Mathesis, Mthode, Gomtrie II

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Mathesis, Méthode, Géométrie II

• Cours Master LOPHISS  Philosophie générale des
  sciences 
• D. Rabouin (REHSEIS SPHERE UMR 7219 CNRS
  Paris)

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• Résumé des épisodes précédents
• Complexité de ce quil faut entendre par
   philosophie cartésienne des mathématiques 
• Un acteur et pas seulement un spectateur de la
  science en marche une pratique qui évolue malgré
  lapparente continuité des programmes
• Tension entre les mathématiques comme modèle de
  certitude et lapproche  méthodique  qui
  suppose une réforme des sciences
• (analyse et synthèse)
• Une première solution la mathesis universalis
  et les remarques méthodologiques quon peut en
  tirer (exemple de linsertion des moyennes
  proportionnelles).

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• Règle VI Pour distinguer les choses les plus
  simples des autres embarrassées et pour les
  poursuivre avec ordre, il faut dans chaque suite
  de choses, où nous avons directement déduit les
  unes des autres quelques vérités, observer quel
  est le terme le plus simple, et comment tous
  les autres s'en éloignent plus, ou moins, ou
  également AT X, 381, 1-6.
• Il faut commencer, dit Descartes, par
   recueillir les vérités qui se rencontrent
  delles-mêmes, et (de) voir ensuite peu à peu, si
  quelques autres se peuvent déduire de ces
  premières, et derechef dautres de celles-ci, et
  ainsi de suite  (384, 12-15).
• Mais il ne sagit évidemment pas de sen tenir à
  un procédé synthétique, qui se contenterait de
  développer les données. Encore faut-il essayer de
  comprendre la raison de la plus ou moins facilité
  daccès à certaines vérités. Prenant lexemple
  simple dune suite de nombres en proportion
  continue (3, 6, 12, 24, 48), Descartes annonce
  alors 
• ensuite de quoi, encore que toutes ces
  opérations soient transparentes, au point
  quelles paraissent presque puériles, pourtant à
  y réfléchir avec attention, je comprends, selon
  quelle raison toutes les questions, qu'on peut
  proposer touchant les proportions ou les
  rapports, des choses, sont enveloppées, et
  suivant quel ordre il faut les chercher cela
  seul renferme la somme de toute la science
  purement mathématique (385, 1-4).
• La suite développe cet exemple
• Ici une difficulté le rapport entre déduction
  indirecte et déduction directe (puis-je toujours
  revenir de lune à lautre ?)
• Insister sur le fait que cette configuration est
  stable (Géométrie, Discours).

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• Mais, comme un homme qui marche seul et dans les
  ténèbres, je me résolus d'aller si lentement, et
  d'user de tant de circonspection et toutes
  choses, que, si je n'avançais que fort peu, je me
  garderais bien, au moins, de tomber. Même je ne
  voulus point commencer à rejeter tout à fait
  aucune des opinions, qui s'étaient pu glisser
  autrefois en ma créance sans y avoir été
  introduites par la raison, que je n'eusse
  auparavant employé assez de temps à faire le
  projet de l'ouvrage que j'entreprenais, et à
  chercher la vraie méthode pour parvenir à la
  connaissance de toutes les choses dont mon esprit
  serait capable.
• J'avais un peu étudié, étant plus jeune, entre
  les parties de la philosophie, à la logique, et
  entre les mathématiques, à l'analyse des
  géomètres et à l'algèbre, trois arts ou sciences
  qui semblaient devoir contribuer quelque chose à
  mon dessein. Mais, en les examinant, je pris
  garde que, pour la logique, ses syllogismes et la
  plupart de ses autres instructions servent plutôt
  à expliquer à autrui les choses qu'on sait, ou
  même, comme l'art de Lulle, à parler, sans
  jugement, de celles qu'on ignore, qu'à les
  apprendre. Et bien qu'elle contienne, en effet,
  beaucoup de préceptes très vrais et très bons, il
  y en a toutefois tant d'autres, mêlés parmi, qui
  sont ou nuisibles ou superflus, qu'il est presque
  aussi malaisé de les en séparer, que de tirer une
  Diane ou une Minerve hors d'un bloc de marbre qui
  n'est point encore ébauché. Puis, pour l'analyse
  des anciens et l'algèbre des modernes, outre
  qu'elles ne s'étendent qu'à des matières fort
  abstraites, et qui ne semblent d'aucun usage, la
  première est toujours si astreinte à la
  considération des figures, qu'elle ne peut
  exercer l'entendement sans fatiguer beaucoup
  l'imagination et on s'est tellement assujetti,
  en la dernière, à certaines règles et à certains
  chiffres, qu'on en a fait un art confus et
  obscur, qui embarrasse l'esprit, au lieu d'une
  science qui le cultive.
• Ce qui fut cause que je pensai qu'il fallait
  chercher quelque autre méthode, qui, comprenant
  les avantages de ces trois, fût exempte de leurs
  défauts. Et comme la multitude des lois fournit
  souvent des excuses aux vices, en sorte qu'un
  État est bien mieux réglé, lorsque, n'en ayant
  que fort peu, elles y sont fort étroitement
  observées ainsi, au lieu de ce grand nombre de
  préceptes dont la logique est composée, je crus
  que j'aurais assez des quatre suivants, pourvu
  que je prisse une ferme et constante résolution
  de ne manquer pas une seule fois à les observer.
• Le premier était de ne recevoir jamais aucune
  chose pour vraie, que je ne la connusse
  évidemment être telle c'est-à-dire, d'éviter
  soigneusement la précipitation, et la prévention
  et de ne comprendre rien de plus en mes
  jugements, que ce qui se présenterait si
  clairement et si distinctement à mon esprit, que
  je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute.
  
