Le thorme de Gauss

1
Le théorème de Gauss

• En principe, on peut trouver le champ dune
  distribution de charges à partir de la loi de
  Coulomb il correspond en tout point à la somme
  vectorielle (ou à lintégral) des contributions
  de toutes les charges présentes.
• Toutefois, sauf dans quelques cas relativement
  simples, une telle somme savère très complexe à
  effectuer.
• Dans certains cas, le champ électrique dû à une
  répartition de charges se calcule plus facilement
  et dune façon plus adéquate à laide du théorème
  de Gauss.
• Limportance de ce théorème tient surtout au fait
  quil permet de mieux comprendre la nature des
  champs électrostatiques et quil établit un
  rapport plus général que la loi de Coulomb entre
  la charge et le champ.

2
Flux électrique

• Flux électrique
• FE E A? E A E A cos ?
• Le nombre de lignes de champ
• N ? E A? FE
• Le flux à travers une surface élémentaire ?Aj
  est
• ?FEj Ej ?Aj Ej ?Aj cos ?j
• Le flux électrique total à travers la surface
  entière A est la somme de
• toutes ces contributions
• FE S ?FEj S Ej ? ?Aj
• FE E dA E? dA

A
A?
Un champ uniforme E traverse une surface daire
A, représentée par le vecteur A dont la direction
est perpendiculaire à cette surface.
3
Théorème de Gauss

• Sur une surface fermée
• FE E dA
• dA orientée vers lextérieur de la surface
• E dA Q/e Théorème de Gauss
• Q charge nette à lintérieur de la surface
• Théorème de Gauss ? Loi de Coulomb
• Démonstration avec une sphère
• E dA EdA E (4pR2) Q/e
• E Q /(4pe R2)
• Le théorème de Gauss est valable aussi
• pour des charges en mouvement.
• Fait partie des équations de Maxwell.

FE gt 0 sort
FE lt 0 entre
4
Exemple FE Sq/e
Le flux total du champ électrique à travers une
surface fermée quelconque est FE Sq/e Sq
somme des charges internes à la surface FE flux
du champ total produit par toutes les charges
intérieures ou exterieures à la surface

• Représentation schématique du champ E dune
  distribution de charge.
• En supposant quil y a 8 lignes de champ pour
  chaque charge q, on peut entourer nimporte
  quelle région par une surface fermée.
• À très grande distance le champ E est équivalent
  au champ dun charge 3q.

5
Applications du théorème de Gauss

• Choisir une surface fermée avec faces parallèles
  à E ? E? 0
• et
  faces perpendiculaires à E ? E? E
• Exemple 17.9 Déterminer le champ E, à une
  distance normale R, produit par un long fil
  métallique rectiligne, de longueur L gtgt R ,dans
  lair, qui porte une charge positive et
  uniformément repartie Q (densité de charge ?
  Q/L)

• E? dA E?1 A1 E?2 A2 E?3 A3 E?2 A2
  E (2p R) l ? l /e
• E ? /(2p R e ) E ne dépends pas de l
• Plus on séloigne plus on voit de charge E ?
  1/R

Gauss
0
0
6
Feuille mince et plane avec charge surfacique s
Q/A

• E? dA E?1 A1 E?2 A2 E?3 A3
• 2 E A s A /e
• E s /2e à lextérieur de la surface dun
  conducteur chargé
• E 0 à lintérieur dun conducteur, autrement
  les charges libres se déplaceraient
  (électrostatique)
• Un conducteur ne peut présenter de charge que en
  surface E dA Q/e

0
Gauss




0 donc
0



surface de Gauss E 0







7
Champ E (résumé à retenir!)

• Charge ponctuelle E k Q/r2 r (r vecteur
  unitaire) k 1/4pe
• Ligne (y) de charge uniforme ? dq/dy C/m
  densité de charge linéique
• E 2 k ? /r r ?/(2pe r) r
  (e permittivité)
• Plan de charge uniforme s dq/dxdy C/m2
  densité de charge surfacique
• E s /(2e) n E est perpendiculaire au
  plan, (n vecteur unitaire)
• E ne dépend pas
  de la distance au plan!
• Deux plaques parallèles chargées
• E s /e n à lintérieur
• E 0 à lextérieur

