Transformada de Laplace y Teora de Control

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Transformada de Laplacey Teoría de Control
Por Irene Valenzuela
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1. Un poco de Historia del control

• Ejemplos históricos
• - La idea de que un reloj de agua pudiera
  realizar una función automática se le ocurre a
  Platón. Los alumnos de Platón tenían ciertas
  dificultades para levantarse por la mañana, lo
  cual era fuente de discusiones todos los días.
  Por lo cual Platón diseña un sistema de alarma
  basándose en una Clepsydra. En el vaso de la
  Clepsydra se ubicó un flotador encima del cual se
  depositan unas bolas. Durante la noche se llenaba
  el vaso y al amanecer alcanzaba su máximo nivel y
  las bolas caían sobre un plato de cobre. Y así
  los alumnos terminarían por levantarse.

• el caudal suministrado al depósito b es
  constante por lo cual este tardará en llenarse un
  tiempo determinado y fijo al final del cual las
  bolas caen sobre la bandeja ejerciendo la función
  de alarma.
• http//automata.cps.unizar.es/animhistoria/22.html

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• Otro ejemplo es el reloj de agua diseñado en el
  siglo III por H. Diels
• El agua hace subir
• el émbolo que va
• señalando las
• horas, para ello
• se necesita un flujo
• constante.
• http//automata.cps.unizar.es/animhist
  oria/11.html
• Hasta el siglo XVII se desarrollan innumerables
  mecanismos basados en el control como
  dispensadores de grano y vino o reguladores para
  molinos de viento.

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• La Revolución Industrial
• - Los mecanismos reguladores se desarrollan en
  la Revolución Industrial. Gracias, en gran parte
  a la introducción de la máquina de vapor en sus
  vidas. Esto, conllevó que se necesitasen
  distintos artilugios para controlar sus
  aplicaciones.
• En 1778, James Watt diseñó controlador
  centrífugo para la velocidad de su máquina de
  vapor, cuyo tipo es aún usado con pequeñas
  modificaciones. http//autom
  ata.cps.unizar.es/animhistoria/4444.html
• Aunque ya existiesen sistemas de control aún no
  existía una Teoría de Control Automático, dado
  que ni siquiera existían las herramientas
  matemáticas necesarias para ello.

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• El desarrollo teórico
• Al mismo tiempo que Watt se dedicaba a
  perfeccionar su regulador de bolas, Laplace y
  Fourier (basandose en la trasformada Z)
  desarrollaban los métodos de Transformación
  Matemática, tan utilizados y asumidos en la
  Ingeniería Eléctrica y por supuesto en la actual
  Ingeniería de Control. (explicaremos algo de
  ellos más adelante)
• En el siguiente medio siglo se produjeron
  significativas contribuciones en el campo del
  control automático. Durante las dos décadas
  anteriores a la II Guerra Mundial ocurrieron
  importantes desarrollos en la aviación y en la
  electrónica. Nyquist realizó su clásico trabajo
  sobre la estabilidad de sistemas lineales
  retroalimentados, aunque enfocado a redes de
  comunicaciones, siendo durante la II Guerra
  Mundial que la gente interesada en control
  automático descubrió de nuevo sus ideas. El
  trabajo de Hazen, fue el primer intento de
  desarrollar alguna teoría sobre servomecanismos.
• La palabra servo fue entonces usada por primera
  vez, y es derivada de la palabra latina servus
  que significa esclavo, la cual expresa justamente
  la función de aquellos mecanismos de control que
  fueron diseñados para mover los timones de barcos
  y aviones, obedeciendo fielmente las órdenes
  enviadas por los pilotos de las naves.

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• Las guerras mundiales
• Durante las guerras mundiales el desarrollo de
  los sistemas de control realimentados se
  transformaron en una forma de supervivencia. Se
  exigió el desarrollo de una serie de nuevos
  componentes de control y de una teoría de control
  completamente nueva, necesaria por los complejos
  sistemas propuestos,.Debido al secreto militar,
  las publicaciones fueron muy limitadas y solo
  hasta 1945 se conocieron los adelantos que se
  habían logrado. En la cuarta y quinta décadas del
  siglo pasado fueron introducidos el concepto de
  función de transferencia de frecuencia y el uso
  de cálculo de transformaciones.
• Desarrollos durante las guerras
• Control de barcos.
• Entre los primeros desarrollos estaba el diseño
  de sensores
• para controlar sistemas a lazo cerrado. En el
  año 1910
• E.A.Sperry inventó el giróscopo que utilizó en
  la estabilización
• y dirección de barcos y más tarde en control e
  aviones.
• Desarrollo de armas y puntería para cañones.
• Un problema muy importante durante el periodo de
  las dos guerras fue lograr exactitud en la
  puntería de cañones hacia barcos y aviones en
  movimiento. Con la publicación de Teoría de los
  Servomecanismos por parte de H.L.Házen en 1934,
  se inició el uso de la teoría matemática del
  control en la solución los problemas planteados.
  Los visores de bombardeo Norden desarrollados
  durante la Segunda Guerra Mundial, utilizaban
  sincrorepetidores para relevar la información
  sobre altitud y velocidad del avión, y
  perturbaciones debidas al viento sobre los
  visores de bombardeo, a los fines de asegurar un
  despacho exacto del sistema de armas.

