Signaux et Systmes

1
Signaux et Systèmes

• Intervenants
• Hugues BENOIT-CATTIN
• Chantal MULLER

Département Télécommunications, Services et
Usages Année 2002-2003
2
Plan du cours

• I. Signaux et Systèmes
• II. Systèmes Linéaires Temporellement Invariants
  SLTI
• III. Séries de Fourier
• IV. Transformée de Fourier en Temps Continu
• V. Transformée de Fourier en Temps Discret
• VI. Caractérisation en Temps et Fréquence des
  signaux et des systèmes
• VII. Transformée de Laplace
• VIII. Transformée en Z
• IX . Echantillonnage

3
I. Signaux et Systèmes

• 1 - Signaux Temps Continu et Temps Discret
• 2 - Transformation de la variable indépendante
• 3 - Signaux exponentiel et sinusoïdaux
• 4 - Impulsion unité et fonction échelon unité
• 5 - Systèmes Temps Continu et Temps Discret
• 6 - Propriétés de bases des systèmes

4
I.1. Signaux Temps Continu et Temps Discret
A) Exemples de signaux et représentation
mathématique
signal toute entité qui véhicule une information
Exemples
onde acoustique
Musique, parole, ...
courant électrique délivré par un microphone
source lumineuse (étoile, gaz, ) ...
onde lumineuse
courant électrique délivré par un spectromètre
Mesures physiques
suite de nombres
...
Photographie
5
Représentation mathématique
Signal fonction d une ou plusieurs variables
indépendantes ex (Voix) Pression Acoustique
f(temps) (Image) Luminosité f(x,yvariables
spatiales) ? par la suite 1 seule variable
indépendante temps
Signaux Temps Continu
La variable indépendante est continue ? t ex la
voix en fonction du temps, la pression
atmosphérique en fonction de l altitude
Signaux Temps Discret
Définis seulement pour des temps discrets La
variable indépendante est un ensemble discret de
valeurs ? n ex indice Dow-Jones du marché
boursier études démographiques ...
6
Exemples a) d un signal continu x(t) b)
d un signal discret xn
Remarques
xn n est défini que pour des valeurs entières
de n. xn signal Temps Discret ou séquence
Temps Discret. 2 types de signaux discrets a)
Signaux représentant un phénomène dont la
variable indépendante est discrète b) Signaux
provenant d une opération d échantillonnage x
n représente les échantillons successifs d un
phénomène pour lequel la variable indépendante
est continue (niveau quantifié ou non...)
7
B) Energie et puissance d un signal
Définition par analogie avec les signaux
électriques
3 Classes de signaux
- Signaux à Energie finie - Signaux à Puissance
moyenne finie - Signaux à Energie et Puissance
moyenne infinies
8
- Signaux à Energie finie
- Signaux à Energie et Puissance Moyenne infinies
9
I.2. Transformation de la variable indépendante
A) Exemples de transformations
Décalage temporel
t 0 lt 0 AVANCE
n 0 gt 0 RETARD
10
Inversion temporelle
Changement d échelle
11
B) Signaux périodiques
Remarques
T0 période fondamentale plus petite valeur
possible de T
12
C) Signaux Pairs et Impairs
Pairs
Impairs
Propriété
Tout signal se décompose en la somme- d un
signal pair xpair(t) et - d un signal impair
ximpair(t)
13
I.3. Signaux exponentiels et sinusoïdaux
A) En Temps Continu
Signaux à exponentielle réelle
? phénomènes physiques
Signaux à exponentielle complexe périodiques et
signaux sinusoïdaux
14
Remarques - Signaux à exponentielle complexe
périodiques appelés aussi signaux harmoniques -
Ensemble d exponentielles harmoniquement reliées
Ensemble d exponentielles périodiques ayant
en commun la période T0
Signaux à exponentielle réelle et complexe
15
B) En Temps Discret
Signaux à exponentielle réelle
16
Signaux à exponentielle complexe et sinusoïdaux
Propriétés liées au Temps Discret
1)
? même signal pour des pulsations
différentes!...
? 0 lt ?0 lt 2? 0 lt f0 lt 1
Le taux d oscillations de
n augmente pas en fonction de ?0 !
Basses fréquences
Hautes fréquences
17
Sinusoïdes Temps Discret à différentes fréquences
18
2)
Périodicité Pas toujours!...
Signal périodique si ?0 / 2? est un entier ou une
fraction rationnelle
Alors
Fréquence fondamentale
Non périodique!
périodique
périodique
non périodique
19
3) Exponentielles reliées harmoniquement
seulement N exponentielles distinctes...
Signaux à exponentielle réelle et complexe
20
I.4. Impulsion unité et fonction échelon unité
A) En Temps Discret
Impulsion Unité
Echelon Unité
1
Relations
21
B) En Temps Continu
u(t)
Echelon Unité
t
Impulsion Unité ou Dirac
Problème!...
On veut
Signal Pulse
Impulsion de Dirac
22
Propriétés du Dirac
Modélisation mathématique issue de la théorie des
Distributions (Laurent Schwarzt)...
- ?(t) n a pas de durée, sa hauteur est infinie
et son aire est égale à l unité
- représentation de ?(t)
?(t)
fonction singulière
1
t
Besoin des physiciens d(t) modélise par exemple
le courant i(t) d un filtre RC lors de la
charge d un condensateur...
- ?(t) peut être pondéré par un scalaire
? k.?(t) a une aire de k
23
(No Transcript)
24
I.5. Systèmes Temps Continu et Temps Discret
xn ? yn
x(t) ? y(t)
SystèmeTemps Continu
SystèmeTemps Discret
y(t)
yn
x(t)
xn
Exemples
- Relation entre la tension aux bornes d un
condensateur et la tension d entrée
- Relation entre la vitesse d un véhicule et la
force appliquée
? équations différentielles linéaires du 1er
ordre
- Evolution d un compte bancaire
25
Interconnexions de systèmes
Idée des systèmes complexes peuvent être
construits en interconnectant des sous
ensembles plus simples...
Interconnexion Parallèle
Interconnexion Série
Interconnexion Rétro-actionnée
26
I.6. Propriétés de base des systèmes
Système sans mémoire
La sortie y à l instant t ou n ne dépend que de
l entrée x à ce même instant
Système inversible
Des entrées distinctes conduisent à des sorties
distinctes
Système causal
La sortie à n importe quel instant ne dépend que
des valeurs de l entrée aux instants présent et
passés
27
Système stable
A une entrée bornée x(t) ? M ?t correspond
une sortie bornée y(t) ? N ?t
Système temporellement invariant
Un décalage temporel sur le signal d entrée
entraîne le même décalage temporel sur le signal
de sortie
yn-n0
y(t-t0)
xn-n0
Système
Système
x(t-t0)
Système linéaire ? Propriété de superposition
Soit
Alors
28
II. Systèmes Linéaires Temporellement Invariants
SLTI

