Misaone operacije i nacini zakljucivanja u matematici - PowerPoint PPT Presentation

1 / 25
About This Presentation
Title:

Misaone operacije i nacini zakljucivanja u matematici

Description:

misaone operacije i na ini zaklju ivanja u matematici – PowerPoint PPT presentation

Number of Views:47
Avg rating:3.0/5.0
Slides: 26
Provided by: Kori341
Category:

less

Transcript and Presenter's Notes

Title: Misaone operacije i nacini zakljucivanja u matematici


1
Misaone operacije i nacini zakljucivanja u
matematici
2
CILJ
  • upoznati osnovne misaone operacije i nacine
    zakljucivanja u matematici, te osvijestiti
    njihovu primjenu u konkretnim situacijama kako bi
    bolje razumjeli proces razmišljanja kod ucenika u
    problemskoj situaciji

3
PROMISLITE ŠTO ZNACE POJMOVI
  • analiza
  • sinteza
  • generalizacija
  • apstrakcija
  • indukcija
  • dedukcija
  • analogija

4
MISAONE OPERACIJE
  • ZNANSTVENE METODE ISTRAŽIVANJA U MATEMATICI

5
ANALIZA
  • misaona operacija u kojoj rašclanjujemo cjelinu
    na dijelove, proucavamo te dijelove i izvodimo
    zakljucke o njima
  • cjelina je u matematici najcešce neki problem
    cije rješenje tražimo
  • analizom problem svodimo na jednostavnije
    probleme ili tvrdnje koje su ocigledne ili lako
    dokazive
  • znanstvena metoda istraživanja
  • pocetak analize kao znanstvene metode je u staroj
    Grckoj, a razvila se na geometrijskim problemima.

6
SINTEZA
  • misaona operacija u kojoj od pojedinacnih
    dijelova (cinjenica i jednostavnijih tvrdnji)
    sastavljamo cjelinu (složeniju tvrdnju)
  • suprotna je analizi
  • u sintezi uzimamo kao ucinjeno ono što je u
    analizi bilo posljednje dostignuto te vracajuci
    se unatrag koracima suprotnima analizi, dolazimo
    do konstrukcije onog što je bilo traženo
  • prakticki je nedjeljiva od analize, tj.
    nadopunjuju se analiticko-sinteticka metoda

7
PRIMJER Konstruirajmo kvadrat ako je zadan zbroj
a d, duljina a stranice i d dijagonale.
  • ANALIZA Nacrtajmo skicu kvadrata ABCD crtež
    treba nadopuniti tako da se na njemu pojavi
    pomocna figura u kojoj je jedan element dužina
    zadane duljine a d produžimo dijagonalu AC za
    dužinu CE duljine a. Promatrajmo trokute BCE i
    ABE. Trokut BCE je ocito jednakokracan i kutovi
    su mu 135o i dva kuta po 22,5o. Trokut ABE ima s
    kvadratom zajednicku stranicu AB i dade se
    konstruirati jer mu je poznata stranica AE
    duljine ad, kut BAE je 45o, kut AEB je 22,5o.
    Dakle u tom trokutu jedna stranica ima zadanu
    duljinu ad, pa je taj trokut pomocna figura koja
    omogucuje konstrukciju kvadrata ABCD.
  • SINTEZA Vidi skicu koja je napravljena i
    sintetiziraj dobivene rezultate te izvrši
    konstrukciju

8
APSTRAKCIJA
  • misaona operacija izuzetno važna u matematici
  • misaono odvlacenje opceg bitnog svojstva
    promatranog objekta ili pojave od ostalih
    svojstava, nebitnih za odredeno proucavanje i
    odbacivanje tih nebitnih svojstava
  • kako se opca bitna svojstva nekog skupa objekata
    izdvajaju primjenom poopcavanja, proizlazi da se
    poopcavanje i apstrahiranje stalno primjenjuju u
    procesu formiranju pojmova pri prijelazu od
    predodžbi k pojmovima
  • konkretni objekti potrebni za formiranje novog
    pojma moraju biti pažljivo odabrani tako da
    omogucavaju poopcavanje, izdvajanje bitnih
    svojstava koja tvore sadržaj pojma
  • suprotnost je konkretizacija

9
ZADACI
  • Pokušajte analizirati ovu situaciju Dijete prica
    majci da je naucio što je to kugla to su drveni
    objekti smede ili crne boje koje uciteljica drži
    u školskom ormaru, a veoma su slicni njegovoj
    lopti za igranje.
  • Pokušajte prikazati kako dijete apstrahira pojam
    pravca. Prikažite taj postupak kroz nekoliko
    koraka.

