Une mthode de gnration de colonnes base sur un algorithme central de plans coupants - PowerPoint PPT Presentation

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Title:

Une mthode de gnration de colonnes base sur un algorithme central de plans coupants

Description:

admissible. Favoriser LB lorsque le probl me est infaisable. Il est possible de mettre jour UB plus souvent avec des solutions primales admissibles ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Une mthode de gnration de colonnes base sur un algorithme central de plans coupants


1
Une méthode de génération de colonnes basée sur
unalgorithme central de plans coupants
  • Mathieu Trampont Orange Labs / CEDRIC
  • Christian Destré Orange Labs
  • Alain Faye CEDRIC
  • 11/01/2010

2
Plan
1
  • Parallèle entre générations de colonnes et
    méthode de plans coupants
  • Problèmes de convergence et de stabilisation
  • L'algorithme ACCP de Betrò
  • Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
3
Vision du dual
  • Le dual du problème maître est un programme
    linéaire avec un très grand nombre de contraintes
  • La génération de colonnes correspond dans le dual
    à une méthode de plans coupants

4
Vision du dual (2)
  • Dans le dual, c'est l'ensemble des coupes qui est
    restreint
  • Déroulement de la génération de colonnes
  • La résolution du problème restreintdonne une
    première solution
  • La résolution du sous-problèmefait apparaître de
    nouvelles variables, donc de nouveaux plans
  • On continue jusqu'à ce qu'on nepuisse plus
    rajouter de variablequi améliore la solution
  • La valeur obtenue est aussi lavaleur optimale du
    dual

5
Plan
1
  • Parallèle entre générations de colonnes et
    méthode de plans coupants
  • Problèmes de convergence et de stabilisation
  • L'algorithme ACCP de Betrò
  • Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
6
Problèmes de stabilisation
  • La convergence de la génération de colonnes vers
    l'optimum de la relaxation continue peut parfois
    prendre du temps
  • La vision du dual permet d'illustrer les
    situations où la convergence ralentit

u1
u1
u2...
u
7
Stabilisation
  • Objectifs
  • Stabiliser la convergence de l'algorithme
  • Diminuer les appels au sous-problème
  • Idée trouver un meilleur point de séparation à
    fournir au sous-problème
  • Méthodes proximales
  • pénaliser les déplacements dans le dual
  • méthode boxstep
  • Méthode de stabilisation par point intérieur de
    Rousseau et al.
  • s'attaque spécifiquement à la dégénérescence

8
Plan
1
  • Parallèle entre générations de colonnes et
    méthode de plans coupants
  • Problèmes de convergence et de stabilisation
  • L'algorithme ACCP de Betrò
  • Principe
  • Interprétation géométrique et déroulement
  • Stabilisation et paramétrage
  • Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
9
L'Accelerated Central Cutting Plane
  • Idée ElzingaMoore Chercher le centre de la
    plus grande sphère contenue dans un polyèdre basé
    sur les contraintes du dual auquel on ajoute une
    borne inférieure
  • Le polyèdre doit être borné
  • Ce problème se modélise par un programme linéaire
    dont l'objectif est de maximiser le rayon s de la
    sphère
  • Les contraintes sont issues de celles du dual
  • On rajoute une contrainte issue d'une borne
    inférieure

10
L'Accelerated Central Cutting Plane
  • Autre possibilité pour la borne inférieure
  • Troisième possibilité
  • Les coordonnées du centre de la sphère serviront
    de point de séparation
  • Lorsqu'il ne viole aucune contrainte
  • Mise à jour de la borne inférieure
  • La taille du polyèdre diminue

11
L'Accelerated Central Cutting Plane
  • Autre possibilité pour la contrainte de borne
  • Les coordonnées du centre de la sphère serviront
    de point de séparation
  • Lorsqu'il ne viole aucune contrainte
  • Mise à jour de la borne inférieure
  • La taille du polyèdre diminue

12
Accélération proposée par Betrò
  • On utilise comme borne inférieure une combinaison
    convexe entre une borne inférieure valide et une
    borne supérieure
  • t a.UB (1- a).LB
  • La borne inférieure utilisée n'est peut-être pas
    valide
  • Lorsque que le centre de la sphère ne viole
    aucune contrainte
  • t est bien une borne inférieure
  • Si le problème de recherche de la sphère est
    infaisable
  • t est en fait une borne supérieure

13
Plan
1
  • Parallèle entre générations de colonnes et
    méthode de plans coupants
  • Problèmes de convergence et de stabilisation
  • L'algorithme ACCP de Betrò
  • Principe
  • Interprétation géométrique et déroulement
  • Améliorations et Stabilisation
  • Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
14
Interprétation géométrique
  • Pour Elzinga-Moore
  • Ici la borne inférieure vaut zéro et constitue
    donc le "plancher"
  • Le centre de la sphère se trouve sur le plan de
    la fonction objectif
  • La sphère est arrêtée par les contraintes du dual
    et par la borne inférieure

Contrainte 1
r
?2
Plan de la fonction objectif du dual
Contrainte 2
Plan de la borne inférieure LB 0
u1
15
Interprétation géométrique (2)
  • Pour le polyèdre de Betrò
  • La borne est ici fixée à une valeur LB
  • On se place dans l'espace des variables duales
    (sans le plan de la fonction objectif)
  • La sphère est arrêtée par les contraintes du dual
    et par celle de la borne inférieure

Contrainte 1
u2
Contrainte de la borne inférieure a2.u2 a1.u1
LB
Contrainte 2
u1
16
Interprétation géométrique (3)
  • Autre polyèdre
  • Ici aussi la borne inférieure est nulle et
    constitue le "plancher"
  • La sphère touche obligatoirement le plan de
    l'objectif et est arrêtée par les contraintes du
    dual et la contrainte de la borne inférieure