• 1 - SLTI Temps Discret Somme de Convolution
• 2 - SLTI Temps Continu Intégrale de Convolution
• 3 - Propriétés des SLTI
• 4 - SLTI causaux décrits par des équations
  différentielles et par des équations aux
  différences

29
II.1 SLTI Temps Discret Somme de Convolution
Etude d un sous-ensemble de systèmes
Nb Propriétés
Systèmes Linéaires Temporellement Invariants
Outils puissants
A) Représentation d un signal Temps Discret à
l aide des signaux impulsions
Somme pondérée d impulsions décalées
temporellement
30
B) Réponse d un  SLTI Temps Discret
a) Réponse d un système linéaire (pas forcément
T.I.)
Signal d entrée
Si
Alors
Principe de superposition
31
Interprétation graphique de la réponse d un
système linéaire Temps Discret
32
b) Réponse d un SLTI
Il suffit de connaître la réponse h0n à ?n
...
Invariance Temporelle ?
Définition
Réponse impulsionnelle Réponse d un SLTI à
l impulsion unité
SLTI
?n
hn
On obtient
Somme de convolution
SLTI entièrement caractérisé par sa réponse
impulsionnelle
33
C) Exemple de calcul de l opération de
convolution
Inversion de hk en h-k
Décalage temporel hn-k
Résultat de la convolution yn
34
II.2 SLTI Temps Continu Intégrale de Convolution
A) Représentation d un signal Temps Continu à
l aide des impulsions de Dirac
35
 Somme   pondérée d impulsions de
Dirac décalées temporellement
B) Réponse d un  SLTI Temps Continu
a) Réponse d un système linéaire (pas forcément
T.I.)
Signal d entrée
Si
Principe de superposition
Alors
36
Interprétation graphique de la réponse d un
système linéaire Temps Continu
avec
réponse à
37
b) Réponse d un SLTI
Signal d entrée
Signal de sortie
Invariance Temporelle ?
Définition
Réponse impulsionnelle Réponse d un SLTI à
l impulsion de Dirac
SLTI
?(t)
h(t)
On obtient
Intégrale de convolution
SLTI entièrement caractérisé par sa réponse
impulsionnelle
38
C) Exemple de calcul de l intégrale de
convolution
Exemples
John Hopkins University  Joy of convolution 
http//www.jhu.edu/signals
Simon Fraser University (Vancouver)
http//www.sfu.ca/index2.htm
39
(No Transcript)
40
II.3 Propriétés des SLTI
Systèmes entièrement caractériséspar leur
réponse impulsionnelle

• Commutativité

xn
yn
hn
yn
hn
xn
41

• Distributivité

(IDEM T.C.)
Une combinaison parallèle de plusieurs SLTI peut
remplacer un seul SLTI dont la réponse
impulsionnelle est la somme des réponses
impulsionnelles des SLTI interconnectés
42

• Associativité

(IDEM T.C.)
Une combinaison série de plusieurs SLTI peut
remplacer un seul SLTI dont la réponse
impulsionnelle est la convolution des réponses
impulsionnelles des SLTI interconnectés
La réponse impulsionnelle d un SLTI résultant de
l interconnexion série de plusieurs SLTI ne
dépend pas de l ordre dans lequel ils ont été
cascadés
43

• Multiplication par un scalaire

(IDEM T.C.)

• Elément neutre

• Décalage temporel

(IDEM T.C.)
Très important

• Dérivation

44

• SLTI sans mémoire

(IDEM T.C.)

• SLTI inversible

• SLTI causal

• SLTI stable

Sa réponse impulsionnelle est absolument sommable
Sa réponse impulsionnelle est absolument
intégrable
45

• Réponse d un SLTI à l échelon unité

Réponse indicielle
? Réponse indicielle utilisée aussi pour
caractériser un SLTI
46
II.4 SLTI causaux décrits par des équations
différentielles et des équations aux différences
A) Equations différentielles linéaires à
coefficients constants
? Description de phénomènes physiques TC
Réponse d un circuit RC, vitesse d un véhicule
soumis à une accélération et des forces de
frottement ...
Exemple
Spécification implicite du système ? relation ou
contrainte entre l entrée et la sortie
a) Pour avoir une expression explicite ? résoudre
l équation, trouver y(t) génerale
b) Pour trouver une solution unique ?
Informations complémentaires, appliquer les
conditions initiales
Rappels Résolution d une équation
différentielle à coefficients constants
solution particulière vérifiant (1) de même
forme que l entrée
solution de l équation homogène
47
D où
? infinité de solutions
Application des Conditions Initiales
Cas particulier
SLTI CAUSAL
CI de SIAR Système Initialement Au Repos
Définition
Un système causal est initialement au repos, si
sa sortie est nulle tant que son entrée est nulle
D où
48
Propriété 1
Propriété 2
Propriété 3
Dans le cas général, la solution y (t) dun
système régi par une équation différentielle à
coefficients constants et non initialement au
repos, peut se décomposer en la somme de yIAR (t)
solution du système initialement au repos et de
yZI(t) solution du système avec une entrée nulle
et les conditions initiales réelles
49
B) Equations aux différences linéaires à
coefficients constants
Même méthode de résolution que pour les équations
différentielles à coefficients constants
Mêmes propriétés 1, 2 et 3 ...
Cas particulier SLTI CAUSAL , Système
Initialement au Repos
Éq. récursive
Éq. non récursive
Si N0
SLTI
Système FIR
Équation récursive ? Réponse impulsionnelle du
SLTI initialement au repos, de durée infini
Si N? 1
Système IIR
50
III. Séries de Fourier

• 1 - Réponse d un SLTI à des exponentielles
  complexes
• 2 - Représentation en Série de Fourier des
  Signaux périodiques en Temps Continu
• 3 - Représentation en Série de Fourier des
  Signaux périodiques en Temps Discret
• 4 - Séries de Fourier et SLTI
• 5 - Filtrage

