Cours 8

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Cours 8

• Regime Sinusoidal Etabli

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Reponse Sinusoidal

• Serie et transformee de fourier
• Signal amplitude vs. frequence (a la place de
  amplitude vs. temps)

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Reponse Sinusoidal

• Reponse dun systeme peut aussi etre amplitude
  vs. frequence
• On a déjà vu des exemples

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Reponse Sinusoidal

• Si entrée est 1x106, gain est 1
• Si entrée est 1x109, gain est autour de 0.5

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Conventions

• Gain V/V, A/A, etc. echelle lineaire
• Gain decibels (dB) echelle logarithmique
• Quand ca va de tres bas a tres haut
• Originalement pour gain de puissance

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Conventions

• Sachant que PVIV2/R
• Meme chose pour gain de courant

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Conventions

• Dans le filtre passe bas on voit que le gain
  baisse diminue avec la frequence
• DEFINITION
• Frequence de coupure Frequence ou le gain a
  -3dB du maximum (autre nom frequence -3dB)

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Conventions
Gain maximal
Frequence de coupure
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Conventions

• Definition
• Bande passante plage de frequences ou le gain
  est plus que -3dB

Bande passante
Bande passante
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Cas Concret filtre passe bas

• Prenons par exemple un filtre passe bas
• Son gain maximal est 1 (w0)

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Cas Concret filtre passe bas

• Dans ce cas PARTICULIER, w-3dB est la meme que la
  bande passante.

-3dB
w-3dB
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Exemple de calcul

• On va trouver les caracteristiques de ce circuit

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Exemple de calcul

• La frequence -3dB cest quand le gain devient
  
• On multiplie par le denominateur
• Equation en w du 4e ordre

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Exemple de calcul

• Pour equation de 2e ordre, solution est
• On peut substituer xw2 et faire semblant que
  cest 2e ordre

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Exemple de calcul

• Coefficients de lequation quadratique
• Ca se simplifie

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Exemple de calcul

• Sachant que xw2, w devient
• Ca peut sexprimer comme

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Exemple de calcul

• Avec C10-12, L10-9 et R100

Bande Passante
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Exemple de calcul

• On voit ici 3 differentes valeurs de R.
• Changer R gt changer bande passante
• Autre terme Facteur de Qualite (Q)

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Facteur de Qualite

• Definition

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Facteur de Qualite

• La frequence de resonance
• La bande passante

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Facteur de Qualite

• Avec la frequence naturelle et la bande passante,
  on trouve Q
• On substitue avec les valeurs

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Facteur de Qualite

• Regardons la forme classique
• On voit que
• On sait aussi que
• On peut deduire que

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Exemple

• Exemple (seul)
• Trouvez le wn, le z et le Q de ce circuit

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Exemple

• On ecrit la fonction de transfert
• On le re-ecrit sous la forme classique
• Deja on voit que

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Exemple

• On regarde le coefficient de s
• Le coefficient damortissement devient
• Le facteur de qualite est

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Naturelle vs. Resonance

• Frequence naturelle et frequence de resonance
  terme parfois interchangeable
• Un systeme peut avoit frequence naturelle sans
  avoir de resonance
• Resonance quand une frequence reagit plus que
  les autres

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Naturelle vs. Resonance

• Les 3 courbes ont la meme frequence naturelle

Frequence de resonance
Pas de resonance
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Resonance pourquoi?

• On a parle de circuits resonants
• On a parle de facteur de qualite
• Ca peut sonner abstrait
• Exemple dapplications transmetteur radio

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Application Radio AM

• On aimerait envoyer la musique par radio
• On comence par amplifier le signal
• Ensuite on lenvoie dans une antenne
• Ondes electromagnetiques se propagent et vont a
  lautre antenne
• De lautre bord, on amplifie et on entend la
  musique

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Application Radio AM

• PROBLEME Pour bien propager, il faut grosse
  antenne
• Basse frequence longue antenne (musique basse
  frequence)
• Haute frequence petite antenne
• Comment faire?

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Application Radio AM

• Modulation si notre signal est ce sinus
• On enverrait une onde rapide avec amplitude qui
  SUIT la forme de lautre

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Application Radio AM

• Avec haute frequence, ca transmet par lantenne
• Lautre bord le recoit, lamplifie et on
  lentend.
• La resonance la dedans?

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Application Radio AM

• Radio AM Entre 540KHz et 1600KHz
• C-a-d, haute vitesse est 540-1600KHz
• Il y a plusieurs stations radio qui utilisent
  plusieurs de ces frequences
• Si on veut entendre quun seul poste, il
  selectionner UNE SEULE FREQUENCE et ignorer les
  autres

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Application Radio AM

• Quel circuit connait-on qui prend une seule
  frequence et enleve les autres?
• Circuit LC
• Prend seulement les frequences TRES PROCHES de

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Application Radio AM

• Facteur de qualite la selectivite
• Ex Station radio A module a 600KHz et station B
  a 610KHz. Est-ce notre circuit serait capable
  damplifier seulement 600KHz? (est-ce que son Q
  est assez eleve?)

