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FUNCIONES

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La variable x es la pre - imagen de y por f. ... ALGEBRA DE FUNCIONES. Sean f y g dos funciones, entonces, se obtienen las siguientes funciones: ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: FUNCIONES


1
FUNCIONES
2
INTRODUCCIÓN
  • En la vida diaria nos encontramos (a veces sin
    darnos cuenta) con la noción de correspondencia.
    Muchos modelos matemáticos se describen mediante
    el concepto de función.

3
EJEMPLOS
  • Un fabricante desea conocer la relación o
    correspondencia entre las ganancias de su
    compañía y su nivel de producción.
  • Un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de
    cierto cultivo de bacteria con el paso del tiempo.

4
EJEMPLOS
  • Un psicólogo quisiera conocer la relación o
    correspondencia entre el tiempo de aprendizaje de
    un individuo y la longitud de una lista de
    palabras.
  • Un químico le interesa la relación o
    correspondencia entre la velocidad inicial de una
    reacción química y la cantidad de sustrato
    utilizado, etc.

5
  • Una función es una regla de correspondencia
    entre dos conjuntos de tal manera que a cada
    elemento del primer conjunto le corresponde uno y
    sólo un elemento del segundo conjunto.

6
DEFINICIÓN
  • Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f una regla
    que hace corresponder a cada elemento x de A un
    único elemento y de B.

7
  • Esta correspondencia se llama FUNCIÓN de A en B
    y se denota por
  • f A ? B
  • x ? y f(x),
  • lo cual se lee f de x

8
Una definición equivalente
  • Sea f A ? B una relación, entonces se dice
    que f es una función si y sólo si

9
EJEMPLO DE FUNCIÓN
10
OBSERVACIÓN
  • La variable y se denomina imagen de x mediante f.
  • La variable x es la pre - imagen de y por f.
  • La variable x se denomina variable independiente
    y a y variable dependiente.

11
FORMAS DE ESPECIFICAR FUNCIONES
  • Generalmente las funciones se expresan
    estableciendo el valor de la función por medio de
    una expresión algebraica en términos de la
    variable independiente.
  • Ejemplo
  • f(x) 4x - 4

12
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
  • Es el conjunto de valores para los cuales la
    función está definida. Es el conjunto de las pre
    imágenes.
  • Matemáticamente el dominio viene dado por

13
RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
  • Es el conjunto de imágenes de f.
  • Matemáticamente el dominio viene dado por

14
CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES
15
FUNCIÓN INYECTIVA
  • Sea f A ?B, tal que f(x) y, f es inyectiva
    si y solo si
  • f(x1) f(x2) ? x1 x2

16
FUNCIÓN INYECTIVA
17
FUNCIÓN SOBREYECTIVA
  • Sea f A ?B, tal que f(x) y, f es sobreyectiva
    si y solo si

18
Observación
  • La función f es sobreyectiva si y solo si Todo
    elemento de B es imagen de algún elemento de A
  • La función f es sobreyectiva si y solo si Rec f
    B

19
Función Sobreyectiva
20
FUNCIÓN BIYECTIVA
  • Una función f es biyectiva si es inyectiva y
    sobreyectiva.

21
FUNCIÓN INVERSA
  • Toda función admite una inversa, sin embargo no
    toda inversa es una función.
  • El siguiente teorema indica bajo que condiciones
    una función tiene inversa.

22
TEOREMA
  • Sea f A?B una función, f tiene inversa,
    denotada por f-1 si y sólo si f es biyectiva.

23
ALGEBRA DE FUNCIONES
24
  • Sean f y g dos funciones, entonces, se obtienen
    las siguientes funciones

25
Observación
  • El dominio de la suma, diferencia y producto es
    la intersección del dominio de f con el dominio
    de g.
  • El dominio de la división es la intersección del
    dominio de f con el dominio de g sin los números
    para los cuales g(x) 0.

26
FUNCION COMPUESTA
  • Definición
  • Dadas dos funciones f(x) y g(x), se llama función
    compuesta (g o f)(x) a la función (g o f)(x)
    g(f(x))

27
OBSERVACIÓN
  • Observando el esquema anterior observamos que
    para que exista la función compuesta es necesario
    que el recorrido de la función f quede totalmente
    incluido en el dominio de la función g.

28
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
  • El conjunto de los pares (x, y) determinados por
    la función recibe el nombre de gráfico de la
    función.

29
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
30
Criterio De La Línea Vertical
  • Permite comprobar si una gráfica representa una
    función matemática.
  • Consiste en trazar una línea vertical en
    cualquier valor del dominio y si esta intersecta
    a la curva en más de un punto la gráfica no
    representa a una función.

31
Criterio De La Línea Vertical
32
INTERSECCIÓN CON LOS EJES
  • Corresponde a los puntos donde la gráfica corta
    a los ejes.
  • Intersección con el eje x Corresponde al punto
    (x,0).
  • Intersección con el eje y Corresponde al punto
    (0, y)

33
FUNCIÓN PAR
  • Sea f una función, f es par si y solo si
  • f(-x) f(x)
  • Para todo x- x pertenecientes al Dominio de f.