51
III. Séries de Fourier
Avant propos
Merci M. Fourier!...
Jean-Baptiste Joseph Fourier
21/03/1768 (Auxerre) - 16/05/1830
52
III.1 Réponse d un SLTI aux exponentielles
complexes
Idées
1- Rechercher des signaux de base pouvant
construire une grande classe de signaux par
simple combinaison linéaire
2- Réponses du SLTI à ces signaux suffisamment
simples pour pouvoir déduire la réponse à
n importe quel signal d entrée construit à
partir de ces signaux de base

• Analyse de Fourier montre que les exponentielles
  complexes en TC et TD vérifient ces propriétés

En temps continu
En temps discret
Propriété 1 un peu plus tard
53
Propriété 2
La réponse d un SLTI à une exponentielle
complexe n est autre quela même exponentielle
complexe multipliée par une amplitude complexe
valeur propre
En temps continu
vecteurs propres
En temps discret
valeur propre
On démontre que
En temps continu
H(s) et H(z) fonctions de transfert du système
En temps discret
Exercices
54
Quelques exemples de signaux périodiques
Sinusoïde
Rectangle périodique
Triangle périodique
Dent de scie
55
III.2 Représentation des signaux périodiques T.C.
en série de Fourier
Tout signal périodique de puissance finie peut se
représenter sous la forme d une combinaison
linéaire d exponentielles complexes reliées
harmoniquement
Synthèse
Analyse
coefficient de Fourier ou coefficient spectral
Euler
56
Composante continue
Valeur moyenne du signal sur une période T
Composante fondamentale ou 1er harmonique
? Signal de même fréquence que le signal
périodique f0 1/T
kième harmonique
? Signal de fréquence f kf0 TkT/k
Exercices
Trouver les développements en série de Fourier
complexe de
57
Forme trigonométrique
Tout signal périodique réel de puissance finie
peut être représenté par une combinaison
linéaire de sinus et de cosinus
Ak et Bk Coefficients de Fourier réels
Lien avec la série exponentielle
Fréquence fondamentale
Composante continue
58
Exemples de Coefficients de Fourier
Le spectre du signal
Pour ça ?
T5t
Regraduons l axe des n en fréquence ...
59
Propriétés des Séries de Fourier en Temps Continu

• Linéarité

• Décalage temporel

• Inversion temporelle

x(t) paire ? Xk paire x(t) impaire ? Xk
impaire
x(t) T, ?0 ? x(??t) T/?, ??0

• Changement d échelle

Xn inchangé, mais représentation de la série de
Fourier modifiée

• Multiplication

Convolution discrète
de même période T
60

• Conjugaison

Symétrie conjuguée
x(t) réel ?
x(t) réel et paire ? Xk réel et paire
x(t) réel et impaire ? Xk imaginaire et
impaire

• Relation de Parseval

La puissance moyenne d un signal périodique est
égale à la somme des puissances moyennes de
toutes ses composantes harmoniques
61
III.3 Représentation des signaux périodiques T.D.
en série de Fourier
Période N
Signal périodique
Fréquence fondamentale ?0 2?/N
Problème
Prenons
Ensemble des signaux périodiques avec la période
N
Seulement N exponentielles distinctes
Série de Fourier Temps Discret
Série Finie
62
Décomposition en Série de Fourier dun signal
périodique discret
Tout signal discret périodique (période N) peut
être représenté par une combinaison linéaire de
N exponentielles complexes discrètes reliées
harmoniquement
Synthèse
Coefficient de Fourier ou Coefficient spectral
Analyse
Remarque
Donc
...
Les coefficient Xk sont périodiques de période
N La représentation en Série de Fourier Temps
Discret est une série FINIE de N termes
63
Propriétés des Séries de Fourier en Temps Discret
Convolution discrète périodique

• Multiplication

zn périodique N ? Zk périodique N

• Décalage temporelle

• Différenciation

• Parseval

La puissance moyenne d un signal périodique est
égale à la somme des puissances moyennes de ses N
composantes harmoniques
64
III.4 Séries de Fourier et SLTI
Fonctions de Transfert
T.C.
T.D.
Avec h(?) , hkréponses impulsionnelles des
SLTI
Réponses fréquentielles
T.C.
T.D.
Réponse d un SLTI à une exponentielle complexe
Réponse d un SLTI à un signal sinusoïdal
65
Réponse dun SLTI à une entrée périodique
Principe de superposition
La réponse d un SLTI à une combinaison de
plusieurs signaux d entrée peut se déterminer en
faisant la somme des réponses individuelles à
chacun de ces signaux
Temps Continu
Temps Discret
Signal d entrée périodique
Réponse fréquentielle du SLTI
Réponse du SLTI au signal périodique
Coefficient de Fourier de la sortie périodique
66
Réponse d un SLTI à un signal périodique
y(t)
SLTI
x(t)
1
3
2
4
67
III.5 Filtrage
Intérêt
Changer la forme d un spectre, laisser passer
certaines fréquences et en atténuer ou éliminer
d autres
Filtres sélectifs
Filtres idéaux Temps Discret
Filtres idéaux Temps Continu
Passe Bas
Passe Haut
Passe Bande
Périodicité 2? HF pour ? (2k1)?
68
Exemples de filtres Temps Continu
Résolution des équations différentielles à
coefficients constants
Systèmes décrits par des équations
différentielles à coefficients constants et
initialement au repos sont des SLTI
Exemple Filtre Passe-Bas RC
-
Exemple Filtre Passe-Haut RC
-
69
Exemples de filtres Temps Discret
Résolution des équations aux différences à
coefficients constants
Systèmes décrits par des équations aux
différences à coefficients constants et
initialement au repos sont des SLTI
Filtre récursif du 1er ordre (IIR Infinite
Impulse Response)
Filtre non récursif (FIR Finite Impulse Response)
Filtre à moyenne glissante
70
IV. Transformée de Fourier en Temps Continu

• 1 - Signaux Apériodiques Transformée de Fourier
  Temps Continu
• 2 - Paires de Transformées de Fourier en Temps
  Continu
• 3 - Propriétés de la TF Temps Continu
• 4 - Propriété de la convolution
• 5 - Propriété de la multiplication
• 6 - Signaux Périodiques et Transformée de Fourier
• 7 - Réponse fréquentielle dun SLTI régi par des
  équations différentielles linéaires à
  coefficients constants

