Problmes de mathmatiques du XIIe et XIIIe sicles pour les enfants daujourdhui - PowerPoint PPT Presentation

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Problmes de mathmatiques du XIIe et XIIIe sicles pour les enfants daujourdhui

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Title: Problmes de mathmatiques du XIIe et XIIIe sicles pour les enfants daujourdhui


1
Problèmes de mathématiques du XIIe et XIIIe
siècles pour les enfants daujourdhui
FST, le 30 janvier 2008
2
Avant propos
  • Ces dernières années, de nombreuses études ont
    mis en évidence une alarmante perte dintérêt
    des jeunes pour les études scientifiques et
    mathématiques.
  • Plusieurs facteurs seraient la cause de cette
    désaffection à légard des études scientifiques
    dont la manière daborder lenseignement des
    sciences attitudes vis-à-vis des sciences,
    méthodes formelles, les cours ne sont pas
    attrayants.
  • Renverser la pédagogie utilisée pour enseigner
    les sciences à lécole, en la faisant passer de
    méthodes essentiellement déductives à des
    méthodes basées sur linvestigation permet
    daugmenter lintérêt des jeunes pour les
    sciences.

Rapport Rocard pour la CE sur lenseignement
scientifique aujourdhui
3
Quen est-il de lenseignement des maths ?
  • Lenseignement des mathématiques peut facilement
    utiliser une approche basée sur les problèmes
    alors que, dans de nombreux cas, lapproche
    expérimentale savère plus difficile.
  • Lenseignement basé sur les problèmes désigne un
    environnement dapprentissage dans lequel les
    problèmes guident lapprentissage. Autrement dit,
    lapprentissage commence par un problème à
    résoudre et le dit problème est posé de façon à
    obliger les enfants à acquérir de nouvelles
    connaissances avant même létape de résolution
    proprement dite. Plutôt que de rechercher une
    réponse correcte unique, les enfants interprètent
    le problème, recueillent les informations
    nécessaires, identifient les solutions possibles,
    évaluent les différentes options disponibles et
    formulent des conclusions.

Rapport Rocard pour la CE sur lenseignement
scientifique aujourdhui
4
Programmes de lécole primairecycles des
approfondissements Cycle 3 (in Le B.O. N5 12
avril 2007 HORS SÉRIE)
  • La résolution de problèmes est au centre des
    activités mathématiques
  • et permet de donner leur signification à toutes
    les connaissances
  • qui y sont travaillées nombres entiers et
    décimaux, calcul avec
  • ces nombres, approche des fractions, objets du
    plan et de lespace et
  • certaines de leurs propriétés, mesure de quelques
    grandeurs.
  • Les situations sur lesquelles portent les
    problèmes proposés peuvent
  • être issues de la vie de la classe, de la vie
    courante, de jeux, dautres
  • domaines de connaissances ou sappuyer sur des
    objets mathématiques (figures, nombres,
    mesures...). Elles sont présentées sous des
    formes variées expérience concrète, description
    orale, support écrit (texte, document, tableau,
    graphique, schéma, figure).

5
Objectifs de latelier
  • Mettre à disposition un  herbier 
     dexercices variés darithmétique élémentaire.
    Exercices qui ont traversé les siècles à adapter
    en classe de mathématiques ou de français.
  • Donner un recul aux enseignants de mathématiques
    en apportant un éclairage historique sur ces
    exercices et les méthodes utilisées.

6
Contenu
  • Présentation de problèmes et dexercices dans
    leur contexte historique (la majorité des exos
    sont dans le Liber Abaci). Présentation des
    solutions proposées à ces problèmes au XIIe et
    XIIe siècles.
  • Éléments sur la vie et le monde de Léonard de
    Pise dit  Fibonacci 

7
Avertissement
  • Lexposé reprend quelques faits historiques
    mais nest pas un exposé dhistoire.
  • Les problèmes proposés sont à adapter (peut être
    à poser en termes plus modernes). Certains
    exigent un niveau  au moins collège .

