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Übungen zur Vorlesung Stochastik und ihre Didaktik
Thema Faire Spiele / Gerechte Spiele
Referenten Anne Büttner, Anne Thiel, Stephan
Schultz
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• 6.1 Konzipieren Sie eine Doppelstunde zum Thema
  Faire Spiele für die Klasse 6. Lernziel soll
  sein, dass den Schülerinnen und Schülern ihr
  naives Fairnessverständnis bewusst gemacht und
  mit den ihnen zur Verfügung stehenden Mitteln
  der Wahrscheinlichkeitsrechnung präzisiert und
  beschrieben wird.
• Wählen Sie einfache altersgerechte Beispiele
  und Gegenbeispiele.

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Vorwissen der Schüler aus Klasse 1 bis 5

• Themenfeld Daten und Zufall
• propädeutisches Verständnis von
  Wahrscheinlichkeit
• Kennen und Anwenden von einfachen
  Formulierungen
• aus der Stochastik
• gewisse Vorstellung vom Begriff Zufallsgröße
• keine mathematischen Definitionen
• Spiele

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Einstieg in die Doppelstunde

• Was versteht ihr unter dem Begriff fair?
• Was stellt ihr euch unter fairen Spielen vor?

? kurzes Sammeln der ersten Ideen ? eventuell
Festhalten der Vorstellungen der Schüler an der
Tafel
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1.Spiel Theorie
Wir haben ein Säckchen mit drei blauen und mit
drei gelben Kugeln. Abwechselnd ziehen nun die
Kinder Fix und Foxi aus diesem Säckchen eine
Kugel und legen sie anschließend wieder zurück
ins Säckchen. I) Wird eine blaue Kugel
gezogen, erhält Fix einen Bonbon. Wird aber eine
gelbe Kugel gezogen, erhält Foxi einen Bonbon.
Würdest du dieses Spiel eingehen? Ist das Spiel
deiner Meinung nach fair?
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1.Spiel Theorie

• II) Wird eine blaue Kugel gezogen, erhält Fix
  einen Bonbon. Wird aber eine gelbe Kugel
  gezogen, erhält Foxi zwei Bonbons.

Würdest du dieses Spiel eingehen? Ist das Spiel
deiner Meinung nach fair?
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Zwischenergebnis

• Damit ich entscheiden kann, ob ein Spiel fair
  ist, muss ich nicht nur die Chance bzw. die
  Wahrscheinlichkeit, sondern auch den möglichen
  Gewinn betrachten.

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2.Spiel Praxis Würfelspiel mit Oktaeder
Variante 1 Für dieses Würfelspiel braucht man 2
Spieler. Der erste spielt um die Zahlen 1 und 2.
Der andere spielt um 3, 4, 5, 6, 7 und 8. Beide
Spieler würfeln abwechselnd 16-mal nacheinander.
Wird eine der Zahlen von Spieler 1 gewürfelt
bekommt er einen Chip, bei den anderen Zahlen
bekommt Spieler 2 einen Chip.
Frage an SchülerInnen Ist das ein schönes
Spiel? Ist es ein faires Spiel?
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2.Spiel Praxis Würfelspiel mit Oktaeder
Variante 2 Für dieses Würfelspiel braucht man 2
Spieler. Der erste spielt um die Zahlen 1 und 2.
Der andere spielt um 3, 4, 5, 6, 7 und 8. Beide
Spieler würfeln abwechselnd 16-mal nacheinander.
Wird eine der Zahlen von Spieler 1 gewürfelt
bekommt er sechs Chips, bei den anderen Zahlen
bekommt Spieler 2 einen Chip.
Frage an SchülerInnen Ist das ein schönes
Spiel? Ist es ein faires Spiel?
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2.Spiel Praxis Würfelspiel mit Oktaeder
Zwischenbemerkung Bei Variante 1 hatte Spieler
1 nach 16 Durchgängen deutlich weniger Chips als
Spieler 2. Bei Variante 2 hatte Spieler 1
deutlich mehr Chips als Spieler 2.
Vermutung Es gibt bestimmt einen Gewinn, der
zwischen dem ersten und dem zweiten liegt und
durch den das Spiel fair wird.
Frage Habt ihr eine Idee, wie man den Gewinn
für Spieler 1 wählen muss, damit das Spiel fair
wird?
Lösung 3 Chips
Erklärung Die Wahrscheinlichkeit für Spieler 1
ist nur 1/3 von der Wahrscheinlichkeit von
Spieler 2, dafür muss Gewinn von Spieler 1
dreimal so groß sein, wie der von Spieler 2.
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2.Spiel Praxis Würfelspiel mit Oktaeder
Variante 3 Für dieses Würfelspiel braucht man 2
Spieler. Der erste spielt um die Zahlen 1 und 2.
Der andere spielt um 3, 4, 5, 6, 7 und 8. Beide
Spieler würfeln abwechselnd 16-mal nacheinander.
Wird eine der Zahlen von Spieler 1 gewürfelt,
bekommt er drei Chips, bei den anderen Zahlen
bekommt Spieler 2 einen Chip.
Frage an SchülerInnen Ist das ein schönes
Spiel? Ist es ein faires Spiel?
2. Fazit Man kann bei einem unfairen Spiel die
Wahrscheinlichkeiten und den Gewinn so verändern,
dass es fair ist. Andersherum kann man so auch
aus einem fairen Spiel ein unfaires machen.
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3. Spiel PraxisGlücksrad
Man braucht 2 Spieler für das Glücksradspiel.
Jeder Spieler bekommt 20 Chips. Einem Spieler
werden die beiden gelben Felder, dem anderem
Spieler das blaue Feld zugeordnet. Die Felder
sind alle gleichgroß. Danach wird abwechselnd
18-mal am Glücksrad gedreht. Wird ein gelbes
Feld erdreht, bekommt der zugehörige Spieler ein
Chip vom anderen. Wird das blaue Feld erdreht,
bekommt der Spieler mit dem blauen Feld 2 Chips
vom Spieler mit den gelben Feldern.
Die Ergebnisse werden an der Tafel in einer
Tabelle zusammengefasst und ausgewertet.
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3. Spiel PraxisGlücksrad
Spieler I Gewinn Anzahl der Chips
Möglichkeiten 2 Chips 1 (Feld) 2
Chips Verlust Anzahl der Chips
Möglichkeiten 1 Chip 2 (Felder) 2
Chips Spieler II Gewinn Anzahl der Chips
Möglichkeiten 1 Chip 2 (Felder) 2
Chips Verlust Anzahl der Chips
Möglichkeiten 2 Chips 1 (Feld) 2 Chips
Spieler I (Blau) Spieler II (Gelb)
17 20 24 . . . 23 20 16 . . .
309 291
? Spieler 1 gewinnt genau so viel, wie er verliert
? Gewinn und Verlust gleichen sich aus
? Ja, Spiel ist fair!
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Merksatz