• Le second, de diviser chacune des difficultés que
  j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se
  pourrait, et qu'il serait requis pour les mieux
  résoudre.
• Le troisième, de conduire par ordre mes pensées,
  en commençant par les objets les plus simples et
  les plus aisés à connaître, pour monter peu à
  peu, comme par degrés, jusqu'à la connaissance
  des plus composés et supposant même de l'ordre
  entre ceux qui ne se précèdent point
  naturellement les uns les autres.
• Et le dernier, de faire partout des dénombrements
  si entiers, et des revues si générales, que je
  fusse assuré de ne rien omettre.
• Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et
  faciles, dont les géomètres ont coutume de se
  servir, Discours de la méthode II, AT VI, 17-19)

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• Quelle extension pour le modèle mathématique ?
• Règle VII Pour achever la science il faut
  parcourir une à une toutes les choses, qui
  touchent à notre dessein, par un mouvement
  continu et nulle part interrompu de la pensée, et
  les comprendre dans un dénombrement suffisant et
  fait selon l'ordre AT X, 387, 10-13
• Règle VIII Si dans la suite des choses à
  chercher sen présente une, que notre entendement
  ne puisse regarder assez bien, il faut sarrêter
  là, et il ne faut point examiner les suivantes,
  mais sabstenir dun travail superflu 
•  les trois règles précédentes prescrivent
  lordre et lexpliquent celle-ci montre, quand
  il est tout à fait nécessaire, et quand il est
  utile seulement  (392, 14-16).
• Cette règle va bien au-delà que déviter aux
   commençants  à ne pas perdre leur temps avec
  des questions insolubles  elle appelle à un
  examen critique de la raison, dont il nest pas
  moins important de connaître les pouvoirs que les
  limites (393, 3-21).

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• Premier Exemple la recherche de lanaclastique
• ( la ligne () dans laquelle les rayons
  parallèles se réfractent, de manière quaprès la
  réfraction ils se coupent tous en un point )
• Si, en un mot, quelqu'un qui a étudié la
  Mathématique seulement demande cette ligne, qu'on
  nomme en Dioptrique anaclastique, (), il
  remarquera sans doute aisément, suivant les
  cinquième et sixième règles, que la détermination
  de cette ligne dépend de la proportion,
  qu'observent les angles de réfraction avec les
  angles d'incidence mais il ne sera pas capable
  d'en poursuivre la recherche, puisqu'elle ne
  concerne pas la Mathesis, mais la Physique, il
  sera ici contraint de s'arrêter au seuil ().
• Si au contraire un homme, qui n'a pas étudié la
  Mathématique seulement, mais qui, suivant la
  première règle, désirerait chercher la vérité
  dans tout ce qui se présente, est tombé dans la
  même difficulté, il trouvera en outre, que cette
  proportion entre les angles d'incidence et de
  réfraction dépend encore du changement de ces
  angles mêmes selon la variété des milieux et
  derechef que ce changement dépend de la façon,
  dont le rayon pénètre à travers tout le diaphane,
  et que la connaissance de cette pénétration
  suppose que la nature de l'action de la lumière
  soit aussi connue enfin que pour entendre bien
  l'action de la lumière il faut savoir ce qu'est
  en général une puissance naturelle, ce qui à la
  fin est dans toute cette suite le terme le plus
  absolu AT X, 393, 22 - 395, 4.
• Une conséquence importante Lidée de
   méthode  ne sappuie donc pas sur la mathesis
  au sens où elle aurait comme visée une
   mathématisation  des phénomènes

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• Descartes contre Galilée
• Je trouve en général quil philosophe beaucoup
  mieux que le vulgaire, en ce quil quitte le plus
  quil peut les erreurs de lÉcole et tâche à
  examiner les matières physiques par des raisons
  mathématiques. En cela je maccorde entièrement
  avec lui et je tiens quil ny a dautre moyen
  pour trouver la vérité.
• Mais il me semble quil manque beaucoup en ce
  quil fait continuellement des digressions et ne
  sarrête point à expliquer tout à fait une
  matière ce qui montre quil ne les a pas
  examinées par ordre et que, sans avoir considéré
  les premières causes de la nature, il a seulement
  cherché les raisons de quelques effets
  particuliers et ainsi, quil a bâti sans
  fondement
• (à Mersenne 11 octobre 1638, AT II, 380)