8
Fibonacci
  • Leonard(o) de Pise, Leonardus Pisanus (Leonard
    le pisan), Leonardus filius Bonaccii (Leonard
    Fibonacci), Pisano, ou tout simplement
    Fibonacci.
  • Fibonacci est probablement la contraction
    Filiorm Bonacci ( de la famille de Bonacci
    ou bien Filius Bonacci ( fils de Bonacci ).
  • Un autre nom de Fibonacci est Leonardus Bigollus
     bigollo  est un mot du dialecte Toscan
    qui signifie  cerveau absent  ou  tête
    absente  ou  voyageur  ou encore  bon à
    rien  !

9
 Cerveau absent  ?
  •  O Léonard de Pise, tu fus un grand
    scientifique, toi qui as éclairé lItalie sur les
    pratiques darithmétique 
  • Antonio de Mazzinghi (XIVe siècle)
  • Le plus grand mathématicien de son temps et du
    moyen âge
  • E. Kantorowicz, 1988

10
Un grand mathématicien dont on connaît très peu
de chose sur sa vie !
  • Ce que nous savons de Fibonacci, cest
  • lui-même qui nous lapprend
  • (in Liber Abaci 1202 et réédité en 1228)

11
Lettre à Michel Scott
  • Comme mon père avait été nommé fonctionnaire à
    la douane de Bougie pour les marchands de Pise
    qui se rendaient dans cette ville, il me fit,
    alors que j'étais enfant, venir auprès de lui et,
    en considération de mon intérêt futur, il voulut
    que, restant là-bas, je fusse initié pendant
    quelque temps à l'étude de l'abaque. Initié à cet
    art grâce à un maître admirable par le moyen des
    neuf chiffres des Hindous, la science de cette
    discipline me plut beaucoup plus que toutes les
    autres et j'appris pour la connaître tout ce que
    l'on pouvait étudier d'elle auprès des Egyptiens,
    des Syriens, des Grecs, des Siciliens et des
    habitants de la Provence, avec les manières
    propres à chacun. Pour cela, je me rendis dans
    des lieux de commerce que j'ai beaucoup
    fréquentés plus tard avec beaucoup de zèle et où
    j'ai appris à participer à des controverses
    scientifiques.

Incipit Liber Abaci compositus a Leonardo filio
Bonacii Pisano.
12
Biographie sommaire de Léonard de Pise, dit
Fibonacci
  • Naissance autour de 1170 à Pise
  • Départ à Bougie et initiation aux mathématiques
    (il devait avoir entre12 et 18 ans)
  • Voyages à travers le bassin méditerranéen (Syrie,
    sicile, Egypte, Grèce, Provence)
  • Retour à Pise et rencontre avec Frédéric II et
    des membres de sa cour
  • Décès à Pise vers 1250

13
Le monde de Leonard
14
Le monde de Léonard de Pise
  • LEurope se réveille dune longue période de
    stagnation denviron 5 siècles.
  • Le commerce progresse et la méditerranée devient
    une grande avenue reliant différentes régions de
    différentes religions et cultures.
  • LInde et la Chine sont lointaines mais pas
    inaccessibles. Les marchandises (condiments et
    épices) sont apportées en Europe, via la Perse,
    Bagdad, la Syrie ou bien par la mer rouge puis à
    dos de dromadaires jusquau Nil.
  • Les marchandises européennes (laines, bois, or,
    ) sont acheminées vers les ports arabes dans des
    bateaux de villes italiennes Pise, Venise,
    Gênes,

15
Le monde de Léonard de Pise
  • Une renaissance intellectuelle consécutive au
    développement de la vie économique.
  • Les précurseurs de cet éveil font partie de
    léglise.
  • Exemple  Gerbert DAurillac (938-1003) qui
    deviendra Pape (Sylvestre II). Il a fréquenté
    les écoles arabes dEspagne et fait partie des
    premiers à avoir essayé dintroduire la
    numération Indo-Arabe en Europe.

