ALJABAR BOOLEAN

1
ALJABAR BOOLEAN

• Aljabar Boolean
• Fungsi dan Ekspresi Boole

2
Definisi

• Aljabar boolean merupakan aljabar yang terdiri
  atas suatu himpunan dengan dua operasi biner
  (binary) ? dan ?, elemen 0 dan 1, dan satu
  operasi uner (unary) yakni komplemen dengan sifat
  yang berlaku untuk seluruh x, y, dan z dalam
  himpunan tersebut, seperti berikut

3

• x ? 0 x dan x ? 1 x (Hk. identitas)
• x ? x 1 dan x ? x 0 (Hk. dominasi)
• (x ? y) ? z x ? (y ? z) dan (x ? y) ? z x ?
  (y ? z)
• (Hk. asosiatif)
• x ? y y ? x dan x ? y y ? x (Hk. komutatif)
• x ? (y ? z) (x ? y) ? (x ? z) dan
• x ? (y ? z) (x ? y) ? (x ? z) (Hk.
  distributif)

4
Operasi

• Aljabar Boolean menyediakan operasi dan aturan
  untuk bekerja dengan himpunan 0, 1
• 3 buah operasi
• komplemen Boolean
• penjumlahan Boolean
• perkalian Boolean

5
Komplemen Boolean

• Komplemen Boolean dituliskan dengan bar / garis
  atas / apostrof dengan aturan sebagai berikut
• 0 1 dan 1 0 , atau
• x y (dalam bentuk variabel)

6
Aturan

• Penjumlahan Boolean dituliskan dengan atau OR
  (V) , mempunyai aturan sebagai berikut
• 1 1 1
• 1 0 1
• 0 1 1
• 0 0 0

7
Aturan

• Penjumlahan Boolean dituliskan dengan atau OR
  (V) , mempunyai aturan sebagai berikut
• 1 1 1
• 1 0 1
• 0 1 1
• 0 0 0

8
Aturan

• Sedangkan perkalian Boolean yang dituliskan
  dengan atau AND (?) , mempunyai aturan
  sebagai berikut
• 1 1 1
• 1 0 0
• 0 1 0
• 0 0 0

9
Aksioma Untuk Aljabar Boolean

• Dengan aljabar boolean dimaksudkan suatu sistem
  yang dibentuk oleh suatu himpunan dengan dua
  operator biner (. dan ), satu operasi singular
  (yang diberi notasi ), dan dua elemen khusus (0
  dan 1) sedemikian rupa sehingga membentuk aksioma
  

10
Jawab
1 xyyx Komutatif
2 x.yy.x Komutatif
3 x.(yz)x.yx.z Distributif
4 x(y.z)xy.xz Distributif
5 x0x Identitas
6 x.1x Identitas
7 xx1 xy1 Komplemen
8 x.x0 x.y0 Komplemen
11
Pembuktian Sifat BooleanContoh 1

• Bila y komplemen dari x, maka menurut aksioma (7)
  dan (8) berlaku xy1 dan x.y0
• Bila xy1 dan x.y0 maka
• y y0 (aksioma 5)
• y(x.x) (aksioma 8)
• (yx).(yx) (aksioma 1 dan 4)
• 1.(yx) (diketahui)
• (yx).1 (aksioma 2)
• yx (aksioma 6)
• ? y yx

12
Lanjutan

• Bila xy1 dan x.y0 maka
• x x0 (aksioma 5)
• x(x.y) (diketahui)
• (xx).(xy) (aksioma 1 dan 4)
• 1.(xy) (aksioma 7)
• (xy).1 (aksioma 2)
• xy (aksioma 6)
• yx (aksioma 1)
• y (lihat bag 1 halaman sebelumnya)

13
Lanjutan

• Sehingga terbukti
• yx (atau y adalah komplemen dari x)
• Dari dua penjabaran diatas terbukti bahwa y
  komplemen x jika dan hanya jika x1y dan x.y0

14
Aksioma Aljabar Boolean
Hukum Identitas x0x x.1x Hukum idempoten xxx x.xx Hukum Komutatif xyyx x.yy.x
Hukum komplemen xx1 x.x0 Hukum dominasi x.00 x11 Hukum Distributif x(y.z)(xy).(xz) x.(yz) (x.y)(x.z)
Hukum Involusi (x) x Hukum penyerapan x(x.y)x x.(xy)x Hukum 0/1 01 10
Hukum asosiatif x(xy)(xx)y x.(x.y)(x.x).y Hukum De Morgan (xy)x.y (xy)xy
15
Pembuktian Sifat BooleanContoh 2

• Idempoten
• Untuk setiap x dalam aljabar boolean maka
• x.xx dan xxx
• x x.1 identitas
• x.(xx) komplemen
• x.xx.x distributif
• x.x0 komplemen
• x.x identitas/terbukti
• ? xx.x idempoten

16
Lanjutan

• Idempoten
• Untuk setiap x dalam aljabar boolean maka
• x.xx dan xxx
• x x0 identitas
• x(x.x) komplemen
• xx.xx distributif
• (xx).1 komplemen
• xx identitas -gt terbukti
• ? xxx idempoten

17
Pembuktian Sifat BooleanContoh 3

• Pembuktian Hukum Idempoten
• xx (xx)(1) identitas
• (xx)(xx) komplemen
• x(xx) asosiatif
• x0 komplemen
• x identitas

18
Pembuktian Sifat BooleanContoh 4

• Hukum dominasi
• x.00
• x11
• Pembuktian H.Dominasi
• x1 x(xx) komplemen
• (xx)x asosiatif
• xx Idempoten
• 1 komplemen

19
Pembuktian Sifat BooleanContoh 5

• Hukum penyerapan
• x(x.y)x
• x.(xy)x
• Hukum Penyerapan
• x.(xy) x.xx.y distributif
• x(x.y) idempoten
• x0 komplemen
• x identitas -gt terbukti

20
Dualitas

• Prinsip dualitas? Misalkan S adalah kesamaan
  tentang aljabar boolean yang melibatkan operasi
  , . , dan komplemen, maka Sdiperoleh dengan
  cara mengganti
• . dengan
• dengan .
• 1 dengan 0
• 0 dengan 1

21
Dualitas

• Dual dari ekspresi Boolean didapat dengan
  menukarkan penjumlahan dengan perkalian dan
  menukarkan 0 dengan 1.
• Contoh
• Dual dari x(y z) adalah xyz
• Dual dari x.1(yz) adalah ( x0 )( y.z )

22
CONTOH DUALITAS
Hukum Komutatif xyyx x.yy.x Hukum Komutatif Dualx.yy.xxyyx
Hukum Distributifa(b.c)(ab).(ac)a.(bc) (a.b)(a.c) Hukum Distributif Dual a.(bc) (a.b)(a.c)a(b.c) (ab)(ac)
23
End of MODULE