Povijest matematike Doba renesanse

1
Povijest matematike Doba renesanse
F. M. Brückler Ak.God. 2008/09
2
Razvoj matematicke notacije

• U renesansi se pocinje sustavno razvijati
  matematicka notacija
• Kao oznake za nepoznanicu i njen kvadrat vrlo su
  raširene latinske rijeci res i census
• U doba renesanse uvode se oznake , -, , lt, gt, v

3
Njemacka renesansa

• Johan Müller (Regiomontanus), 15. st.
  trigonometrija res-census terminologija
• Johannes Widman, 15. st. prvo korištenje
  znakova i -
• Michael Stifel, 16. st. koristi znakove i -
  te v (Arithmetica integra, 1544.), za 248 pište
  8)24, ima i oznake za potencije

4
(No Transcript)
5

• Christoff Rudolff, 16. st. prva njemacka knjiga
  o algebri (1525. Die Coss ? kosisti), oznake za
  treci i cetvrti korijen
• Adam Riese, 16. st. aritmeticki udžbenik za
  svakog

6
Engleska renesansa

• Robert Recorde, 16. st. znak
• Thomas Harriot, 16.-17.st. znakovi lt i gt
  sferna trigonometrija i kartografija uocio da
  ako su a,b,c rješenja kubne jednadžbe, možemo ju
  zapisati u obliku (x-a)(x-b)(x-c)0

7
Francuska renesansa

• Nicolas Chuquet, 15.st. prva francuska knjiga o
  algebri (1484.), potencije s pozitivnim i
  negativnim koeficijenitima (i nulom), npr. 123
  odgovara današnjem 12x3
• François Viète (1540.-1603.) predlaže
  korištenje suglasnika za konstante, a
  samoglasnika za nepoznanice
• Koristi , -, razlomacku crtu

8
Talijanska renesansa

• Fra Luca Pacioli (1445.-1517.) Summa de
  arithmetica, geometria, proportioni et
  proportionalita res-census terminologija, p. za
  , m. za -, R. za v
• 6.p.R.1018.m.R.90
• 108.m.R.3240.p.R.3240.m.R.90hoc est 78.

(6 v10) (18 - v 90) (108 - v3240 v3240 -
v900)što je 78.
(Broj 90 je zapravo štamparska greška treba biti
900 ali je margina bila preuska pa je odbacena
zadnja nula)
9

• Rafael Bombelli (1526.-1572.)

10
Renesansna algebra

• Rješenje jednadžbe u radikalima je opis (formula)
  rješenje opisana preko cetiri osnovne racunske
  operacije i korijena (konacno mnogo operacija!)
• Mogu li se jednadžbe stupnja 3 riješiti u
  radikalima? A što je s jednadžbama stupnja 4?

11

• Fra Luca Pacioli u Summa-i diskusija jednadžbi
  4. stupnja x4 a bx2 se
• može riješiti preko kvadratne jednadžbe, a
• x4 ax2 b i x4 a bx2 se ne mogu
  riješiti pri trenutnom stanju znanosti

• matematicari renesanse znaju da je dovoljno znati
  riješiti kubnu jednadžbu bez kvadratnog clana

y3 Ay2 By C 0 y x - A/3 ? x3 px q
12

• nepoznati neg. brojevi ? više tipova kubnih
  jednadžbi

x3 px q
x3 q px
x3 px q

• Scipione del Ferro (1465.-1526.) ca. 1515.
  rješava reduciranu jednadžbu prvog tipa, postupak
  drži tajnim
• poslije njegove smrti to rješenje imaju (bar)
  njegov zet Hannibal Nave te student kojem je del
  Ferro pred smrt otkrio metodu (Antonio Fior,
  osrednji matematicar, hvali se poznavanjem
  rješenja)

13
Niccolo Fontana Tartaglia (1499-1557)

• samouk matematicar, 1512. kad su
• Francuzi osvojili Brescia-u usred opceg pokolja
• dobija udarac sabljom u celjust koja mu je
• rasjecena i ostavljen je kao mrtav, zahvaljujuci
  majcinoj brizi preživljava, no ostaje mu
  nakaznost i teškoce u govoru zbog kojih dobiva
  nadimak Tartaglia mucavac