16
Le monde de Léonard
  • Découverte, à travers les traductions et à
    loccasion des croisades, des uvres dAristote,
    Euclide, Archimède et Ptolémée souvent commentées
    et enrichies par des savants arabes.
  • Multiplication des universités

17
Universités dEurope
  • 1088 Fondation de luniversité de Bologne.
  • 1150  Fondation de luniversité de Paris.
  • 1167  Fondation de luniversité dOxford, qui
    adopte le modèle de fonctionnement en vigueur à
    Paris.
  • 1209  Fondation de luniversité de Cambridge.
  • 1218  Fondation de luniversité de Salamanque
    (Espagne)
  • 1220  Création de lécole de médecine de
    Montpellier la plus ancienne faculté de médecine
    en activité au monde.
  • 1229  Fondation de l'université de Toulouse.
  • 1257  Fondation de la Sorbonne à Paris par le
    théologien Robert de Sorbon
  • 1290 Fondation de l'université de Coimbra
    (Portugal).

18
Frédéric II - Stupor Mundi
  • Souverain cultivé, parlait plusieurs langues
    sicilien, provençal et arabe, le latin.
  • Il sest entouré de plusieurs savants et
    dastrologues (Michel Scott, Jean de Palerme,
    etc.).
  • Défis scientifiques.

19
Frédéric II - Stupor Mundi
  • Souverain cultivé, parlait plusieurs langues
    sicilien, provençal et arabe, le latin.
  • Il sest entouré de plusieurs savants et
    dastrologues (Michel Scott, Jean de Palerme,
    etc.).
  • Défis scientifiques.

20
Halte interrogative
  • Trois frères ont chacun une sur, les six
    voyageurs arrivent à une rivière, mais il y a un
    seul bateau qui ne peut contenir que deux
    personnes. Or, la morale demande que chaque sur
    passe avec son frère. Comment vont-ils faire
    (pour traverser la rivière) ?

21
(No Transcript)
22
A A
23
A
24
(No Transcript)
25
B B
26
B
27
C C
28
C
29

30
AB

31
C

B
32
Et la morale est sauve !!

33
Halte interrogative
  • Un garçon est mortellement mordu par un serpent.
    Sa mère lui dit   Mon fils, si tu avais vécu
    aussi longtemps que tu as vécu et encore plus
    la moitié et plus un an, tu aurais vécu cent
    ans . Quel est lâge du garçon ?

34
  • Un garçon est mortellement mordu par un serpent.
    Sa mère lui dit   Mon fils, si tu avais vécu
    aussi longtemps que tu as vécu et encore plus
    la moitié et plus un an, tu aurais vécu cent
    ans . Quel est lâge du garçon ?

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  • Un garçon est mortellement mordu par un serpent.
    Sa mère lui dit   Mon fils, si tu avais vécu
    aussi longtemps que tu as vécu et encore plus
    la moitié et plus un an, tu aurais vécu cent
    ans . Quel est lâge du garçon ?

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  • Un garçon est mortellement mordu par un serpent.
    Sa mère lui dit   Mon fils, si tu avais vécu
    aussi longtemps que tu as vécu et encore plus
    la moitié et plus un an, tu aurais vécu cent
    ans . Quel est lâge du garçon ?

99

33

66

37
Halte interrogative II
  • Un roi formant son armée, recrute un soldat dans
    la première ville, 2 dans la seconde ville, 4
    dans la troisième, 8 dans la quatrième et ainsi
    de suite jusquà la trentième ville. Combien
    larmée du roi compte-t-elle de soldats ?

38
Des soldats
  • Un roi formant son armée, recrute un soldat dans
    la première ville, 2 dans la seconde ville, 4
    dans la troisième, 8 dans la quatrième et ainsi
    de suite jusquà la trentième ville. Combien
    larmée du roi compte-t-elle de soldats ?
  • 1 2 229 ?