8
Exemples de E
Un conducteur neutre placé dans E.

• Une sphère dans un champ E uniforme
• dun condensateur plan parallèle.
• Une personne dans le champs électrique de la
  Terre.
• Le champ externe polarise le conducteur

Fig 17.34 pg 668
9
164) Charge électrique déposée sur un corps creux

• Une cage conductrice C peut être portée à un
  potentiel V?0 (la cage est alors chargée)
• Les boules A et B sont conductrices et suspendues
  à des fils isolants.
• V 0 (QC 0) A et B en contact avec la cage
  (QA QB 0)
• V?0 (QC?0 ) ? QA?0 mais QB 0
• A est
  repoussé par la cage, B ne bouge pas
• Conclusion la charge QC est répartie sur la
  surface extérieure de C

10
Générateur électrostatique, Van de Graaf
(1902-1967)

• Les deux poulies sont recouvertes
• de deux matériaux différents de sorte que,
  lorsquelles sont en contact avec la courroie
  entraînée par un moteur, la courroie acquiert une
  charge négative par la poulie inférieure et une
  charge positive par la poulie supérieure.
• Grande sphère conductrice et creuse .
• Si on charge directement la sphère par
  frottement, on ne peut plus ajouter des charges,
  à cause de la force répulsive ? potentiel maximum
• Ici le potentiel est seulement limité par lair
  qui lentoure. Lair se ionise et devient
  conducteur pour E 3 106 V/m
• ? claquage diélectrique

11
Force conservative

• On a vu que, en tant que quantité conservée,
  lénergie joue un rôle très important
• en mécanique.
• Ceci est vrai aussi pour lélectricité où, dans
  bien des cas, on peut résoudre des
• problèmes en connaissant lénergie potentielle
  électrique, sans passer par les forces et
• les champs électriques.

Pour déplacer une charge dans un champ
électrique qui soppose à ce mouvement on doit
faire un travail. Ici, une charge positive est
poussée vers une sphère chargée
positivement contre le champ E de la sphère . La
force F qE dépend seulement de la distance r
F k q Q/r2. ?La force est conservative le
travail ne dépends pas de la trajectoire, mais
seulement du point de départ et darrivé
12
Potentiel électrique
a
b

• La force de Coulomb est une force conservative
• le travail effectué par le champ E pour déplacer
  une charge positive q
• du point a au point b est WE F dl
  EPa - EPb - ?EP
• V EP /q potentiel électrique unité SI
  J/C ? V Volt
• Tension Vba Vb Va ?V - WE /q
  ? EP q Vba
• ?V - E dl - E dl cos ? - E??dl

13
Différence de potentiel

• Le potentiel V, comme lénergie potentielle, est
  une quantité rélative
• Seules les différences de potentiel ont un sens.
• Un travail effectué par une force extérieure,
  contre le champ électrique, accroit lénergie
  potentielle tandisque un travail fait par le
  champ la diminue ? ?V Vba Vb Va lt 0 dans
  la figure de pg 12

Dans un champ E uniforme Le travail accompli
par le champ E pour déplacer la particule
élecrisée q de a à b est WEab F d q E d
? Vba Vb Va - WEab/q - E d E - Vba
/d V/ m unité de champ, comme
N/C Demonstration de lequivalence 1 N/C 1
(N m)/ (C m) 1 J / (C m) 1 V/m

- - - -
Va élevé
Vb faible
d
14
Potentiel électrique définition de
lélectron-volt (eV)
Un proton qui se déplece entre 2 points
sous une différence de potentiel de 1 V

• Va gt Vb une charge positive tend à se déplacer
  dune position à potentiel élevé vers une autre à
  faible potentiel.
• Une charge négative agit à linverse.
• E Ec EP const
• état initial
• Ec 0 EP q Vba 1,6 ? 10-19 C ? 1V
  1,6 ? 10-19 J
• état final
• Ec 1,6 ?10-19 J EP 0
• 1,6 ? 10-19 J 1eV unité dénergie

