Une mthode de gnration de colonnes base sur un algorithme central de plans coupants

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Une méthode de génération de colonnes basée sur
unalgorithme central de plans coupants

• Mathieu Trampont Orange Labs / CEDRIC
• Christian Destré Orange Labs
• Alain Faye CEDRIC
• 11/01/2010

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Plan
1

• Parallèle entre générations de colonnes et
  méthode de plans coupants
• Problèmes de convergence et de stabilisation
• L'algorithme ACCP de Betrò
• Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
3
Vision du dual

• Le dual du problème maître est un programme
  linéaire avec un très grand nombre de contraintes
  
• La génération de colonnes correspond dans le dual
  à une méthode de plans coupants

4
Vision du dual (2)

• Dans le dual, c'est l'ensemble des coupes qui est
  restreint
• Déroulement de la génération de colonnes
• La résolution du problème restreintdonne une
  première solution
• La résolution du sous-problèmefait apparaître de
  nouvelles variables, donc de nouveaux plans
• On continue jusqu'à ce qu'on nepuisse plus
  rajouter de variablequi améliore la solution
• La valeur obtenue est aussi lavaleur optimale du
  dual

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Plan
1

• Parallèle entre générations de colonnes et
  méthode de plans coupants
• Problèmes de convergence et de stabilisation
• L'algorithme ACCP de Betrò
• Comparaison sur un problème de localisation

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3
4
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Problèmes de stabilisation

• La convergence de la génération de colonnes vers
  l'optimum de la relaxation continue peut parfois
  prendre du temps
• La vision du dual permet d'illustrer les
  situations où la convergence ralentit

u1
u1
u2...
u
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Stabilisation

• Objectifs
• Stabiliser la convergence de l'algorithme
• Diminuer les appels au sous-problème
• Idée trouver un meilleur point de séparation à
  fournir au sous-problème
• Méthodes proximales
• pénaliser les déplacements dans le dual
• méthode boxstep
• Méthode de stabilisation par point intérieur de
  Rousseau et al.
• s'attaque spécifiquement à la dégénérescence

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Plan
1

• Parallèle entre générations de colonnes et
  méthode de plans coupants
• Problèmes de convergence et de stabilisation
• L'algorithme ACCP de Betrò
• Principe
• Interprétation géométrique et déroulement
• Stabilisation et paramétrage
• Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
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L'Accelerated Central Cutting Plane

• Idée ElzingaMoore Chercher le centre de la
  plus grande sphère contenue dans un polyèdre basé
  sur les contraintes du dual auquel on ajoute une
  borne inférieure
• Le polyèdre doit être borné
• Ce problème se modélise par un programme linéaire
  dont l'objectif est de maximiser le rayon s de la
  sphère
• Les contraintes sont issues de celles du dual
• On rajoute une contrainte issue d'une borne
  inférieure

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L'Accelerated Central Cutting Plane

• Autre possibilité pour la borne inférieure
• Troisième possibilité
• Les coordonnées du centre de la sphère serviront
  de point de séparation
• Lorsqu'il ne viole aucune contrainte
• Mise à jour de la borne inférieure
• La taille du polyèdre diminue

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L'Accelerated Central Cutting Plane

• Autre possibilité pour la contrainte de borne
• Les coordonnées du centre de la sphère serviront
  de point de séparation
• Lorsqu'il ne viole aucune contrainte
• Mise à jour de la borne inférieure
• La taille du polyèdre diminue

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Accélération proposée par Betrò

• On utilise comme borne inférieure une combinaison
  convexe entre une borne inférieure valide et une
  borne supérieure
• t a.UB (1- a).LB
• La borne inférieure utilisée n'est peut-être pas
  valide
• Lorsque que le centre de la sphère ne viole
  aucune contrainte
• t est bien une borne inférieure
• Si le problème de recherche de la sphère est
  infaisable
• t est en fait une borne supérieure

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Plan
1

• Parallèle entre générations de colonnes et
  méthode de plans coupants
• Problèmes de convergence et de stabilisation
• L'algorithme ACCP de Betrò
• Principe
• Interprétation géométrique et déroulement
• Améliorations et Stabilisation
• Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
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Interprétation géométrique

• Pour Elzinga-Moore
• Ici la borne inférieure vaut zéro et constitue
  donc le "plancher"
• Le centre de la sphère se trouve sur le plan de
  la fonction objectif
• La sphère est arrêtée par les contraintes du dual
  et par la borne inférieure

Contrainte 1
r
?2
Plan de la fonction objectif du dual
Contrainte 2
Plan de la borne inférieure LB 0
u1
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Interprétation géométrique (2)

• Pour le polyèdre de Betrò
• La borne est ici fixée à une valeur LB
• On se place dans l'espace des variables duales
  (sans le plan de la fonction objectif)
• La sphère est arrêtée par les contraintes du dual
  et par celle de la borne inférieure

Contrainte 1
u2
Contrainte de la borne inférieure a2.u2 a1.u1
LB
Contrainte 2
u1
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Interprétation géométrique (3)

• Autre polyèdre
• Ici aussi la borne inférieure est nulle et
  constitue le "plancher"
• La sphère touche obligatoirement le plan de
  l'objectif et est arrêtée par les contraintes du
  dual et la contrainte de la borne inférieure

Contrainte 1
r
u2
Plan de la fonction objectif du dual
Contrainte 2
Plan de la borne inférieure f 0
u1
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Accélérations proposées par Betrò