14

• Tartaglia rješava jednadžbu tipa x3 px2 q i
  ne taji svoje otkrice
• Fior ga izaziva na natjecanje (1535) svaki
  zadaje 30 zadataka, rok 50 dana, pobjednik je tko
  riješi više

• Tartaglia je ocekivao da ce svi Fiorovi zadaci
  biti istog tipa razvija vlastitu, u biti del
  Ferrovu, metodu za ostale tipove i pobjeduje (u 2
  sata riješio sve Fiorove probleme)

15
Girolamo Cardano1501.-1576.

• Lijecnik iz Pavia-e
• Buran renesansni život
• Cardano saznaje za natjecanje i postojanje
  rješenja kubne jednadžbe, želi saznati
  Tartaglia-inu metodu i poziva ga 1539. u Milano
• uspijeva ga nagovoriti, uz zakletvu da metodu
  nece odati

16
Kad su kub i stvari skupa Jednaki nekom
diskretnom brojuNadi druga dva broja Koji se za
taj razlikujuTad ceš to zadržati kao naviku Da
im je produkt uvijek jednak Tocno kubu trece od
stvari Ostatak tad kao opce pravilo Od njihovih
oduzetih kubnih korijena Bit ce jednak tvojoj
osnovnoj stvari
Rješenje kubne jednadžbe
cosa stvar (sinonim za nepoznanicu u doba
renesanse) algebraicari kosisti cosa i kub
jednadžba x3 ax b (a, b gt 0)
17

• Cardano i student mu Ferrari razvijaju metodu do
  kraja, a saznaju i da Tartaglia nije prvi koji je
  otkrio rješenje ? 1545 Cardano objavljuje Ars
  magna u kojoj je rješenje jednadžbi 3. i 4.
  stupnja (uz isticanje otkrica del Ferra i
  Tartagliae)

• Tartaglia 1546 objavljuje svoju verziju price,
  napada Cardana, za ciju obranu je zadužen
  Ferrari, koji ga izaziva na natjecanje (u Milanu
  1548) Tartaglia napušta natjecanje

18
Metoda
x3 3px 2q ?pretpostavimo da je rješenje
oblika xuv
19
(No Transcript)
20
Pojava kompleksnih brojeva

• Cardano rješavanje prethodne jednadžbe
• Rafael Bombelli 1572. daje prva pravila za rad s
  kompleksnim brojevima
• Jednostavno je pretpostavio da postoje brojevi
  oblika avb i primijenio uobicajena pravila

21
http//math.fullerton.edu/mathews/n2003/ComplexNum
berOrigin.html
22
Lodovico Ferrari (2.2.1522.-5.10.1565.)

• Riješio je jednadžbu 4. stupnja svodenjem na
  jednadžbe 2. i 3. stupnja za slucaj jednadžbe
  bez kubnog clana, iz x4 px2 qx r 0
  svodimo na potpun kvadrat
• x4 2px2 p2 px2 - qx p2 - r (x2 p)2
  px2 - qx p2 - r
• E, sad za svaki y je
• (x2 p y)2 px2 - qx p2 - r 2y(x2 p)
  y2 (p 2y)x2 - qx (p2 - r 2py y2) ()

23

• Desna strana je kvadratna u x i možemo odabrati y
  tako da bude potpun kvadrat (tj. diskriminanta
  bude 0 taj uvjet daje kubnu jednadžbu za y
  -8y3-20py2(8r-16p2)yq2-4p34pr0). Riješimo tu
  kubnu jednadžbu- za dobiveni y je desna strana u
  () potpun kvadrat, pa korjenujemo i dobijemo
  kvadratnu jednadžbu za x x2pykv.korijen
  desne strane.

24
François Viète (1540-1603)Quod est, nullum non
problema solvere. Nema problema koji se ne
može riješiti.

• dao prvu jednadžbu stupnja n s n rješenja
• Arhimedovom metodom, upisivanjem 393216-erokuta
  izracunao je p na 9 decimala
• dao, koliko je poznato, najstariji prikaz broja p
  kao beskonacnog produkta
• Viètove formule
• vidi Osjecka matematicka škola, 2 (2002), br.2

25

• Viète pravnik i hobi-matematicar, savjetnik
  kraljeva Henrika III i IV
• 1590 dešifrirao španjolski kod

