Title: Problmes de mathmatiques du XIIe et XIIIe sicles pour les enfants daujourdhui
1Problèmes de mathématiques du XIIe et XIIIe
siècles pour les enfants daujourdhui
FST, le 30 janvier 2008
2Avant propos
- Ces dernières années, de nombreuses études ont
mis en évidence une alarmante perte dintérêt
des jeunes pour les études scientifiques et
mathématiques. - Plusieurs facteurs seraient la cause de cette
désaffection à légard des études scientifiques
dont la manière daborder lenseignement des
sciences attitudes vis-à-vis des sciences,
méthodes formelles, les cours ne sont pas
attrayants. - Renverser la pédagogie utilisée pour enseigner
les sciences à lécole, en la faisant passer de
méthodes essentiellement déductives à des
méthodes basées sur linvestigation permet
daugmenter lintérêt des jeunes pour les
sciences.
Rapport Rocard pour la CE sur lenseignement
scientifique aujourdhui
3Quen est-il de lenseignement des maths ?
- Lenseignement des mathématiques peut facilement
utiliser une approche basée sur les problèmes
alors que, dans de nombreux cas, lapproche
expérimentale savère plus difficile. - Lenseignement basé sur les problèmes désigne un
environnement dapprentissage dans lequel les
problèmes guident lapprentissage. Autrement dit,
lapprentissage commence par un problème à
résoudre et le dit problème est posé de façon à
obliger les enfants à acquérir de nouvelles
connaissances avant même létape de résolution
proprement dite. Plutôt que de rechercher une
réponse correcte unique, les enfants interprètent
le problème, recueillent les informations
nécessaires, identifient les solutions possibles,
évaluent les différentes options disponibles et
formulent des conclusions.
Rapport Rocard pour la CE sur lenseignement
scientifique aujourdhui
4Programmes de lécole primairecycles des
approfondissements Cycle 3 (in Le B.O. N5 12
avril 2007 HORS SÉRIE)
- La résolution de problèmes est au centre des
activités mathématiques - et permet de donner leur signification à toutes
les connaissances - qui y sont travaillées nombres entiers et
décimaux, calcul avec - ces nombres, approche des fractions, objets du
plan et de lespace et - certaines de leurs propriétés, mesure de quelques
grandeurs. - Les situations sur lesquelles portent les
problèmes proposés peuvent - être issues de la vie de la classe, de la vie
courante, de jeux, dautres - domaines de connaissances ou sappuyer sur des
objets mathématiques (figures, nombres,
mesures...). Elles sont présentées sous des
formes variées expérience concrète, description
orale, support écrit (texte, document, tableau,
graphique, schéma, figure).
5Objectifs de latelier
- Mettre à disposition un herbier
dexercices variés darithmétique élémentaire.
Exercices qui ont traversé les siècles à adapter
en classe de mathématiques ou de français. - Donner un recul aux enseignants de mathématiques
en apportant un éclairage historique sur ces
exercices et les méthodes utilisées.
6Contenu
- Présentation de problèmes et dexercices dans
leur contexte historique (la majorité des exos
sont dans le Liber Abaci). Présentation des
solutions proposées à ces problèmes au XIIe et
XIIe siècles. - Éléments sur la vie et le monde de Léonard de
Pise dit Fibonacci
7Avertissement
- Lexposé reprend quelques faits historiques
mais nest pas un exposé dhistoire. - Les problèmes proposés sont à adapter (peut être
à poser en termes plus modernes). Certains
exigent un niveau au moins collège .
8Fibonacci
- Leonard(o) de Pise, Leonardus Pisanus (Leonard
le pisan), Leonardus filius Bonaccii (Leonard
Fibonacci), Pisano, ou tout simplement
Fibonacci. - Fibonacci est probablement la contraction
Filiorm Bonacci ( de la famille de Bonacci
ou bien Filius Bonacci ( fils de Bonacci ). - Un autre nom de Fibonacci est Leonardus Bigollus
bigollo est un mot du dialecte Toscan
qui signifie cerveau absent ou tête
absente ou voyageur ou encore bon à
rien !