71
Enveloppe des échantillons
0
5w0
10w0
0
10w0
20w0
0
20w0
40w0
72
IV.1 Signaux Apériodiques Transformée de Fourier
T.C.
Rappels Signaux périodiques (T) à puissance
finie - Série de Fourier
Somme infinie d exponentielles complexes
reliées harmoniquement - Spectre discret
Or
Soit
Enveloppe des échantillons T.Xk
Intégrale de Fourier
Si
73
Série de Fourier
Somme infinie d exponentielles complexes
reliées harmoniquement
Spectre discret apériodique
Transformée de Fourier
Transformée de Fourier Inverse (Synthèse)
Intégrale infinie d exponentielles complexes
Spectre continu apériodique
?
Transformée de Fourier Directe (Analyse)
74
Transformée de Fourier en Temps Continu pour des
Signaux Apériodiques
Pulsation
Fréquence
75
IV.2 Paires de Transformées de Fourier en TC
Signaux
TF fréquence
TF pulsation
Peigne de Dirac
76
Principales paires de la Transformée de Fourier
Temps Continu
77
IV.3 Propriétés de la TF Temps Continu

• Linéarité

• Changement d échelle

Contraction Temporelle (? gt1) ? Dilatation
Fréquentielle

• Dualité

• Décalage

• Dérivation

78

• Conjugaison

Cas particulier
x(t) réel et paire ? X(j?) réel et paire
x(t) réel et impaire ? X (j?) imaginaire et
impaire

• Relation de Parseval

Densité Spectrale dEnergie du signal x(t)
Energie total d un signal Energie par
unité de temps intégrée sur tous les temps
Densité spectrale d énergie intégrée
sur toutes les fréquences
79
IV.4 Propriété de la convolution
Recherchons la TF de y(t)x(t)h(t)
Rappel vrai si SLTI Stable
h(t) réponse impulsionnelle du SLTI
H(j?) réponse fréquentielle du SLTI
80
IV.5 Propriété de la multiplication
Modulation d amplitude
signal modulé
signal modulant
porteuse
S(f)
Exemple
A
Porteuse
f
f1
-f1
f
R(f)
A/2
A/2
f
81
Exemple Démodulation d amplitude
Porteuse
G(f)
A/2
A/4
A/4
-f0
f0
2f0
f
-2f0
H(f)
H(f) Filtre Passe-Bas
fc
-fc
f
Y(f) G(f) H(f)
H(0) A/2
Y(f) G(f) H(f)
y(t) s(t)
f
82
Propriétés de la Transformée de Fourier Temps
Continu
83
IV.6 Signaux Périodiques et Transformée de Fourier
A/ Extension de la TF en Temps Continu
Considérons l impulsion
Un signal périodique se décompose en Série de
Fourier
Train d impulsions de Dirac pondéréespar les
coefficients de Fourier Xk et situées aux
fréquences f kf0
Par identification
84
Comparaison entre la décomposition en Série de
Fourier d un signal périodique et sa Transformée
de Fourier
X k
k
85
B/ Expression simple de la TF d un signal
périodique en TC
Tout signal périodique xp(t) peut être représenté
comme la somme d une suite infinie de
translatées de x(t) motif élémentaire sur 0, T
t
T
Or
D où
Propriété de la convolution
La TF permet d obtenir directement les
coefficients de Fourier!
86
IV.7 Réponse fréquentielle dun SLTI régi par des
équations différentielles linéaires à
coefficients constants
Hypothèse H(j?) existe (converge)
Propriété des SLTI
Or
87
V. Transformée de Fourier en Temps Discret

• 1 - Signaux Apériodiques Transformée de Fourier
  Temps Discret
• 2 - Propriétés de la TF Temps Discret
• 3 - Propriété de la convolution
• 4 - Propriété de la multiplication
• 5 - Signaux périodiques et Transformée de
  Fourier Temps Discret
• 6 - Calcul de la Transformée de Fourier dune
  suite numérique
• 7 - Réponse fréquentielle dun SLTI régi par des
  équations aux différences linéaires à
  coefficients constants
• Résumé Séries de Fourier - Transformées de Fourier

88
V.1 Signaux Apériodiques Transformée de Fourier
T.D.
Série de Fourier
Signaux périodiques Période N Puissance Finie
Somme finie de N exponentielles complexes
reliées harmoniquement
Spectre discret et périodique
xn
...
...
0
N
2N
Transformée de Fourier Inverse (Synthèse)
Transformée de Fourier
Signaux apériodiques Période N ? Energie Finie
Intégrale sur une période d exponentielles
complexes
Spectre continu et périodique
Transformée de Fourier Directe (Analyse)
89
Principales paires de la Transformée de Fourier
Temps Discret
90
V.4 Propriétés de la TF Temps Discret

• Dérivation

91

• Changement d échelle

xk  version ralentie  de xn
Soit
92

• Conjugaison

xn réel ?
Symétrie conjuguée
Cas particulier
xn réel et paire ? X(e j?) réel et paire
xn réel et impaire ? X (e j?) imaginaire et
impaire

