n
• n(if n0 then 0 else H3 ?(H3
  ?(n-1))
• n(if n0 then 0 else H3 ? (if n-10 then 0
  else if n-11 then 1 else if n-12 then 3 else
  ?))
• if n0 then 0 else if n1 then n H3 ? 0 else
  if n2 then n H3 ? 1 else if n3 then n H3 ? 3
  else ?
• if n0 then 0 else if n1 then 1 else if n2
  then 3 else if n3 then ? else ?
• if n0 then 0 else if n1 then 1 else if n2
  then 3 else ?
• H3 ? n le point fixe est atteint

33
Interprétation Abstraite
W447

• Linterprétation abstraite est une technique pour
  calculer des propriétés dun programme.
• En principe ces propriétés se déduisent de la
  sémantique du programme, mais celle-ci est trop
  coûteuse à calculer.
• On ne calcule donc que les propriétés qui nous
  intéressent
• Le plus souvent ceci amène à faire des
  approximations.
• La sémantique sert à trouver et prouver ces
  approximations.

34
Interprétation Abstraite cadre
W470

• 1. Une sémantique dénotationnelle
  compositionnelle
• . programme ? Domaine standard A
• Chaque construction f du langage a sa sémantique
  fA
• 2. On veut construire une sémantique abstraite
  compositionnelle qui retient les propriétés à
  calculer
• Abs programme ? Domaine abstrait B
• avec une relation d est représenté par  entre
  les deux domaines
• - compatible si a d b , alors fA(a) d fB(b)
• - continue si supi(ai) a, supi(bi) b, ?i?N
  ai d bi, alors a d b

35
Exemple Signe

• On veut que le compilateur calcule, si possible,
  le signe des expressions entières
• Domaine standard Z?
• Domaine abstrait 0, p, n, ?
• 0 représente 0 0 d 0
• p représente les nombres positifs z d p ssi zgt0
• n représente les nombres négatifs z d n ssi zlt0
• ? représente tout le domaine abstrait z d ?

n 0 p ?
36
Exemple Signe fonctions abstraites

• On construit les meilleures approximations des 4
  opérations

d est continue (les chaînes sont finies).
37
Exemple Signe point fixe

• i 1
• f 1
• while iltv do begin
• f if
• i i1
• end

Le compilateur utilise des états abstraits Si n
est positif à lentrée de ce programme, il
calcule que f et n seront positifs à la
sortie. Avant la boucle Après la boucle, par
point fixe
38
Dautres applications de linterprétation
abstraite

• Linterprétation abstraite permet au compilateur
  de calculer des réponses approchées à des
  questions comme
• Des variables sont-elles synonymes ?
• Des structures de pointeurs ont-elles des
  cellules partagées ?
• Une fonction est-elle stricte ?
• Une fonction a-t-elle des effets de bord ?
• Une variable a-t-elle un effet sur une autre ?
• Combien de temps prend un programme ?
• Calculs sur les grammaires (voir plus loin)

39
Sémantique des grammaires non contextuelles

• Le sens dun non-terminal X dans une grammaire G
  (S, VN, VT, P)
• est lensemble des textes corrects pour X, càd w
  ? VT X ? w .
• Les règles d'une grammaire sont récursives la
  théorie du point fixe convient donc pour leur
  donner un sens.
• Si on suppose qu'on a donné un sens à chaque
  non-terminal (càd on a une fonction de VN ?
  P(VT) ) alors on peut l'utiliser dans les règles
  de la grammaire pour calculer un nouveau sens. Le
  plus petit point fixe donne la sémantique de
  chaque non-terminal. La sémantique du symbole
  initial donne le langage de la grammaire. L'ordre
  utilisé est l'ordre sur les vecteurs d'ensembles
• A1 (X) ? A2 (X) ssi ? X ? VN, A1 (X) ? A2
  (X)

40
Continuité

• Toutes les grammaires définissent une fonction
  "continue" pour l'inclusion. En effet, le
  supremum pour l'inclusion est simplement l'union
  (infinie).
• Les grammaires BNF sont écrites avec les 4
  opérateurs
• çunion, . suivi de, a symbole terminal, e
  chaîne vide.
• On peut montrer qu'ils sont continus, p.ex. Donc
• (?i Li ).M x.y ?i. x?Li et y?M ?i ( Li
  .M)
• Donc le langage peut se calculer par point fixe.

41
Exemple

• La grammaire P
• A a A c B
• B b B C
• C ? C

? A?, B?, C? P ? A?,
B?, C? P2 ? A?, B ?, C ? P3 ?
A ?, B ?,b, C ? P4 ? A ac,?,b,
B ?,b,bb, C ? On généralise Pn ? A
ai bj ci ij ? n-3, B bj
j ? n-2, C? si n ? 1, C ? sinon
On fait la preuve par induction Puis le passage
à la limite fix P A ai bj ci , B
bj , C ?
42
Interprétation abstraite de grammaires

• Le calcul des k premiers symboles terminaux (voir
  chap.2) est une interprétation abstraite.
• L'opérateur . (suivi de) est donc abstrait en une
  concaténation bornée à k symboles. Les autres
  sont inchangés.
• Le domaine abstrait des langages bornés à k
  caractères a des chaînes finies, donc le calcul
  du point fixe converge finiment.