Prsentation PowerPoint

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• Movimiento oscilatorio
• Def Se dice que una partícula oscila (vibra)
  cuando realiza un movimiento periódico en torno a
  la posición de equilibrio
• r(tT)r(t) ?t
• T periodo fundamental de la oscilación
• Ejemplo
• Mov. ideal de un péndulo
• Mov. ideal de una masa en el extremo de un
  resorte.
• Mov. de los átomos de un sólido respecto de sus
  posiciones de equilibrio.
• Movimiento Armónico Simple (MAS)
• Def Se dice que un sistema físico describe un
  MAS cuando los coordenadas que lo describen
  verifiquen la siguiente ecuación diferencial

i1, .,N (nr. grados libertad)
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Solución de la ecuación diferencial anterior
Soluciones particulares lin.independientes
Parámetros fijados por las cond. iniciales
Se pasa de C1 y C2 a los parámetros Ai y ?i,
donde Ai -amplitud de la oscilación, ?i -fase
inicial de la oscilación
Se puede escribir la evolución de la coordenada
xi así
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• En general
• Siempre que la variación de la magnitud en
  función del tiempo son de tipo sen o cos (o
  combinación de ambos), está se dirá armónica.
• Se comprueba que el MAS es dado por la ecuación

Que proviene de la EDO
Es un movimiento periódico con periodo
La frecuencia del MAS

• Si la coordenada x presenta MAS, es decir si
  varia
  senosoidalmente con el tiempo
  su velocidad (es decir
  ) también varia
• senosoidalmente con el tiempo, solo que la
  diferencia de fase respecto a x es de

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La aceleración tiene un
desfase respecto de x en ?
Se puede comprobar la verificación del EDO del
MAS
La aceleración y con ello la fuerza es siempre
opuesta al desplazamiento en MAS. N.B. x no
tiene porque ser coordenada cartesiana, difieren
de la definición de velocidad y aceleración
definidas en mecánica. Se deben entender como
derivada primera respecto al tiempo y como
derivada segunda respecto del tiempo.
5
Cálculo de A y ?, respecto de

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• Ejemplos de sistemas físicos que presentan MAS
• Péndulo simple
• Def. Partícula de masa m, suspendido de un punto
  O fijo en un SRI, por una cuerda inextensible y
  sin masa, de longitud L, y sometida al campo de
  atracción gravitatorio.

• Grados de libertad1
• Coordenada que describe el movimiento ?
• Ecuaciones del mov las de un mov circular de
  radio L

?
T
W
FT
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También se puede obtener esta ecuación a partir
del principio de conservación de la energía
EEkEpconst
L
Lcos?
?
L-Lcos?
Derivando
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La ecuación anterior no es la del MAS. Sin
embrago, cuando ? es muy pequeño
Para ?(en rd)?0
Así
Ecuación del MAS
Donde es la frecuencia
angular del péndulo simple (en aproximación de
pequeñas oscilaciones)
El periodo
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B. Péndulo Compuesto Def. Un péndulo compuesto o
físico es todo cuerpo rígido que puede oscilar
linealmente alrededor de un eje horizontal que no
pasa por su CM, sometido exclusivamente a la
atracción gravitatoria de la superficie terrestre.
z
o
z
Cuerpo de masa M, cuyo eje de giro se encuentra
en una distancia d del CM.
CM
?
W
Sea k su radio de giro, y el momento de inercia
IMk2 Según vimos en el tema anterior MzI?, con
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Entonces
Nuevamente, para pequeños desplazamientos
respecto de su posición de equilibrio, sen? ? ?,
tenemos
Es la ecuación de un MAS con
k2/d se le denomina longitud del péndulo
simple equivalente
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C. Péndulo de Torsión Def. Un péndulo de torsión
consiste en un cuerpo sujeto a un hilo que pasa
por un punto fijo y atraviesa el CM del cuerpo.
El hilo presenta una propiedad de recuperación,
de modo que cuando se desplaza el cuerpo un
ángulo ? respecto de su posición de equilibrio se
crea un momento tal que
donde k es el coeficiente de torsión del hilo o
alambre
C.M
?
Entonces
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D. Cuerpo en el extremo de un resorte horizontal
0
posición de equilibrio
m
x
F
E. Rodadura sin deslizamiento en torno a la
posición de equilibrio.
0
R
R
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Energía en el MAS Sea una partícula que oscila
con MAS y suponemos que la partícula se puede
mover en una dirección x, entonces la variación
de su posición con el tiempo viene dada por
La fuerza que actúa sobre la partícula es
k es la constante elástica. En general, k es la
fuerza que se debe ejercer para separar la
partícula una unidad respecto de su posición de
equilibrio.
Indica que, cuando una partícula verifica un MAS
unidimensional, la fuerza es proporcional al
desplazamiento y opuesto a el (caso del resorte)
Periodo y frecuencia de la oscilación en términos
de k
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Objetivo obtener la energía total del oscilador
armónico.
1. Cálculo de la energía cinética.
2. Cálculo de la energía potencial.
Ep(0)0
3.Conservación de la energía total.
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• es la energía potencial en el
  punto mas alejado del equilibrio (punto de máxima
  elongación xA, pues solo en este punto la
  velocidad es cero (Ek0, puntos de retroceso).
• Del mismo modo, es la energía
  cinética de la partícula al pasar por el origen,
  pues aquí la energía potencial es cero.
• La energía potencial y cinética varían de forma
  periódica con el tiempo y presentan un desfase de
  ?/2 rd., manteniéndose constante su suma a lo
  largo del tiempo.
• En el MAS existe un continuo intercambio de
  energía potencial y cinética cuanto mas se aleja
  la partícula de su posición de equilibrio, mas
  aumenta su energía potencial a costa de la
  cinética.