• Relation de Parseval

Densité Spectrale dEnergie du signal x(t)
Energie total d un signal Energie par
unité de temps sommée sur tous les temps
Densité spectrale d énergie intégrée
sur une période
93
V.5 Propriété de la convolution
y n x n h n
xn
h n
hn réponse impulsionnelle du SLTI
H(e j?) réponse fréquentielle du SLTI
TF
TF
TF
Y(f) X(f) . H(f)
X(f)
H(f)
Rappel vrai si SLTI Stable
94
V.6 Propriété de la multiplication
Attention Convolution périodique
95
Propriétés de la Transformée de Fourier Temps
Discret
96
V.2 Signaux périodiques Extension de la TF
Temps Discret
A/ Extension de la TF en Temps Discret
Soit le peigne de Dirac
Montrons que
(Hypothèse 0ltf0lt1 )
Un signal périodique se décompose en Série de
Fourier
Train d impulsions de Dirac pondérées par les
coefficients de Fourier périodiques et situées
aux fréquences f k/N
Par identification
97
B/ Expression simple de la TF d un signal
périodique en TD
Tout signal périodique xp(t) peut être représenté
comme la somme d une suite infinie de
translatées de xn motif élémentaire sur 0, N
xpn
...
...
0
2N
N
3N
n
Or
D où
Propriété de la convolution
...
...
Xp (f)
...
...
La TF permet d obtenir directement les
coefficients de Fourier!
0
1
1/N
f
98
V.3 Calcul de la Transformée de Fourier dune
suite numérique
Pour calculer la Transformée de Fourier d un
signal numérique fini de N points (TFD ou DFT),-
on périodise implicitement le signal et - on
rajoute éventuellement des 0 (Nz), pour avoir
une TFD sur (NNz) points. Généralement le
calcul se fait avec NNz 2n points, grâce à
l algorithme de Transformée de Fourier Rapide
(TFR ou FFT) mis au point par Cooley et Tukey
(1965)
Remarque
99
V.7 Réponse fréquentielle dun SLTI régi par des
équations aux différences linéaires à
coefficients constants
Hypothèse H(e j?) existe (converge)
Propriété des SLTI
Or linéarite décalage temporelle
?
100
Résumé Séries de Fourier - Transformées de Fourier
Signaux périodiques
Spectre discret apériodique
Signaux apériodiques
Spectre continu apériodique
X(j?)
?
Signaux périodiques
Spectre discret périodique
xn
k
Signaux apériodiques
Spectre continu périodique
101
VI. Caractérisation en Temps et Fréquence des
Signaux et Systèmes

• 1 - Représentation en Amplitude et en Phase de la
  Transformée de Fourier
• 2 - Représentation en Amplitude et en Phase de la
  réponse fréquentielle des SLTI
• 3 - Filtres non idéaux- Aspects dans les domaines
  Temporel et Fréquentiel
• 4 - Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en
  Temps Continu
• 5 - Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en
  Temps Discret
• 6 - Filtres non-récursifs en Temps Discret -
  Filtres FIR

102
VI.1 Représentation en Amplitude et en Phase de
la Transformée de Fourier
Amplitude et Phase de la TF
Contenu fréquentiel du signal
Amplitude
Densité spectrale d énergie de x(t)
Information sur la phase des différentes
fréquences composant le signal Des signaux qui
ont 1 TF avec amplitude mais 1 phase ?
peuvent être très différents
Phase
Exemple
103
VI.2 Représentation en amplitude et en phase de
la la réponse fréquentielle dun SLTI
SLTI
D où
DECALAGE DE PHASE du système
GAIN du système
Si effets négatifs Distorsion d Amplitude et
Distorsion de Phase...
Phase Linéaire et Phase Non Linéaire
Phase linéaire avec ?
Phase linéaire avec ?
Le signal dentrée est simplement décalé
temporellement (décalage pente de la phase), ?
il nest pas déformé
104
Exemple
Retard de Groupe
Le retard de groupe à une fréquence ? est égal à
l opposé de la pente de la phase à cette
fréquence
Cas particulier Phase linéaire
ou
105
Exemple
Etude d un système passe-tout, dont le retard de
groupe varie en fonction de la fréquence
avec
f1 50Hz
f1 150Hz
f1 300Hz
unwrapped phase
Réponse impulsionnelle
106
Amplitude Logarithmique - Diagramme de Bode
Intérêt de l échelle logarithmique
Les amplitudes s ajoutent ...
0dB ? H(jw) 1
6dB ? H(jw) 2
Unité le décibel (dB)
-3dB ? H(jw) 1/?2
20dB ? H(jw) 10
et
en fonction de
Diagramme de Bode
Pour les systèmes Temps Continu
Exemple Système du 2nd ordre
107
Bande passante et Largeur de bande

• Bande passante
• Caractérise un système
• Module de la réponse en fréquence
• Définie à -3dB (1/?2) (Pm/2)

• Largeur de bande
• Caractérise un signal
• Densité Spectrale
• Espace des fréquences utiles !

108
VI.3 Filtres non idéaux- Aspects dans les
domaines Temporel et Fréquentiel
Rappel Filtres idéaux non réalisables car non
causaux ...
compromis
Précision, sélectivité
Coût, Complexité
Flexibilité pour le comportement du filtre -
dans la Bande Passante - dans la Bande
Coupée - dans la zone de transition
109
VI.4 Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en
Temps Continu
Système du 1er ordre
Constante de temps
? Rapidité de réponse du système
Ex
R
C
y(t)
x(t)
Réponse impulsionnelle
Réponse indicielle
110
Diagramme de Bode
Asymptote en HF Pente de 20 dB / décade
Fréquence de coupure à 3dB
FIG 6.20 449
111
Système du 2nd ordre
Régime Amorti
h(t) différence de 2 exponentielles réelles
décroissantes
Régime Critique
Régime Pseudo-Périodique
112
Facteur de qualité
Amplification pour ? lt 0.7
113
VI.5 Systèmes du 1er ordre et du 2nd ordre en
Temps Discret
Système du 1er ordre
Rapidité de réponse du système
Fig 6.26 6.27 p 462
114
(No Transcript)
115
Système du 2nd ordre
Équivalent au système du 2nd ordre en Temps
Continu en régime pseudo-périodique Pour ?0 ?
régime critique
r taux de décroissance ? fréquence
d oscillation
116
Réponse impulsionnelle d un système du 2nd ordre
117
Réponse fréquentielle d un système du 2nd ordre
118
VI.6 Systèmes non récursifs en Temps Discret -
Filtres FIR
Filtres non-récursifs de type Moyenne-Glissante
(Moving Average Filter)
119
MN1 33
MN1 65
Longueur de la réponse impulsionnelle ?, largeur
du lobe principal de la réponse fréquentielle ?
( lobe principal ? BP du filtre)
Filtres non-récursifs - Forme générale
Choix des bk , fonction des spécifications du
filtre (ex raideur de la transition BP BC...)
120
Comparaison entre les réponses fréquentielles
d un filtre à moyenne glissante et un filtre de
réponse impulsionnelle hn
Réponse impulsionnelle d un filtre idéal de
fréquence de coupure ?c 2? /33
Réponse impulsionnelle Réelle et Paire ? Réponse
fréquentielle Réelle et Paire (Phase nulle)
Filtre causal ? décalage temporel de la réponse
impulsionnelle ? Filtre à Phase Linéaire
121
VII. Signaux Temps Continu Transformée de Laplace

