Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D

1
Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D
Spelen en Delen
Frank Thuijsman
1 juli 2010
2
(No Transcript)
3
Inhoudsopgave Boekje

1. Een Bankroet Probleem uit de Talmud
2. Coöperatieve Spelen
3. Rationaliteit en Kennis
4. Spelen in Strategische Vorm
5. Matrixspelen
6. Huwelijksproblemen
7. Eindopdrachten
8. Antwoorden

4
Programma vanmiddag

1. Een Bankroet Probleem uit de Talmud
2. Coöperatieve Spelen
4. Spelen in Strategische Vorm
5. Matrixspelen
6. Huwelijksproblemen

5
Een Bankroet Probleem uit de Talmud
Nalatenschap
100 200 300
100 33.33
200 33.33
300 33.33
50
50
Weduwe
75
100
75
150
Gelijk
Proportioneel
???
Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde
manier opgelost worden.
Hoe moet 400 verdeeld worden?
Wat als een vierde weduwe 400 claimt?
6
Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
100 200 300
100 50
200 75
300 75
100 200 300
100
200
300
De waarde van coalitie S is het bedrag dat
overblijft, als eerst de claims van de andere
spelers betaald worden.
De nucleolus van het spel
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S)
0
100
200
0
0
0
0
0
7
Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen
100 200 300
A 100 33.33
B 200 33.33
C 300 33.33
100 200 300
A 100
B 200
C 300
De waarde van coalitie S is het bedrag dat
overblijft, als eerst de claims van de andere
spelers betaald worden.
De nucleolus van het spel
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S)
0
0
0
0
0
0
0
100
8
Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen
100 200 300
100 50
200 100
300 150
100 200 300
100
200
300
De waarde van coalitie S is het bedrag dat
overblijft, als eerst de claims van de andere
spelers betaald worden.
De nucleolus van het spel
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S)
0
0
0
100
200
300
0
0
9
Coöperatieve Spelen
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
kosten of winsten verdelen op basis van de
waarden van de coalities
10
De Core
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
(0,0,14)
(6,0,8)
(7,0,7)
(0,7,7)
Leeg
(6,8,0)
(7,7,0)
(14,0,0)
(0,14,0)
11
Lloyd S. Shapley
A value for n-person games, In Contribution to
the Theory of Games, Kuhn and Tucker (eds),
Princeton, 1953
12
De Shapley-waarde
Voor coöperatieve spelen is er precies één
oplossingsconcept dat voldoet aan de
eigenschappen- Anonimiteit - Efficiëntie -
Dummy - Additiviteit
De Shapley-waarde F geeft elke speler het
gemiddelde van zijn marginale bijdragen
13
De Shapley-waarde
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
A B C
A-B-C
A-C-B
B-A-C
B-C-A
C-A-B
C-B-A
Som
F
Marginale bijdragen
6
3
5
6
3
5
2
7
5
3
7
4
4
3
7
3
4
7
24
27
33
4
4.5
5.5
14
David Schmeidler
The nucleolus of a characteristic function game,
SIAM Journal of Applied Mathematics 17, 1969
15
De Nucleolus
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6-2 7-2 7-2 9-2 11-2 11-2 14
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6-x 7-x 7-x 9-x 11-x 11-x 14
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 4 5 5 7 9 9 14
(0,0,14)
(4,5,5) de nucleolus
F (4, 4.5, 5.5)
Leeg
(14,0,0)
(0,14,0)
16
Talmud-spelen
(0,0,100)
100 200 300
A 100 33.33 50 50
B 200 33.33 75 100
C 300 33.33 75 150
de nucleolus
(100,0,0)
(0,100,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 0 0 100
17
Talmud-spelen
(0,0,200)
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
(200,0,0)
(0,200,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 0 100 200
18
Talmud-spelen
(0,0,200)
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
de nucleolus
(200,0,0)
(0,200,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 0 100 200
19
Talmud-spelen
(0,0,300)
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
(300,0,0)
(0,300,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 100 200 300
20
Talmud-spelen
(0,0,300)
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
de nucleolus
(300,0,0)
(0,300,0)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 100 200 300
