GEOMETRIE NON EUCLIDEE

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GEOMETRIE NON EUCLIDEE
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• LE GEOMETRIE
• NON EUCLIDEE
• Cè qualche buon motivo per parlarne?

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• la teoria eliocentrica di Copernico
• la legge della gravitazione di Newton
• la teoria dellevoluzione di Darwin

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LA RIVOLUZIONE NON EUCLIDEA

• COME CAMBIA LA MATEMATICA
• NUOVI RAPPORTI CON LA FISICA
• CON LA FILOSOFIA E CON LA LOGICA MATEMATICA
• VERITA E IPOTETICITA DELLA SCIENZA

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ASSIOMI DI EUCLIDE

• 1. Si ammetta di poter tirare da ogni punto ad
  ogni altro punto ,una linea retta
• 2. Si ammetta di poter prolungare continuamente
  per diritto una linea retta terminata
• 3. Si ammetta di poter descrivere un circolo
• con ogni centro e con ogni distanza
• 4. Si ammetta che tutti gli angoli retti sono
  uguali tra loro

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Alcune conseguenze

• - i criteri di congruenza dei triangoli
• per un punto si può tracciare una sola retta
• perpendicolare ad una retta data
• in un triangolo isoscele gli angoli alla base
• sono congruenti

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V assioma

• Geometria euclidea

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PROBLEMATICA

• IL V POSTULATO E LE PRIME CRITICHE dal 300 a.C
• LOPERA DI SACCHERI (1667-1733)
• LOPERA DI GAUSS (1777-1855)
• LOBACEVSKIJ (1792-1856) E BOLYAI (1802-1860)
• LOPERA DI RIEMANN (1826-1866)

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Proposizioni equivalenti al
postulato V

• per un punto esterno ad una retta si può condurre
  una sola parallela alla retta data
• la somma degli angoli interni di un triangolo è
  uguale ad un angolo piatto
• larea di un triangolo può superare qualunque
  area assegnata grande a piacere (Gauss 1777-1855)

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Approccio al problema del V postulato da parte
di Saccheri

• Data una retta r e un punto P fuori di essa
  allora
• a) per P passa esattamente una retta parallela a
  r
• o
• b) per P non passano rette parallele a r
• o
• c) per P passano almeno due rette parallele a r.

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LOB. e BOLYAI
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Se consideriamo i primi quattro postulati e
lipotesi c

• Tutti i teoremi di geometria che discendono
  dallapplicazione dei primi quattro postulati
  continuano ad essere teoremi della nuova
  geometria
• Valgono inoltre i seguenti teoremi
• la somma degli angoli interni di un triangolo è
  sempre minore di un piatto
• non si può costruire un rettangolo
• non vale il teorema di Pitagora

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Teoremi

• di due triangoli , quello che ha larea
  maggiore ha la somma degli angoli minore
• detto difetto d la differenza tra 180 e la somma
  degli angoli interni di un triangolo, larea del
  triangolo vale kd, dove k è una costante
• Larea di un qualsiasi triangolo è minore di
  k180
• due triangoli simili sono congruenti

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LE NUOVE GEOMETRIE

• LA NASCITA DI GEOMETRIE DIVERSE DALLA EUCLIDEA
• GEOMETRIE NON EUCLIDEE
• LA GEOMETRIA IPERBOLICA
• LA GEOMETRIA ELLITTICA
• MODELLI DELLE GEOMETRIE e COERENZA
• INDIPENDENZA DEL V ASSIOMA

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I MODELLI DELLE GEOMETRIE

• Il piano, la superficie cilindrica.MODELLI della
  geometria euclidea
• ogni postulato della geometria euclidea continua
  a valere per le figure della superficie
  cilindrica secondo la seguente interpretazione

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Dal piano alla superficie cilindrica

• retta geodetica
• triangolo triangolo curvilineo
• cerchio cerchio

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MODELLO DELLA GEOMETRIA IPERBOLICA DI KLEIN
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Interpretazione

• piano parte interna del cerchio
• punto punto interno al cerchio
• retta corda

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MISURA E MOVIMENTI

• Definiamo mis (AB)il valore assoluto del
• logaritmo del birapporto (ABPQ)
• (detti P e Q le intersezioni della corda AB con
  la circonferenza, si definisce
• (ABPQ) (AP/BP).(BQ/AQ).)

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(No Transcript)
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• Dimostriamo che la mis(AQ) diviene infinita a
  tale scopo è sufficiente sottolineare che
• Lim (AXPQ)0 per X ? Q ,
• perciò
• lim log(AXPQ)8 per X ? Q .
• e i movimenti?

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CONSEGUENZE

• Indipendenza del V postulato
• Coerenza della geometria iperbolica

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Trigonometria iperbolica

• il teorema dei seni in un triangolo iperbolico
  di lati a,b,c e angoli a,ß,?

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MODELLO DELLA GEOMETRIA ELLITTICA DI RIEMANN
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Interpretazione

• piano superficie sferica
• punto coppia di punti
• diametralmente opposti
• retta ? cerchio massimo
• (geodetica)

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Riemann

• la retta da infinita e illimitata
• diventa finita ( come misura),
  chiusa e illimitata
• due rette sono sempre incidenti, per cui non
  esistono rette parallele.

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TEOREMI

• tutte le rette hanno la stessa lunghezza (finita)
• la somma degli angoli di un triangolo è maggiore
  di 180, essa tende a 180 quando l'area del
  triangolo tende a 0
• non esistono triangoli o poligoni simili con aree
  differenti

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TEOREMI

• due rette perpendicolari alla stessa retta si
  intersecano tutte le perpendicolari alla stessa
  retta hanno un punto di intersezione comune (o
  due punti) alla stessa distanza dalla retta data
• due rette qualsiasi hanno un unica perpendicolare
  in comune

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TEOREMI

• non esistono rettangoli
• il teorema di Pitagora non vale, ma si avvicina
  al risultato con il tendere a zero dell'area del
  triangolo.

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Quale geometria per la fisica?
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Luso di software geometrici

• cabri plus
• cinderella
• geo

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Poligoni regolari
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Tassellazione con pentagoni
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Arte e Geometria
 
 

• Escher

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Cerchio limite III

• Coxeter

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• Coxeter pubblicò unanalisi del "Circle Limit
  III" di Escher in cui dimostrava la precisione
  matematica dellopera. Escher ha raggiunto il
  suo risultato per istinto, mentre io ci sono
  arrivato attraverso la trigonometria. Ma il suo
  lavoro è assolutamente preciso, al millimetro.
  Sfortunatamente non è vissuto tanto a lungo da
  poter vedere la mia esposizione matematica.
• (Larticolo on-line di Coxeter, sul lavoro di
  Escher The Trigonometry of Escher's Woodcut
  "Circle Limit III"http//www.ams.org/featurecolu
  mn/archive/circle_limit_iii.pdf

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 Concludiamo riportando uno dei teoremi più
belli e difficili della matematica del secolo
scorso (XX secolo).

• Teorema di uniformizzazione di
  Riemann-Poincare'. Ogni geometria piana è
  riconducibile a una delle tre geometrie sopra
  descritte (euclidea, sferica , iperbolica).

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Geometria secondo Klein

• Programma di Erlangen (Erlanger programme) (1872)
• Felix Klein introduce una visione unitaria della
  geometria tramite il concetto di gruppola
  geometria diventa lo studio delle proprietà
  invarianti rispetto ad un gruppo di
  trasformazioni
• In particolare le geometrie non euclidee trovano
  una sistemazione nellambito della geometria
  proiettiva