• 1 - Transformée de Laplace (TL)
• 2 - Transformée de Laplace et Transformée de
  Fourier
• 3 - Propriétés de la Transformée de Laplace
• 4 - Causalité et Stabilité des SLTI
• 5 - Evaluation géométrique de la Transformée de
  Fourier à partir de la représentation des Pôles
  et de Zéros de la TL
• 6 - Principales paires de Transformée de Laplace
• 7 - Réponse fréquentielle dun SLTI régi par des
  équations différentielles linéaires à
  coefficients constants
• 8 - Transformée de Laplace inverse
• 9 - Transformée de Laplace Unilatérale (TLU)

122
VII.1 Transformée de Laplace
A) Intérêt de la Transformée de Laplace
- Une grande partie des signaux peuvent se
représenter comme une combinaison
d exponentielles complexes périodiques e st e
j?t , fonctions propres des SLTI, MAIS PAS TOUS
. ? Transformée de Laplace Généralisation
de la Transformée de Fourier en Temps Continu
avec s ? j ? - Permet l étude de la
stabilité des systèmes et la résolution des
équations différentielles à coefficients constants
B) Définition de la Transformée de Laplace
Bilatérale
avec
Rappel

• Réponse d un SLTI de réponse impulsionnelle
  h(t) à un signal d entrée exponentiel complexe
  est

avec
Fonction de transfert du système
123
VII.2 Transformée de Laplace et Transformée de
Fourier
Quand
? Transformée de Laplace Transformée de
Fourier de x(t)
Remarque
Transformée de Laplace Transformée de Fourier
du signal x(t) multiplié par une exponentielle
réelle
exponentielle réelle croissante ou décroissante
dans le temps selon si ? est positif ou négatif
124
A) Exemple
Transformée de Fourier
Transformée de Laplace
Région de convergence de la transformée de Laplace
Im
Im
agt0
alt0
Plan-s
Plan-s
Re
Re
- a
- a
125
B) Exemple
126
Conclusion
- Transformées de Laplace identiques pour
Exemples A et B, mais régions de convergence
différentes
127
VII.3 Propriétés de la Transformée de Laplace

• Linéarité

• Décalage

• Changement d échelle

• Conjugaison

si x(t) réel
Si pôles et zéros complexes ? paires complexes
conjuguées

• Convolution

• Dérivation

128
Propriétés de la transformée de Laplace
129
VII.4 Causalité et Stabilité des SLTI
Fonction de Transfert d un SLTI
avec
Cas des fonctions de transfert H(s) rationnelles
Généralement, H(s) peut s exprimer sous la forme
d une fonction rationnelle, c est à dire sous
la forme d un rapport de deux polynômes en s
Pôles et zéros réels ou paires complexes
conjuguées

• Propriété 1

• Propriété 2

?
Région de Convergence de H(s) fonction
rationnelle, 1/2 plan droit, à droite du pôle
le plus à droite
SLTI CAUSAL
130
Exemple
Région de convergence de la transformée de
Laplace de H(s)
Im
Plan-s
Re
- 2
- 1

• Propriété 3

Un SLTI CAUSAL possédant une fonction de
transfert H(s) rationnelle est STABLE, si et
seulement si tous les pôles de H(s) sont situés
dans le demi-plan gauche Re(s)lt0 du plan de
Laplace, axe imaginaire exclu
131
Exemples
SLTI CAUSAL
SLTI CAUSAL
STABLE
INSTABLE
Propriété générale
Un SLTI est STABLE si est seulement si l axe (j
?) ( c est à dire Re(s) 0) est inclus dans la
Région de Convergence de sa fonction de transfert
H(s) (quelconque)
132
VII.5 Evaluation géométrique de la Transformée de
Fourier
Diagramme des pôles et des zéros de H(s)
représenté dans le plan-s permet d estimer
graphiquement la réponse fréquentielle du
système (quand elle existe)
Exemple
v s a
Soit le nombre complexe
Im
Plan-s
v ? e i?
s j ?
Réponse fréquentielle
?
Re
- a
133
?
?
Cas général
Le module de la réponse fréquentielle est égal au
produit des longueurs des vecteurs reliant les
zéros au point s j? de l axe imaginaire
divisé par le produit des longueurs des vecteurs
reliant les pôles à ce même point s
La phase de la réponse fréquentielle est égale à
la somme des arguments des vecteurs correspondant
aux zéros moins la somme des arguments des
vecteurs correspondant aux pôles
Remarque
Un vecteur correspondant à un pôle situé près de
l axe imaginaire aura une longueur faible et
donc entraînera une valeur importante de la
réponse fréquentielle (phénomène de résonance)
134
VII.6 Principales paires de Transformée de Laplace
135
VII.7 Réponse fréquentielle dun SLTI régi par
des équations différentielles linéaires à
coefficients constants
Propriété des SLTI
Linéarité dérivation
Fonction de Transfert
136
Exemple 1
A.N.
R1k? C1?F L0.01H p1 -9.9 E4 p2 -0.1
E4 Système causal et Re(p1) et Re(p2) lt0
? Système STABLE
R10? C100?F L0.1H p1 1 E2 (-0.5000
3.1225i) p2 1 E2 (-0.5000 - 3.1225i)
Système causal et Re(p1) et Re(p2) lt0
? Système STABLE
137
Exemple 2
On connaît l entrée d un SLTI initialement au
repos
On connaît la sortie d un SLTI initialement au
repos
La fonction de transfert est
Le système est causal, Re(p1) et Re(p2)lt0 donc le
système est STABLE
L équation différentielle régissant le système
est
138
VII.8 Transformée de Laplace inverse
Utilisation d un contour d intégration dans le
plan complexe...
x(t) peut être représenté comme une intégrale
pondérée d exponentielles complexes
Généralement, la Transformée de Laplace inverse
sera déterminée à partir des tables,après une
décomposition en fractions partielles de X(s)
139
VII.9 Transformée de Laplace Unilatérale (TLU)
Définition
TLU utilisée pour l étude des systèmes causaux
spécifiés généralement par des équationsdifférent
ielles à coefficients constants avec des
conditions initiales non nulles ?
Système IAR, ? SLTI ...
Si x(t) 0 pour tlt0 TL x(t) TLU x(t)
Région de Convergence de TLU toujours 1/2 plan
de droite (à droite du pôle le à droite si
rationnelle)
Propriété importante
Intérêt
Possibilité de tenir compte de conditions
initiales non nulles (système non IAR)
140
VIII. Signaux Temps Discrets Transformée en Z