Va
Vb
Ec EP
15
Exemple 18.3 Tube cathodique

• Les électrons sont émis par une cathode chauffée
• et émergent à travers un micro-trou, attirés par
• une première anode, portée à un potentiel positif
• relativement faible au dessus de celui de la
  cathode.
• Une seconde anode, à 8000 V-20000V selon les
  tubes,
• accélère le faisceau jusquà la vitesse requise.
• Déterminer la variation dénergie potentielle si
• la différence de potentiel entre la seconde anode
  et
• la cathode est de 20 kV.
• Trouver la vitesse finale de lélectron.
• ( me 9,1? 10-31 kg)

?V 20 kV
16
Potentiel dune charge ponctuelle

• Potentiel dû à une charge ponctuelle q
• Er kq/r2 E parallèle à r
• VB VA - E dl - Er dr -k dr/r2
• 
  
• On choisit VA 0 pour rA ?
• V kq /r scalaire
• Cest le travail quun agent extérieur doit
• effectuer contre le champ dune charge q
• pour amener une charge dessai positive,
• égale à lunité, de linfini à une distance r de
• la charge q.
• V peut être gt0 ou lt0 selon le signe de q

?V VB - VA
17
Énergie potentielle

• Énergie potentielle dune paire de charges en
  interaction
• une charge positive Q est située à lorigine
  et une autre charge q à une distance r.
• Des charges de même signe se repoussent et leur
  énergie potentielle électrique
• est positive
• Des charges de signe différents sattirent et
  leur énergie potentielle électrique
• est négative
• Dans tous les cas, la force dinteraction est
  lopposée de la pente de la courbe
• lénergie potentielle. ? dEP - F ? dr
  -Fr dr

EP qV
EP k ?qQ ? /r
FE - d EP/dr gt 0
O
r
EP - k ?qQ ? /r
FE - d EP/dr lt 0
Exemple énergie de linteraction e-p dans
latome dH
18
E à partir de V

• dV - E dl - E dl
• E - dV / dl gradient de V
• E est un vecteur, V un scalaire
• En coordonnées cartesiennes E ? (Ex, Ey, Ez)
• il faut connaître V en fonction de x, y et z V
  V(x, y, z)
• Ex - ? V /?x Ey - ? V /?y Ez - ? V
  /?z
• E - ? V /?x i ? V /?y j ? V /?z
  k - grad V
• grad (? /?x , ? /?y , ? /?z )
• On peut avoir E ? 0 et V 0 aussi bien que E
  0 et V ? 0

19
Équipotentielles

• Surface équipotentielle ? dV 0
• perpendiculaire à E
• dV - E dl
• ou bien E 0
• ou dl 0
• ou cos ? 0 ? E ?dl pour un déplacement dl
  le long de la surface équipotentielle
• La surface dun conducteur en equilibre
  élécrostatique doit être au même potentiel,
  autrement les charges bougent.
• Rappel E est perpendiculaire à la
  surface dun conducteur.

Lignes de champ et surfaces équipotentielles
pour un charge positive q0 . Les surfaces
équipotentielles sont des sphères centrées en q0
20
Équipotentielles exemples
Lignes de champ et surfaces équipotentielles La
Terre est un conducteur et sa surface est
équipotentielle, on prend ce potentiel comme
zero. La personne en b) est mise à terre
électriquement
En subissant une chute de potentiel de 25 V, la
charge perd une EP 25q égale à lénergie
cinétique quelle gagne
21
Superposition de V dipôle électrique

• Le potentiel produit par plusieures charges est
  la somme algebrique
• des potentiels individuels.
• Dans le cas du dipôle le potentiel dans le plan
  central de deux charge est V 0
• Pour ammener une charge de linfini à un point
  du plan central, le travail est nul.