39
Des soldats ou des grains de blé (riz)
  • 1 1
  • 12 3
  • 124 7
  • 1248 15
  • 124816 31
  • . 12229 2nombre de termes-1

Plus de 10 000 000 dannées si la production
annuelle de blé est denviron 500 000 000 de
tonnes par an et quun grain de blé a une masse
égale à 4 mg !!!!!!!!!
9 223 372 036 854 775 808
40
Encore un vieux problème !
  • Une échelle comporte 100 marches. Dans la
    première marche,il y a un pigeon, dans la seconde
    deux pigeons, dans la troisième, trois et ainsi
    de suite jusquà la centième marche. Combien de
    pigeons a-t-on sur léchelle ?
  • 12 3100 ?

41
Des pigeons ou des nombres triangulaires
  • 1
  • 12 3
  • 12 3 6
  • 12 34 10
  • 12345 15
  • 12 3100 ?

42
Des pigeons ou des nombres triangulaires
  • 1
  • 12 (2x3)/2
  • 12 3 (3x4)/2
  • 12 34 (4x5)/2
  • 12345 (5x6)/2
  • 1 2 3 100 (100x101)/25050

43
Exercices !!Expérimenter, observer, raisonner,
conjecturer, (démontrer ?)
  • 2468100 ?
  • 3691299 ?
  • 51015100 ?

44
Ailleurs quen Europe
45
Dans le monde  arabo-islamique 
  • Des villes musulmanes florissantes ayant une même
    culture (malgré les divisions politiques)
    Bagdad, Damas, Alexandrie, le Caire, Tunis,
    Bougie, Alger, Grenade, Cordoue, etc.
  • Des  maisons des sciences  autour des
    souverains.

46
Béjaïa la lumineuse
  • Du XIIIe jusquau XVe siècle cest une place
    commerciale, scientifique et culturelle prospère
    sous les Hafsides.

47
Bugia-Bougie-Béjaïa
  • La population de la ville était constituée
  • dune importante communauté espagnole (al-Jamaa
    al-Andalusiya) cohérente et dirigée par un
    cheikh.
  • dun groupement de juifs,
  • dune colonie chrétienne,
  • dune majorité de berbères musulmans

Relations officielles et commerciales avec les
républiques de Gênes, Pise, Venise, Marseille,
Catalogne et enfin Majorque (signature de
traités de commerce, de paix, traités sur les
biens des naufragés, etc.)
48
Fibonacci, la numération indo-arabeet le
Liber Abaci
49
Incipit Liber Abaci compositus a leonardo filio
Bonacii Pisano
  • Jai travaillé de la façon la plus intelligible
    possible à la composition de ce livre divisé en
    quinze chapitres, établissant presque tout ce que
    jai introduit en apportant une démonstration
    certaine, afin que, cette manière de faire étant
    préférable à toutes les autres, ceux qui
    recherchent cette science soit convenablement
    formés et que les Latins, à lavenir, ne soient
    plus dans létat dignorance qui est le leur
    aujourdhui.  Si j'ai ajouté quelque chose de
    façon plus ou moins juste ou nécessaire, je vous
    demande d'être indulgents. Car il nest personne
    qui soit à l'abri de l'erreur ou qui puisse être
    attentif toujours et en tout.

Début du livre de labaque composé par Léonard de
Pise fils de Bonaccio
50
Quelques chapitres du Liber Abaci
  • 1. De la connaissance des neuf chiffres des
    Hindous et comment avec eux tout nombre sécrit
    et quels sont les nombres et comment ils doivent
    être représentés par les mains et figurés sur
    labaque.
  • 2. De la multiplication des nombres entiers
  • 6. De la multiplication des entiers par des
    fractionnaires.
  • 13. De la règle Elkhatayn comment avec elle
    presque toutes les questions incertaines sont
    résolues.
  • 15. Des règles relatives aux proportions de la
    géométrie des questions dalgèbre et des
    calculs algébriques.

51
  • Les neuf chiffres des Hindous sont
  • 9 8 7 6 5 4 3 2 1.
  • Avec ces neuf chiffres donc et avec le signe 0,
    que l'on appelle zéro (Sifr) en arabe, on écrit
    n'importe quel nombre, comme on le démontre plus
    bas.

