LAS MATEM

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LAS MATEMÁTICAS Y LAS ARTES
LIBERALESJavier PeraltaUniversidad Autónoma
de Madrid
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1. PERLAS MATEMÁTICAS EN LOS MEDIOS DE
COMUNICACIÓN

• 1. 1. Glosa de Encarna Sánchez
• Era cuarto y mitad de Margareth Thatcher,
  cuarto y mitad de Teresa de Calcuta, cuarto y
  mitad de Golda Meier, cuarto y mitad de Violeta
  Parra y cuarto y mitad de Indira Ghandi.

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• 1. 2. Diario de Navarra, sobre el cruce de dos
  carreteras en las afueras de Pamplona
• Este cruce ya se está convirtiendo en un eje de
  gran importancia, y avisa realmente de lo que
  será el futuro. Iturrama y Sancho el fuerte
  discurren como paralelas convergentes hasta
  tocarse en ese cruce.

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2. Las artes liberales

• . Nadie entre aquí que no sepa geometría
  (Academia de Platón)
• Platón hechaua de su Academia a todos los que
  en Geometría no vinieran principiados (Juan de
  Herrera)
• . Artes liberales
  - Trivium
  gramática, retórica y lógica o dialéctica
  - Quadrivium
  
  aritmética (números en reposo)
  geometría (magnitudes en reposo)
  música (números en movimiento)
  astronomía (magnitudes en movimiento)

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Códice de Nicolás de Bolonia Las virtudes y las
artes (Biblioteca Ambrosiana de Milán, 1355)
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3. LAS PROPORCIONES MATEMÁTICAS EN EL
ARTE Se habla bien de las proporciones
(porcentajes)? Estoy cobrando el 106 menos que
antes
3. 1. la razón áurea
. Descubrimiento de los
irracionales
(Hipaso de Metaponto, pitagórico)

• . Divina proporción (Luca Pacioli)
  Sección áurea (Leonardo da Vinci) Sección
  divina (Kepler)

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El rectángulo áureo

• Espiral de Durero
• 
  
• 
  

a b


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• El rectángulo áureo ha sido muy utilizado en la
  composición de obras de arte cuadros, monumentos
  arquitectónicos y otros elementos artísticos.
• - Está presente, por ejemplo, en los capiteles
  corintios, en la fachada del Partenón de la
  Acrópolis de Atenas, de la catedral de Nôtre Dame
  y, en general, en numerosos templos góticos y
  palacios renacentistas, e incluso en arquitectura
  moderna, como en el Palacio de Cristal (sede de
  las Naciones Unidas de Nueva York).
• - Cuadros La flagelación o El Bautismo de Cristo
  (Piero della Francesca), Retrato de Isabel de
  Este (Leonardo da Vinci), Las Meninas
  (Velázquez), Saturno devorando a sus hijos (Goya)
  
• - Escultura monumentos de tumbas, máscaras
  griegas

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• Fachada de la Universidad de Salamanca
• (finales s. XV c 1534)

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• Dalí Leda atómica (1949)
  Antigua máscara de Hermes

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3. 2. Números metálicos
- La
solución positiva de la ecuación x² - x 1 0
es x

• - Números metálicos solución positiva de la
  ecuación x²-pxq0 , para algunos valores
  enteros positivos de p y q
• . p q 1?número de oro f
• . p 2, q 1?x²-2x1 0 ?x 1 ? 2,41
  número de plata
• . p 3, q 1 ?x²-3x-1 0 ? x
  ?3,30 número de bronce

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3.3. Rectángulos pitagóricos

• . Sus lados están en las proporciones
  
• . Ejemplo catedral de Milán (rectángulo
  pitagórico de proporción )

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Corte transversal de la Catedral de Milán
(estudio geométrico de César Cesariano, 1521)
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Esqueleto geométrico de la ilustración anterior

• Esquema simplificado

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3.4. Proporción cordobesa


?1,307
. Arquitecto Rafael de la Hoz. .
Está presente no sólo en Córdoba, como en la
planta de su Mezquita, sino también en
otros lugares Arco del Triunfo (París),
Acueducto de Segovia
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• Acueducto de Segovia

El Capricho, Comillas (Cantabria). Proyectado
por Gaudí (1883)
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3.5. Canon de belleza

• Faraón Micerino y su esposa (c 2600 a. C.)

