Title: TEMA 1.4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO, PRIMERA LEY DE NEWTON.
1TEMA 1.4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO, PRIMERA LEY
DE NEWTON.
- SUBTEMA 1.4.1. EQUILIBRIO DE LA PARTICULA EN EL
PLANO.
2Primera condición del equilibrio (traslacional).
- Un cuerpo se encuentra en equilibrio
traslacional si y solo si la suma vectorial de
las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero.
Cuyas ecuaciones son las siguientes - SFx 0 y SFy 0.
3Segunda condición del equilibrio (rotacional).
- Para que un cuerpo esté en equilibrio de
rotación, la suma de los momentos o torcas de las
fuerzas que actúan sobre él respecto a cualquier
punto debe ser igual a cero. Matemáticamente
esta ley se expresa con la ecuación - SM0. SM M1 M2 M3 Mn 0.
- St 0. St t1 t2 t3 tn 0.
4PRIMERA LEY DE NEWTON Ley de la inercia
- Todos los cuerpos tienden a permanecer en el
estado de movimiento que tienen a menos que una
causa externa (fuerza) altere dicha condición En
forma general si un cuerpo está en reposo o en
movimiento rectilíneo uniforme, querrá seguir
en ese estado a menos que una fuerza externa se
aplique a ese cuerpo y le haga cambiar esta
condición de reposo o movimiento.
5TERCERA LEY DE NEWTON. Ley de acción y reacción
- Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo
cuerpo, éste ejercerá a su vez una fuerza sobre
el primero de igual magnitud pero de sentido
contrario
6CONCEPTO DE DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
- a) Hacer un dibujo que represente claramente el
problema que se desea resolver (solo si no se
proporciona la figura, si aparece, siga con el
paso B). - b) Construye un diagrama de cuerpo libre
sustituyendo por medio de fuerzas todo aquel
efecto que recibe el cuerpo, provocado por su
contacto con otros cuerpos o por la fuerza
gravitacional y que originan que se encuentren en
equilibrio. Indique la magnitud, dirección y
sentido de las fuerzas conocidas. Use símbolos
para señalar las cantidades que se desconocen.
7- c) Haga un sistema de referencia utilizando ejes
rectangulares y coloque al cuerpo en equilibrio
en el origen del sistema de coordenadas. - d) Aplique las ecuaciones de equilibrio que
necesite para encontrar las respuestas a las
incógnitas buscadas.
8PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA PRIMERA CONDICION
DEL EQUILIBRIO.
- La resolución de problemas en las cuales se
utiliza la primera condición del equilibrio
(traslacional), es el procedimiento inverso al
cálculo del vector resultante, por el método
analítico (Teorema de Pitágoras), ya que en este
tipo de problemas, se asume de antemano que la
resultante es igual a cero, es decir, ahora de lo
que se trata es hallar la magnitud de las fuerzas
o vectores que mantienen a un cuerpo en
equilibrio.
9- En estos problemas, se hace uso de igual forma de
las funciones trigonométricas coseno, para las
componentes X de las fuerzas o vectores y el
seno, para las componentes, en ocasiones también
se usa la función tangente si se desconoce el
ángulo o ángulos con los cuales se aplican las
fuerzas. Mediante una serie de despejes y
sustitución de valores en las ecuaciones que se
obtengan, se hallan los valores de las fuerzas o
vectores. Los signos de las X y las Y en los
cuadrantes, de igual forma se deben de tener en
cuenta, para obtener los resultados correctos
como se observan en los siguientes ejercicios.
10- 1.- Una pelota de 100 N suspendida de un cordel
es tirada hacia un lado por otro cordel B y
mantenida de tal forma que el cordel A forme un
ángulo de 30 con la pared vertical. Dibuje el
diagrama de cuerpo libre y encuéntrese las
tensiones en los cordeles A y B de acuerdo a la
siguiente figura.
11A
T 30
B
100 N
12DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.
Y
A
B
T 60
X
W 100 N
13- En el diagrama de cuerpo libre que la cuerda A,
forma un ángulo de 60 con el eje X, en el
segundo cuadrante, esto se sustenta en el teorema
sobre triángulos que dice que En un triángulo,
la suma de los ángulos internos es igual a 180,
si la cuerda A, forma con la pared vertical, un
ángulo de 30, la pared forma con el eje X, un
ángulo de 90, entonces, la cuerda A, forma un
ángulo de 60 con el eje X.