9 Cerveau absent ?
- O Léonard de Pise, tu fus un grand
scientifique, toi qui as éclairé lItalie sur les
pratiques darithmétique - Antonio de Mazzinghi (XIVe siècle)
- Le plus grand mathématicien de son temps et du
moyen âge - E. Kantorowicz, 1988
10Un grand mathématicien dont on connaît très peu
de chose sur sa vie !
- Ce que nous savons de Fibonacci, cest
- lui-même qui nous lapprend
- (in Liber Abaci 1202 et réédité en 1228)
11Lettre à Michel Scott
- Comme mon père avait été nommé fonctionnaire à
la douane de Bougie pour les marchands de Pise
qui se rendaient dans cette ville, il me fit,
alors que j'étais enfant, venir auprès de lui et,
en considération de mon intérêt futur, il voulut
que, restant là-bas, je fusse initié pendant
quelque temps à l'étude de l'abaque. Initié à cet
art grâce à un maître admirable par le moyen des
neuf chiffres des Hindous, la science de cette
discipline me plut beaucoup plus que toutes les
autres et j'appris pour la connaître tout ce que
l'on pouvait étudier d'elle auprès des Egyptiens,
des Syriens, des Grecs, des Siciliens et des
habitants de la Provence, avec les manières
propres à chacun. Pour cela, je me rendis dans
des lieux de commerce que j'ai beaucoup
fréquentés plus tard avec beaucoup de zèle et où
j'ai appris à participer à des controverses
scientifiques.
Incipit Liber Abaci compositus a Leonardo filio
Bonacii Pisano.
12Biographie sommaire de Léonard de Pise, dit
Fibonacci
- Naissance autour de 1170 à Pise
- Départ à Bougie et initiation aux mathématiques
(il devait avoir entre12 et 18 ans) - Voyages à travers le bassin méditerranéen (Syrie,
sicile, Egypte, Grèce, Provence) - Retour à Pise et rencontre avec Frédéric II et
des membres de sa cour - Décès à Pise vers 1250
13Le monde de Leonard
14Le monde de Léonard de Pise
- LEurope se réveille dune longue période de
stagnation denviron 5 siècles. - Le commerce progresse et la méditerranée devient
une grande avenue reliant différentes régions de
différentes religions et cultures. - LInde et la Chine sont lointaines mais pas
inaccessibles. Les marchandises (condiments et
épices) sont apportées en Europe, via la Perse,
Bagdad, la Syrie ou bien par la mer rouge puis à
dos de dromadaires jusquau Nil. - Les marchandises européennes (laines, bois, or,
) sont acheminées vers les ports arabes dans des
bateaux de villes italiennes Pise, Venise,
Gênes,
15Le monde de Léonard de Pise
- Une renaissance intellectuelle consécutive au
développement de la vie économique. - Les précurseurs de cet éveil font partie de
léglise. -
- Exemple Gerbert DAurillac (938-1003) qui
deviendra Pape (Sylvestre II). Il a fréquenté
les écoles arabes dEspagne et fait partie des
premiers à avoir essayé dintroduire la
numération Indo-Arabe en Europe.
16Le monde de Léonard
- Découverte, à travers les traductions et à
loccasion des croisades, des uvres dAristote,
Euclide, Archimède et Ptolémée souvent commentées
et enrichies par des savants arabes. - Multiplication des universités
17Universités dEurope
- 1088 Fondation de luniversité de Bologne.
- 1150 Fondation de luniversité de Paris.
- 1167 Fondation de luniversité dOxford, qui
adopte le modèle de fonctionnement en vigueur à
Paris. - 1209 Fondation de luniversité de Cambridge.
- 1218 Fondation de luniversité de Salamanque
(Espagne) - 1220 Création de lécole de médecine de
Montpellier la plus ancienne faculté de médecine
en activité au monde. - 1229 Fondation de l'université de Toulouse.
- 1257 Fondation de la Sorbonne à Paris par le
théologien Robert de Sorbon - 1290 Fondation de l'université de Coimbra
(Portugal).
18Frédéric II - Stupor Mundi
- Souverain cultivé, parlait plusieurs langues
sicilien, provençal et arabe, le latin. - Il sest entouré de plusieurs savants et
dastrologues (Michel Scott, Jean de Palerme,
etc.). - Défis scientifiques.