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• Règle VIII, un deuxième exemple,  le plus
  excellent de tous   que pouvons-nous
  connaître ? 
• Ainsi donc rien ne peut être ici plus utile que
  de chercher, ce qu'est la connaissance humaine et
  jusqu'où elle s'étend. C'est pourquoi nous
  embrassons maintenant ceci même en une question
  unique, dont nous jugeons bon par les règles déjà
  traitées de faire l'examen avant toutes les
  autres et c'est ce que doivent faire une bonne
  fois dans la vie chacun de ceux qui aiment tant
  soit peu la vérité parce que cette recherche
  contient les vrais instruments du savoir et la
  méthode tout entière AT X, 397, 27-398, 5.
• Curieux nous navons donc pas suivi la voie qui
  permet de partir des  vrais instruments du
  savoir  et nous navons donc pas  la méthode
  tout entière .

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• La  méthode  comme processus évolutif
• On peut donc comparer cette méthode à ceux
  d'entre les arts mécaniques, qui n'ont nul besoin
  du secours de quelques autres, mais tirent
  d'eux-mêmes la manière dont il convient de
  fabriquer leurs propres instruments. Si quelqu'un
  voulait en effet exercer l'un d'entre eux, par
  exemple, celui du forgeron, mais qu'il soit
  démuni de tous les instruments, au début il
  serait certes contraint d'employer une pierre
  dure, ou quelque masse grossière de fer en guise
  d'enclume, de se choisir un caillou en lieu de
  maillet, d'assujettir des bois en tenailles, et
  d'en rassembler selon la nécessité d'autres de
  cette sorte ceux-ci une fois préparés, il
  n'entreprendra point aussitôt de forger des épées
  ou des casques, ni rien de ce qu'on fabrique avec
  du fer, à l'usage d'autrui mais avant toutes
  choses, il se forgera des maillets, une enclume,
  des tenailles, et tout le reste des outils
  nécessaires AT X, 397, 4-16.
• Conclusion 1 la mathesis universalis comme
  instrument  naturel  à partir duquel on peut
  construire des instruments (mathématiques et
  philosophiques) plus élaborés.

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• un nouveau programme quels sont les différents
  genres de connaissance et, corrélativement, quels
  sont les genres dobjets connus (à venir
  première ébauche dans la Règle XII) ?
• Descartes ne peut totalement échapper à cette
  tâche au moment de passer aux applications de la
  partie méthodologique consacrée aux
   propositions simples , cest-à-dire au
  traitement des  questions  (Règle XIII et
  suivantes)
• Une ébauche de théorie de la connaissance (RXII)
• Trois types de  natures simples 
   intellectuelles ,  matérielles  ou
   communes  AT X, 419, 6-420, 2.
• Le critère distinctif est lintervention de
  limagination, qui nest pas légitime dans le
  premier cas (nec ulla fingi potest idea corporea
  quae repraesentet), alors quelle est nécessaire
  dans le second (non nisi in corporibus esse
  cognoscuntur).
• Lanalyse mathématique na donc pas de légitimité
  à traiter les premières, puisquelle travaillera
  exclusivement avec l aide de limagination 
  cf. Règle XIV AT X, 438, 12 ut autem etiam
  imaginationis utamur adjumento. Justification du
  schématisme à partir de la Règle XII
• On peut certes considérer quune partie de cette
  méthode ressortit aux  natures communes  (parmi
  lesquelles figurent les axiomes mathématiques).
  Cest vraisemblablement le cas du traitement le
  plus élémentaire des proportions, tel quil est
  proposé dans la première partie du traité. Mais
  quoi quil en soit, et comme y a insisté la Règle
  IV, la valeur exemplaire de la mathesis pour
  lensemble des connaissances ne pourra donc
  valoir quà un niveau élémentaire. Dans le
  traitement des questions proprement dites, le
  recours à limagination servira de ligne de
  partage.