14Cuadro de fuerzas.
- F ? comp. X comp. Y
- A 60 - A cos 60 A sen 60
- B 0 B 0
- W 0 0 -100 N
- SFx - A cos60 B 0 SFy A sen 60-100 N
0 - Pasando - A cos60 del otro lado de la igualdad
con diferente signo - SFx B A cos60 SFx B A (0.5). Como
desconocemos A y B, esta última expresión queda
como la ecuación 1. - Pasamos del otro lado de la igualdad el peso de
100 N, con diferente signo - SFy A sen 60 100 N. SFy A (0.8660) 100
N. - De esta última expresión podemos despejar A,
pasando el valor de 0.8660, dividiendo al peso de
100 N - A 100 N 115.47 Newtons.
- 0.8660
- Ahora regresamos a la ecuación 1 B A (0.5). Y
sustituimos el valor de A para hallar B tenemos
B 115.47 N x 0.5 57.73 Newtons. - Entonces los valores de A 115.47 Newtons. Y B
57.73 Newtons. -
15- 2.- Dos cuerdas T1 y T2, sostienen un objeto cuyo
peso es de 500 N, como se ve en la figura
siguiente, elaborar el diagrama de cuerpo libre y
hallar las tensiones de las cuerdas T1 y T2.
1640
T1
T2
500 N
17Diagrama de cuerpo libre.
Y
T1
40
T2
X
W 500 N
18- Como observamos en el diagrama de cuerpo libre,
la cuerda T1, forma un ángulo de 40, respecto al
eje X en el primer cuadrante, esto es debido a
que es un ángulo alterno interno, respecto al
ángulo que forma T1, respecto al techo, la cuerda
T2, está en forma horizontal sobre el eje X,
entre el segundo y tercer cuadrantes, y el peso
W, se encuentra sobre el eje Y, hacia abajo entre
el tercer y cuarto cuadrantes.
19Cuadro de fuerzas.
- F ? Comp. X Comp. Y
- T1 40 T1 cos 40 T1 sen 40
- T2 0 - T2 0
- W 0 -500 N
- SFx T1 cos 40- T2 0 SFy T1 sen
40-500 N 0. - Pasamos T2 del otro lado de la igualdad con signo
positivo SFx T1 cos40 T2. SFx T1 (0.7660)
T2. Como desconocemos T1 y T2, esta última
expresión queda provisionalmente como la ecuación
1. De la SFy, pasamos el peso del otro lado de
la igualdad, con signo positivo SFy T1 sen 40
500 N. Ahora sacamos el seno de 40 SFy T1
(0.6427) 500 N. Despejando el valor de T1,
tenemos T1 500 N 778 Newtons. - 0.6427
- Ahora regresamos a la ecuación a la ecuación 1,
T1 (0.7660) T2. - y sustituimos el valor de T1, para hallar T2,
tenemos - T2 778 N x 0.7660 596 Newtons.
- Las tensiones son entonces T1 778 Newtons. Y
T2 596 Newtons. -
20- 3.- Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está
suspendido de una armadura como se ve en la
figura. Determinar el valor de la tensión de la
cuerda y el empuje de la barra.
21Esquema y diagrama de cuerpo libre.
22Cuadro de fuerzas.
- F ? comp. X comp. Y
- T 35 -T cos 35 T sen 35
- E 0 E 0
- W 0 0 -500 N
- SFx -T cos 35 E 0 SFy T sen 35- 500
N 0. - De la SFx, pasamos -T cos 35, del otro lado de
la igualdad con signo positivo - SFx E T cos 35. Ahora sacamos el coseno de
35. E T (0.8191). Como desconocemos E y T,
esta última expresión queda provisionalmente como
la ecuación 1. Ahora de la SFy, pasamos el peso
del otro lado de la igualdad con signo positivo - SFy T sen 35 500 N. Ahora sacamos el seno de
35. - T (0.5735) 500 N. Despejando T, tenemos
- T 500 N 871. 68 Newtons.