Contrainte 1
r
u2
Plan de la fonction objectif du dual
Contrainte 2
Plan de la borne inférieure f 0
u1
17
Accélérations proposées par Betrò
  • Déroulement de l'algorithme avec les
    accélérations de Betrò
  • Départ
  • LB 0
  • UB c1 c2
  • On utilise la borne inférieuret0 (LB UB) / 2
  • Le centre ne viole aucune contrainte
  • LB u20 u10
  • t1 (LB UB) / 2
  • Le centre viole une contrainte
  • On rajoute la contrainte
  • Le problème est infaisable
  • UB t1
  • t2 (LB UB) / 2

Contrainte rajoutée
u2
c2
u23
u21
u20
u10
u1
u11
u13
c1
18
Plan
1
  • Parallèle entre générations de colonnes et
    méthode de plans coupants
  • Problèmes de convergence et de stabilisation
  • L'algorithme ACCP de Betrò
  • Principe
  • Interprétation géométrique et déroulement
  • Améliorations et Stabilisation
  • Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
19
Paramétrage et améliorations
  • Les poids de LB et de UB dans la combinaison
    convexe peuvent être ajustés
  • L'idée est de privilégier la borne la plus proche
    de la valeur optimale
  • Faire évoluer les poids pendant le déroulement de
    l'algorithme
  • Favoriser UB lorsque le centre de la sphère
    estadmissible
  • Favoriser LB lorsque le problème est infaisable
  • Il est possible de mettre à jour UB plus souvent
    avec des solutions primales admissibles
  • À partir du problème de la sphère
  • En résolvant le primal

LB
UB
t
20
Stabiliser l'ACCP
  • Les méthodes de boxstep ou de stabilisation par
    point intérieur peuvent s'appliquer à l'ACCP
  • Pour le point intérieur adaptation très simple
  • Attention pour le boxstep les contraintes de
    boîte peuvent rendre le problème infaisable
  • Nécessité de discerner qui de la boîte ou de t
    cause l'infaisabilité
  • Suppression temporaire des contraintes de boîte
  • Si la boîte est responsable, on agrandit la boîte

21
ACCP avec boxstep
  • Reprenons l'exemple
  • Départ
  • LB 0
  • UB c1 c2
  • Le problème est infaisable
  • suppression de la boîte
  • le problème est faisable
  • augmentation de la boîte
  • Aucune contrainte n'est violée
  • mise à jour de LB et de t
  • augmentation de la boîte
  • Le centre viole une contrainte
  • On rajoute la contrainte
  • Le problème est infaisable
  • suppression de la boîte
  • le problème est infaisable
  • mise à jour de UB et de t

u2
c2
u23
u21
u20
u10
u1
u11
u13
c1
22
Plan
1
  • Parallèle entre générations de colonnes et
    méthode de plans coupants
  • Problèmes de convergence et de stabilisation
  • L'algorithme ACCP de Betrò
  • Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
23
Problème de localisation de concentrateurs
  • But du problème
  • On connaît les coordonnées d'un élément central
    et de clients
  • Déterminer le nombre de concentrateurs et leurs
    emplacements de façon à minimiser les coûts de
    raccordement des clients au central
  • Modèle
  • E est l'ensemble des clients et P(E) l'ensemble
    des parties de E
  • zi vaut 1 si la partie i se voit attribuer un
    SR, 0 sinon
  • bij vaut 1 si le client j est dans la partie i,
    0 sinon
  • ci correspond au coût total d'attribution d'un
    SR à la partie i

24
Comparaison génération de colonnes classique et
ACCP
  • Nous avons résolu la relaxation continue de notre
    problème avec deux méthodes de génération de
    colonnes
  • Utilisation dun boxstep et dune stabilisation
    par point intérieur
  • Le paramétrage des méthodes de stabilisation est
    identique
  • Les colonnes sont initialisées à partir de
    solutions heuristiques
  • Les instances sont générées aléatoirement
  • 2 séries de dix instances de tailles similaires

25
Temps de calcul
  • Bonne initialisation
  • 10 instances de taille 500
  • 10 instances de taille 725
  • Initialisation plus légère
  • 10 instances de taille 500
  • Centrale 606,7 s
  • Centrale 1099,5 s
  • Centrale 874.9 s
  • Classique 2050,9 s
  • Classique 6020,1 s
  • Classique 2218.1 s

26
Évolution des bornes
27
Références
  • B. Betrò, An accelerated central cutting plane
    algorithm for linear semi-infinite programming,
    Mathematical Programming, Vol.101, 479-495, 2004.
  • L-M. Rousseau, M. Gendreau, D. Feillet, Interior
    point stabilization for column generation,
    Operations Research Letters, Vol. 35, 660-668,
    2007
  • J. Elzinga et T. G. Moore, A central cutting
    plane algorithm for the convex programming
    problem, Mathematical Programming, Vol.8,
    134-145, 1975.

28
Questions ?
29
L'Accelerated Central Cutting Plane
  • Attention si tau devient proche de la valeur
    optimale trop rapidement, on perd la stabilité.
  • Betrò propose de perturber tlorsque plusieurs
    coupes sont rajoutées successivement
  • t t
  • t (1-ß).t ß.UB
  • La politique de mise à jourde t doit être
    choisiejudicieusement

u2
c2
u1
c1
Génération de colonnes 11/01/2010 p29
30
Résultats
31
Résultats avec une moins bonne initialisation
  • Nombreux optimums locaux aléatoires heuristique
  • Peu d'optimums locaux aléatoires

32
Comparaison avec notre heuristique
  • Une heuristique multi-phase a été développée pour
    notre problème
  • La résolution de la relaxation continue nous
    donne une borne inférieure
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