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Application Radio AM

• Voici un exemple
• On envoie onde sinus de 3KHz
• On module avec sinus de 60KHz

3KHz
On ajuste cette frequence. 60KHz
60KHz
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• Signal de 3KHz module avec haute vitesse

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Application Radio AM

• Recepteur utilise LC de 60KHz
• On change la frequence de modulation
• Droite on sapproche de la frequence LC

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Application Radio AM

• Gauche quand frequence LC frequence modulation
• Droite on depasse la frequence LC

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Application Radio AM

• Resultats (tentative)
• Oscilloscope signal recu et amplifie
• Speaker son recu et amplifie

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Diagramme de Bode

• Figure gain vs. frequence
• Echelle logarithmique
• Approximation asymptotique

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Diagramme de Bode

• On va prendre un exemple banal pour expliquer le
  raisonnement filtre RC
• En regime sinusoidal etabli

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Diagramme de Bode

• Son gain
• En decibels
• Sa phase

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Diagramme de Bode

• Rappelons-nous de quelques proprietes
• On peut re-ecrire lequation du gain

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Diagramme de Bode

• Forme plus conviviale
• 2 cas extremes
• Quand w ltlt 1/RC
• Quand w gtgt 1/RC

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Diagramme de Bode

• On rejoin les courbes ou w1/RC
• A ce point, le gain

w 1/RC
w gtgt1/RC
w ltlt1/RC
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Diagramme de Bode

• Conclusions de lexperience precedente
• Chaque pole cause une baisse de -20dB par LOG10w
• LOG10w augmente de 1 quand w augmente de 10
• DONC, le gain baisse de -20dB quand la frequence
  augmente de 10 fois.
• On appelle ca une decade
• COMMENCE au pole (valeur absolu) w 1/CR

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Diagramme de Bode

• On pourrait aussi faire le meme exercice avec les
  zeros
• Il y aura une augmentation de 20dB/decade
• Le gain commencera a la frequence du zero

Zero
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Diagramme de Bode amplitude

• On peut resumer
• Chaque pole reel cause -20dB/decade
• Chaque zero reel cause 20dB/decade
• Echelle logarithmique cest une droite
• Le changement se produit AU pole/zero
• Rappel Decade10X.

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Diagramme de Bode amplitude

• Recette magique
• Re-arranger la fonction de transfert
• Trouver gain a une frequence donnee (0 ou autre)
• Identifier les poles et les zeros
• Tracer les axes en base logarithmique
• Tracer les lignes

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Exemple

• Il faut connaitre les poles et les zeros
• Il faut connaitre la fonction de transfert

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Exemple

• Gain a 0rad/s
• Substituons avec les valeurs

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Exemple

• On trace le diagramme au complet

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Pole/Zero a lOrigine

• Les choses se compliquent pour fonctions avec
  poles et zeros a lorigine (s0)
• Gain est soit 0 ou infini a 0
• On ne peut pas dessiner frequence 0 puisque
  log100 ne se dessine pas.

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Pole/Zero a lOrigine

• Imaginons quon avait une fonction de transfert
• Frequence 0 descend de -20dB/decade
• Frequence 10 la pente changerait ENCORE de
  -20dB/decade (devient -40)
• Ca commence a quelle valeur?

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Pole/Zero a lOrigine

• On change la forme de lequation
• Quand frequence3/10, amplitude dans parenthese
  est a peu pres 1
• Gain TOTAL est a peu pres 1
• Si sous cette forme, coefficient de 1/s est
  frequence ou gain1

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Pole/Zero a lOrigine

• Notre diagramme de Bode commencerait a w3/10
  dans ce cas-ci

Pente plus raide
3/10
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Pole/Zero a lOrigine

• Pour le cas du zero, situation semblable
• Si fonction de transfert etait
• La frequence avec gain unitaire serait 5 (et non
  1/5!)
• Approximation fonctionne mieux quand poles/zeros
  valeurs elevees

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Exemple

• Exemple (seul)
• Reformatter lequation
• Trouver gain a une frequence donnee
• Identifier pole/zero
• Tracer lignes

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Exemple

• Fonction de transfert
• Gain de 1 se trouve a la frequence
• Zeros 0 et -400
• Poles -10

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Exemple

• Diagrammes de Bode (Amplitude)

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Diagramme de Bode phase

• On sait comment tracer le gain
• Il faudrait aussi considerer la phase
• La phase est donnee par

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Diagramme de Bode phase

• Si on considere un pole/zero comme
• La phase serait
• Quand w ltlt A, phase 0
• Quand w gtgt A, phase 90
• Quand wA, phase

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Diagramme de Bode phase

• On sait que le dephasage est
• Donc, pour zero
• w gtgt A, dephasage est 90
• Et pour pole
• w gtgt A, dephasage est -90

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Diagramme de Bode phase

• Dephasage dun zero
• Dephasage dun pole

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Diagramme de Bode phase

• Recette magique
• Trouver dephasage a basse frequence
• Tracer laxe de frequence en base logarithmique
• Identifier les poles/zeros
• Pour chaque pole/zero
• Idenfier (frequence 10)
• Identifier (frequence / 10)
• Commencer dephasage de 45/decade a freq/10
• Arreter dephasage a freq10

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Diagramme de Bode phase

• Zeros 0, 400
• Points importants 40, 400, 4000
• Pour 0 Freq10Freq/100
• Poles 10
• Points importants 1, 10, 100

-45 degres/decade
45 degres/decade
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Diagramme de Bode phase

• Dephasage a basse frequence est TYPIQUEMENT 0
  (quand w-gt0)
• Quand pole/zero a lorigine
• Zero dephasage 90 degres PARTOUT
• Pole dephasage -90 degres PARTOUT

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Diagramme de Bode phase
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Diagramme de Bode phase

• Exemple (seul)
• Dephasage a basse frequence
• Pole/Zero
• Frequence/10 et Frequence10
• Tracer lignes

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Diagramme de Bode phase

• Zero 45 degres/decade
• Pole -45 degres/decade
• Commence 1 decade AVANT pole/zero
• Finit 1 decade APRES pole/zero

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Diagramme de Bode phase

• Decompose en 2 morceaux (precision du graphique)