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je remarque premièrement la différence qui est
entre l'imagination et la pure intellection ou
conception. Par exemple, lorsque j'imagine un
triangle, je ne le conçois pas seulement comme
une figure composée et comprise de trois lignes,
mais outre cela je considère ces trois lignes
comme présentes par la force et l'application
intérieure de mon esprit  et c'est proprement ce
que j'appelle imaginer. Que si je veux penser à
un chiliogone, je conçois bien à la vérité que
c'est une figure composée de mille côtés, aussi
facilement que je conçois qu'un triangle est une
figure composée de trois côtés seulement  mais
je ne puis pas imaginer les mille côtés d'un
chiliogone, comme je fais les trois d'un
triangle, ni, pour ainsi dire, les regarder comme
présents avec les yeux de mon esprit. Et quoique,
suivant la coutume que j'ai de me servir toujours
de mon imagination, lorsque je pense aux choses
corporelles, il arrive qu'en concevant un
chiliogone je me représente confusément quelque
figure, toutefois il est très évident que cette
figure n'est point un chiliogone, puisqu'elle ne
diffère nullement de celle que je me
représenterais, si je pensais à un myriogone, ou
à quelque autre figure de beaucoup de côtés  et
qu'elle ne sert en aucune façon à découvrir les
propriétés qui font la différence du chiliogone
d'avec les autres polygones. Que s'il est
question de considérer un pentagone, il est bien
vrai que je puis concevoir sa figure, aussi bien
que celle d'un chiliogone, sans le secours de
l'imagination  mais je la puis aussi imaginer en
appliquant l'attention de mon esprit à chacun de
ses cinq côtés, et tout ensemble à l'aire, ou à
l'espace qu'ils renferment. Ainsi je connais
clairement que j'ai besoin d'une particulière
contention d'esprit pour imaginer, de laquelle je
ne me sers point pour concevoir  et cette
particulière contention d'esprit montre
évidemment la différence qui est entre
l'imagination et l'intellection ou conception
pure. Descartes Meditations métaphysiques VI
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• Lanalyse mathématique (XIV-XXI)
• Règle XIV justification du schématisme et de
  son universalité (recours à la Règle XII).
  Analyse des éléments nécessaires à la bonne
  position dun problème ( question )
  détermination des dimensions, choix dune unité,
  détermination des rapports (deux chapitres
   ordre et mesure ).
• A partir de la Règle XV, Descartes expose les
  premiers éléments dun calcul géométrique dans
  lequel les objets (grandeurs ou nombres) sont
  représentées par des longueurs et des rectangles
  ou ? on oublie trop souvent cette alternative ?
  des points et des réseaux de points (453-454).
• Ce schématisme étant posé, il est possible den
  proposer une traduction dans un symbolisme
  algébrique (XVI), ce qui permettra de consigner
  les raisonnements sans alourdir le travail de
  limagination

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REGLE XIV nous n'aurons pas peu de profit, si
nous transportons ce, que nous entendons pouvoir
être dit des grandeurs en général, à cette espèce
de grandeur, qui sera la plus facilement et la
plus distinctement de toutes dépeinte dans notre
imagination et que ce soit l'étendue réelle du
corps abstraite de tout autre chose, sauf de ce
qu'elle est figurée, cela suit de ce qu'on a dit
à la Règle XII, où nous avons conçu que la
fantaisie elle-même avec les idées qui y existent
n'est rien d'autre, qu'un vrai corps réel et
étendu et figuré. Ce qui est aussi évident par
soi, puisqu'en aucun autre sujet on ne fait voir
plus distinctement toutes les différences des
proportions (quod per se etiam est evidens, cum
in nullo alio subjecto distinctius omnes
proportionum differentiae exhibeantur) car bien
qu'une chose puisse être dite plus ou moins
blanche qu'une autre, et même un son plus ou
moins aigu qu'un autre, et ainsi du reste, nous
ne pouvons cependant déterminer exactement
(exacte definire), si cet excès consiste en une
proportion double, ou triple, etc., sinon avec
une certaine analogie (per analogiam quamdam)
avec l'étendue du corps figuré RXIV, AT X, 441,
4-20.
14
REGLE XV
15
(No Transcript)
16
REGLE XVI
17
La fin de la partie rédigée des Regulae la
Règle XVIII sarrête sur le problème de
linsertion dune moyenne
18
La fin de partie rédigée  Cest pourquoi il
vaut la peine dexposer ici, comment tout
rectangle se peut transformer en ligne, et
réciproquement une ligne ou même un rectangle en
un autre, dont un côté soit désigné, ce qui est
très aisé pour les Géomètres () Et bien que ce
soit connu même par des enfants en Géométrie, je
veux lexposer pourtant, de peur de paraître
omettre quelque chose  (et la suite manque !)
Mais pour transformer un rectangle en carré (ce
qui, en termes modernes, revient à trouver la
racine carré ou moyenne proportionnelle), on a
besoin du cercle ! (on le voit bien ici dans la
version  visuelle  dEuclide II, 14 ci-contre,
proposée par Byrne à la fin du XIXe s.)
19
Insérer une moyenne proportionnelle il faut le
cercle ! (Euclide VI, 13, dans la version Byrne)
20
La Géométrie (1637)
21
La Géométrie le cercle entre dans le
schématisme géométrique
22
La géométrie réalise-t-elle, en ladaptant,
lextension de la mathesis universalis ?

• A Ciermans qui propose en 1638 le titre de
  mathesis pura pour la Géométrie, Descartes oppose
  de la manière la plus claire une fin de non
  recevoir 
•  car je n'ai expliqué en ce traité-là pas une
  des questions qui appartiennent proprement à
  l'Arithmétique, ni même de celles où l'on
  considère l'ordre et la mesure, comme a fait
  Diophante, mais bien davantage je n'y ai point
  traité du mouvement, quoi que la mathématique
  pure, au moins celle que j'ai le plus cultivée,
  en fasse son principal objet . A Ciermans, 23
  mars 1638 AT II, 70-71, trad. Clerselier (1663).