21
Een Bankroet Probleem uit de Talmud
Nalatenschap
100 200 300
100 33.33
200 33.33
300 33.33
50
50
Weduwe
75
100
75
150
Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde
manier opgelost worden.
Hoe moet 400 verdeeld worden?
Wat als een vierde weduwe 400 claimt?
22
De Oplossing
Een andere Mishna uit deTalmud luidt Twee
houden een kleed vast de een claimt het hele
kleed, de ander claimt de helft. Dan krijgt de
een 3/4, de ander 1/4. Baba Metzia 2a, Fol. 1,
Babylonian Talmud, Epstein, ed, 1935
23
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
samen 125
100
200
De één claimt 100, de ander alles dus 25 is voor
de ander de rest (100) claimen beiden, dus
daarvan krijgt elk de helft
samen 125
100
200 25
samen 125
100 50
200 2550
24
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
samen 66.66
100 33.33
300 33.33
Ieder claimt alles, dus elk krijgt de helft
25
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
samen 250
200
300
samen 250
200
300 50
samen 250
100 100
200 50100
De één claimt 200, de ander alles dus 50 is voor
de ander de rest (200) claimen beiden, dus
daarvan krijgt elk de helft
26
Marek M. Kaminski
Hydraulic rationing, Mathematical Social
Sciences 40, 2000
27
Communicerende Vaten
50
100
150
50
100
150
28
Communicerende Vaten 100
33.33
33.33
33.33
29
Communicerende Vaten 200
75
75
50
30
Communicerende Vaten 300
150
100
50
31
Communicerende Vaten 400
125
225
50
32
Communicerende Vaten 400 voor 4
125
125
100
50
33
Spelen in Strategische Vorm
Nash-evenwicht voor een n-persoons spel Een
n-tal strategieën, voor elke speler één, met de
eigenschap dat voor elke speler zijn strategie
een beste antwoord is tegen de strategieën van
de anderen.
34
A Beautiful Mind
John F. Nash
John C. Harsanyi
Reinhard Selten
Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54,
1951
1994 Nobelprijs Economie
35
Evenwicht in een Bimatrixspel?
Speler 2 Speler 2
Speler 1 4,0 0,3
Speler 1 -1,3 5,0
1-p
p
q
1-q
gemengde acties
verwachte uitbetalingen
36
Evenwicht in een Bimatrixspel?
Verwachte uitbetaling
Speler 2 Speler 2
Speler 1 4,0 0,3
Speler 1 -1,3 5,0
4(1-q) 4-4q
-(1-q)5q -16q
1-q
q
Als q 0.5, dan geldt 4-4q -16q, en dan is
Boven even goed als Onder voor speler 1.
De verwachte uitbetaling voor speler 1 is dan
2, ongeacht of hij Boven of Onder kiest.
37
Evenwicht in een Bimatrixspel?
Speler 2 Speler 2
Speler 1 4,0 0,3
Speler 1 -1,3 5,0
1-p
p
3p
3(1-p)
Verwachte uitbetaling
Als p 0.5, dan geldt 3p 3(1-p), en dan is
Links even goed als Rechts voor speler 2.
De verwachte uitbetaling voor speler 2 is dan
1.5, ongeacht of hij Links of Rechts kiest.
38
Evenwicht in een Bimatrixspel!
Speler 2 Speler 2
Speler 1 4,0 0,3
Speler 1 -1,3 5,0
0.5
0.5
0.5
0.5
een gemengd evenwicht
met (verwachte) uitbetaling (2, 1.5)
39
Matrixspelen
Speler 2 Speler 2
Speler 1 4,-4 0,0
Speler 1 -1,1 5,-5
40
Matrixspelen
Speler 2 Speler 2
Speler 1 4 0
Speler 1 -1 5
1-p
p
4-5p
5p
Verwachte uitbetaling
5
4
0
p
1
0
-1
41
Matrixspelen
Speler 2 Speler 2
Speler 1 4 0
Speler 1 -1 5
1-p
p
4-5p
5p
5
Speler 1 wil p zo kiezen dat het minimum van
4-5p en 5p maximaal is. Bij p 0.4, minimum 2.
4
2
0
p
1
0
0.4
-1
42
Matrixspelen
Speler 2 Speler 2
Speler 1 4 0
Speler 1 -1 5
4-4q
-16q
1-q
q
5
Speler 2 wil q zo kiezen dat het maximum van
4-4q en -16q minimaal is. Bij q 0.5, maximum 2.
4
4-4q
-16q
2
0
q
1
0
0.5
-1
43
De Waarde van het Spel
het maximum van de minima 2 het minimum van
de maxima
5
5
4
4
4-4q
-16q
2
2
0
0
q
p
1
0
0.5
1
0
0.4
-1
-1
44
De Minimax-stellingJohn von Neumann, 1928
Voor elk matrixspel bestaat er een getal v, de
waarde, en optimale strategieën x en y, zodat x
aan speler 1 een uitbetaling van minstens v en y
aan speler 1 een uitbetaling van hoogstens v
garandeert.
In andere woorden Voor elke matrix A geldt
max min xAy min max xAy x y
y x
45
John von Neumann
Oskar Morgenstern
Theory of Games and Economic Behavior, Princeton,
1944
46
Theory of Games and Economic Behavior, Princeton,
1944
47
Het Oplossen van (Bi-)Matrixspelen