• 1 - Transformée en Z (TZ)
• 2 - Transformée en Z et Transformée de Fourier
• 3 - Propriétés de la TZ
• 4 - Causalité et Stabilité des SLTI
• 5 - Evaluation géométrique de la transformée de
  Fourier à partir de la représentation des Pôles
  et de Zéros de la TZ
• 6 - Principales paires de Transformée en Z
• 7 - Réponse fréquentielle dun SLTI régi par
  des équations aux différences linéaires à
  coefficients constants
• 8 - Représentation en diagramme bloc de SLTI
  causaux décrits par des équations aux
  différences à coefficients constants
• 9 - Transformée en Z inverse
• 10 - Transformée en Z Unilatérale (TZU)

141
VIII.1 Transformée en Z
A) Intérêt de la Transformée en Z
- Transformée en Z pour les signaux TD ?
Transformée de Laplace pour les signaux TC - TZ
peut être appliquée à une grande classe de
signaux que la TF TD ? Transformée en Z
Généralisation de la Transformée de Fourier en
Temps Continu avec - Permet l étude de la
stabilité des systèmes et la résolution des
équations aux différences à coefficients
constants
B) Définition de la Transformée en Z
avec
Rappel

• Réponse d un SLTI de réponse impulsionnelle
  hn à un signal d entrée exponentiel complexe zn

avec
Fonction de transfert du système
142
VIII.2 Transformée en Z et Transformée de
Fourier
c est à dire
Quand
? Transformée en Z Transformée de Fourier
de xn
Remarque
Transformée en Z Transformée de Fourier du
signal xn multiplié par une exponentielle réelle
exponentielle réelle croissante ou décroissante
avec n selon si r gt1 ou rlt1
143
A) Exemple
Converge si
Transformée en z
Région de convergence de la transformée en Z
La région de convergence necontient pas le
cercle unité, TFxn ne converge pas
La région de convergence contient le cercle
unité, TFxn converge
144
B) Exemple
Converge si
Im
La région de convergence necontient pas le
cercle unité,TFxn ne converge pas
La région de convergence contient le cercle
unité, TFxn converge
145
Conclusion
- Transformées en Z identiques (même zéro et
même pôle) pour Exemples A et B, mais régions
de convergence différentes
La Région de Convergence de la Transformée en Z
correspond aux valeurs de
pour lesquelles la Transformée de Fourier de
converge ?
La Région de Convergence de la Transformée en Z
consiste en une couronne dans le plan-z centré
sur lorigine r1 lt z lt r2
Im
Plan-z
r2
Cas particuliersr10 ou r2 ?
r1
Re
146
VIII.3 Propriétés de la Transformée en Z

• Linéarité

• Décalage temporel

Opérateur retard unité

• Changement d échelle dans Z

• Inversion temporelle

• Conjugaison

si xn réel
pôle (ou zéro) en zz0 ? pôle (ou zéro) en z
z0

• Convolution

• Dérivation dans Z

147
(No Transcript)
148
VIII.4 Causalité et Stabilité des SLTI
Fonction de Transfert d un SLTI
avec
Cas des fonctions de transfert H(z) rationnelles
Généralement, H(z) peut s exprimer sous la forme
d une fonction rationnelle, c est à dire sous
la forme d un rapport de deux polynômes en z
Pôles et zéros réels ou paires complexes
conjuguées

• Propriété 1

1)
SLTI CAUSAL
?
2) Région de Convergence de H(z) fonction
rationnelle
Région strictement extérieure au cercle associé
au pôle le plus éloigné du centre
149
Exemple 1
SLTI non causal, MgtN
1) RC à l extérieur du pôle le éloigné 2)
MN Donc le système est causal
Exemple 2
Vérification calcul de la réponse impulsionnelle
en utilisant les tables

• Propriété 2

Un SLTI CAUSAL possédant une fonction de
transfert H(z) rationnelle est STABLE, si et
seulement si tous les pôles de H(z) sont situés à
lintérieur strictement du cercle unité du plan
Z c est à dire pi lt 1 ?i
150
Exemples
2 pôles
Hypothèse SLTI CAUSAL
Hypothèse SLTI CAUSAL
Im
Plan-z
r
1
?
Re
STABLE
INSTABLE
Propriété générale
Un SLTI est STABLE si est seulement si le cercle
unité z 1 est inclus dans la Région de
Convergence de sa fonction de transfert H(z)
(quelconque)
151
VIII.5 Evaluation géométrique de la Transformée
de Fourier
Diagramme des pôles et des zéros de H(z)
représenté dans le plan-z permet d estimer
graphiquement la réponse fréquentielle du
système (quand elle existe)
Exemple
Im
v2 z - a
Plan-z
Soit les vecteurs
v1 z e j?
C1
v1
Réponse fréquentielle
v2
?
w
1
Re
a
152
Cas général
Le module de la réponse fréquentielle est égal au
produit des modules des vecteurs reliant les
zéros au point z e j? du cercle unité divisé
par le produit des modules des vecteurs reliant
les pôles à ce même point z
La phase de la réponse fréquentielle est égale à
la somme des arguments des vecteurs correspondant
aux zéros moins la somme des arguments des
vecteurs correspondant aux pôles
Un vecteur correspondant à un pôle situé près du
cercle unité aura un module faible et donc
entraînera une valeur importante de la réponse
fréquentielle (phénomène de résonance)
153
VIII.6 Principales paires de Transformée en Z
154
VIII.7 Réponse fréquentielle dun SLTI régi par
des équations aux différences linéaires à
coefficients constants
Propriété des SLTI
Linéarité décalage temporel
Fonction de Transfert
155
Exemple
Pôle en zp 1/2, Zéro en zz -1/3
Table linéarité décalage temporel
SLTI STABLE
zp lt 1
156
VIII.8 Représentation en diagramme bloc de SLTI
causaux décrits par des équations aux différences
à coefficients constants
Utilisation de l opérateur retard
Forme directe, forme cascade et forme parallèle
Exemple 1
SLTI du 1er ordre
Trouver l équation aux différences caractérisant
le SLTI causal et donner le diagramme bloc du
système
157
Exemple 2
Trouver l équation aux différences caractérisant
le SLTI causal et 3 diagrammes-bloc possibles du
système
1)
Forme directe
2)
Forme cascade
3)
Forme parallèle
158
VIII.9 Transformée en Z inverse
Théorème des Résidus
Utilisation d un contour d intégration dans le
plan complexe...
Généralement, la Transformée en Z inverse sera
déterminée à partir des tables,après une
décomposition en fractions partielles de X(z)
159
VIII.10 Transformée en Z Unilatérale (TZU)
Définition
TZU utilisée pour l étude des systèmes causaux
spécifiés généralement par des équationsaux
différences à coefficients constants avec des
conditions initiales non nulles ? SLTI
IAR ...
Si xn 0 pour nlt0 TZ xn TZU xn)
Région de Convergence de TZU toujours extérieure
à un cercle (correspt au pôle le éloigné si
rationnelle)
Propriété importante
Intérêt
Possibilité de tenir compte de conditions
initiales non nulles (système non IAR)
160
IX. Echantillonnage