• 1593 belgijski matematicar Adriaan
• van Roomen (Adrianus Romanus, 1561-1615)
  zadaje zadatak s jednadž-bom stupnja 45
  nizozemski ambasa-dor u Francuskoj izjavljuje da
  Francus-ka nema dovoljno dobrih matematicara da
  riješe van Roomenov problem ? kralj Henrik IV ga
  daje Vièteu, koji ga rješava uocivši u njegovoj
  pozadini trigonometrijsku relaciju

26
Otkrice logaritama
27
Zašto uvesti logaritme?

• lakše je zbrajati nego množiti ? korisno je moci
  svesti množenje dva broja na zbrajanje dva broja
• ideja napraviti tablice koje brojevima koje
  treba množiti pridružuju brojeve koje cemo
  umjesto toga zbrojiti, a onda iz iste tablice
  vidimo koji produkt polaznih brojeva odgovara
  dobivenom zbroju
• dva izvora otkrica logaritama izrada
  trigonometrijskih tablica za korištenje u
  navigaciji kamatni racun

28

• 1593. dva danska matematicara predlažu korištenje
  trig. tablica za olakšanje racuna pomocu formule
  sin(A)cos(B) (1/2)sin(AB) (1/2)sin(A-B)
• npr. za 0.173650.99027, u tablicama nademo
  0.17365 sin(10), 0.99027 cos(8) te iz
  formule slijedi 0.173650.99027 sin(10)cos(8)
  (sin(18) sin(2))/2 /tablice/ (0.30902
  0.03490 )/2 0.17196

29
Tko je izmislio logaritme?

• John Napier (Neper, 1550-1617)
• škotski aristokrat, fanaticni protestant, glavni
  interes mu je teologija i održava-nje svojih
  imanja, a matematika je hobi
• najpoznatiji, ali ne i jedini matematicki
  rezultat tablica logaritama

• Joost Bürgi (1552-1632)
• najpoznatiji švicarski urar svog doba,
  konstruirao više znanstvenih instrumenata
• radio je i na carskom dvoru u Pragu, gdje je
  Keplera uveo u algebru, a vj. ga je Kepler
  uvjerio da zapiše svoju konstrukciju logaritama

30
Napierova konstrukcija logaritama

• Mirifici logarithmorum canonis descriptio 1614 .
• ideja parovi nizova (uz fiksnu bazu aritmeticki
  niz eksponenata i pripadni geometrijski niz
  potencija) zbroj/razlika eksponenata odgovaraju
  produktima/kvocijentima potencija
• prvo je svoje eksponente zvao umjetni brojevi,
  kasnije je smislio složenicu od logos i
  arithmos

31
NapLog je padajuci i nema baš svojstva koja danas
ocekujemo od logaritma
32
Promatramo paralelno gibanje dvije tocke A i B.
Tocka A se giba konstantnom brzinom (107) ?
njene pozicije u jednakim vremenskim intervalima
cine aritmeticki niz. Tocka B giba se od 0 do
107 na paralelnom pravcu tako da joj brzina pada
i brzine u uzastopnim intervalima cine
geometrijski niz (brzina u svakom trenutku je po
iznosu jednaka putu koji još treba
preci). Udaljenost koju je tocka A prešla do
n-tog trenutka Napier zove logaritmom od
udaljenosti koju B još treba preci u tom trenutku.
33
(No Transcript)
34
Briggsov doprinos

• Henry Briggs (1561-1630) prof. geometrije u
  Oxfordu, oduševljen Napierovim tablicama, 1615.
  putuje u Edinburgh da posjeti Napiera i diskutira
  o logaritmima
• vec prije posjeta je u pismu predložio izradu
  tablice onog što bismo danas zvali dekadskim
  logaritmom i poceo ju konstruirati (dakle,
  predlaže log(1) 0, log(10) 1)
• Briggs krece od uvjeta log(10) 1 i konsturira
  nove pomocu korijena (logaritam drugog korijena
  broja je pola njegova logaritma) 1624.
  Arithmetica Logarithmica sadrži tablicu log. od
  brojeva od 1 do 20000 i 90000 do 100000 na po 14
  decimala
• Briggs uvodi pojmove mantise i karakteristike
  broja (mantisa je najvece cijelo brojeva
  dekadskog logaritma, a mantisa je decimalni dio)