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• Era del control moderno
• De 1945 a 1950 se consolidaron los avances
  realizados durante la guerra, se publicaron los
  primeros libros sobre servomecanismos y algunas
  universidades del mundo empezaron a ofrecer
  cursos sobre control automático. La teoría
  desarrollada hasta fines de los años cuarenta
  estaba relacionada con sistemas lineales
  continuos. El análisis y la síntesis de sistemas
  de control eran basados en el método de tanteos.
  Alrededor de 1950, Evans introdujo su llamado
  método del lugar de raíces. Más o menos al mismo
  tiempo se desarrollaron los computadores
  digitales, cambiando el interés de los sistemas
  continuos a los sistemas discretos.
• Desde 1955 a la fecha, la ingeniería de control
  ha experimentado un desarrollo sin precedentes.
  Los computadores analógico y digital han
  alcanzando grandes niveles de perfeccionamiento y
  su disponibilidad es prácticamente universal. La
  mayoría de las universidades del mundo han
  desarrollado excelentes programas de ingeniería
  de control y ésta es una de las más populares
  áreas de investigación. Se han generado nuevas
  formas de control y se tiende a la optimización
  de los sistemas.

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2. Algo de teoria

• Transformada de Laplace
• La Transformada de Laplace de una función f(t)
  definida (en matemáticas y, en particular, en
  análisis funcional) para todos los números reales
  t 0 es la función F(s), definida por
• siempre y cuando la integral esté definida.
• La Transformada de Laplace cumple una serie de
  propiedades
• Linealidad
• Potencia n-ésima

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• Seno
• Coseno
• Seno hiperbólico
• Coseno hiperbólico
• Logaritmo neperiano
• Raiz n-ésima

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Pierre-Simon Laplace

• A continuación se presenta una tabla con las
  transformadas-antitransformadas mas
  comunes

Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la
probabilidad de que el Sol saliera por el
horizonte. Él decía que la probabilidad era de (d
1) / (d 2), donde d es el número de días que
el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que
esta fórmula, que era conocida como la Regla de
Sucesión de Laplace, podía aplicarse en todos los
casos donde no sabemos nada, o donde lo que
conocíamos fue cambiado por lo que no. Aún es
usada como un estimador de la probabilidad de un
evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo
tenemos muy pocas muestras de él.
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• Transformada Z
• De forma alternativa, en los casos en que xn
  está definida únicamente para n 0, la
  transformada Z unilateral de define como
• En el procesamiento de señales, se usa esta
  definición cuando la señal es causal.
• Por eso un ejemplo de la TZ es la función de
  generación de probabilidades, donde xn es la
  probabilidad que toma una variable discreta
  aleatoria en el instante n, y la función X(z)
  suele escribirse como X(s), ya que s z-1. Las
  propiedades de las transformadas Z son útiles en
  la teoría de la probabilidad.
• La Transformada Z inversa se define
• donde es un círculo cerrado que envuelve el
  origen y la región de convergencia (ROC). El
  contorno, , debe contener todos los polos de .
• Un caso especial y simple de esta integral
  circular es que cuando es el círculo unidad
  obtenemos la transformada inversa de tiempo
  discreto de Fourier
• _
• La TZ con un rango finito de n y un número
  finito de z separadas de forma uniforme puede ser
  procesada de forma eficiente con el algoritmo de
  Bluestein. La transformada discreta de Fourier es
  un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando
  z para que coincida con el círculo unidad.

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3. Ejemplos de Control

• Resolución de circuitos eléctricos

Suponemos que v(t) es una función escalón
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• Control de velocidad
• Teniendo el sistema abajo descrito,

Por medio de las ecuaciones de Newton hacemos
suma de fuerzas en la masa
(Renombramos la v como y para no llevar a
confusión)
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• A través de las propiedades y de las tablas de
  transformadas de Laplace , convertimos el sistema
  de ecuaciones diferenciales en un sistema
  geométrico de mayor sencillez

Sustituyendo ahora V(s) por Y(s) obtenemos
Despejando por último las variables conseguimos
una fórmula mucho mas sencilla de calcular
La teoría de control comenzaría a trabajar ahora
ya que podemos introducir el valor o tipo de
función deseado de U(s) y obtener la función Y(s)
necesaria para cumplir esa condición. Viceversa
también funcionaPor Supuesto!
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• EJEMPLO NUMÉRICO
• m 1000kg b 50Nsec/m u 500N
• Se conoce que las condiciones iniciales son 0
• U 500, entonces (por la teoría de
  Laplace) U(s) 500/s
• Y la función Y(s) quedaría,tomando
  como 0 los valores iniciales
• Y(S) 500/s(1000s50)
• Reduciendo la ecuación a dos funciones
  transformadas de Laplace, tenemos
• Y(s) 10/s 10/(s0.5)
• Y aplicando las anti-transformadas
  obtenemos

-0.5 t
Y(t) 10-10e
Esta es la función de Y(t) para que U(t) pueda
ser de 500 N
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• Control de Rumbo
• Primero analizamos el sistema dado con las
  fuerzas y ángulos