23

• la lettre à Mersenne du 27 juillet 1638
• Mr des Argues m'oblige du soin qu'il lui plaît
  d'avoir de moi, en ce qu'il témoigne être marri
  de ce que je ne veux plus étudier en Géométrie.
  Mais je n'ai résolu de quitter que la Géométrie
  abstraite, c'est-à-dire la recherche des
  questions qui ne servent qu'à exercer l'esprit
  et ce afin d'avoir d'autant plus de loisir de
  cultiver une autre sorte de Géométrie, qui se
  propose pour questions l'explication des
  phénomènes de la nature. Car s'il lui plaît de
  considérer ce que j'ai écrit du sel, de la neige,
  de l'arc-en-ciel etc., il connaîtra bien que
  toute ma Physique n'est autre chose que Géométrie
  AT II, 268. Nous soulignons.
• Vers la mathesis pura et abstracta
• Cf. Frédéric De Buzon 1996, La mathesis des
  Principia remarques sur II, 64 , dans
  Jean-Robert Armogathe et Giulia Belgioioso,
  Principia Philosophiae (1644-1994) atti del
  Convegno per il 350 anniversario della
  pubblicazione dell'opera, Naples, Vivarium, p.
  303-320.
• les raisons dun abandon.

24

• Et en toutes les neuf années suivantes, je ne fis
  autre chose que rouler çà et là dans le monde,
  tâchant d'y être spectateur plutôt qu'acteur en
  toutes les comédies qui s'y jouent et faisant
  particulièrement réflexion, en chaque matière,
  sur ce qui la pouvait rendre suspecte, et nous
  donner occasion de nous méprendre, je déracinais
  cependant de mon esprit toutes les erreurs qui
  s'y étaient pu glisser auparavant. Non que
  j'imitasse pour cela les sceptiques, qui ne
  doutent que pour douter, et affectent d'être
  toujours irrésolus car, au contraire, tout mon
  dessein ne tendait qu'à m'assurer, et à rejeter
  la terre mouvante et le sable, pour trouver le
  roc ou l'argile ()
• Et de plus, je continuais à m'exercer en la
  méthode que je m'étais prescrite car, outre que
  j'avais soin de conduire généralement toutes mes
  pensées selon ses règles, je me réservais de
  temps en temps quelques heures, que j'employais
  particulièrement à la pratiquer en des
  difficultés de mathématique, ou même aussi en
  quelques autres que je pouvais rendre quasi
  semblables à celles des mathématiques, en les
  détachant de tous les principes des autres
  sciences, que je ne trouvais pas assez fermes,
  comme vous verrez que j'ai fait en plusieurs qui
  sont expliquées en ce volume. ()
• Toutefois ces neuf ans s'écoulèrent avant que
  j'eusse encore pris aucun parti, touchant les
  difficultés qui ont coutume d'être disputées
  entre les doctes, ni commencé à chercher les
  fondements d'aucune philosophie plus certaine que
  la vulgaire. Et l'exemple de plusieurs excellents
  esprits, qui, en ayant eu ci-devant le dessein,
  me semblaient n'y avoir pas réussi, m'y faisait
  imaginer tant de difficulté, que je n'eusse
  peut-être pas encore si tôt osé l'entreprendre,
  si je n'eusse vu que quelques-uns faisaient déjà
  courre le bruit que j'en étais venu à bout. Je ne
  saurais pas dire sur quoi ils fondaient cette
  opinion et si j'y ai contribué quelque chose par
  mes discours, ce doit avoir été en confessant
  plus ingénument ce que j'ignorais, que n'ont
  coutume de faire ceux qui ont un peu étudié, et
  peut-être aussi en faisant voir les raisons que
  j'avais de douter de beaucoup de choses que les
  autres estiment certaines, plutôt qu'en me
  vantant d'aucune doctrine. Mais ayant le cur
  assez bon pour ne vouloir point qu'on me prît
  pour autre que je n'étais, je pensai qu'il
  fallait que je tâchasse, par tous moyens, à me
  rendre digne de la réputation qu'on me donnait
• et il y a justement huit ans, que ce désir me fit
  résoudre à m'éloigner de tous les lieux où je
  pouvais avoir des connaissances, et à me retirer
  ici, en un pays où la longue durée de la guerre a
  fait établir de tels ordres, que les armées qu'on
  y entretient ne semblent servir qu'à faire qu'on
  y jouisse des fruits de la paix avec d'autant
  plus de sûreté, et où parmi la foule d'un grand
  peuple fort actif, et plus soigneux de ses
  propres affaires que curieux de celles d'autrui,
  sans manquer d'aucune des commodités qui sont
  dans les villes les plus fréquentées, j'ai pu
  vivre aussi solitaire et retiré que dans les
  déserts les plus écartés.
• DM III, AT VI, 28-31

25

• lettre à Mersenne d'octobre 1629, où le
  philosophe déclare, après avoir mentionné le
  projet d'un traité sur les Météores Pour la
  Raréfaction je suis d'accord avec ce Médecin et
  ai maintenant pris parti touchant tous les
  fondements de la Philosophie AT I, 25