19Frédéric II - Stupor Mundi
- Souverain cultivé, parlait plusieurs langues
sicilien, provençal et arabe, le latin. - Il sest entouré de plusieurs savants et
dastrologues (Michel Scott, Jean de Palerme,
etc.). - Défis scientifiques.
20Halte interrogative
- Trois frères ont chacun une sur, les six
voyageurs arrivent à une rivière, mais il y a un
seul bateau qui ne peut contenir que deux
personnes. Or, la morale demande que chaque sur
passe avec son frère. Comment vont-ils faire
(pour traverser la rivière) ?
21(No Transcript)
22A A
23A
24(No Transcript)
25B B
26B
27C C
28C
29 30AB
31C
B
32Et la morale est sauve !!
33Halte interrogative
- Un garçon est mortellement mordu par un serpent.
Sa mère lui dit Mon fils, si tu avais vécu
aussi longtemps que tu as vécu et encore plus
la moitié et plus un an, tu aurais vécu cent
ans . Quel est lâge du garçon ?
34- Un garçon est mortellement mordu par un serpent.
Sa mère lui dit Mon fils, si tu avais vécu
aussi longtemps que tu as vécu et encore plus
la moitié et plus un an, tu aurais vécu cent
ans . Quel est lâge du garçon ?
99
35- Un garçon est mortellement mordu par un serpent.
Sa mère lui dit Mon fils, si tu avais vécu
aussi longtemps que tu as vécu et encore plus
la moitié et plus un an, tu aurais vécu cent
ans . Quel est lâge du garçon ?
99
33
36- Un garçon est mortellement mordu par un serpent.
Sa mère lui dit Mon fils, si tu avais vécu
aussi longtemps que tu as vécu et encore plus
la moitié et plus un an, tu aurais vécu cent
ans . Quel est lâge du garçon ?
99
33
66
37Halte interrogative II
- Un roi formant son armée, recrute un soldat dans
la première ville, 2 dans la seconde ville, 4
dans la troisième, 8 dans la quatrième et ainsi
de suite jusquà la trentième ville. Combien
larmée du roi compte-t-elle de soldats ?
38Des soldats
- Un roi formant son armée, recrute un soldat dans
la première ville, 2 dans la seconde ville, 4
dans la troisième, 8 dans la quatrième et ainsi
de suite jusquà la trentième ville. Combien
larmée du roi compte-t-elle de soldats ?
39Des soldats ou des grains de blé (riz)
- 1 1
- 12 3
- 124 7
- 1248 15
- 124816 31
- . 12229 2nombre de termes-1
Plus de 10 000 000 dannées si la production
annuelle de blé est denviron 500 000 000 de
tonnes par an et quun grain de blé a une masse
égale à 4 mg !!!!!!!!!
9 223 372 036 854 775 808
40Encore un vieux problème !
- Une échelle comporte 100 marches. Dans la
première marche,il y a un pigeon, dans la seconde
deux pigeons, dans la troisième, trois et ainsi
de suite jusquà la centième marche. Combien de
pigeons a-t-on sur léchelle ? - 12 3100 ?
41Des pigeons ou des nombres triangulaires
- 1
- 12 3
- 12 3 6
- 12 34 10
- 12345 15
- 12 3100 ?
42Des pigeons ou des nombres triangulaires
- 1
- 12 (2x3)/2
- 12 3 (3x4)/2
- 12 34 (4x5)/2
- 12345 (5x6)/2
- 1 2 3 100 (100x101)/25050
43Exercices !!Expérimenter, observer, raisonner,
conjecturer, (démontrer ?)
- 2468100 ?
- 3691299 ?
- 51015100 ?
44Ailleurs quen Europe
45Dans le monde arabo-islamique
- Des villes musulmanes florissantes ayant une même
culture (malgré les divisions politiques)
Bagdad, Damas, Alexandrie, le Caire, Tunis,
Bougie, Alger, Grenade, Cordoue, etc. - Des maisons des sciences autour des
souverains.
46Béjaïa la lumineuse
- Du XIIIe jusquau XVe siècle cest une place
commerciale, scientifique et culturelle prospère
sous les Hafsides.