Ek
Ep
E
t
E
Ek
Ep
x
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Calcular el valor medio temporal de la energía
cientica y potencial. Valor medio en un periodo
de tiempo ?
De paso se comprueba que la energía es constante.
17
Teniendo en cuenta que
Tenemos
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Potencia desarrollada por la fuerza que produce
MAS
v
N
A
0
v
Variación de Fv en un ciclo, P tiene en un caso y
otro tiene distinto signo, por lo tanto su
promedio se anula.
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Oscilador Armonico Forzado y Amortiguado. Oscilado
r Armonico Forzado Es un problema que resulta de
aplicar una fuerza osciladora externa a una
partícula sometida a una fuerza elástica. Ejemplo
La ecuación del movimiento es
Donde x es el desplazamiento respecto a la
posición de equilibrio
FFocos?ot
W
En general, la ecuación de un oscilador armonico
forzado es
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La anterior es una ecuación diferencial ordinaria
de 2 orden inhomogenea. Solución
Se ensaya con
Sustituyendo
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Agrupando terminos, tenemos
Solución general de la ecuación del oscilador
armonico forzado

• A y a se obtienen a partir de las condiciones
  iniciales
• ? ?o, x(t)max aumenta, este fenomeno se
  llama resonancia

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• En este caso resonancia de la amplitud aumento
  de la amplitud de oscilación cuando la frecuencia
  de la fuerza excitadora iguala a la frecuencia
  natural del sistema.
• También en este caso aumenta la Ek de la
  partícula la transferencia de energía a la
  partícula por parte de la fuerza oscilante
  aumenta de forma brusca (resonancia de la
  energía).

Resonancia de la amplitud
A(?o)
Fo/m?2o
Fo/m?2
?
?o
0
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Oscilador Armonico Amortiguado Modelo Oscilador
armonico en 1D, de frecuencia angular ?, sometido
a una fuerza de tipo viscoso (disipativa,
rozamiento) proporcional y opuesto a la
velocidad, de tal modo que
? es la constante de proporcionalidad
x0
x
F-kx
Tenemos así (2 Ley de Newton)
W
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Ecuación differencial del oscilador armónico
armotiguado.

• - es el coeficiente de amortiguamiento, ? T-1
• ?2k/m
• Por lo tanto,
  es EDO lineal de 2 orden y homogenea, cuya
  solución general se obtiene ensayando una
  solución del tipo

Si ? lt ?, pequeño amortiguamiento (raices
complejas) Si ? ?, amortiguación crítica Si ?
gt ?, sobreamortiguado
?gt?
??
t
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Suponiendo ?lt?
Tenemos así la solución general
Donde
Solución general de la ecuación diferencial del
movimiento armónico amortiguado
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Representación gráfica
x(t)
A
Decaimiento exponencial de la amplitud con el
tiempo
T
t
-A

• ?- fuerza del decaimiento,
  1/ ?- tiempo de decaimiento
• Oscilación que se amortigua con el tiempo
• El sistema oscilante pierde energía la cede al
  medio que provoca la fricción se comprueba que
  la energía cinética decrece exp. Con el tiempo,
  lo mismo que la energía potencial asociada a la
  fuerza armónica.
• La fricción no solo afecta a la amplitud de la
  oscilación, sino también a la frecuencia el
  periodo aumenta respecto del caso sin fricción.

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Oscilaciones Forzadas con Amortiguamiento. Conside
ramos ahora el caso general en el que exista
tanto amortiguamiento como una fuerza externa de
tipo cosenoidal. La ecuación diferencial que rige
la evolución del sistema es
Es una EDO de 2 grado, lineal, inhomogenea
Se procede de forma analoga a como se hizo en el
caso de oscilación forzada
xG solución general de la ecuación homogenea
xP solución particular de la completa
Se tiene para xG
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La solución particular de la completa es
Esta solución es de tipo armónico con A y a
fijos, dependientes directamente de la fricción,
la frecuencia natural del sistema y la frecuencia
de la fuerza oscilante.