35
A što je napravio Bürgi?

• tablicu prirodnih logaritama objavljenu 1620.
• promatra (de facto) eksponencijalnu funkciju s
  bazom 1,0001 i promjene potencije koje uzrokuju
  promjenu eksponenta za 1

• tablica N, ?N, L za L0,1,2,...
• vidi se da zbroju L-ova odgovara produkt N-ova
• finija razdioba L-ova (npr. gledamo L/104) ? nova
  tablica (de facto samo izmjena baze na
  (10,0001)10000) ponavljanje postupka dovodi do
  toga da je baza sve bliža broju e

36
geometrijski ako je N1,000110000L i ?L0,0001
onda se prirasti ?L mogu prikazati kao
pravokutnici širine ?N i visine 1/N gdje se za
svaki N njegov prirast ?N bira tako da je
površina pravokutnika ?L Tada je L suma tih
prirasta od 1 do N što je aproksimativno ln N!
37
Primjene matematike u fizici i astronomiji
38
Nikola Kopernik (1473-1543)

• od ca. 1510. razvija koncept heliocentricnog
  sustava (nije prvi kojem je to palo na pamet ?)
• prvi koji kretanjem Zemlje objašnjava prividno
  retrograd-no kretanje planeta
• De revolutionibus orbium
• coelestium (1543) pregled
• pripadne matematicke teorije
• naizgled lošije od Ptolomeja
• Kopernik pretpostavlja kružne
• orbite ? mjerenja naizgled
• bolje odgovaraju Ptolomejevom
• nego njegovom koceptu

39

• Rheticus, mladi prof. matematike u Wittenbergu,
  je pomogao izdavanje iako je Rheticus protestant,
  Kopernik katolik, a sukobi u to doba na vrhuncu
  Rheticus je manuskript na tiskanje odnio u
  Nürnberg, ali je brigu o tisku prepustio
  luteranskom teologu A. Osianderu koji je vec imao
  iskustva s tiskanjem matematickih tekstova
• Osiander je umjesto originalnog Kopernikova
  predgovora umetnuo pismo citateljima u kojima
  kaže da rezultati navedeni u knjizi nisu
  zamišljeni kao istina, nego kao jednostavniji
  nacin racunanja pozicija nebeskih tijela
• takoder je malo izmijenio naslov tako da
• manje izgleda kao tvrdnja o stvarnom svijetu

40
Galileo Galilei (1564-1642)

• obrazovan kao medicinar, bavio se astronomijom,
  fizikom (njihalo, kohezija, slobodni pad) i
  matematikom (prije svega kao argument u svojim
  fizikalnim i astronomskim radovima), ali i
  glazbom i slikanjem
• 1609. izradio vlastiti teleskop i pomocu njega
  otkrio kratere na Mjesecu, Sunceve pjege, cetiri
  najveca Jupiterova mjeseca, i faze Venere (koje
  dokazuju kopernikanski stav moguce su samo ako
  je Venera uvijek bliža Suncu nego je to Zemlja).

41
predložio Galilejsku relativnost svuda vrijede
iste definicije gibanja ? Galilejeve
transformacije (tocne za male brzine, za velike
ih se mora zamijeniti Lorenzovim) 1632. Dijalog
od dva glavna sustava svijeta zamišljeno kao
rasprava izmedu kopernikanskog i ptolomejskog
sustava, ismijava argumente Crkve ? pada u
nemilost, prisiljen odreci se kopernikanskih
stavova i stavljen je u kucni pritvor u kucnom
pritvoru napisao je raspravu o novim znanostima,
matematicki vrlo rigoroznu (1638, Discorsi e
dimonstrationi matematiche)
42
(No Transcript)
43
Johannes Kepler (1571-1630)

• 1596. Mysterium cosmographicum prvi kozmološki
  model, misticki pitagorejski pogledi na svemir
• uvjereni pristaša kopernikanske teorije

• uspijeva postati asistent Tycha Brahea, danskog
  astronoma poznatog po kvalitetnim astronomskim
  tablicama analizira ih nakon Braheove smrti
• iz racuna zakljucuje da su planetarne orbite
  elipse

