ALGEBRA BOOLEANA

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ALGEBRA BOOLEANA

• Generalità
• Il sistema Binario
• Le operazioni con i numeri Binari
• Le porte logiche
• Proprietà, Assiomi e Teoremi
• Mappe di Karnaugh
• Problema di logica (1)
• Problema di logica (2)
• Esercizi

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ALGEBRA BOOLEANA

• La teoria dei circuiti logici considera come
  modello matematico di supporto lAlgebra
  Booleana.

• Un po di storia
• George Boole (Lincoln 1815 - Cork 1864), logico e
  matematico britannico. Formatosi principalmente
  come autodidatta con laiuto del padre, coltivò
  dapprima linteresse per le lingue, e in
  particolare del latino, e solo a partire dal 1935
  quello per la matematica. Pubblicò diversi studi
  sul Cambridge Mathematical Journal e, in
  particolare, uno sulle applicazioni dei metodi
  algebrici alla risoluzione delle equazioni
  differenziali, che gli valse un riconoscimento
  della Royal Society. Nel 1849 venne nominato
  professore di matematica al Queen's College
  (lattuale University College) di Cork, in
  Irlanda, incarico che conservò per tutta la vita,
  guadagnandosi fama di insegnante appassionato e
  capace.

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ALGEBRA BOOLEANA

• Lalgebra di Boole è un tipo di algebra
  completamente diversa da quella numerica con cui
  abitualmente si lavora. Essa è definita come un
  insieme di definizioni, postulati e teoremi
  relative a grandezze che possono assumere
  soltanto due stati logici distinti.
• Questi due stati o valori, si rappresentano con
  coppie di simboli quali, per esempio, V (vero) e
  F (falso) H (high) e L (low) o ancora 0 (zero) e
  1 (uno).
• Si precisa che 0 e 1 sono considerati solo
  simboli e non cifre numeriche.
• Nellambito elettrico ed elettronico si è solito
  abbinare lo zero ad un interruttore aperto e l 1
  ad un interruttore chiuso.

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Proprietà, Assiomi e Teoremi dellalgebra di Boole
N Nome Proprietà
1 Proprietà associativa a ( b c) ( a b ) c a ( b c) ( a b ) c
2 Proprietà commutativa a b b a a b b a
3 Proprietà distributiva a ( b c ) ( a b ) ( a c ) a ( b c ) ( a b ) ( a c )
4 Assioma dellannullamento a 0 0 a 1 1
5 Assioma del Complemento ( a a ) 1 ( a a ) 0
6 Assioma dellidempotenza a a a a a a
7 Assioma doppia negazione a a
8 Teorema di DeMorgan a b a b a b a b
9 Teorema dellassorbimento Se Y a ab allora Y a
10 Teorema del consenso Se Y ab ac bc allora Y ab ac

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Le Porte Logiche

• Not
• Or
• And
• Xor
• Nor
• Nand
• Xnor

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Problema di logica

• Nellovile che può essere chiuso con un cancello,
  cè una capra a volte lagricoltore apre il
  cancello dellovile per permettere alla capra di
  pascolare nel prato. Altre volte apre la porta
  del granaio, nel quale vi è grano di cui la capra
  è ghiotta. Infine può anche accadere che la porta
  del recinto resti aperta, al di fuori del quale
  vi è un lupo che vorrebbe mangiare la capra.
• Lagricoltore intende costruire un
  sistema dallarme che si attivi solo allorché la
  situazione (intesa con porte aperte o chiuse) è
  di reale pericolo.
• Dispone pertanto tre interruttori, uno
  per ciascuna delle porte.
• X1 Interruttore porta granaio 0 se aperta 1
  se chiusa
• X2 Interruttore porta ovile 0 se aperta 1 se
  chiusa
• X3 Interruttore porta recinto 0 se aperta 1
  se chiusa.
• Si definisce Y il segnale dallarme0 se spento 1
  se acceso.

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(No Transcript)
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Tabella di Verità
n riga X1 granaio X2 ovile X3 recinto Y allarme
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 1 0 0
4 0 1 1 0
5 1 0 0 1
6 1 0 1 0
7 1 1 0 0
8 1 1 1 0
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Spiegazione Tabella di Verità
Riga 1 Allarme tutte le porte sono
apertemassimo pericolo poichè la capra può
mangiare il grano e il lupo può mangiare la
capra Riga 2 Allarmela capra può mangiare il
grano Riga 3 Nessun allarme sono aperti il
granaio e recinto ma lovile è chiuso Riga 4
Nessun allarme solo il granaio è aperto ma
recinto e ovile sono chiusi Riga 5 Allarme il
granaio è chiuso ma il recinto e lovile sono
aperti, il lupo mangia la capra Riga 6
Nessun allarme lovile è aperto ma granaio e
recinto sono chiusi Riga 7 Nessun allarme il
recinto è aperto ma granaio e ovile sono chiusi
Riga 8 Nessun allarme tutte le porte sono
chiuse
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Problema di logica 2

• Progettare ,realizzare collaudare la logica di un
  antifurto dappartamento che corrisponda alla
  seguente condizione
• Un sensore di movimento ha unuscita, normalmente
  bassa, che va alta quando individua un movimento
• Un sensore collegato ad un monitor, ha unuscita
  normalmente bassa, che va alta quando il radar
  individua un movimento
• Un interruttore abilita o interdice il segnale di
  allarme. Nella posizione ON lo attiva fornendo al
  sistema un livello alto, nella posizione OFF lo
  disattiva fornendo un livello basso
• Il comando di una sirena di allarme agisce quando
  almeno un sensore fornisce unuscita alta.