• A, a a determinar a partir de las condiciones
  iniciales

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• Para tgtgt1 (tiempos grandes)
• el primer sumando se puede considerar nulo, pues
  decae exponencialmente con el tiempo
• el segundo sumando (la solución particular de la
  ecuación completa), corresponde a un MAS no
  amortiguado de frecuencia angular igual a la de
  la fuerza osciladora y de amplitud y fase inicial
  determinadas por esta frecuencia.
• La fuerza aplicada supera a las fuerzas de
  amortiguamiento y proporciona la energía
  necesaria para mantener las oscilaciones
• La representación de la amplitud A en función de
  ?o frecuencia de la fuerza aplicada, para
  distintos valores de ? , es la siguiente

A
?0
?1lt?2
Fo/k
?1
?2
?o
?
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Cada caso que representamos para un ? diferente
presenta un maximo en la frecuencia de
resonancia en amplitud

• A esta frecuencia de la fuerza oscilante se
  produce un maximo en la amplitud, que es tanto
  mas pronunciado, cuanto menor es el rozamiento.
• En cuanto t?8, el primer sumando de x(t) tiende
  a cero y la velocidad de la partícula es

Amplitud de la velocidad, maxima cuando ?o ?,
esta es la condición de resonancia en energía.
A la frecuencia de fuerza aplicada igual a la de
oscilación natural del sistema, la velocidad, y
por tanto la energía cinética de las oscilaciones
es maxima. En esta caso
F y v están en fase
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Superposición de MAS A. Igual Dirección y
Frecuencia
Interferencia, los principios de la superposición
que sigue de la linealidad de las ecuaciones del
MAS
Superposición
(1)
Caso Interferencia de dos MAS con la misma
frecuencia para la coordenada x.
Ejemplo Desplazamiento de un partícula en 1D.
Por ser solución de (1)
A, a?
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• La superposición de dos MAS con identica
  frecuencia, es un MAS de la misma frecuencia que
  los que se suman, y amplitud y fase inicial dadas
  por las ecuaciones anteriores.
• Casos i) No hay desfase

Maximo valor de la amplitud
En este caso, corresponde a una superposición o
interferencia constructiva de dos MAS, las
amplitudes se suman.
Interferencia Constructiva
AA1A2
x2
A2
x1
A1
t
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ii) Si
(Oposición)
Maximo valor de la amplitud
Interferencia Destructiva
x1
A1
x2
A2
A
x
t
Si A1A2, el movimiento resultante tiene como
amplitud A0 ? los dos movimiento se cancelan
mutuamente.
iii) Si
Maximo valor de la amplitud
Cuadradura de fase.
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B. Igual Dirección y Distinta Frecuencia Supongamo
s dos MAS con igual amplitud, fase inicial, pero
distinta frecuencia
Según reglas trigonometricas, se puede
reescribir x(t)
Ahora el movimiento no es armonico simple. Si
suponemos ?1- ?20 (es decir frecuencias
distintas muy proximas) podemos considerar que el
movimiento es
Es una función armonica con una amplitud que
varia con el tiempo, mas lento que
Paquete de ondas
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Como llegar, empleando reglas trigonometricas
de las ecuaciones
a
Relacionamos a y ß con ?1 y ?2.
Queda demostrado.
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C. Superposición de dos MAS perpendiculares Consid
eramos primeramente el movimiento resultante de
la superposición de dos MAS con la misma
frecuencia angular y dirigidas respectivamente en
las dos direcciones de los ejes X y Y de coord.
cartesianas Es decir, el movimiento resultante
del punto considerado queda descrito por el
vector de posición

• Veamos que tipo de trayectoria se obtiene para
  distintos valores de da2 a1.. Para ello hay
  que eliminar el parámetro t en el sistema xx(t)
  y yy(t)
• d0, En este caso a2 a1

Esta es la ecuación de una recta que pasa por el
origen y de pendiente tgaA2/A1. (Polarización
lineal)
A2
A1
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• dp, En este caso a2 a1p

A2
v0
Esta es la ecuación de una recta que pasa por el
origen y de pendiente tga-A2/A1.
A1
v0
(Polarización lineal)

• dp/2, En este caso a2 a1p/2

A2
A1
-A1
Es la ecuación de una elipse de semiejes A1 y A2
-A2
Polarización eliptica
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• d3p/2, En este caso a2 a13p/2

A2
A1
-A1
Polarización eliptica
-A2

• d cualquiera, En este caso a2 a1d

• El movimiento resultante de la composición de dos
  MAS mutuamente perpendiculares, proporciona una
  trayectoria eliptica, eventualmente degenerada en
  una recta.