47Bugia-Bougie-Béjaïa
- La population de la ville était constituée
- dune importante communauté espagnole (al-Jamaa
al-Andalusiya) cohérente et dirigée par un
cheikh. - dun groupement de juifs,
- dune colonie chrétienne,
- dune majorité de berbères musulmans
Relations officielles et commerciales avec les
républiques de Gênes, Pise, Venise, Marseille,
Catalogne et enfin Majorque (signature de
traités de commerce, de paix, traités sur les
biens des naufragés, etc.)
48Fibonacci, la numération indo-arabeet le
Liber Abaci
49Incipit Liber Abaci compositus a leonardo filio
Bonacii Pisano
- Jai travaillé de la façon la plus intelligible
possible à la composition de ce livre divisé en
quinze chapitres, établissant presque tout ce que
jai introduit en apportant une démonstration
certaine, afin que, cette manière de faire étant
préférable à toutes les autres, ceux qui
recherchent cette science soit convenablement
formés et que les Latins, à lavenir, ne soient
plus dans létat dignorance qui est le leur
aujourdhui. Si j'ai ajouté quelque chose de
façon plus ou moins juste ou nécessaire, je vous
demande d'être indulgents. Car il nest personne
qui soit à l'abri de l'erreur ou qui puisse être
attentif toujours et en tout.
Début du livre de labaque composé par Léonard de
Pise fils de Bonaccio
50Quelques chapitres du Liber Abaci
- 1. De la connaissance des neuf chiffres des
Hindous et comment avec eux tout nombre sécrit
et quels sont les nombres et comment ils doivent
être représentés par les mains et figurés sur
labaque. - 2. De la multiplication des nombres entiers
- 6. De la multiplication des entiers par des
fractionnaires. - 13. De la règle Elkhatayn comment avec elle
presque toutes les questions incertaines sont
résolues. - 15. Des règles relatives aux proportions de la
géométrie des questions dalgèbre et des
calculs algébriques.
51- Les neuf chiffres des Hindous sont
- 9 8 7 6 5 4 3 2 1.
- Avec ces neuf chiffres donc et avec le signe 0,
que l'on appelle zéro (Sifr) en arabe, on écrit
n'importe quel nombre, comme on le démontre plus
bas.
52Problèmes !!
53Quot paria cunuculorum in uno anno ex uno pario
germinenturCombien de couples de lapins sont
engendrés en une année par un seul couple
- Quelquun plaça un couple de lapins dans un
lieu clos de murs de tous côtés pour savoir
combien de bêtes seraient engendrées par ce
couple en une seule année. La nature de ces
animaux veut quun couple engendre un autre
couple chaque mois. Les petits sont, à leur tour,
capables de se reproduire le second mois qui suit
leur naissance .
http//perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/tru
c_mat/textes/lapins.htm
54Solution de Fibonacci
55Solution
- 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 35, etc.
On a, pour ngt0, F(n2)F(n1)F(n)
56Suite (ou nombres) de Fibonacci
- La suite qui compte les nombres de lapins a été
appelée par E. Lucas Suite de Fibonacci .
1842-1891
57- Articles in the current issue of the journal,
Volume 44.4, November, 2006 - 290-296 Self Matching in nalpha,by Martin
W.Bunder - 297-301 Continued Fractions with Partial
Quotients Bounded in Average,by Joshua N. Cooper - 302-315 The Inverse of a Finite Series and a
Third-Order Recurrent Sequence,by H. W. Gould - 316-323 Compositions with Pairwise Relatively
Prime Summands within a Restricted Setting,by
Temba Shonhiwa - 324-325 A Counting Based Proof of the
Generalized Zeckendorf's Theorem,by Tamas Lengyel
- 326-329 A Criterion for Polynomials to be
Congruent to the Product of Linear Polynomials
(mod p),by Zhi-Hong Sun - 330-334 Self-Avoiding Walks and Fibonacci
Numbers,by Arthur T. Benjamin - 335-340 A New Generalization of the Golden
Ratio,by Vedran Krcadinac - 341-346 Isodecimal Numbers,by C. Maniscalco