Para simplificar el problema suponemos que el
avión viaja a altitud y velocidad constante, esto
es algo irreal por supuesto, pero nos ayuda a
simplificar el problema en este ejemplo.
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Entonces aplicando las ecuaciones se obtiene
Donde los parámetros que aparecen son los
siguientes
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• Para facilitar el manejo de las ecuaciones vamos
  a introducir datos de los parámetros
• Obteniendo

Dejando solo las funciones dependientes del
tiempo. Aplicando ahora la Transformada de
Laplace al sistema, tomando las condiciones
iniciales iguales a 0, nos encontramos con
Este sistema es mucho mas sencillo de resolver
que el de arriba, por lo tanto aplicar Laplace ha
sido una gran idea.
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• Si nuestro objetivo era encontrar la ecuación
  respecto al tiempo que debe de cumplir el ángulo
  de inclinación para conseguir un ángulo de
  deflación dado. Operando con el sistema podemos
  llegar a conseguir

Una vez obtenida esta ecuación es muy sencillo
conocer el resultado buscado, simplemente
introducimos la función transformada de ángulo
deseado y despejamos la otra función. Y por
anti-transformadasYA ESTÁ,PROBLEMA
RESUELTO!! EJEMPLO NUMÉRICO Queremos conocer
que función debe de cumplir el ángulo theta a
través del tiempo para que el ángulo de deflación
cumpla
(t) t
Por lo que su función transformada es
(s) 1/s
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• Llevando esto a la ecuación que teníamos de
  antes y separándola en distintos sumandos para
  obtener formas de transformadas de Laplace y
  aplicar entonces las anti-transformadas,
  conseguimos está sencillez
• Más ejemplos de aplicación de Laplace a la teoría
  de control en
• http//www.engin.umich.edu/group/ctm (ejemplos
  de sistemas de control usando Laplace)
• ó

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4. Aplicaciones actuales del control

• Grandes estructuras espaciales. Es frecuente
  escuchar que el despliegue de una antena o
  telescopio en el espacio ha ocasionado algunos
  problemas técnicos, algunos de ellos sumamente
  costosos o incluso que han inutilizado
  completamente la estructura. Estos despliegues y
  acoplamientos de componentes deben basarse en el
  control.
• Robótica. Existe la importancia de desarrollar
  métodos eficientes de visión artificial, por
  ejemplo. Pero la Teoría del Control está también
  en el centro de gravedad en este campo. El
  desarrollo de la robótica depende de manera
  fundamental de la eficiencia y robustez de los
  algoritmos computacionales para el control de los
  robots. No resulta difícil imaginar la
  complejidad del proceso de control que hace que
  un robot camine y que lo haga de manera estable o
  sea capaz de coger con sus "manos" un objeto.

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Control de Plasma. La obtención de reacciones de
fusión controladas es uno de los mayores retos
para resolver los problemas energéticos del
planeta. En la actualidad, una de las vías más
prometedoras es el de los tokomaks máquinas en
las que se confina el plasma mediante mecanismos
electromagnéticos. El problema fundamental es
mantener el plasma, de muy alta densidad, a una
temperatura muy alta en la configuración deseada
durante intervalos de tiempo prolongados a pesar
de sus inestabilidades. Esto se realiza a través
de sensores mediante los cuales se obtiene la
información necesaria para efectuar cambios
rápidos y precisos de las corrientes que han de
compensar las perturbaciones del plasma.

• Control de la combustión. Se trata de un tema
  relevante en la industria aeronáutica y
  aeroespacial en las que se hace imprescindible
  controlar las inestabilidades en la combustion
  que, normalmente, viene acompañada de
  perturbaciones acústicas considerables. En el
  pasado se ha realizado el énfasis en los aspectos
  del diseño, modificando la geometría del sistema
  para interferir la interacción,
  combustión-acústica o incorporando elementos
  disipativos. El control activo de la combustión
  mediante mecanismos térmicos o acústicos, es un
  tema en el que casi todo está por explorar

Control de Fluidos. Se trata de un problema con
mucha importancia en aeronáutica puesto que la
dinámica estructural del avión (en sus alas, por
ejemplo) está acoplada con el flujo del aire en
su entorno. Aunque en los aviones convencionales
se puede en gran medida ignorar este
acoplamiento, es probable que los aviones del
futuro tengan que incorporar mecanismos de
control para evitar la aparición de turbulencias
en torno a las alas. Desde un punto de vista
matemático casi todo está por hacer, tanto en lo
que respecta a la modelización, al controly a
los aspectos computacionales.
Economía. Las Matemáticas están jugando hoy en
día un papel activo en el mundo de las finanzas.
En efecto, la utilización de modelos matemáticos
para predecir las fluctuaciones de los mercados
financieros es algo común (mucha gente sueña con
predecir los movimientos en Bolsa y poder
volverse un poco rico). Se trata frecuentemente
de modelos estocásticos en los que la Teoría
del Control ya existente puede ser de
gran utilidad a la hora de diseñar estrategias
óptimas de inversión y consumo.