26

• A Mersenne 15 avril 1630
•  Cela ne m'empêchera pas d'achever le petit
  traité que j'ai commencé mais je ne désire pas
  qu'on le sache, afin d'avoir toujours la liberté
  de le désavouer et j'y travaille fort lentement,
  parce que je prends beaucoup plus de plaisir à
  m'instruire moi-même, que non pas à mettre par
  écrit le peu que je sais. J'étudie maintenant en
  chimie et en anatomie tout ensemble, et apprends
  tous les jours quelque chose que je ne trouve pas
  dedans les livres. 
• Fin annoncée 1633
•  Que si vous trouvez étrange de ce que j'avais
  commencé quelques autres traités étant à Paris,
  lesquels je n'ai pas continués, je vous en dirai
  la raison 
•  Pour des problèmes, je vous en enverrai un
  million pour proposer aux autres, si vous le
  désirez mais je suis si las des mathématiques,
  et en fais maintenant si peu d'état, que je ne
  saurais plus prendre la peine de les soudre
  moi-même 
• Réponse à une question de Mersenne sur la
  condensation et la raréfaction
•  Mais toutes les difficultés de physique
  touchant lesquelles je vous ai mandé que j'avais
  pris parti, sont tellement enchaînées, et
  dépendent si fort les unes des autres, qu'il me
  serait impossible d'en démontrer une, sans les
  démontrer toutes ensemble ce que je ne saurais
  faire plutôt ni plus succinctement que dans le
  traité que je prépare. 

27
Pour votre question de théologie, encore qu'elle
passe la capacité de mon esprit, elle ne me
semble pas toutefois hors de ma profession, parce
qu'elle ne touche point à ce qui dépend de la
révélation, ce que je nomme proprement théologie
mais elle est plutôt métaphysique et se doit
examiner par la raison humaine. Or j'estime que
tous ceux à qui Dieu a donné l'usage de cette
raison, sont obligés de l'employer principalement
pour tâcher à le connaître, et à se connaître
eux-mêmes. C'est par là que j'ai tâché de
commencer mes études et je vous dirai que je
n'eusse su trouver les fondements de la physique,
si je ne les eusse cherchés par cette voie. Mais
c'est la matière que j'ai le plus étudiée de
toutes, et en laquelle, grâces à Dieu, je me suis
aucunement satisfait au moins pensai-je avoir
trouvé comment on peut démontrer les vérités
métaphysiques, d'une façon qui est plus évidente
que les démonstrations de géométrie je dis ceci
selon mon jugement, car je ne sais pas si je le
pourrai persuader aux autres. Les 9 premiers mois
que j'ai été en ce pays, je n'ai travaillé à
autre chose. AT I, 144
28

• Petit excursus le dispositif des Méditations
  (1641/1647)
• MÉDITATIONS TOUCHANT LA PREMIÈRE PHILOSOPHIE
• Dans lesquelles l'Existence de Dieu et la
  Distinction Réelle entre l'Ame et le Corps de
  l'Homme sont Démontrées
• A Messieurs les Doyens et Docteurs de la Sacrée
  Faculté de Théologie de Paris
• Messieurs,
• La raison qui me porte à vous présenter cet
  ouvrage est si juste, et, quand vous en
  connaîtrez le dessein, je m'assure que vous en
  aurez aussi une si juste de le prendre en votre
  protection, que je pense ne pouvoir mieux faire,
  pour vous le rendre en quelque sorte
  recommandable, qu'en vous disant en peu de mots
  ce que je m'y suis proposé. J'ai toujours estimé
  que ces deux questions, de Dieu et de l'âme,
  étaient les principales de celles qui doivent
  plutôt être démontrées par les raisons de la
  philosophie que de la théologie car bien qu'il
  nous suffise, à nous autres qui sommes fidèles,
  de croire par la foi qu'il y a un Dieu, et que
  l'âme humaine ne meurt point avec le corps,
  certainement il ne semble pas possible de pouvoir
  jamais persuader aux infidèles aucune religion,
  ni quasi même aucune vertu morale, si
  premièrement on ne leur prouve ces deux choses
  par raison naturelle. Et d'autant qu'on propose
  souvent en cette vie de plus grandes récompenses
  pour les vices que pour les vertus, peu de
  personnes préféreraient le juste à l'utile, si
  elles n'étaient retenues, ni par la crainte de
  Dieu, ni par l'attente d'une autre vie
• C'est pourquoi j'ai pensé qu'il ne serait point
  hors de propos, que je fisse voir ici par quels
  moyens cela se peut faire, et quelle voie il faut
  tenir, pour arriver à la connaissance de Dieu
  avec plus de facilité et de certitude que nous ne
  connaissons les choses de ce monde AT IXa, 4