Schema a blocchi
Tabella della verità
simulazione
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Ispeziona limmagine con il mouse
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Problema di logica 2
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Problema di logica 2
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La funzione logica S è data da S APM APM
APM
mettendo in evidenzia A si ha S A (PM PM
PM)
mettendo in evidenza M S A M (PP) (PM)
ma per la proprietà della negazione P P 1 e
quindi S A (M 1 PM) ma per la proprietà
del prodotto logico M 1 M e quindi S A
(M PM) applicando la proprietà distributiva
al termine (M PM) si ha S A (M P) (M
M) ma M M 1 , quindi S A (M P)
1 ponendo A (M P) X si ha S X 1 per il
prodotto logico si ha S X sostituendo a X il
suo valore si ha S A (M P) essa è la
funzione minima.
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Il Circuito Logico è il seguente
Problema di logica 2
M
(M P)
S A (M P)
P
A
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Problema di logica 2

• Il circuito elettronico che lo realizza è il
  seguente

Realizzazione Pratica
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Problema di logica 2
S
L interruttore A è OFF lallarme,
indipendentemente dallo stato di M e P, non
si attiva.
M
A
P
CLICCA SU A
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Problema di logica 2
S
L interruttore A è ON M è ON, lallarme,
si attiva.
M
A
P
CLICCA SU P
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Problema di logica 2
S
L interruttore A è ON P è ON, lallarme,
si attiva.
M
A
P
CLICCA SU M
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Problema di logica 2
S
L interruttore A è ON M e P sono ON,
lallarme, si attiva.
M
A
P
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Porta Logica Not

• La porta logica Not è costituita da un ingresso e
  da una uscita effettua operazione di negazione.
  Ipotizzando Y l uscita e A l ingresso , l
  equazione algebrica è la successiva
• Y A
• La tabella della verità e il simbolo grafico
  sono i seguenti

Questa porta può essere simulata mediante
interruttori elettrici collegati come in figura
Si deduce che la lampada è accesa (Y1) se
linterruttore è aperto (A0) viceversa se
linterruttore è chiuso (A1) la lampada è
spenta.
E
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Porta Logica Or
La porta logica OR effettua la somma logica su
due o più variabili di ingresso. Nel caso di
due variabili A e B, detta Y l uscita,
l equazione algebrica è la seguente Y A
B La tabella della verità e il suo simbolo
grafico sono
Si legge Y uguale A OR B
Questa porta può essere simulata mediante
interruttori elettrici collegati come in figura
Agli interruttori A e Bsi assegnano i valori
1 e 0 ossia chiuso o aperto. Di conseguenza la
lampada risulta accesa quando almeno uno dei due
interruttori è 1 ossia chiuso.
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Porta Logica Nand
Loperatore NAND è derivato da un operatore AND
seguito da un NOT. In questo caso l uscita Y è 0
quando le variabili d ingresso sono tutte a 1,
l equazione algebrica e la seguente Y A
B La tabella della verità e il simbolo grafico
sono
Questa porta può essere simulata mediante
interruttori elettrici collegati come in figura
Si legge Y uguale A AND B negato
Agli interruttori A e B si assegnano i valori 1 e
0 ossia chiuso e aperto. Di conseguenza la
lampada risulta spenta quando tutti e due gli
interruttori sono chiusi.
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Porta Logica Xor

• Loperatore XOR è derivato dalloperatore OR. Si
  tratta di un circuito capace di riconoscere se
  due ingressi sono diversi (uscita 1) o sono
  uguali (uscita 0).
• Si può verificare che un operazione di OR
  esclusivo fornisce luscita a 1 se è dispari il
  numero di 1 degli ingressi, fornisce invece 0 in
  uscita se i numero di 1 sono pari.

Il simbolo grafico e la tabella della verità sono
Si legge Y uguale A OR ESCLUSIVO B
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Porta Logica Nor

• Loperatore NOR è derivato da un operatore OR
  seguito da un NOT. Luscita Y di una porta NOR
• vale 1 solo se tutte le entrate sono nello stato
  logico 0. Nel caso di due variabili (A e B) la
  funzione digitale si scrive

Y A B
La tabella della verità e il simbolo grafico
sono i seguenti
Si legge Y uguale A OR B negato
Questa porta può essere simulata mediante
interruttori elettrici collegati come in figura
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Porta Logica Xnor

• Loperatore NOR esclusivo, indicato con XNOR, è
  derivato dallo XOR mediante complementazione
  della variabile duscita. Si noti come il
  cerchietto nel simbolo elettrico indica una
  complementazione.

Si legge Y uguale A NOR ESCLUSIVO B oppure A
COINCIDENZA B
Il nome di coincidenza logica deriva dal fatto
che luscita si porta a 1 solo se le entrate
coincidono nello stesso stato logico
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Porta Logica And
Loperatore AND agisce su due o più variabili di
ingresso. L uscita Y è 1 quando le variabili
d ingresso sono tutte a 1. Nel caso di due
variabili di ingresso,
l equazione algebrica
di uscita è la seguente Y A B La tabella
della verità e il simbolo grafico sono
A
Y A B
Questa porta può essere simulata mediante
interruttori elettrici collegati come in figura
B
Si legge Y uguale A AND B o
anche A per B
Agli interruttori A e B si assegnano i valori 1 e
0 ossia chiuso e aperto. Di conseguenza la
lampada risulta accesa solo quando tutti e due
gli interruttori sono chiusi.