- 0.5735
- Ahora regresamos a la ecuación 1 para hallar el
valor del Empuje E, y sustituyendo el valor de T,
tenemos - E 871.68 N x 0.8191 714.08 Newtons .Entonces
los resultados son - T 871. 68 Newtons. Y E 714.08 Newtons.
23- Como el cuerpo está en equilibrio
- SFx 0 E (-Tx)
- SFy 0 Ty (-P)
- Sustitución
- SFx E T cos 35 0
- E T cos 35.
- SFy T sen 35- P 0
- T sen 35 P
- T P_____ 500 N 871.68 N
- sen 35 0.5736
- Sustituyendo el valor de la tensión para
encontrar el del empuje tenemos - E T cos 35 871.68 N x 0.8192 714.08 N.
244.- Calcular el ángulo, la tensión y el empuje de
la siguiente armadura
25- Solución Primero debemos hallar el ángulo que
forma la tensión T con el eje x Vemos que la
componente Y, del triángulo rectángulo es de 3
metros y la componente X, es de 5 metros, por lo
cual vienen siendo los catetos opuesto y
adyacente del ángulo en cuestión por lo cual se
puede utilizar la función trigonométrica
tangente (cateto opuesto entre adyacente) - tan ? 3 m 0.6 . ? tan-1 0.6 31.
- 5 m
- Una vez hallado el ángulo ya podemos hallar la
tensión y el empuje.
26Cuadro de fuerzas.
- F ? comp. X comp. Y
- T 31 -T cos 31 T sen 31
- E 0 E 0
- W 0 0 -900 N
- Fx -T cos 31 E 0 SFy T sen 31-
900 N 0 - De la SFx, pasamos -T cos 31 del otro lado de la
igualdad con signo positivo. - SFx E T cos 31 , ahora sacamos el coseno de
31 . E T (0.8571). Como desconocemos E y T,
ésta última expresión queda como la ecuación 1.
Ahora de la SFy, pasamos el peso del otro lado de
la igualdad con signo positivo SFy T sen 31
900 N. Ahora se saca el seno de 31. SFy T
(0.5150) 900 N. De esta expresión despejamos la
tensión T. - T 900 N 1747.57 Newtons.
- 0.5150
- Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el
valor del empuje E - E 1747.57 N x 0.8571 1498.02 Newtons.
- Entonces los resultados son ? 31, T 1747.57
N, E 1498.02 N.
275.- Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y
T2 de la figura siguiente que soportan un peso de
300 N.
28Diagrama de cuerpo libre.
Y
T1
56
34
X
W 300 N
29Cuadro de fuerzas.
- F ? comp. X comp. Y
- T1 56 T1cos 56 T1 sen 56
- T2 34 -T2 cos 34 T2 sen 34
- W 0 0 -300 N
- SFx T1cos 56-T2 cos 34 0. SFy T1 sen
56 T2 sen 34-300 N 0. - De la SFx, pasamos T2 cos 34, del otro lado de
la igualdad con signo positivo - SFx T1cos 56 T2 cos 34. Ahora sacamos los
cosenos de los ángulos - SFx T1 x 0.5591 T2 x 0.8290. Ahora despejamos
T1, para expresarlo en relación a T2 en una sola
cantidad - T1 0.8290 T2
- 0.5591
- T1 1.4827 T2. Ecuación 1. Como desconocemos T1
y T2, esta última expresión queda
provisionalmente como la ecuación 1. Seguimos con
la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el
peso del otro lado de la igualdad con signo
positivo SFy T1 sen 56 T2 sen 34 300 N.
Ahora sacamos los senos de los ángulos SFy T1
(0.8290) T2 (0.5591) 300 N. Ahora,
sustituimos el valor de T1, obtenida en la
ecuación 1 SFy 1.4827 T2 (0.8290) T2
(0.5591) 300 N. Se realizan las
multiplicaciones SFy T2 (1.2291) T2
(0.5591) 300 N. - Dado que las dos cantidades tienen como factor
común a T2, entonces se pueden sumar - SFy T2 (1.7882) 300 N. Ahora despejamos a T2
T2 300 N 167.76 newtons. -
1.7882 - Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el
valor de T1 T1 1.4827 x 167.76 N 248.73
newtons. - Entonces los valores de T1 167.76 N y T2
248.73 N.
30- 6.- Un tanque de acero debe colocarse en la fosa
mostrada en la figura de abajo. Sabiendo que a
20, determínese la magnitud de la fuerza P
requerida si la resultante R de las dos fuerzas
aplicadas en A debe de ser vertical.