Canon de Policleto (s. V a. C.)
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Canon de Vitrubio

• Marco Vitrubio Polión (De Architectura, s.
  I a. C.) Tres narices a lo largo tengan la
  misma longitud que un rostro, y que los dos
  semicírculos de las orejas, colocados juntos,
  sean iguales al círculo de la boca abierta, y que
  esto mismo suceda con las cejas si se unen. Que
  la longitud de la nariz sea igual a la del labio
  y a la de la oreja, y que los dos semicírculos de
  los ojos sean iguales que la abertura de la boca.
  Que la altura del cuerpo sea igual a la de ocho
  cabezas

Leonardo da Vinci Hombre de Vitrubio
(Academia de Bellas Artes, Venecia)
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• El modulor de Le Corbusier

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• 4. LA GEOMETRÍA QUE NACIÓ DEL ARTE
• La relación entre Matemáticas y Pintura se hace
  patente también al observar en ciertas ocasiones
  sus evoluciones a lo largo de la historia. Nos
  fijaremos en uno de esos momentos el nacimiento
  de la geometría proyectiva. Empecemos

4.1. Progresos de la pintura al tratar de
representar en un lienzo el mundo
tridimensional de los egipcios al Renacimiento
Antiguo Egipto
Papiro del libro de los
muertos
(1570-600 a. C., Museo Egipcio, Turín)
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• Alta Edad Media (Hispania visigótica)
• La ciudad de Toledo y dos iglesias (Hacia s.VI,
  Códice del monasterio de San Martín de Albelda,
  Navarra)

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• Al final de la Edad Media comienza ya un
  apreciable cambio
• 
  
• 
  
• 
  
• Giotto El festín de
  Herodes
• (c 1320, Iglesia de Santa Cruz,
  Florencia)

El Rey Enrique III de Inglaterra (s.
XIII Ilustración del libro Vida de los
Santos, Albano y Anfíbalo)
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Ambrosio Lorenzetti Anunciación (1344,
Pinacoteca, Siena)
Paolo Ucello El milagro de la hostia profanada
(1469)
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• 4.2. La perspectiva
• Aunque en 1000 años la geometría apenas había
  evolucionado, del Medievo al Renacimiento surge
  de nuevo al investigar los artistas las reglas de
  la perspectiva.
• - Filippo Brunelleschi (1377-1446), arquitecto y
  escultor iniciador
• -Leon Bautista Alberti (1404-1472). En Della
  pittura sienta las primeras bases (el primer
  requisito para un pintor es conocer la
  geometría).
• - Piero della Francesca (1416-1492).Prospettiva
  pingendi.
• -Leonardo da Vinci (1452-1519). En Tratado de
  pintura advierte la necesidad de una geometría
  óptica para representar la realidad de las cosas.
• . La perspectiva es el freno y timón de la
  pintura. La pintura se basa en la
  perspectiva, que es un conocimiento perfecto de
  la función del ojo.
• .Nadie que no sea matemático debe leer los
  principios de mi trabajo No hay certeza alguna
  allí donde no se pueda aplicar alguna de las
  ciencias matemáticas.
• - Alberto Durero (1471-1528). Recopila los
  conocimientos adquiridos en Italia sobre
  perspectiva y completa esos trabajos para fijar
  los principios del tratamiento científico de la
  perspectiva.

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• Cómo elaboran esos artistas las reglas de la
  perspectiva? Citemos a dos de ellos
• Alberti da reglas para pintar lo que ve un ojo,
  aunque es consciente que vemos con los dos
  (visión binocular), lo que ayuda a mejorar el
  efecto tridimensional (se superponen dos imágenes
  y proporciona sensación de profundidad).
• . Lienzo pantalla de cristal (ventana
  interpuesta para interpretar la escena a
  retratar).
• . Cada punto de la escena emite un rayo de luz
  que entra en el ojo. Todos los puntos
  pirámide visual.
• . El cuadro es la intersección de la pantalla con
  la pirámide visual.
• . Proyección colección de rayos de luz.
• . Sección Los puntos intersección de las líneas
  de proyección con la pantalla.