347-357 On Lucas-Bernoulli Numbers,by Paul
Thomas Young - 358-361 Second-Order Linear Recurrences of
Composite Numbers,by Lawrence Somer - 362-367 The Fibonacci Number of Generalized
Petersen Graphs,by Stephan G. Wagner - 368-369 On the Number of Primitive Pythagorean
Triangles with a Given Inradius,by Neville
Robbins - 370-375 Elementary Problems and Solutions,
Edited by Russ Euler and Jawad Sadek 376-382
Advanced Problems and Solutions, Edited by
Florian Luca 383-384 Volume Index,
58Digression
- Un fait 2, 3, 5, 13 sont des nombres de
Fibonacci premiers (nont pas de partie aliquote
! ). - Des Questions
- Montrer quil existe une infinité de nombres
premiers dans la suite de Fibonacci. - Un nombre premier étant donné. Existe-t-il un
nombre de Fibonacci divisible par ce nombre
premier ? -
59De duobus hominibus habentibus panes Des deux
hommes ayant des pains
- Un jour, deux hommes avaient lun trois pains et
lautre deux. Ils allèrent se promener auprès
dune source. Lorsquils furent arrivés en ce
lieu, ils sassirent pour manger. Un soldat
passa. Ils linvitèrent. Il prit place à côté
deux et il mangea avec eux, chaque convive ayant
part égale. Lorsque tous les pains furent mangés,
le soldat partit en leur laissant cinq pièces
pour prix de son repas. De cet argent, le premier
prit 3 pièces, comme il avait apporté trois pains
lautre, de son côté, prit les 2 pièces qui
restaient pour prix de ses deux pains. On demande
si le partage a été bien fait.
60Solution de Fibonacci
- Quelques ignorants ont affirmé que ce partage
était correct, puisque chacun des deux hommes
avait reçu une pièce pour un pain. Mais cela est
faux. En effet, ils ont mangé à eux trois cinq
pains. De là il résulte que chacun a eu un pain
et deux tiers. Donc. le soldat a mangé un pain et
un tiers, c'est-à-dire quatre tiers, des pains de
celui qui avait trois pains. Des pains de
l'autre, il n'a pas consommé plus du tiers d'un
seul pain. C'est pourquoi quatre pièces devraient
revenir au premier des deux hommes et une seule
au second. -
- Avec un peu d'attention et de réflexion, il était
facile de parvenir à cette conclusion.
61Des deux hommes ayant du pain
- Chaque homme a pris 5/3 de pain.
- A a donc mangé 1 2/3 de son pain et a donné au
soldat 3 -5/3 4/3 de son pain. - B a mangé (12/3) de son pain et a laissé le
tiers (1/3) au soldat. - A a donc donné 4 fois plus de pain au soldat
que B. - A récupère donc 4 pièces et B nen prend quune
pièce !
6215 portions égales, 3 personnes5 pour chacun des
protagonistes !
1
1
3
1
1
3
1
3
3
2
3
2
2
2
2
63Pièces de monnaie
-
- Le problème concerne quatre hommes. Le premier,
le second et le troisième, à eux trois, possèdent
27 pièces. Dautre part le second, le troisième
et le quatrième ont, eux tous, 31 pièces. Le
troisième, le quatrième et le premier ont, quant
à eux, 34 pièces. Enfin le quatrième, le premier
et le second ont un total de 37 pièces. On
demande combien de pièces possède chacun des
hommes.
64 27
31
34
37
65Solution de Fibonacci
- Additionnons les quatre nombres donnés pour nen
faire qu un seul. Nous obtenons 129, ce qui
correspond au triple de la somme de toutes les
pièces possédées par les quatre hommes, car le
nombre des pièces possédées par chacun dentre
eux est trois fois compris dans les composantes
de cette somme. Donc si lon divise ce total par
trois on obtient 43, ce qui est égal au nombre
total de pièces que les quatre hommes ont en leur
possession. - Si lon retire de ce nombre le total des pièces
qui appartiennent au premier, au second et au
troisième, cest-à-dire 27, il restera 16 pièces,
propriété du quatrième homme. - Si lon retranche de ces 43 pièces 31 pièces,
total des pièces possédées par le second, le
troisième et le quatrième, il restera, pour le
second, 9 pièces. - Etc.