• Déroulement de l'algorithme avec les
  accélérations de Betrò
• Départ
• LB 0
• UB c1 c2
• On utilise la borne inférieuret0 (LB UB) / 2
• Le centre ne viole aucune contrainte
• LB u20 u10
• t1 (LB UB) / 2
• Le centre viole une contrainte
• On rajoute la contrainte
• Le problème est infaisable
• UB t1
• t2 (LB UB) / 2

Contrainte rajoutée
u2
c2
u23
u21
u20
u10
u1
u11
u13
c1
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Plan
1

• Parallèle entre générations de colonnes et
  méthode de plans coupants
• Problèmes de convergence et de stabilisation
• L'algorithme ACCP de Betrò
• Principe
• Interprétation géométrique et déroulement
• Améliorations et Stabilisation
• Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
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Paramétrage et améliorations

• Les poids de LB et de UB dans la combinaison
  convexe peuvent être ajustés
• L'idée est de privilégier la borne la plus proche
  de la valeur optimale
• Faire évoluer les poids pendant le déroulement de
  l'algorithme
• Favoriser UB lorsque le centre de la sphère
  estadmissible
• Favoriser LB lorsque le problème est infaisable
• Il est possible de mettre à jour UB plus souvent
  avec des solutions primales admissibles
• À partir du problème de la sphère
• En résolvant le primal

LB
UB
t
20
Stabiliser l'ACCP

• Les méthodes de boxstep ou de stabilisation par
  point intérieur peuvent s'appliquer à l'ACCP
• Pour le point intérieur adaptation très simple
• Attention pour le boxstep les contraintes de
  boîte peuvent rendre le problème infaisable
• Nécessité de discerner qui de la boîte ou de t
  cause l'infaisabilité
• Suppression temporaire des contraintes de boîte
• Si la boîte est responsable, on agrandit la boîte

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ACCP avec boxstep

• Reprenons l'exemple
• Départ
• LB 0
• UB c1 c2
• Le problème est infaisable
• suppression de la boîte
• le problème est faisable
• augmentation de la boîte
• Aucune contrainte n'est violée
• mise à jour de LB et de t
• augmentation de la boîte
• Le centre viole une contrainte
• On rajoute la contrainte
• Le problème est infaisable
• suppression de la boîte
• le problème est infaisable
• mise à jour de UB et de t

u2
c2
u23
u21
u20
u10
u1
u11
u13
c1
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Plan
1

• Parallèle entre générations de colonnes et
  méthode de plans coupants
• Problèmes de convergence et de stabilisation
• L'algorithme ACCP de Betrò
• Comparaison sur un problème de localisation

2
3
4
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Problème de localisation de concentrateurs

• But du problème
• On connaît les coordonnées d'un élément central
  et de clients
• Déterminer le nombre de concentrateurs et leurs
  emplacements de façon à minimiser les coûts de
  raccordement des clients au central
• Modèle
• E est l'ensemble des clients et P(E) l'ensemble
  des parties de E
• zi vaut 1 si la partie i se voit attribuer un
  SR, 0 sinon
• bij vaut 1 si le client j est dans la partie i,
  0 sinon
• ci correspond au coût total d'attribution d'un
  SR à la partie i

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Comparaison génération de colonnes classique et
ACCP

• Nous avons résolu la relaxation continue de notre
  problème avec deux méthodes de génération de
  colonnes
• Utilisation dun boxstep et dune stabilisation
  par point intérieur
• Le paramétrage des méthodes de stabilisation est
  identique
• Les colonnes sont initialisées à partir de
  solutions heuristiques
• Les instances sont générées aléatoirement
• 2 séries de dix instances de tailles similaires

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Temps de calcul

• Bonne initialisation
• 10 instances de taille 500
• 10 instances de taille 725
• Initialisation plus légère
• 10 instances de taille 500

• Centrale 606,7 s
• Centrale 1099,5 s
• Centrale 874.9 s

• Classique 2050,9 s
• Classique 6020,1 s
• Classique 2218.1 s

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Évolution des bornes
27
Références

• B. Betrò, An accelerated central cutting plane
  algorithm for linear semi-infinite programming,
  Mathematical Programming, Vol.101, 479-495, 2004.
• L-M. Rousseau, M. Gendreau, D. Feillet, Interior
  point stabilization for column generation,
  Operations Research Letters, Vol. 35, 660-668,
  2007
• J. Elzinga et T. G. Moore, A central cutting
  plane algorithm for the convex programming
  problem, Mathematical Programming, Vol.8,
  134-145, 1975.

28
Questions ?
29
L'Accelerated Central Cutting Plane

• Attention si tau devient proche de la valeur
  optimale trop rapidement, on perd la stabilité.
• Betrò propose de perturber tlorsque plusieurs
  coupes sont rajoutées successivement
• t t
• t (1-ß).t ß.UB
• La politique de mise à jourde t doit être
  choisiejudicieusement

u2
c2
u1
c1
Génération de colonnes 11/01/2010 p29
30
Résultats
31
Résultats avec une moins bonne initialisation

• Nombreux optimums locaux aléatoires heuristique
• Peu d'optimums locaux aléatoires

32
Comparaison avec notre heuristique

• Une heuristique multi-phase a été développée pour
  notre problème
• La résolution de la relaxation continue nous
  donne une borne inférieure