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• Durero ilustra en estas obras el principio de
  proyección y sección
• El dibujante de un hombre sentado
  El
  dibujante del laúd
• (el artista señala el punto en el que el
  rayo (con esa técnica ha dibujado la
  sección.
• de luz que proviene de la escena corta el
  cristal) Al girar la pantalla, la presenta)

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Puede haber muchas representaciones gráficas
de una misma escena, pues la sección depende de
1) dónde se sitúa el artista, 2) dónde se coloca
la pantalla. Un cuadrado puede convertirse, por
ejemplo, en distintos cuadriláteros irregulares
(las baldosas cuadradas del suelo no se dibujan
cuadradas).
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• En general . No mantiene su forma y
  dimensiones (como en un movimiento) . Las
  líneas paralelas se representan
  convergentes en un punto (no como los
  artistas medievales)

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• 4.3. La geometría proyectiva
• - Aunque en una proyección cambian muchas
  propiedades de las figuras, los matemáticos se
  preguntaron qué propiedades permanecen?
• -La búsqueda de las propiedades comunes a
  todas las secciones de la misma proyección y a
  las secciones de dos proyecciones distintas
  ?origen de la geometría proyectiva.
• Propiedades de esta nueva geometría
• . A diferencia de la geometría euclídea, la
  noción de distancia queda desvanecida y, por
  tanto, las propiedades métricas y medidas
  angulares.
• . No hay distinción entre rectas paralelas y
  secantes todas se cortan, en un punto ordinario
  o en un punto del infinito ?punto de fuga, recta
  del infinito (formada por los puntos del
  infinito)
• . Sólo se conservan alineaciones e
  intersecciones (no paralelismo ni distancias)
• . Una línea recta sigue siendo recta (no
  curva).
• . Triángulo ? triángulo, cuadrilátero ?
  cuadrilátero

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• El primer geómetra proyectivo fue el
  arquitecto e ingeniero Girard Desargues
  (1591-1661), tratando de ayudar a los artistas.
• En su Brouillon aparece su resultado
• principal Teorema de Desargues.Establece
  una propiedad común a dos
• secciones de la misma proyección de
• un triángulo desde el punto de vista 0
• (son perspectivas desde 0) cada
• par de lados correspondientes de los
• dos triángulos se encuentran en un
• punto, y estos tres puntos están sobre
• una recta.

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• - Las innovaciones de Desargues y sus discípulos,
  principalmente Pascal y De la Hire, sin embargo
  no fueron apreciadas por sus colegas. A Desargues
  le tomaron por loco (de hecho, empleaba una
  extraña nomenclatura tronco, ramas, nudos,
  guirnalda ), y la geometría proyectiva quedó
  arrinconada.
• - Se perdieron los trabajos de Desargues y
  Pascal, pero una copia manuscrita del Brouillon
  hecha por De la Hire fue encontrada por Chasles
  (s. XIX). Así renació la geometría proyectiva,
  aunque hubo que volver a reconstruirla (Monge,
  Carnot, Poncelet, Steiner, Chasles )

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• 4.4. La geometría descriptiva
• . Los problemas de los artistas habían quedado
  resueltos en el s. XVI por la perspectiva, pero
  no sucedía lo mismo con las representaciones
  gráficas industriales y de construcciones
  necesarias para el desarrollo científico de
  finales del s. XVIII.
• . Monge estableció las bases de esta nueva
  geometría la geometría descriptiva basada en
  1) las propiedades de la geometría proyectiva
  (gracias a la pequeña difusión de Pascal y La
  Hire), 2) las propiedades del espacio euclídeo.
• . Así pues dibujo artístico?perspectiva?geometría
  proyectiva.
• dibujo técnico?geometría
  descriptiva
• . En la geometría descriptiva de Monge o sistema
• diédrico, un punto se representa mediante dos
• proyecciones (ortogonales) sobre dos
  planos
• vertical y horizontal, cuya intersección es
  la
• línea de tierra.
• . Como es sabido, hay 5 sistemas
  de
• representación perspectiva
  caballera,
• perspectiva axonométrica, perspectiva diédrica
• planos acotados y perspectiva central o cónica.