• Ein faires Spiel ist ein Spiel, bei dem der
  durchschnittliche Gewinn gleich dem
  durchschnittlichem Verlust ist.

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Anwendung des Merksatzes auf Spiel 2
Analyse von Gewinn und Verlust bei Spieler 1
Variante 1 Gewinn alle Chips, die er
bekommt 1 Chip bei 2 Zahlen 2 Chips
Verlust alle Chips, die er nicht
bekommt alle Chips, die Spieler 2 bekommt
1 Chip bei 6 Zahlen 6 Chips
? Gewinn lt Verlust
? Das Spiel ist unfair für Spieler 1.
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Anwendung des Merksatzes auf Spiel 2
Analyse von Gewinn und Verlust bei Spieler 1
Variante 2 Gewinn 6 Chips bei 2 Zahlen 12
Chips Verlust 1 Chip
bei 6 Zahlen 6 Chips
? Gewinn gt Verlust
? Das Spiel ist unfair für Spieler 2.
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Anwendung des Merksatzes auf Spiel 2
Analyse von Gewinn und Verlust bei Spieler 1
Variante 3 Gewinn 3 Chips bei 2 Zahlen 6
Chips Verlust 1 Chip
bei 6 Zahlen 6 Chips
? Gewinn Verlust
? Das ist ein faires Spiel.
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Übungsaufgabe
Du verabredest dich mit einem Freund zum
gemeinsamen Spielen. Du besitzt 10 Murmeln und
dein Freund viel mehr Murmeln als du. Er schlägt
dir folgendes Spiel vor a) Ich habe hier vier
Hütchen mit verschiedenen Unterseiten. Es gibt
eine weiße und drei schwarze Unterseiten. Deckst
du das Hütchen mit der weißen Unterseite auf,
erhältst du 6 Murmeln von mir. Deckst du jedoch
ein Hütchen mit einer schwarzen Unterseite auf,
bekomme ich eine Murmel von dir.
Würdest du dieses Spiele eingehen? Ist das Spiel
deiner Meinung nach fair? Versuche, deine
Überlegungen rechnerisch zu begründen.
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Übungsaufgabe
Gewinn Möglichkeiten für Gewinn möglicher
Gewinn 1 6 6 Verlust Möglichkeiten
für Verlust möglicher Verlust 3 1 3
? Gewinn gt Verlust
? Ja, ich würde dieses Spiel eingehen.
? Nein, das Spiel ist nicht fair.
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Hausaufgabe

• Dein Freund merkt, dass sein Spiel doch nicht
  so gewinnbringend für ihn war und er verändert
  ein wenig die Spielregeln. Du erhältst nun, wenn
  die weiße Seite erscheint, nur noch drei Murmeln.

Würdest du dieses Spiele eingehen? Ist das
Spiel deiner Meinung nach fair?