• Matrixspelen kunnen opgelost worden m.b.v.
  lineair programmeren bijv. met de
  simplexmethode.
• De minimax-stelling kan bewezen worden met de
  dualiteitsstelling van lineair programmeren.
• Voor bimatrixspelen kunnen evenwichten gevonden
  worden d.m.v. een pivoting algoritme dat lijkt op
  de simplexmethode.

48
Huwelijksproblemen
  1 2 3 4 5
Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Harry Lenny
Conny Lenny Harry Gerry Freddy Kenny
Dolly Harry Lenny Freddy Gerry Kenny
Emmy Harry Kenny Gerry Lenny Freddy
  1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly
Gerry Dolly Anny Betty Emmy Conny
Harry Emmy Anny Dolly Betty Conny
Kenny Emmy Conny Anny Dolly Betty
Lenny Emmy Anny Betty Conny Dolly
49
Huwelijksproblemen
  1 2 3 4 5
Anny Freddy Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Lenny
Conny Lenny Gerry Freddy Kenny
Dolly Lenny Freddy Gerry Kenny
Kenny Gerry Lenny Freddy
  1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny Dolly
Gerry Dolly Anny Betty Conny
Anny Dolly Betty Conny
Kenny Conny Anny Dolly Betty
Lenny Anny Betty Conny Dolly
50
Huwelijksproblemen
  1 2 3 4 5
Anny Freddy Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Lenny
Conny Lenny Gerry Freddy Kenny
Dolly Lenny Gerry Kenny
Kenny Gerry Lenny Freddy
  1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny
Gerry Dolly Anny Betty Conny
Anny Dolly Betty Conny
Kenny Conny Anny Dolly Betty
Lenny Anny Betty Conny Dolly
51
Huwelijksproblemen
Lloyd S. Shapley
David Gale
College admissions and the stability of marriage,
American Mathematical Monthly 69, 1962
52
Huwelijksproblemen
  1 2 3 4 5
Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Harry Lenny
Conny Lenny Harry Gerry Freddy Kenny
Dolly Harry Lenny Freddy Gerry Kenny
Emmy Harry Kenny Gerry Lenny Freddy
1
2
9
3
4
6
7
8
5
  1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly
Gerry Dolly Anny Betty Emmy Conny
Harry Emmy Anny Dolly Betty Conny
Kenny Emmy Conny Anny Dolly Betty
Lenny Emmy Anny Betty Conny Dolly
1
7
2
8
4
5
9
3
6
53
Huwelijksproblemen

• Gale-Shapley algoritme
• Geeft de beste stabiele koppeling voor de
  aanzoekers
• Ook toepasbaar wanneer de groepen niet even
  groot zijn
• Ook wanneer niet elk aan elk gekoppeld wil
  worden
• Ook toepasbaar voor college admissions

54
Hartelijk Dank voor Uw Aandacht!
55
?
f.thuijsman_at_maastrichtuniversity.nl
56
?
f.thuijsman_at_maastrichtuniversity.nl