52
Problèmes !!
53
Quot paria cunuculorum in uno anno ex uno pario
germinenturCombien de couples de lapins sont
engendrés en une année par un seul couple
  •  Quelquun plaça un couple de lapins dans un
    lieu clos de murs de tous côtés pour savoir
    combien de bêtes seraient engendrées par ce
    couple en une seule année. La nature de ces
    animaux veut quun couple engendre un autre
    couple chaque mois. Les petits sont, à leur tour,
    capables de se reproduire le second mois qui suit
    leur naissance .

http//perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/tru
c_mat/textes/lapins.htm
54
Solution de Fibonacci
55
Solution
  • 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 35, etc.

On a, pour ngt0, F(n2)F(n1)F(n)
56
Suite (ou nombres) de Fibonacci
  • La suite qui compte les nombres de lapins a été
    appelée par E. Lucas  Suite de Fibonacci .

1842-1891
57
  • Articles in the current issue of the journal,
    Volume 44.4, November, 2006
  • 290-296 Self Matching in nalpha,by Martin
    W.Bunder
  • 297-301 Continued Fractions with Partial
    Quotients Bounded in Average,by Joshua N. Cooper
  • 302-315 The Inverse of a Finite Series and a
    Third-Order Recurrent Sequence,by H. W. Gould
  • 316-323 Compositions with Pairwise Relatively
    Prime Summands within a Restricted Setting,by
    Temba Shonhiwa
  • 324-325 A Counting Based Proof of the
    Generalized Zeckendorf's Theorem,by Tamas Lengyel
  • 326-329 A Criterion for Polynomials to be
    Congruent to the Product of Linear Polynomials
    (mod p),by Zhi-Hong Sun
  • 330-334 Self-Avoiding Walks and Fibonacci
    Numbers,by Arthur T. Benjamin
  • 335-340 A New Generalization of the Golden
    Ratio,by Vedran Krcadinac
  • 341-346 Isodecimal Numbers,by C. Maniscalco
    347-357 On Lucas-Bernoulli Numbers,by Paul
    Thomas Young
  • 358-361 Second-Order Linear Recurrences of
    Composite Numbers,by Lawrence Somer
  • 362-367 The Fibonacci Number of Generalized
    Petersen Graphs,by Stephan G. Wagner
  • 368-369 On the Number of Primitive Pythagorean
    Triangles with a Given Inradius,by Neville
    Robbins
  • 370-375 Elementary Problems and Solutions,
    Edited by Russ Euler and Jawad Sadek 376-382
    Advanced Problems and Solutions, Edited by
    Florian Luca 383-384 Volume Index,

58
Digression
  • Un fait 2, 3, 5, 13 sont des nombres de
    Fibonacci premiers (nont pas de partie aliquote
    ! ).
  • Des Questions
  • Montrer quil existe une infinité de nombres
    premiers dans la suite de Fibonacci.
  • Un nombre premier étant donné. Existe-t-il un
    nombre de Fibonacci divisible par ce nombre
    premier ?

59
De duobus hominibus habentibus panes Des deux
hommes ayant des pains
  • Un jour, deux hommes avaient lun trois pains et
    lautre deux. Ils allèrent se promener auprès
    dune source. Lorsquils furent arrivés en ce
    lieu, ils sassirent pour manger. Un soldat
    passa. Ils linvitèrent. Il prit place à côté
    deux et il mangea avec eux, chaque convive ayant
    part égale. Lorsque tous les pains furent mangés,
    le soldat partit en leur laissant cinq pièces
    pour prix de son repas. De cet argent, le premier
    prit 3 pièces, comme il avait apporté trois pains
    lautre, de son côté, prit les 2 pièces qui
    restaient pour prix de ses deux pains. On demande
    si le partage a été bien fait.

