Fundamentos de Ciencias de la Computacin CM 12 Teora de Enteros

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Fundamentos de Ciencias de la ComputaciónCM
12Teoría de Enteros

• Rafael García G.
• Universidad de los Andes
• Departamento de Ingeniería de Sistemas y
  Computación

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Contenido

• 15.4 Números Primos
• 15.4 Congruencias

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Números Primos

• Primos Relativos
• b ? c ? b gcd c 1
• Primos
• p gt 1 es primo si los únicos enteros positivos
  que lo dividen son 1 y p.
• p gt 0 es primo si tiene exactamente dos
  divisores positivos.

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Números Primos

• Teorema.
• Si p es primo,
• pbc ? pb ? pc
• Demostración
• pbc ? ?(pb) ? pc
• pbc ? (xb yp 1) ? pc
• pbc ? (xbc ypc c) ? pc

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Números Primos

• Teorema.
• b ? c ? cbd ? cd
• Demostración

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Números Primos

• Teorema Fundamental de la Aritmética.
• Todo entero positivo n puede ser escrito, de
  forma única, como producto de primos.
• Demostración Inducción sobre n
• Caso Base 1 (ifalsepi).
• Caso Inductivo Si n es compuesto, n bc.
• Entonces b p0p1pk y c q0q1qr, y por lo
  tanto n bc p0p1pkq0q1qr.

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Números Primos

• Teorema Fundamental de la Aritmética.
• Todo entero positivo n puede ser escrito, de
  forma única, como producto de primos.
• Demostración Suponga que n p0p1pk y n
  q0q1qr.
• n n
• p0p1pk q0q1qr
• ?
• p0q0q1qr
• p0qk

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Números Primos

• Teorema.
• Existen infinitos primos.
• Demostración
• Suponga que p0, p1, , pk son todos los primos.
• Note que (p0p1pk)1 es primo.

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Congruencias

• Definición
• b m c ? m(c-b)
• Teoremas
• b m c ? b mod m c mod m
• b m c ? bd m cd
• b m c ? -b m -c
• b m c ? bd m cd
• b m c ? bn m cn

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Congruencias

• -Teoremas
• d ? m ? (bd m cd ? b m c)
• bd md cd ? b m c
• d ? m ? (?x dx m b)
• d ? m ? (dx m b ? dy m b ? x m y)

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Tarea

• Demuestre los teoremas
• Primos 15.113.
• Congruencias 15.122, 15.123, 15.127.
• Representaciones 15.133.