29

• Davantage, sachant que la principale raison, qui
  fait que plusieurs impies ne veulent point croire
  qu'il y a un Dieu, et que l'âme humaine est
  distincte du corps, est qu'ils disent que
  personne jusqu'ici n'a pu démontrer ces deux
  choses quoique je ne sois point de leur opinion,
  mais qu'au contraire je tienne que presque toutes
  les raisons qui ont été apportées par tant de
  grands personnages, touchant ces deux questions,
  sont autant de démonstrations, quand elles sont
  bien entendues, et qu'il soit presque impossible
  d'en inventer de nouvelles si est-ce que je
  crois qu'on ne saurait rien faire de plus utile
  en la philosophie, que d'en rechercher une fois
  curieusement et avec soin les meilleures et plus
  solides, et les disposer en un ordre si clair et
  si exact, qu'il soit constant désormais à tout le
  monde, que ce sont de véritables démonstrations.
  Et enfin, d'autant que plusieurs personnes ont
  désiré cela de moi, qui ont connaissance que j'ai
  cultivé une certaine méthode pour résoudre toutes
  sortes de difficultés dans les sciences méthode
  qui de vrai n'est pas nouvelle, n'y ayant rien de
  plus ancien que la vérité, mais de laquelle ils
  savent que je me suis servi assez heureusement en
  d'autres rencontres j'ai pensé qu'il était de
  mon devoir de tenter quelque chose sur ce sujet.
• Tout ainsi que dans la géométrie il y en a
  plusieurs qui nous ont été laissées par
  Archimède, par Apollonius, par Pappus, et par
  plusieurs autres, qui sont reçues de tout le
  monde pour très certaines et très évidentes,
  parce qu'elles ne contiennent rien qui, considéré
  séparément, ne soit très facile à connaître, et
  qu'il n'y a point d'endroit où les conséquences
  ne cadrent et ne conviennent fort bien avec les
  antécédents néanmoins, parce qu'elles sont un
  peu longues, et qu'elles demandent un esprit tout
  entier, elles ne sont comprises et entendues que
  de fort peu de personnes de même, encore que
  j'estime que celles dont je me sers ici, égalent,
  voire même surpassent en certitude et évidence
  les démonstrations de géométrie
• AT IXa, 6-7

30

• Retour à la lettre du 15 avril 1630 les vérités
  éternelles
• Mais je ne laisserai pas de toucher en ma
  Physique plusieurs questions métaphysiques, et
  particulièrement celle-ci Que les vérités
  mathématiques, lesquelles vous nommez éternelles,
  ont été établies de Dieu et en dépendent
  entièrement, aussi bien que tout le reste des
  créatures.
• C'est en effet parler de Dieu comme d'un Jupiter
  ou Saturne, et l'assujettir au Styx et aux
  Destinées, que de dire que ces vérités sont
  indépendantes de lui. Ne craignez point, je vous
  prie, d'assurer et de publier partout, que c'est
  Dieu qui a établi ces lois en la nature, ainsi
  qu'un roi établit des lois en son royaume. Or il
  n'y en a aucune en particulier que nous ne
  puissions comprendre si notre esprit se porte à
  la considérer, et elles sont toutes mentibus
  nostris ingenitæ, ainsi qu'un roi imprimerait ses
  lois dans le cur de tous ses sujets, s'il en
  avait aussi bien le pouvoir. Au contraire nous ne
  pouvons comprendre la grandeur de Dieu, encore
  que nous la connaissions. Mais cela même que nous
  la jugeons incompréhensible nous la fait estimer
  davantage ainsi qu'un roi a plus de majesté
  lorsqu'il est moins familièrement connu de ses
  sujets, pourvu toutefois qu'ils ne pensent pas
  pour cela être sans roi, et qu'ils le connaissent
  assez pour n'en point douter.
• On vous dira que si Dieu avait établi ces
  vérités, il les pourrait changer comme un roi
  fait ses lois à quoi il faut répondre qu'oui, si
  sa volonté peut changer. Mais je les comprends
  comme éternelles et immuables. Et moi je juge
  le même de Dieu. Mais sa volonté est libre.
  Oui, mais sa puissance est incompréhensible et
  généralement nous pouvons bien assurer que Dieu
  peut faire tout ce que nous pouvons comprendre,
  mais non pas qu'il ne peut faire ce que nous ne
  pouvons pas comprendre car ce serait témérité de
  penser que notre imagination a autant d'étendue
  que sa puissance. J'espère écrire ceci, même
  avant qu'il soit 15 jours, dans ma physique mais
  je ne vous prie point pour cela de le tenir
  secret au contraire je vous convie de le dire
  aussi souvent que l'occasion s'en présentera,
  pourvu que ce soit sans me nommer car je serai
  bien aise de savoir les objections qu'on pourra
  faire contre, et aussi que le monde s'accoutume à
  entendre parler de Dieu plus dignement, ce me
  semble, que n'en parle le vulgaire, qui l'imagine
  presque toujours ainsi qu'une chose finie
• Mais à propos de l'infini, vous m'en proposiez
  une question en votre lettre du 14 mars, qui est
  tout ce que j'y trouve de plus qu'en la dernière.
  Vous disiez que s'il y avait une ligne infinie,
  elle aurait un nombre infini de pieds et de
  toises, et par conséquent que le nombre infini
  des pieds serait 6 fois plus grand que le nombre
  des toises. Concedo totum. Donc ce dernier
  n'est pas infini. Nego consequentiam. Mais un
  infini ne peut être plus grand que l'autre.
  Pourquoi non? Quid absurdi? principalement s'il
  est seulement plus grand in ratione finita, ut
  hic ubi multiplicatio per 6 est ratio finita, quæ
  nihil attinet ad infinitum. Et de plus, quelle
  raison avons-nous de juger si un infini peut être
  plus grand que l'autre, ou non? vu qu'il
  cesserait d'être infini, si nous le pouvions
  comprendre. Conservez-moi l'honneur de vos bonnes
  grâces. Je suis
• AT I, 145-147