10
GENERALIZACIJA
  • jedna od osnovnih misaonih operacija u matematici
  • prijelaz s razmatranja danog skupa objekata na
    odgovarajuce razmatranje njegova nadskupa
  • prijelaz s konkretnog i pojedinacnog k opcem
    (djeci ponekad teško)
  • metoda kojom se izgraduju opcenitiji pojmovi i
    opcenitije tvrdnje
  • polazi se od nekog skupa ciji svi elementi imaju
    odredeno svojstvo, a onda se promatra neki njegov
    prirodni nadskup cijim se elementima prenose
    ista svojstva
  • kako odmah nije jasno hoce li pri tome prenošenju
    svojstvo ostati sacuvano, to se ono za sve
    elemente nadskupa nužno mora dokazati.
  • Njena suprotnost je specijalizacija

11
PRIMJER
  • Za kutove u trokutu vrijedi formula
  • ? ? ? 1800
  • Za kutove cetverokuta vrijedi
  • ? ? ? ? 3600
  • Sada generalizacijom možemo doci do formule za
    zbroj kutova n-terokuta.
  • ? ?k (n 2) ?
  • ovu bi formulu trebalo dokazati

12
OBLICI ZAKLJUCIVANJA
13
INDUKCIJA
  • nacin zakljucivanja u kojem se iz dvaju ili više
    pojedinacnih sudova dobiva novi opci sud
  • misaoni proces kojim se stvaraju generalizacije
    (rasuduje se od pojedinacnom k opcem)
  • latinska rijec inductio - uvodenje, navodenje,
    pobudivanje
  • predstavlja i znanstvenu metodu dokazivanja,
    kojom se pri proucavanju nekog skupa objekata
    promatraju posebni objekti iz tog skupa i
    utvrduju kod njih ona svojstva koja se zatim
    pripisuju citavom skupu
  • Razlikujemo potpunu i nepotpunu indukciju

14
NEPOTPUNA INDUKCIJA
  • Oblik zakljucivanja koji se zasniva na
    razmatranju jednog ili više, ali ne svih,
    pojedinacnih sudova ili slucajeva
  • zakljucak dobiven nepotpunom indukcijom može biti
    i neistinit, pa ona nije metoda znanstvenog
    istraživanja
  • NEISTINA Jasna ima smedu kosu, Lana ima smedu
    kosu, ja imam smedu kosu. Sve djevojcice imaju
    smedu kosu.
  • ISTINA Moj je tata manji od 5 metara, Rada je
    manji od 5 metara svi su ljudi manji od 5
    metara.
  • Zadatak Dokaži da za prirodne brojeve vrijedi
    svojstvo komutativnosti.

15
POTPUNA INDUKCIJA
  • Oblik zakljucivanja koji se zasniva na
    razmatranju svih pojedinacnih sudova ili
    slucajeva
  • Ako je S konacan skup sa n elemenata, i ako se
    neko svojstvo s ispita za svaki pojedini element
    skupa S, onda zakljucujemo da svi elementi skupa
    S imaju svojstvo s
  • Primjer Neka je S skup svih ovdje prisutnih
    studenata. Tvrdim da svaki element skupa S
    posjeduje mobitel. Je li ova tvrdnja istinita?
  • Zadatak Dokaži da medu prvih 20 prirodnih
    brojeva ima 8 prostih brojeva!

16
MATEMATICKA INDUKCIJA
  • posebni slucaj indukcije koji ima snagu dokaza
  • zasniva se na Peannovim aksiomima
  • ako neka tvrdnja vrijedi za prvi clan niza, te
    ako iz cinjenice da tvrdnja vrijedi za n-ti clan
    niza proizlazi i da vrijedi i za n plus prvi clan
    niza, tada tvrdnja vrijedi za svaki clan niza
  • provodi se u tri koraka baza indukcije
    pretpostavka indukcije korak indukcije
  • ZADATAK Dokaži da je zbroj prvih n neparnih
    brojeva jednak n2

17
DEDUKCIJA
  • nacin zakljucivanja u kojem se istinitost nekog
    tvrdenja izvodi iz istinitosti ranije utvrdenih
    (ili opce prihvacenim) opcih istina
  • misaoni proces ide od opceg prema pojedinacnom
  • nacin zakljucivanja suprotan indukciji
  • ujedno je i metoda znanstvene spoznaje kojom
    dokazujemo neke matematicke tvrdnje
  • Matematika je deduktivna znanost, a matematika u
    nastajanju je eksperimentalna induktivna znanost

18
PRIMJER
  • Pravilo kaže Razlika se ne mijenja ako
    umanjeniku i umanjitelju dodamo ili oduzmemo isti
    broj.
  • a b (a n) (b n)
  • Na temelju toga riješi zadatak
  • 435
  • -198
  • Koristeci Pitagorin teorem riješi zadatak Ako je
    hipotenuza 5cm, a kateta 3cm, kolika je duljina
    druge katete?