Keplerov prvi kozmološki model (1596)
44

• Astronomia Nova (1609 tri Keplerova zakona
  kretanja planeta
• planeti se krecu po elipsama u cijem jednom
  fokusu je Sunce
• radij-vektor planeta u jednakim vremenskim
  razmacima prelazi jednake površine
• kvadrat perioda planeta je proporcionalan duljini
  glavne poluosi orbite (Harmonices mundi , 1619)

Keplerova elipticka orbita za Mars
45
Simon Stevin (1548-1620)

• Belgijanac, vanbracno dijete, majka se kasnije
  vjencala u kalvinisticku obitelj
• radio razne cinovnicke poslove, tek s 35 godina
  upisao sveucilište (Leiden)
• važni doprinosi u trigonometriji, mehanici,
  arhitekturi i utvrdivanju, glazbi, zemljopisu i
  navigaciji
• 1585 La Theinde (Desetina), knjižica s 29 strana
  o decimalnim razlomcima (koje su prije njega
  koristili Arapi i Kinezi, ali ih on uvodi u
  Evropu) komentira da je opce uvodenje decimalnih
  mjernih jedinica samo pitanje vremena

46

• 1586 De Beghinselen der Weegconst teorem o
  trokutu sila (poticaj razvoja statike) treatise
  De Beghinselen des Waterwichts hidrostatika
  razvoj Arhimedovih ideja tlak tekucine na plohu
  ovisi o visini tekucine i površini plohe.
• 1586 (3 godine prije Galilea) razlicite mase
  danu visinu padaju jednako dugo (eksperiment
  bacanjem dvije olovne kugle s crkvenog tornja u
  Delftu)
• 1608 De Hemelloop astronomija zagovornik
  Kopernika
• piše i o perspektivi (cak za slucaj da platno
  nije okomito na tlo i o inverznoj perspektivi
  gdje treba biti oko promatraca ako znamo gdje je
  objekt i kakva mu je slika)

47
Primjena matematike u likovnoj umjetnosti u doba
renesanse

• Zlatni rez kao idealni omjer
• Pravila linearne perspektive

48
De divina proportione, (1509) Luca Pacioli

Luca Paciooli kako ga je prikazao Jacopo de
Barbari, 1495
49
ilustracijeda Vinci tema zlatni rez, poliedri
...
http//www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonar
do.html
50
Pravila linearne perspektive
http//www.math.nus.edu.sg/aslaksen/projects/persp
ective/

• F. Brunelleschi ca. 1415. ponovno otkriva
  pravilo jedinstvene izbježne tocke paralelnih
  pravaca koji ne leže u ravnini slike,
  izracunavanje velicine slike objekta

51

• L. Alberti De Pictura (1445.) prvo cjelovito
  djelo o pravilima perspektive ?
• P. Della Francesca više matematickih djela o
  perspektivi, s vlastitim teoremima (De
  prospectiva pingendi)

P. Della Francesca Bicevanje Krista
52
Albrecht Dürer (1471-1528)

• iz Nürnberga, trece od 18 djece Madara (Ajtos ?
  Türer ? Dürer), otac mu je bio draguljar
• vec s 13 godina se istice kao slikar, od 1486
  radi kao šegrt u radionici za oltare, 1494 se
  ženi bogatom nasljednicom
• put u Italiju 1494.-95. iako nije upoznao nikog
  od vecih matematicara, a niti Leonarda, saznao je
  o Pacioliju i važnosti matematike za umjetnost ?
  pocinje proucavati matematicka djela (EE idr.)

53

• od ca. 1500 pokazuje matematicki utjecaj u svojim
  djelima, u to doba postaje i slavan
• nakon smrti oca 1502. Dürer se mora brinuti za
  invalidnu i gotovo slijepu majku, otvara svoju
  tiskaru i usput prodaje svoja djela na sajmovima
  ? težak život koji mu uništava zdravlje
• 1505.-7. opet u Italiji, sad kao slavni slikar, a
  zanima ga ucenje matematike
• od 1508. skuplja materijale za djelo o primjeni
  matematike u umjetnosti, postavio osnove nacrtne
  geometrije
• 1514. Melankolija prvi magicni kvadrat u Evropi
• 1525. Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und
  Richtscheit ? matematika za umjetnike tu se
  nalaze i Dürerove krivulje, konstrukcije
  pravilnih poligona, ...

54
Melankolija (1514.)
55
(No Transcript)
56
Serija drvoreza Život djevice (ima ih još...)