66Solution
- ABC 27
- BCD 31
- ACD 34
- ABD 37
- _at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at_
- 3(ABCD) 129 , ABCD43
- D 43-27 16 car ABC27
- A 43-31 12
- B43-349
- C 43-37 6
67De la citerne pourvue en son fond de quatre bondes
- Soit une citerne qui a quatre bondes. Par la
première dentre elles, elle se vide en un jour
par la seconde, en deux jours par la troisième
en trois jours par la quatrième, en quatre
jours. On cherche à savoir en combien dheures
elle se videra, si les quatre bondes dont on a
parlé sont simultanément ouverts.
68De la citerne pourvue en son fond de quatre bondes
- Bonde1 ouverte ----? 1 jour
- Bonde 2ouverte ----? 2 jours
- Bonde 3 ouverte ----? 3 jours
- Bonde 4 ouverte ----? 4 jours
- En 12 jours la citerne se vide
- 12 fois par B1, 6 fois par B2, 4 fois par B3 et 3
fois par B4 - En 12 jours la citerne se vide donc 25 fois
- .
69De le proportionnalité ou de la règle en croix
- En 12 jours la citerne se vide 25 fois
- Or on veut savoir en combien de temps elle se
vide 1 fois - Multiplions donc les extrêmes- cest-à-dire 12 et
1- et divisons par le moyen, cela fera 12/25
dun seul jour.
70De la même citerne alimentée par quatre canaux
qui se déversent en elle
- Par le premier, elle se remplit en 6 heures
- par le second, en 9 heures
- par le troisième, en 24 heures
- par le quatrième en 27 heures.
- On suppose que la citerne est vide, puis que
leau afflue par les 4 canaux, alors que les
bondes sont ouvertes. - On veut savoir en combien dheures se remplira la
citerne.
71Des pommes bien gardées
- Un homme se rendit dans un verger qui a 7 portes
et cueille un certain nombre de pommes. Quand il
quitta le verger, il donna au gardien de la
première porte la moitié des pommes quil avait
et une pomme en plus. Au second gardien, il donna
la moitié de ce qui lui restait et plus une. Il
fit de même avec les autres gardiens et quitta
le verger avec 1 pomme. Combien de pommes a-t-il
cueilli ?
72Des pommes bien gardées
73Des pommes bien gardées
74Des pommes bien gardées
75Des pommes bien gardées
76Des pommes bien gardées
77Des denarii
78Du lion, du léopard et de lours
- Un lion parvenait à manger une brebis en 4
heures, un léopard y arriverait en 5 heures et un
ours en 6 heures. On voudrait savoir en combien
de temps ces animaux dévoreraient une brebis, si
elle était lâchée au milieu deux
79Du lion, du léopard et de lours
6 heures
4 heures
5 heures
- En 60 heures nos carnassiers mangeraient
respectivement 15, 12 et 10 brebis, soit au total
37 - Puis règle de trois
80Des deux fourmis dont lune imite lautre
- Deux fourmis étaient éloignées lune de lautre,
sur un terrain plat, de 100 pas, et elles se
dirigeaient toutes les deux vers un seul et même
lieu. - La première, chaque jour, avançait dun tiers de
pas et revenant en arrière, elle reculait dun
quart de pas. Lautre avançait dun cinquième de
pas et reculait dun sixième de pas. - On demande au bout de combien de temps elles se
rencontrent.
81Solution de Fibonacci
- 1. Réduction des fractions au même dénominateur
(60 qui est le ppcm de 3,4, 5 et 6) - 2. Calcul de la progression réelle des fourmis en
60 jours 3 pas - 3. Produit en croix
82De la division de 11 en deux portions
- Divisons 11 en deux portions, dont lune
multipliée par 9 équivaut à lautre multiplié par
10. - On cherche x et y tels que 11 xy et 9x10y
- Solution (Fibonacci)
- 9x 10y
- donc x/y 10/9 ou encore 10/x 9/y
- donc y 9x/10 et 9x/10x 11
- x 110/19 et y 99/19
83Du roi qui voulait planter des arbresou la règle
des 5
- Un roi envoya 30 hommes dans son verger. Sils
plantent 1000 arbres en 9 jours, dans combien de
jours 36 hommes planteront 4400 arbres ?