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• 4.5. El manierismo
• . Medio siglo después del triunfo de la
  perspectiva, hubo una virulenta reacción al
  intento de matematización del arte el
  manierismo.
• . De tal forma que estas reglas y términos
  matemáticos no son ni pueden ser buenos para
  trabajar con ellos. Ya que, en lugar de aumentar
  el espíritu y la vivacidad del arte práctico, le
  quitaría todo, porque el intelecto se
  envilecería, el juicio se apagaría, y quitaría al
  arte toda la gracia, todo el espíritu y el sabor
  Diré que estas reglas matemáticas deben
  reservarse para las ciencias especulativas, como
  la geometría, astronomía, aritmética Pero
  nosotros, profesores de Dibujo, para imitar a la
  Naturaleza no tenemos necesidad de otras reglas
  que las que ella misma dicta (Zuccari).
• . Sólo el artista es autor de las reglas y
  únicamente existen verdaderas reglas en la misma
  medida y número que verdaderos artistas
  (Giordano Bruno).
• . el arte de la pintura no toma sus principios
  de las ciencias matemáticas, ni tiene necesidad
  de aprender leyes o procedimientos para su arte
  si alguien quisiera dedicarse a considerar y
  conocer todas las cosas a través de la
  especulación teórico-matemática, y obrar con
  respecto a ésta, además de un aburrimiento
  insoportable, sería una inútil pérdida de tiempo
  Porque el pensamiento no sólo ha de ser claro,
  sino libre, y su espíritu, abierto, y no limitado
  por una dependencia mecánica de tales reglas
  (Zuccari).

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• 5. LA MÚSICA
• 5.1. Conexiones entre matemáticas y música
• - Ya fueron establecidas hace mucho
• . Arquitas (discípulo de Pitágoras y amigo de
  Platón) afirmaba que eran hermanas.
• .La música es un ejercicio de aritmética
  secreta (Leibniz).
• . La geometría es una música inmóvil (Goethe).
• .La música es un arte terriblemente euclidiano
  (Alejo Carpentier).
• - Analogías en cuanto a su posible aprendizaje y
  dominio precoces. Ejemplo Gauss y Mozart.
• 5.2. Una de tales relaciones el sistema
  temperado de afinación musical
• . La altura del sonido producido por una cuerda
  vibrante (frecuencia) está en razón inversa a su
  longitud. Por ejemplo, al reducir la longitud a
  la mitad, la frecuencia (número de oscilaciones)
  será el doble aunque el sonido será de las
  mismas características, pero más agudo está en
  una octava superior.

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• Experimento con una guitarra
• - Notas de las cuerdas al aire, de 6ª a 1ª Mi,
  La, Re, Sol, Si, Mi (Mi de la 6ª y Mi de la 1ª
  están en diferentes octavas).
• - Estudio de la 1ª cuerda
• . Entre cada dos notas consecutivas hay un tono,
  salvo entre Mi-Fa y Si-Do que hay un semitono.
• . Al avanzar en cada traste se aumenta un
  semitono.

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• . Medimos las distancias del puente del mástil y
  de cada uno de los 12 primeros trastes al puente
  de la caja, y los cocientes de distancias entre
  dos trastes consecutivos.
• . Los cocientes son prácticamente iguales.
  Podemos considerar que lo son, debido a las
  imprecisiones de medida, y tomar como valor común
  a su media aritmética
• c 1,059463581
• . Tiene algún significado c?
• Se observa que

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. Recordemos que, por ejemplo 2, 6, 18, 54,
progresión geométrica, razón 3

. Análogamente 65,8 62,0 58,5 55,3 es una
progresión geométrica pues Luego las
frecuencias forman también una progresión geomé-
trica de razón
. Si a Do se le asigna frecuencia 1(en
realidad es 261,63 Hz), se tiene la tabla.
. Sistema de afinación temperado. Valores de
las notas 0
n 11 . Otros sistemas de afinación. . Béla
Bartók (1881-1945), Iannis Xenakis (1922-2001).
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6. EPÍLOGO

• - En la ponencia he tratado de probar que las
  matemáticas tienen importantes conexiones con el
  arte, pero no todos piensan así
• . J. Poncela La comedia perfecta ha de carecer
  de tesis en absoluto, y en arte no se debe
  intentar demostrar nada. Eso queda para el
  álgebra o para otra materia igualmente
  siniestra.
• . T. Cassini (s. XVII) arremete contra el arte
  diabólico de las matemáticas y contra los
  matemáticos, instigadores de herejías, que
  deberían haber sido expulsados de cualquier
  estado cristiano.
• - Con la esperanza de que no se me expulse, doy
  por terminada esta charla que a lo mejor ha sido
  construida sin el orden y seriedad adecuados. El
  marqués de Santillana acaso dijera que les he
  querido presentar un discurso syn ningund orden,
  regla nin cuento, de esos de que las gentes de
  baxa e servil condiçion se alegran.
• Lejos de mí tamaña desconsideración, pues sólo
  he pretendido que fuera algo distendida, y no
  mirar a la ciencia príncipe con todo su rigor y
  formalismo aunque no sé si lo habré conseguido.
• En cualquier caso, muchas gracias por su
  atención.