60
Solution de Fibonacci
  • Quelques ignorants ont affirmé que ce partage
    était correct, puisque chacun des deux hommes
    avait reçu une pièce pour un pain. Mais cela est
    faux. En effet, ils ont mangé à eux trois cinq
    pains. De là il résulte que chacun a eu un pain
    et deux tiers. Donc. le soldat a mangé un pain et
    un tiers, c'est-à-dire quatre tiers, des pains de
    celui qui avait trois pains. Des pains de
    l'autre, il n'a pas consommé plus du tiers d'un
    seul pain. C'est pourquoi quatre pièces devraient
    revenir au premier des deux hommes et une seule
    au second.
  • Avec un peu d'attention et de réflexion, il était
    facile de parvenir à cette conclusion.

61
Des deux hommes ayant du pain
  • Chaque homme a pris 5/3 de pain.
  • A a donc mangé 1 2/3 de son pain et a donné au
    soldat 3 -5/3 4/3 de son pain.
  • B a mangé (12/3) de son pain et a laissé le
    tiers (1/3) au soldat.
  • A a donc donné 4 fois plus de pain au soldat
    que B.
  • A récupère donc 4 pièces et B nen prend quune
    pièce !

62
15 portions égales, 3 personnes5 pour chacun des
protagonistes !
1
1
3
1
1
3
1
3
3
2
3
2
2
2
2
63
Pièces de monnaie
  • Le problème concerne quatre hommes. Le premier,
    le second et le troisième, à eux trois, possèdent
    27 pièces. Dautre part le second, le troisième
    et le quatrième ont, eux tous, 31 pièces. Le
    troisième, le quatrième et le premier ont, quant
    à eux, 34 pièces. Enfin le quatrième, le premier
    et le second ont un total de 37 pièces. On
    demande combien de pièces possède chacun des
    hommes.

64
27
31
34
37
65
Solution de Fibonacci
  • Additionnons les quatre nombres donnés pour nen
    faire qu un seul. Nous obtenons 129, ce qui
    correspond au triple de la somme de toutes les
    pièces possédées par les quatre hommes, car le
    nombre des pièces possédées par chacun dentre
    eux est trois fois compris dans les composantes
    de cette somme. Donc si lon divise ce total par
    trois on obtient 43, ce qui est égal au nombre
    total de pièces que les quatre hommes ont en leur
    possession.
  • Si lon retire de ce nombre le total des pièces
    qui appartiennent au premier, au second et au
    troisième, cest-à-dire 27, il restera 16 pièces,
    propriété du quatrième homme.
  • Si lon retranche de ces 43 pièces 31 pièces,
    total des pièces possédées par le second, le
    troisième et le quatrième, il restera, pour le
    second, 9 pièces.
  • Etc.

66
Solution
  • ABC 27
  • BCD 31
  • ACD 34
  • ABD 37
  • _at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at__at_
  • 3(ABCD) 129 , ABCD43
  • D 43-27 16 car ABC27
  • A 43-31 12
  • B43-349
  • C 43-37 6

67
De la citerne pourvue en son fond de quatre bondes
  • Soit une citerne qui a quatre bondes. Par la
    première dentre elles, elle se vide en un jour
    par la seconde, en deux jours par la troisième
    en trois jours par la quatrième, en quatre
    jours. On cherche à savoir en combien dheures
    elle se videra, si les quatre bondes dont on a
    parlé sont simultanément ouverts.

68
De la citerne pourvue en son fond de quatre bondes
  • Bonde1 ouverte ----? 1 jour
  • Bonde 2ouverte ----? 2 jours
  • Bonde 3 ouverte ----? 3 jours
  • Bonde 4 ouverte ----? 4 jours
  • En 12 jours la citerne se vide
  • 12 fois par B1, 6 fois par B2, 4 fois par B3 et 3
    fois par B4
  • En 12 jours la citerne se vide donc 25 fois
  • .

69
De le proportionnalité ou de la règle en croix
  • En 12 jours la citerne se vide 25 fois
  • Or on veut savoir en combien de temps elle se
    vide 1 fois
  • Multiplions donc les extrêmes- cest-à-dire 12 et
    1- et divisons par le moyen, cela fera 12/25
    dun seul jour.