• Exemple du 11 jan (pg 29)
• VA VA1 VA2
• (9?109 N m2/C2)(-50 ? 10-6 C) / (0,60 m)
• (9 ?109 N m2/C2)(50 ? 10-6 C) / (0,30 m)
• 150? 104 V 75?104 V 75? 104 V
• VB VB1 VB2 0
• puisque VB1 - VB2

22
Exemple 18.6 Déterminer le potentiel au points
A produit par deux charges ponctuelles chacune de
10nC , distantes de 8,0 m dans lair.
23
Exemples de surfaces équipotentielles
Activité du cur
dipôle q et q Au centre E ? 0 et V 0
Deux charges égales Au centre E 0 et V ? 0
24
Sphère conductrice de rayon R

• La charge Q se répartit à la surface
• s Q/4pR2 densité surfacique
• Er k Q /r2 pour r ? R
• Er 0 pour r lt R
• V k Q / r pour r gt R
• Pour r R (potentiel à la surface)
• V k Q / R
• Pour r ltR E 0 ? ?V 0
• V k Q / R constant
• À la surface V R E
• Puisque E s /e ? V R s /e 4pkR s

25
168) Lélectromètre

• AB conducteur fixe
• CD conducteur mobile, connecté au conducteur
  fixe AB
• E cage conductrice connectée à la terre (VE
  0)
• Si on dépose une charge sur A (avec un bâton de
  resine frotté avec une peau de chat) le
  conducteur CD séloigne de la verticale. Le
  déplacement de CD sur léchelle graduée
  correspond au potentiel de A VA VA - VE

26
170) Le condensateur à air

• Un condensateur à air est relié à un électromètre
  qui mesure
• ?V VA VE VA VK
• On charge le condensateur en déposant une charge
  Q en A (bâton de résine frotté avec
• une peau de chat)
• La distance d entre les deux plaques du
  condensateur est réglable.
• On trouve d 1 mm ?V 1 divisions
• d 2 mm ?V 2 divisions
• etc.
• En effet Q const, QCV et C e0 A /d
• (e0 A /d) V const ? V/d const

K
d
?V -Ed E s /e const ?V proportionnel à d
27
169) Lélectricité à la cuillère

• Un générateur fournit une différence de potentiel
  VB- VA 300 V
• En connectant B à C, on met la boite au potentiel
  de 300 V, comme lindique le voltmètre QC gt 0.
• On déconnecte C de B. VC 300V,
• QC na pas varié, ni VC .

D

• On prend une boule conductrice, portée par un
  manche isolé.
• En touchant B avec D, D se charge (QD gt 0)
  
• On plonge D dans la boite C. La charge QD se
  repartit sur la surface extérieure
• de C QC ? QC QD QD ? 0
• En recommençant les opérations ?et? plusieurs
  fois, on voit que VC continue à augmenter.
• Le même principe, mais mécanisé, permet de
  construire des machines ou générateurs
  électrostatiques

28
Capacité

• À un potentiel donné, V, la quantité de charge,
  Q, qui peut être emmagasinée
• par un corps dépend de ses caractéristiques
  physiques, que nous englobons
• toutes sous le nom de capacité, C Q / V .
• Unité coulomb par volt C/V F farad
• Capacités normales µF (10-6 F), nF (10-9
  F), pF (10-12 F).
• La capacité est toujours une quantité positive

• Capacité dune sphère métallique
• de rayon R et charge Q
• V kQ / R
• C R /k 4 p e0 R dans lair
• 4 p e0 ? 10-10 donc même une très grande
  sphère a une capacité très modeste.
• La capacité dun humain, debout sur un plateau
  isolant, est 100 pF,
• dune vache 200 pF.

29
Exemples

• Exemples 18.9 pg 702
• Déterminer la capacité dune sphère
  métallique isolée de diamètre 50 cm placée dans
  le vide. (k 9,0? 109 N m2/C2)( e 8,85 ? 10-12
  C2 /N m2)
• Exemples 18.10 pg 704
• Déterminer la taille d un condensateur
  plan de 1,00 F si les armatures sont carrées et
  séparées par 1,00 mm dair.
• Que deviendrait cette taille si les
  armatures étaint séparées par une lame de verre
  de constante diélectrique 10?