19
INDUKCIJA I DEDUKCIJA U NASTAVI MATEMATIKE
  • Dedukcija kao nastavni postupak dominirala je u
    praksi stare škole
  • Nastavni se proces odvijao tako da je ucitelj
    najprije iznio neku opcu tvrdnju koju su ucenici
    ucili napamet, a tek kasnije je primjenjivali u
    rješavanju pojedinacnih slucajeva
  • Razlog tome je ekonomicnost deduktivnog postupka
    (vremena i energije) i cinjenica što zahtjeva
    manje nastavnikova stvaralaštva
  • u suvremenoj nastavi induktivno deduktivni
    postupak ucenik induktivno usvaja odredene
    sadržaje matematike, a nakon toga ih deduktivno
    primjenjuje u rješavanju pojedinacnih zadataka.

20
ANALOGIJA
  • oblik zakljucivanja pri kojem se iz opažanja da
    se dva objekta podudaraju u odredenom broju
    svojstava ili odnosa izvodi zakljucak da se oni
    podudaraju i u drugim svojstvima ili odnosima
    koji se kod jednog objekta nisu izravno opažali
  • Objekt A ima svojstva s1, s2,, sk-1, sk , objekt
    B ima svojstva s1, s2,, sk-1 . Svojstva s1,
    s2,, sk-1 analogna su svojstvima s1, s2,,
    sk-1. Zakljucujemo da B ima svojstvo sk
  • zakljucci mogu i ne moraju biti istiniti, pa
    analogija nema snagu dokaza
  • jako važna za matematiku, jer ona može dati ideje
    za nove spoznaje koje se nakon toga dokazuju
  • Analogija je veoma korisna i u nastavi
    matematike. ("slicno se izvodi", "ovo je zadatak
    slican prethodnom", )

21
  • Laplace
  • "Glavna sredstva pomocu kojih se otkrivaju
    istine u matematici su indukcija i analogija."
  • Banach
  • "Matematicar je covjek koji umije naci analogiju
    medu tvrdnjama, bolji matematicar je onaj koji
    pronalazi analogije medu dokazima, najbolji
    matematicar je onaj koji uocava analogije
    teorija, no može se zamisliti i onaj koji medu
    analogijama vidi analogije."

22
PRIMJERI i ZADACI
  1. Znamo da je (ab)2 a2b2 , pa po analogiji
    zakljucujemo da je (abc)2 a2b2c2 . Ovu tvrdnju
    sada je lako dokazati. Pokušajte. 
  2. Pravokutnik i kvadar imaju mnogo slicnosti.
    Naime, pravokutnik ima nasuprotne stranice
    paralelne, a susjedne okomite. Nasuprotne
    stranice su sukladne. Isto vrijedi i za kvadar.
    Ako je duljina dijagonale pravokutnika d2 a2
    b2 , koja bi mogla biti formula za duljinu
    prostorne dijagonale kvadra? Je li time dokazano
    da je to formula za dijagonalu kvadra?

23
PROVJERIMO NAUCENO
  • U sljedecim zadacima daj komentar na tvrdnju koja
    se izrice. O kojoj se metodi ili obliku
    zakljucivanja radi? Je li nacin razmišljanja
    ispravan? Je li zakljucak ispravan?

24
ZADACI ZA RAZMIŠLJANJE
  • Negativni brojevi imaju ispred sebe - .
    Broj ( -5) je negativan.
  • 23 ? 32 , 45 ? 54, 67 ? 76 . Zakljucujemo da je
    am ? ma .
  • Obujam kvadra izracunava se po formuli
    VBva b c , pa se obujam valjka racuna po
    formuli V B v r2 ? v .

25
U ovom opisu jedne situacije iz razreda
prepoznajte misaone operacije o kojima smo ucili 
  • Uciteljica cita zadatak "Ako se za 1 dolar dobije
    5 kuna, koliko ce se kuna dobiti za 150 dolara?".
    Ucenici izdvajaju poznate i nepoznate podatke i
    zapisuju ih na plocu. Nakon toga, Maja na osnovu
    zapisanih podataka ponavlja (prepricava) zadatak.
    Ona se sjetila da su na prošlom satu rješavali
    slican zadata koji je glasio "Ako jedna kokoš
    košta 30 kuna, koliko košta 5 koka?", pa odmah
    postavlja brojevni izraz
  • x kune
  • 1 5 150 x
  • x 150 ? 5
  • x 750
  • Daje odgovor Dobije se 750 kuna.
  • Uciteljica kaže Djeco, sada ovaj izraz x
    dolari ? 5 možemo uzeti kao formulu za
    preracunavanje dolara u kune.
Write a Comment
User Comments (0)
About PowerShow.com