84Solution
- Modélisation actuelle
- Le nombre darbres (A) est proportionnel au
nombre de jours (j) et au nombre dhommes (h) - A C x h x j
- La première ligne du tableau permet de trouver
C - La deuxième ligne permet de calculer j
85La règle de 5
86Triplets pythagoriciens
- Ce sont des triplets qui correspondent à des
côtés de triangles rectangles. Exemples - (3, 4, 5)
- (5,12,13)
- Problème déterminer tous les triplets
pythagoriciens - Fibonacci trouve léquivalent de la formule
- (a2_b2 )2 (2ab )2 (a2b2 )2
- Il adopte aussi une méthode très ingénieuse
Tablette babylonienne entre -1900 et -1600
87De la somme des nombres impairs au triplets
pythagoriciens
- Constatation
- 1 1
- 13 4
- 135 9
- 1357 16, etc.
- 1357 9 25, etc.
- Théorème
- La somme des n premiers nombres impairs est le
carré de n
88Triplets pythagoriciens
- On part dun nombre carré (exemple 81)
- Ce nombre est divisible par 3 (81 27 x 3)
- On lécrit 81 25 27 29 (somme de trois
nombres impairs) - On considère
- A 1 3 5 29 et B 13 5 23
- On a 81 A-B
- Or A et B sont des carrés A 152 et B 122
- Donc 152 92 122 et enfin le triplet (9,
12, 15)
89Un autre exemple de triplets pythagoriciens
- On part dun nombre carré (exemple 144 122 )
- Ce nombre sécrit 144 2. 72
- On lécrit 144 71 73 (somme de deux nombres
impairs) - On considère
- A 1 3 5 73 et B 13 5 69
- On a 144 A-B
- Or A et B sont des carrés A 372 et B 352
- Donc 372 352 122 et obtient enfin le
triplet (12, 35, 37)
90Ouvrages de Fibonacci
- - Liber Abaci (publié en 1202, titre trompeur,
signifiant Livre de labaque, alors que son
contenu porte essentiellement sur des méthodes
algébriques et des problèmes dans lesquels
lusage des chiffres indo-arabes est fortement
mis en relief) - - Practica geometrie (1220, Pratique de la
géométrie) - - une lettre à Maître Théodore, le philosophe de
lEmpereur Frédéric II (non datée). - - Liber quadratorum (1225, livre des carrés )
dédié à Frédéric II, un livre darithmétique
(nombres congrus, pythagoriciens, équations
dophantiennes, etc). - - Flos (1225), un regroupement de solutions aux
problèmes posés en présence de Frédéric II.
91Mes références
- 1 D. Aissani et D. Valerian, Mathématiques,
commerce et société à Béjaïa (Bugia) au moment du
séjour de Léonard Fibonacci (XIIe-XIIIe siècles),
Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche-
Vol. XXIII, fasc. 2, 2003 - 2 J. Gies et F. Gies, Leonardo of Pisa and the
new mathematics of the middle ages, Thomas Y.
Crowell Company, New York, 1969 - 3 J.P.-Levet, Léonard de Pise. Des chiffres
Hindous aux Racines Cubiques, Cahiers dHistoire
des Mathématiques et dEpistémologie, IREM de
Poitiers, juin 1997 - 4 J.P.-Levet, Léonard de Pise. Divisions et
proportions, Perles et Animaux, Cahiers
dHistoire des Mathématiques et dEpistémologie,
IREM de Poitiers, décembre 1997 - 5 E. Lucas Recherches sur plusieurs ouvrages
de Léonard de Pise et sur diverses questions
darithmétique supérieure, extrait du Bullettino
di bibliografia di storia delle scienze
matematiche e fisiche, Tomo X. Rome, Marzo,
Aprile et Maggio1877 - 6 R. Rashed, Fibonacci e la matematica araba,
Estratto dal volume frederico II e le scienze,
Sellrio editore Palermo - 7 R. Rashed, Fibonacci et le prolongement
latin des mathématiques arabes, Bolletino di
Storia delle Scienze Matematiche- Vol. XXIII,
fasc. 2 (2003)
92 93Problème doiseaux et de tours
94FIN
95Lenseignement qui prépare à luniversité
- Les Arts du TRIVIUM grammaire, dialectique et
rhétorique - Les Arts du QUADRIVIUM arithmétique, géométrie,
musique et astronomie - Enseignement des mathématiques comput,
possession de bases musicales, arpentage,
construction de palais et églises