34
FUNCIÓN IMPAR
  • Sea f una función, f es impar si y solo si
  • f(-x) - f(x)
  • Para todo x- x pertenecientes al Dominio de f.

35
FUNCIONES REALES ESPECIALES
36
FUNCION CONSTANTE
  • Definición La función f R?R es función
    constante y viene expresada por
  • Características
  • Dom f(x) R
  • Rec f(x) c.

37
Grafica
  • La gráfica es una recta paralela al eje x que
    intersecta al eje y en el punto (0,c), esto es

38
FUNCIÓN IDENTIDAD
  • Definición La función f R?R es función identica
    y viene expresada por
  • Características
  • Dom f(x) R
  • Rec f(x) R

39
Grafica
  • La gráfica es una recta que pasa por el origen,
    esto es

40
FUNCION LINEAL
  • Definición La función f R?R es f. lineal y
    viene expresada por
  • Características
  • Dom f(x) R
  • Rec f(x) R

41
Grafica
  • La gráfica de esta función depende del valor que
    toma m.
  • 1. Si m gt 0

42
  • 2. Si m lt 0

43
  • 3. Si m 0

44
  • 4. Si m es indefinido

45
ANALISIS DE LA FUNCION LINEAL
46
PENDIENTE
La pendiente de una recta también se denomina
coeficiente angular de la recta. Este nombre se
debe a que el valor de la pendiente permite
calcular la medida del ángulo de inclinación de
la recta respecto al eje horizontal (eje x).   La
pendiente de una recta que pasa por los puntos P
(x1,y1) y Q (x2,y2) viene dada por

47
COEFICIENTE DE POSICIÓN
  • Corresponde al punto de intersección de la recta
    con el eje y. Viene dado por el punto (0, y). Se
    denota por n.

48
Ecuación de la Recta
49
ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE
  • Si se conoce la pendiente m de una recta y uno
    de sus puntos P ( x1 , y1 ), entonces la ecuación
    viene dada por

50
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
  • La Ecuación General De Una Recta en dos
    variables x e y viene dada por

51
FUNCIÓN CUADRATICA
  • Definición La función f R?R es f. cuadrática si
    y solo si

52
Características
  • Dom f(x) R
  • El recorrido viene dado por

53
Grafica
  • 1. Si a gt 0, la gráfica es cóncava hacia arriba.

54
Grafica
  • Si a lt 0, la gráfica es cóncava hacia abajo.

55
ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
56
CONCAVIDAD
  • La gráfica de la función cuadrática f(x) ax2
    bx c es una parábola cóncava hacia arriba si a
    gt 0 y cóncava hacia abajo si a lt0.

57
Vértice
  • Corresponde al punto más alto o punto máximo si
    la parábola es cóncava hacia abajo (alt0), y al
    punto mínimo si la parábola es cóncava hacia
    arriba (agt0). Tiene las siguientes coordenadas

58
FUNCIÓN RACIONAL
  • Definición Sea p(x) y q(x) dos polinomios,
    entonces se define la función racional

59
Características
  • Asíntota Vertical
  • Se dice que la recta x a es una asíntota
    vertical para la gráfica de una función f si

60
Características
  • Asíntota Horizontal
  • Se dice que la recta y c es una asíntota
    horizontal para la gráfica de una función f si

61
Características
  • En particular las asíntotas corresponden a las
    restricciones del dominio y recorrido de una
    función

62
FUNCIÓN IRRACIONAL
  • Definición La función f es irracional si y solo
    si
  • Características
  • Dom f R U 0
  • Rec f R U 0

63
Grafica
64
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
  • Definición La función f R?R se llama f. valor
    absoluto si y solo si

65
Características
  • Dom f R
  • Rec f R U 0
  • La gráfica viene dada por

66
FUNCIÓN EXPONENCIAL
  • Definición La función f R?R se llama f.
    exponencial con base b si y solo si
  • Características
  • Dom f R
  • Rec f R

67
Grafica
  • Si b gt 1

68
Grafica
  • Si 0 lt b lt1

69
NUMERO NATURAL e
  • La base b más importante es el número irracional
    e 2,7182
  • La grafica de la función f(x) ex

70
FUNCIÓN LOGARITMO
  • Definición La función f R?R se llama f.
    logaritmo con base b si y solo si
  • Características
  • Dom f R
  • Rec f R

71
Grafica
  • Si b gt1

72
Grafica
  • Si 0 lt b lt 1

73
LOGARITMO COMUN Y NATURAL
  • 1. Si la base b e, entonces se llama logaritmo
    natural y viene dado por
  • y Ln x
  • Si la base b 10 entonces se llama logaritmo
    decimal y viene dado por
  • y log x

74
  • FUNCIONES
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