• 1 - Représentation d un signal Temps Continu par
  ses échantillons - Théorème de l échantillonnage
• 2 - Reconstruction d un signal à partir de ses
  échantillons en utilisant l interpolation
• 3 - Effet du sous-échantillonnage  Repliement
  de spectre  ou  aliasing 
• 4 - Echantillonnage de signaux Temps Discret
  (décimation-interpolation)

161
IX.1 Représentation d un signal Temps Continu
par ses échantillons - Théorème de
l échantillonnage
Sous certaines conditions, un signal Temps
Continu peut être reconstitué parfaitement en ne
connaissant ses valeurs qu en certains points
espacés régulièrement dans le temps
(échantillons) ? Théorème de l échantillonnage
Représentation d un signal TC par ses
échantillons
En général, une séquence d échantillons, ne peut
définir de manière unique un signal TC
Nécessité de prendre en compte des contraintes
supplémentaires - largeur de bande du signal -
période d échantillonnage
162
Opération d échantillonnage
x e (t)
Produit en Temps ? Convolution en Fréquence
Or
Spectre périodique, superposition des répliques
de X(j?) décalées tous les ?s et pondérées par
1/T
Donc
163
Exemple 1
Xe(j?)
Xe(j?)
Recouvrement
Si
Pas de recouvrement
Si
x(t) peut être parfaitement reconstitué à partir
de xe(t) au moyen d un filtre passe-bas de gain
T de fréquence de coupure supérieure à ?M et
inférieure à ?s -?M
164
Théorème de l échantillonnage
( Théorème de Shannon ou Théorème de Nyquist)
Soit x(t) un signal de bande limitée telle que
Alors x(t) est déterminé de manière unique par
ses échantillons x(nT), n0, ?1, ?2, si
où
A partir de ces échantillons, il est possible de
reconstruire x(t) en générant un train
d impulsions dont les impulsions successives ont
pour amplitude la valeur des échantillons. Ce
train d impulsions est alors filtré par un
filtre passe-bas idéal de gain T et de fréquence
de coupure supérieure à ?M et inférieure à ?s
-?M . Le signal résultant sera alors exactement
égal à x(t)
165
Exemple 2
Reconstruction d un signal TC à partir de ses
échantillons en utilisant un filtre passe-bas
idéal
Xe(j?)
Système d échantillonnage et de reconstruction
x e (t)
Spectre de x(t)
Xe(j?)
Spectre de xe(t)
Filtre Passe-Bas idéal pour reconstruire X(j?)
à partir de Xe(j?)
Spectre de xr(t)
166
IX.2 Reconstruction dun signal à partir de ses
échantillons en utilisant l interpolation
Interpolation Ajustement d un signal continu à
un ensemble d échantillons pour reconstruire une
fonction soit de manière approximative, soit de
manière exacte
Interpolation linéaire
t
Interpolation Effet du filtre passe-bas dans le
domaine temporel
1) Interpolation exact
(gain de T)
Réponse impulsionnelle d un filtre idéal
Formule d interpolation exacte
167
Interpolation exacte basée sur le sinus cardinal
x e (t)
2) Interpolation avec un bloqueur d ordre 0
x e (t)
x e (t)
168
3) Interpolation avec un bloqueur d ordre 1
interpolation linéaire
x e (t)
x e (t)
169
IX.3 Effet du sous-échantillonnage Aliasing

• X(j?) ne peut pas être restitué par filtrage
  passe-bas ? ALIASING

Si

• Le signal reconstruit xr(t) n est plus égal à
  x(t)

1) Effet de l aliasing sur un signal sinusoïdal
ALIASING
Sous-échantillonnage correct
170
2) Effet de l aliasing dans le domaine
fréquentiel
171
IX.4 Echantillonnage de signaux Temps Discret
1) Echantillonnage d un signal discret
Xe(e j?)
x e n
Xe(e j?)
Spectre périodique, superposition des répliques
de X(e j?) décalées tous les ?s et pondérées par
1/T
172
Restitution exact d un signal temps discret à
partir de ses échantillons
173
2) Décimation ou sous-échantillonnage
xe n est nul entre les instants
d échantillonnage ? séquence inefficace pour la
transmission ou le stockage Solution créer une
nouvelle séquence xd n identique à xe n aux
instants d échantillonnage
Décimation
Relation entre xn, xe n échantillonnage et xd
n décimation ou sous-échantillonnage
x e n
x d n
174
Relation entre échantillonnage et décimation
Remarque Si xn obtenu par échantillonnage
d un signal continu, la décimation peut être
interprétée comme une réduction du taux
d échantillonnage par un facteur de N
175
3) Sur-échantillonnage ou interpolation
Opération inverse de la décimation introduire
N-1 points d amplitude 0 entre chaque valeur de
la séquence initiale ? obtenir une séquence à un
taux d échantillonnage plus élevé
La séquence interpolée xn est obtenue par
filtrage passe-bas de xun
176
4) Exemple
Combinaison du sur-échantillonnage et de la
décimation - Sous-échantillonnage maximum
177
Propriétés des Séries de Fourier Temps Continu
178
Propriétés des Séries de Fourier Temps Discret
179
Principales paires de la Transformée de Fourier
Temps Continu
180
Propriétés de la Transformée de Fourier Temps
Continu
181
Principales paires de la Transformée de Fourier
Temps Discret
182
Propriétés de la Transformée de Fourier Temps
Discret
183
Propriétés de la transformée de Laplace
184
Principales paires de Transformée de Laplace
185
Propriétés de la transformée en Z
186
Principales paires de Transformée en Z