70
De la même citerne alimentée par quatre canaux
qui se déversent en elle
  • Par le premier, elle se remplit en 6 heures
  • par le second, en 9 heures
  • par le troisième, en 24 heures
  • par le quatrième en 27 heures.
  • On suppose que la citerne est vide, puis que
    leau afflue par les 4 canaux, alors que les
    bondes sont ouvertes.
  • On veut savoir en combien dheures se remplira la
    citerne.

71
Des pommes bien gardées
  • Un homme se rendit dans un verger qui a 7 portes
    et cueille un certain nombre de pommes. Quand il
    quitta le verger, il donna au gardien de la
    première porte la moitié des pommes quil avait
    et une pomme en plus. Au second gardien, il donna
    la moitié de ce qui lui restait et plus une. Il
    fit de même avec les autres gardiens et quitta
    le verger avec 1 pomme. Combien de pommes a-t-il
    cueilli ?

72
Des pommes bien gardées
73
Des pommes bien gardées
74
Des pommes bien gardées
75
Des pommes bien gardées
76
Des pommes bien gardées
77
Des  denarii 
78
Du lion, du léopard et de lours
  • Un lion parvenait à manger une brebis en 4
    heures, un léopard y arriverait en 5 heures et un
    ours en 6 heures. On voudrait savoir en combien
    de temps ces animaux dévoreraient une brebis, si
    elle était lâchée au milieu deux

79
Du lion, du léopard et de lours
6 heures
4 heures
5 heures
  • En 60 heures nos carnassiers mangeraient
    respectivement 15, 12 et 10 brebis, soit au total
    37
  • Puis règle de trois

80
Des deux fourmis dont lune imite lautre
  • Deux fourmis étaient éloignées lune de lautre,
    sur un terrain plat, de 100 pas, et elles se
    dirigeaient toutes les deux vers un seul et même
    lieu.
  • La première, chaque jour, avançait dun tiers de
    pas et revenant en arrière, elle reculait dun
    quart de pas. Lautre avançait dun cinquième de
    pas et reculait dun sixième de pas.
  • On demande au bout de combien de temps elles se
    rencontrent.

81
Solution de Fibonacci
  • 1. Réduction des fractions au même dénominateur
    (60 qui est le ppcm de 3,4, 5 et 6)
  • 2. Calcul de la progression réelle des fourmis en
    60 jours 3 pas
  • 3. Produit en croix

82
De la division de 11 en deux portions
  • Divisons 11 en deux portions, dont lune
    multipliée par 9 équivaut à lautre multiplié par
    10.
  • On cherche x et y tels que 11 xy et 9x10y
  • Solution (Fibonacci)
  • 9x 10y
  • donc x/y 10/9 ou encore 10/x 9/y
  • donc y 9x/10 et 9x/10x 11
  • x 110/19 et y 99/19

83
Du roi qui voulait planter des arbresou la règle
des 5
  • Un roi envoya 30 hommes dans son verger. Sils
    plantent 1000 arbres en 9 jours, dans combien de
    jours 36 hommes planteront 4400 arbres ?

84
Solution
  • Modélisation actuelle
  • Le nombre darbres (A) est proportionnel au
    nombre de jours (j) et au nombre dhommes (h)
  • A C x h x j
  • La première ligne du tableau permet de trouver
    C
  • La deuxième ligne permet de calculer j

85
La règle de 5
86
Triplets pythagoriciens
  • Ce sont des triplets qui correspondent à des
    côtés de triangles rectangles. Exemples
  • (3, 4, 5)
  • (5,12,13)
  • Problème déterminer tous les triplets
    pythagoriciens
  • Fibonacci trouve léquivalent de la formule
  • (a2_b2 )2 (2ab )2 (a2b2 )2
  • Il adopte aussi une méthode très ingénieuse