30
Condensateur plan

• Les charges portées par une plaque unique
  subissent une force de répulsion mutuelle. Un
  conducteur isolé atteint rapidement le potentiel
  du générateur et repousse par la suite toute
  charge supplémentaire.
• Si on emmène une plaque neutre mise à terre près
  de la première plaque positive, des charges
  négatives sont attirées vers cette deuxième
  plaque et le potentiel est reduit. Condensateur à
  armatures parallèles
• E s / e0 Q / (e0 A)
• Vba Ed

• Plus A est grand plus on peut avoir
• des charges
• Plus d est grand moins il y a
• dattraction entre les 2 plaques.

C Q/V e0 A /d
31
Les diélectriques
vide
Avec un diélectrique

• Dans le vide on peut emmagasiner
• une charge Q0 C0 V0 et E0 V0 /d
• Lorsque on introduit un diélectrique, le champ E0
  induit de moments dipolaires et le champ est
  réduit
• E E0 - Einduit
• Une charge plus grande peut être emmagasinée
  sous une différence de potentiel donnée ? la
  capacité augmente
• C ? C0 e A / d e ? e0 permittivité
• ? constante diélectrique gt 1
• Q ? Q0 V constant
• V V0 / ? Q constant

E0
E0
E
Eind
moment dipolaire induit
32
Les diélectriques
Lorsque on débranche la source dalimentation du
condensateur, qui a rejoint des valeurs Q0, V0,
E0 , et on introduit un diélectrique qui occupe
la totalité de lespace entre les armature, la
charge Q0 ne varie pas, mais V0 et E0 diminuent
dun facteur ?.

• Constantes diélectriques (à 20o)
• Matériau ?
• Vide 1.0000
• Air (1 atm) 1.0006
• Paraffine 2.2
• Plastique 2.8 - 4.5
• Papier 3. 7.
• Quartz 4.3
• Verre 4. 7.
• Alcool éthylique 24.
• Eau 80.

• E E0 Einduit E0 V0 /d
• E V /d V0 /(? d) E0 /?
• Einduit E0 1 1/ ? V0 1 1/ ? / d
• A linterieur dun diélectrique le champs nest
  pas nul, comme à lintérieur dun conducteur !
• On définit Einduit ?induit / e0 Qinduit /A
  e0 Qinduit ? charge liée dans le diélectrique
• Q ? charge libre dans le conducteur
• Qinduit Q (1 1/ ?) lt Q
• Théorème de Gauss
• ?E dA ( Q - Qinduit)/e0 Q/( ? e0)
• Q / e

33
173) Condensateur avec diélectrique

• On utilise le même montage que 170.
• On règle la distance, d 1cm , fixe
• On charge le condensateur V 4 divisions
• On introduit entre les deux plaques une
• plaque de plexiglas ? V ? 1.3 divisions
• En effet Q const ? CV const
• C passe de C e0 A /d à C e0? A /d comme
  C augmente dun facteur ?,
• V doit diminuer dun facteur ?.
• On en déduit ? (plexi) ? 3
• La même expérience avec une plaque
• de verre donne ? (verre)? 6

K
d
34
Les condensateurs

• Un condensateur est un appareil servant à
  emmagasiner les charges électriques, constitué de
  2 corps conducteurs placé à proximité lun de
  lautre
• Ces deux plaques peuvent être séparées par du
  papier ou un autre isolant.
• C ? A/d même si les armatures parallèles sont
  roulées en cylindre.
• Lorsquon applique une tension à un condensateur,
  en le reliant par exemple à une pile, il
  sélectrise rapidement.