31

• Lettre à Mersenne, 27 mai ou 3 juin 1630
• Vous me demandez in quo genere causæ Deus
  disposuit æternas veritates. Je vous réponds que
  c'est in eodem genere causæ qu'il a créé toutes
  choses, c'est-à-dire ut efficiens et totalis
  causa.
• Car il est certain qu'il est aussi bien auteur de
  l'essence comme de l'existence des créatures or
  cette essence n'est autre chose que ces vérités
  éternelles, lesquelles je ne conçois point émaner
  de Dieu, comme les rayons du soleil mais je sais
  que Dieu est auteur de toutes choses, et que ces
  vérités sont quelque chose, et par conséquent
  qu'il en est auteur. Je dis que je le sais, et
  non pas que je le conçois ni que je le comprends
  car on peut savoir que Dieu est infini et
  tout-puissant, encore que notre âme étant finie
  ne le puisse comprendre ni concevoir de même que
  nous pouvons bien toucher avec les mains une
  montagne, mais non pas l'embrasser comme nous
  ferions un arbre, ou quelqu'autre chose que ce
  soit, qui n'excédât point la grandeur de nos
  bras car comprendre, c'est embrasser de la
  pensée mais pour savoir une chose, il suffit de
  la toucher de la pensée. Vous demandez aussi qui
  a nécessité Dieu à créer ces vérités et je dis
  qu'il a été aussi libre de faire qu'il ne fût pas
  vrai que toutes les lignes tirées du centre à la
  circonférence fussent égales, comme de ne pas
  créer le monde. Et il est certain que ces vérités
  ne sont pas plus nécessairement conjointes à son
  essence, que les autres créatures. Vous demandez
  ce que Dieu a fait pour les produire. Je dis que
  ex hoc ipso quod illas ab æterno esse voluerit et
  intellexerit, illas creavit, ou bien (si vous
  n'attribuez le mot de creavit qu'à l'existence
  des choses) illas disposuit et fecit. Car c'est
  en Dieu une même chose de vouloir, d'entendre, et
  de créer, sans que l'un précède l'autre, ne
  quidem ratione. AT I, 152-153

32
Le Monde ou traité de la Lumière (édition 1677)
33

• Bien que la mer ne soit pas infinie, ceux qui
  sont au milieu sur quelque vaisseau peuvent
  étendre leur vue, ce semble, à l'infini et
  toutefois il y a encore de l'eau au delà de ce
  qu'ils voient. Ainsi, encore que notre
  imagination semble se pouvoir étendre à l'infini
  et que cette nouvelle matière ne soit pas
  supposée être infinie, nous pouvons bien
  toutefois supposer qu'elle remplit des espaces
  beaucoup plus grands que tous ceux que nous
  aurons imaginés. Et même afin qu'il n'y ait rien
  en tout ceci où vous puissiez trouver à redire,
  ne permettons pas à notre imagination de
  s'étendre si loin qu'elle pourrait mais
  retenons-la tout à dessein dans un espace
  déterminé, qui ne soit pas plus grand, par
  exemple, que la distance qui est depuis la Terre
  jusques aux principales étoiles du firmament, et
  supposons que la matière que Dieu aura créée
  s'étend bien loin au-delà de tous côtés, jusque à
  une distance indéfinie. Car il y a bien plus
  d'apparence et nous avons bien mieux le pouvoir
  de prescrire des bornes à l'action de notre
  pensée, que non pas aux uvres de Dieu Le Monde
  VI, AT XI, 32, 12 - 33, 3.

34

• Ajoutons à cela que cette matière peut être
  divisée en toutes les parties et selon toutes les
  figures que nous pouvons imaginer et que
  chacune de ses parties est capable de recevoir en
  soi tous les mouvements que nous pouvons aussi
  concevoir. Et supposons de plus que Dieu la
  divise véritablement en plusieurs telles parties,
  les unes plus grosses, les autres plus petites,
  les unes d'une figure, les autres d'une autre,
  telles qu'il nous plaira de les feindre. Non pas
  qu'il les sépare pour cela l'une de l'autre, en
  sorte qu'il y a ait quelque vide entre deux
  mais pensons que toute la distinction qu'il y met
  consiste dans la diversité des mouvements qu'il
  leur donne, faisant que, dès le premier instant
  qu'elles sont créées, les unes commencement à se
  mouvoir d'un côté, les autres d'un autre les
  une plus vite, les autres plus lentement (ou
  même, si vous voulez, point du tout) et qu'elles
  continuent par après leur mouvement suivant les
  lois ordinaires de la Nature AT XI, 34, 1-18.

35

• Conclusion
• Stabilité de certains éléments (méthode, rôle de
  la certitude), mais évolution profonde et des
   fondements  philosophiques et de la pratique
  scientifique qui laccompagne
• Merci !