Tablette babylonienne entre -1900 et -1600
87
De la somme des nombres impairs au triplets
pythagoriciens
  • Constatation
  • 1 1
  • 13 4
  • 135 9
  • 1357 16, etc.
  • 1357 9 25, etc.
  • Théorème
  • La somme des n premiers nombres impairs est le
    carré de n

88
Triplets pythagoriciens
  • On part dun nombre carré (exemple 81)
  • Ce nombre est divisible par 3 (81 27 x 3)
  • On lécrit 81 25 27 29 (somme de trois
    nombres impairs)
  • On considère
  • A 1 3 5 29 et B 13 5 23
  • On a 81 A-B
  • Or A et B sont des carrés A 152 et B 122
  • Donc 152 92 122 et enfin le triplet (9,
    12, 15)

89
Un autre exemple de triplets pythagoriciens
  • On part dun nombre carré (exemple 144 122 )
  • Ce nombre sécrit 144 2. 72
  • On lécrit 144 71 73 (somme de deux nombres
    impairs)
  • On considère
  • A 1 3 5 73 et B 13 5 69
  • On a 144 A-B
  • Or A et B sont des carrés A 372 et B 352
  • Donc 372 352 122 et obtient enfin le
    triplet (12, 35, 37)

90
Ouvrages de Fibonacci
  • - Liber Abaci (publié en 1202, titre trompeur,
    signifiant Livre de labaque, alors que son
    contenu porte essentiellement sur des méthodes
    algébriques et des problèmes dans lesquels
    lusage des chiffres indo-arabes est fortement
    mis en relief)
  • - Practica geometrie (1220, Pratique de la
    géométrie)
  • - une lettre à Maître Théodore, le philosophe de
    lEmpereur Frédéric II (non datée).
  • - Liber quadratorum (1225, livre des carrés )
    dédié à Frédéric II, un livre darithmétique
    (nombres congrus, pythagoriciens, équations
    dophantiennes, etc).
  • - Flos (1225), un regroupement de solutions aux
    problèmes posés en présence de Frédéric II.

91
Mes références
  • 1 D. Aissani et D. Valerian, Mathématiques,
    commerce et société à Béjaïa (Bugia) au moment du
    séjour de Léonard Fibonacci (XIIe-XIIIe siècles),
    Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche-
    Vol. XXIII, fasc. 2, 2003
  • 2 J. Gies et F. Gies, Leonardo of Pisa and the
    new mathematics of the middle ages, Thomas Y.
    Crowell Company, New York, 1969
  • 3 J.P.-Levet, Léonard de Pise. Des chiffres
    Hindous aux Racines Cubiques, Cahiers dHistoire
    des Mathématiques et dEpistémologie, IREM de
    Poitiers, juin 1997
  • 4 J.P.-Levet, Léonard de Pise. Divisions et
    proportions, Perles et Animaux, Cahiers
    dHistoire des Mathématiques et dEpistémologie,
    IREM de Poitiers, décembre 1997
  • 5 E. Lucas Recherches sur plusieurs ouvrages
    de Léonard de Pise et sur diverses questions
    darithmétique supérieure, extrait du Bullettino
    di bibliografia di storia delle scienze
    matematiche e fisiche, Tomo X. Rome, Marzo,
    Aprile et Maggio1877
  • 6 R. Rashed, Fibonacci e la matematica araba,
    Estratto dal volume frederico II e le scienze,
    Sellrio editore Palermo
  • 7 R. Rashed, Fibonacci et le prolongement
    latin des mathématiques arabes, Bolletino di
    Storia delle Scienze Matematiche- Vol. XXIII,
    fasc. 2 (2003)

92
  • FIN

93
Problème doiseaux et de tours
94
FIN
95
Lenseignement qui prépare à luniversité
  • Les Arts du TRIVIUM  grammaire, dialectique et
    rhétorique
  • Les Arts du QUADRIVIUM  arithmétique, géométrie,
    musique et astronomie
  • Enseignement des mathématiques comput,
    possession de bases musicales, arpentage,
    construction de palais et églises
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