31(No Transcript)
32Diagrama de cuerpo libre.
Y
425 lb
P ?
a 20
30
X
R
33Cuadro de fuerzas.
- F ? comp X comp. Y
- P 20 P cos 20 P sen 20
- 425 lb 30 - 425 cos 30 425 sen 30
- SFx P cos 20 - 425 cos 30 0.
- SFy P sen 20 425 sen 30 0.
- SFx P cos 20 425 cos 30.
- SFx P (0.9396) 425 (0.8660).
- SFx P (0.9396) 368 lb. Despejando P tenemos
P 368 lb 391.7 lb. - 0.9396
347.- Dos cables se amarran juntos en C y se cargan
como se muestra en la figura. Determínese la
tensión en el cable AC.
35Diagrama de cuerpo libre.
Y
TAC
TBC
50
30
X
500 N
36Cuadro de fuerzas.
- F ? comp. X comp. Y
- TAC 50 TAC cos 50 TAC sen 50
- TBC 30 - TBC cos 30 TBC sen 30
- W 0 0 - 500 N
- SFx TAC cos 50 - TBC cos 30 0.
- SFx TAC cos 50 TBC cos 30.
- SFx TAC (0.6427) TBC (0.8660). Despejando TAC
tenemos - TAC TBC 0.8660. TAC TBC 1.3474 ec. 1.
- 0.6427
37- SFy TAC sen 50 TBC sen 30 - 500 N 0.
- Pasando el peso del otro lado de la igualdad con
signo positivo - SFy TAC sen 50 TBC sen 30 500 N.
- Sacando los senos de los ángulos
- SFy TAC (0.7660) TBC (0.5) 500 N
- Sustituyendo el valor de TAC de la ecuación 1,
tenemos - SFy TAC (0.7660) TBC (0.5) 500 N
- SFy TBC (1.3474) (0.7660) TBC (0.5) 500 N.
- Efectuando la multiplicación
- SFy TBC (1.0321) TBC (0.5) 500 N. Como
TBC es un factor común a ambas cantidades, estas
se pueden sumar - SFy TBC ( 1.5321) 500 N. Despejando el valor
de TBC tenemos TBC 500 N 326.34 Newtons. - 1.5321
- Para encontrar el valor de TAC regresamos a la
ecuación 1 - TAC TBC 1.3474 TAC 326.34 N x 1.3474
439.7 Newtons.
38- 8.- La vista desde el helicóptero en la figura de
abajo muestra a dos personas que jalan a una
obstinada mula. Encuentre la fuerza que una
tercera persona tendría que ejercer sobre la mula
para hacer la fuerza resultante igual a cero. Las
fuerzas se miden en Newtons.
39(No Transcript)
40Diagrama de cuerpo libre.
F2 80 N
Y
F1 120 N
60
75
X
R
41Cuadro de fuerzas.
- F ? comp X comp. Y
- F1 60 120 N cos 60 120 N sen 60
- F2 75 - 80 N cos 75 80 N sen 75
- R 0 0 0.
- SFx 120 N cos 60- 80 N cos 75.
- SFx 120 x 0.5 - 80 N x 0.2588
- SFx 60 N 20.70 N 39.3 N i componente en x.
- SFy 120 N sen 60 80 N sen 75.
- SFy 120 N (0.8660) 80 N (0.9659)
- SFy 103.92 N 77.27 181.19 N j componente en
y. Este problema se resolvió en una forma
diferente a los 7 primeros, lo que se hizo, fue
hallar las componentes de la resultante de las
dos fuerzas que ejercen las dos personas, en este
caso 39.3 N y - 181.19 N, pero como lo que se pide en el problema
es la fuerza que ejercería una tercera persona
para que la fuerza resultante sea cero, entonces
la respuesta del ejercicio es - R - 39. 3 N i (componente en X) y 181.19 N j
(componente en Y). Expresado en las componentes
rectangulares de la fuerza. Recordando que el
vector equilibrante es de la misma magnitud, y
dirección que la fuerza resultante, pero de
sentido contrario.