35
Condensateurs en parallèle et en serie

• En parallèle un même point A est relié à
  plusieurs bornes des éléments
• En parallèle C C1 C2 C3
• V V1 V2 V3
• Q Q1 Q2 Q3
• CV C1 V1 C2 V2 C3 V3
• (C1 C2 C3) V
• En serie une et une seule borne dun
• élément est reliée à une et une seule borne
• de lélément adjacent.
• En serie 1/C 1/C1 1/C2 1/C3
• V1 VBA ? V2 VCB
• Q Q1 Q2 Q3
• V V1 V2 V3
• Q/C Q1 /C1 Q2 /C2 Q3 /C3
• (1 /C1 1/C2 1 /C3) Q

36
Energie électrique EPE

• Pour charger un condensateur, on doit effectuer
  un travail sur les charges
• pour les amener sur les armatures. Le
  condensateur emmagasine
• une quantité dénergie électrique égale au
  travail accompli pour le charger.
• Lorsqu il y a une différence de potentiel V
  entre les armatures, le travail requis
• pour déplacer un faible supplément de
  charge dq est dW V dq
• W V dq (1/C) q dq ½ (Q2/C)
• Lénergie emmagasinée dans un condensateur est
  donc
• EPE ½ (Q2/C) ½ C V2 ½ QV
• ½ C V2 ½ e0 A /d (E d)2 ½ e0 E2 Ad ?
  lénergie emmagasinée par le champ électrique
  est proportionnelle à E2.
• Densité dénergie EPE / volume ½ e0 E2 ?
  Cette équation sapplique à toute zone de
  léspace contenant un champ électrique.

37
172) Énergie dun condensateur

• On relie entre elles les bornes A et C.
  Lamplificateur est alimenté par la source de
  courant ? fonctionnement normal
• On relie A et B, la capacité se charge.
• En reliant les bornes B et C entre elles,
  lénergie stockée dans la capacité est utilisée
  pour alimenter lamplificateur. On entend la
  musique jusquà ce que la capacité soit
  déchargée.

C
A
B
ampli
alim
38
171) Énergie dun condensateur

• On charge un condensateur (?V 500 V)
• On débranche le générateur, le condensateur reste
  chargé
• On branche deux lampes électriques sur le
  condensateur. La charge Q dune armature se
  déplace à travers les lampes jusquà lautre
  armature, ce qui décharge le condensateur.
  Lénergie dégagée est mise en évidence par le
  fait que les lampes sallument pendant tout le
  temps de la décharge. Lintensité lumineuse
  diminuant au cours du temps, signifie que la
  tension ?V, au bornes du condensateur, diminue
  aussi avec le temps.
• On recharge le condensateur ?et ?
• On court-circuite les deux armatures du
  condensateur. Lénergie se dissipe dun seul
  coup, sous forme de chaleur dans les conducteurs.
  Une détonation sèche accompagne le phénomène.

générateur
39
Exemples 18.11 , 18.12 et 18.13 pg 709
Deux condensateurs sont reliés à une pile de 12
V. Déterminer la capacité équivalente et la
charge de chaque condensateur.
Trois condensateurs sont reliés à une pile de 12
V. Déterminer la tension et la charge sur chacun
deux après quon ait fermé linterrupteur S et
que léquilibre électrostatique soit
atteint. Trover la capacité équivalente du
circuit et lénergie emmagasiné dans chacun des
condensateur.

40
Ne pas oublier

• Le théorème de Gauss, E dA Q/e, est
  équivalent à la loi de Coulomb, mais son
  application est plus générale. Cest lune de 4
  équations de Maxwell qui résument toutes les lois
  de lélectromagnétisme.
• La force électrique est une force conservative
  le travail dans un champ électrique depends
  seulement du point initial et final et non pas de
  la trajectoire. En consequence daprès la force
  on peut définir une énergie potentielle EPE et un
  potentiel V daprès le champ E.
• On définit la capacité comme C Q/V , elle
  dépend seulement des caractéristiques physique du
  corps chargé. Pour un condensateur à armatures
  parallèles C e A/d .
• Lénergie emmagasiné dans un condensateur est EPE
  ½ (Q2/C) ½ C V2 ½ QV
• Densité dénergie EPE / volume ½ e0 E2
• Unités de charge Coulomb C
• de tension Volt V J/C
• de champ E N/C V/m
• dénergie 1eV 1,6 ?10-19 J
• de capacité farad F C/V