Energia e potenza nei circuiti elettrici

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Energia e potenza nei circuiti elettrici

• Nel circuito in figura la batteria B è connessa
  con fili di resistenza trascurabile ad un
  dispositivo conduttore non specificato. La
  batteria mantiene una d.d.p. ai suoi estremi. Ai
  terminali a b del dispositivo cè la d.d.p. pari
  a V Va Vb . Lungo il circuito scorre la
  corrente i (stazionaria) nel verso indicato, che
  trasporta la carica dq i dt. Lenergia
  associata alla carica dq, dovuta alla diminuzione
  del potenziale nel dispositivo, è pari, per il
  principio di conservazione dellenergia, al
  lavoro dU fatto dalla forza elettrica per portare
  la carica dq dal punto a al punto b attraverso il
  circuito dU V dq i V dt
• La potenza è quindi data da P V I e si misura
  in watt volt x ampère

Nel caso di circuiti composti da conduttori con
resistenza costante R, la potenza (energia per
unità di tempo) assorbita (e dissipata) nella
resistenza R è data dalla equazione precedente P
i VR in cui la d.d.p. VR è sostituita tenendo
conto della legge di Ohm VR R i da cui si
ottiene La potenza dissipata nei conduttori
compare sotto forma di energia termica (effetto
Joule o riscaldamento ohmico la resistenza si
riscalda).
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Generatori di f.e.m.

• Per far passare una carica attraverso una
  resistenza occorre stabilire una d.d.p. tra le
  sue estremità. Per mantenere il flusso di cariche
  (corrente) costante occorre mantenere costante
  la d.d.p.
• Un dispositivo in grado di mantenere costante la
  d.d.p. si chiama generatore di forza
  elettromotrice (f.e.m.). Il termine forza
  elettromotrice ha origini storiche. Si noti
  tuttavia che esso ha le dimensioni di un
  potenziale non di una forza.
  Simbolo

Un generatore di f.e.m. è un dispositivo come
nella figura in alto in grado di mantenere una
d.d.p. Va - Vb gt 0 costantemente. Al suo interno
un campo elettrico E sposta le particelle cariche
responsabili della formazione della d.d.p. Un
esempio di generatore di f.e.m. è una pila.
Fn forza non conservativa
qE energia fornita dalla sorgente per portare
la carica q dal punto b (polo negativo) al punto
a (polo positivo)
E forza elettromotrice della sorgente (energia
per unità di carica) Unità di misura nel sistema
SI volt (V)
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Legge delle maglie di Kirchhoff
Per una sorgente non collegata al circuito
cioè la f.e.m. E è la
differenza di potenziale tra i poli della
sorgente a circuito aperto. Un generatore che
eroga corrente (circuito chiuso) è sede di una
corrente di intensità uguale a quella del
circuito esterno. La corrente convenzionalmente
fluisce dal polo () al polo (-) nel circuito
esterno e dal polo (-) al polo () allinterno
del generatore.
Per una sorgente di fem collegata ad un circuito
resistivo (resistenza R, simbolo ), il
lavoro eseguito dalla sorgente sulla carica dq
per spostarla dal polo negativo al polo positivo
nel tempo dt (cioè lenergia potenziale fornita
alla carica dq) è dU E dq E i dt mentre la
potenza assorbita nella resistenza R e
trasformata in energia termica vale R I2 . Per
il principio di conservazione dellenergia, si
ha E R i La potenza fornita dal generatore E
I è assorbita e convertita in calore nella
resistenza R come R I2 . Questo significa anche
che la variazione di potenziale lungo il circuito
(percorso chiuso) è zero E - R i 0 Questa
legge è nota come seconda legge di Kirchhoff
(legge delle maglie), e stabilisce che la somma
algebrica delle d.d.p. rilevate su un circuito
chiuso in un giro completo (maglia) è nulla. Si
noti che si sarebbe giunti allo stesso risultato
partendo da un punto (ad es. a) in cui il
potenziale è Va, e percorrendo il circuito in un
certo verso. Occorre però stabilire delle
convenzioni. Convenzionalmente, E è positiva se
ha lo stesso verso della corrente (il generatore
fornisce energia elettrica al circuito), mentre E
è negativa se ha verso opposto a quello della
corrente (il generatore assorbe energia elettrica
dal circuito). Analogamente, se si passa
attraverso una resistenza nel verso della
corrente, la variazione di potenziale è i R,
mentre se si passa nel verso opposto è i
R. Percorrendolo il circuito in figura in senso
orario, si ha Va E i R Va Lo stesso
risultato si sarebbe ottenuto percorrendo il
circuito in senso antiorario.
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Generatori di f.e.m. reali ed ideali

• In un generatore di f.e.m. ideale non si ha
  resistenza interna che ostacoli il moto dei
  portatori di carica da un polo allaltro, per cui
  la d.d.p. ai capi del generatore è esattamente
  uguale alla f.e.m.
• In un generatore di f.e.m. reale vi è sempre una
  resistenza al moto delle cariche, per cui, se nel
  circuito non circola corrente, la d.d.p. ai capi
  del generatore è esattamente uguale alla f.e.m.,
  ma se nel circuito circola corrente la d.d.p. ai
  capi del generatore è diversa (minore) dalla
  f.e.m.
• Un generatore di f.e.m. reale può essere
  schematizzato utilizzando una resistenza r posta
  in serie al generatore stesso. Un generatore di
  f.e.m. reale è tanto migliore quanto più piccola
  è la resistenza interna r.
• Nel circuito in figura, poiché la variazione di
  potenziale lungo il circuito (chiuso) è uguale a
  zero, si ha
• La d.d.p. fra i poli del generatore, quando eroga
  corrente, è minore della sua f.e.m.

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Resistenze in serie
Attraverso tre o più resistenze in serie circola
la stessa corrente i. La d.d.p. ai capi delle tre
resistenze, Vab, è pari alla tensione erogata dal
generatore. Le resistenze possono essere
sostituite da una resistenza equivalente Req
attraverso cui scorre la medesima corrente i ed
ai capi della quale cè la medesima d.d.p. Vab.
Applicando la legge delle maglie ai due circuiti
a sinistra, si ha E i R1 i R2 i R3 0
E i Req 0 Da cui si ottiene E
quindi Un altro esempio (più complicato, con due
batterie) è quello a destra, dove nella tabella
sottostante cè la ricostruzione dellandamento
del potenziale lungo il circuito.
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Legge dei nodi di Kirchhoff
Nei circuiti con più maglie sono presenti dei
punti in cui si intersecano più rami del
circuito, detti nodi. Nel circuito in figura, i
nodi sono b e d, mentre a e c non sono nodi. Nel
nodo b si intersecano il ramo bad, il ramo bd ed
il ramo dcb, ed analogamente succede nel nodo
d. Ogni ramo è attraversato da una corrente che
in linea di principio è diversa da quella
circolante negli altri.
Per risolvere il circuito, ossia calcolare le
correnti circolanti nei vari rami, occorre
innanzitutto dare un nome ed un verso di
percorrenza (arbitrario) alle correnti, ad
esempio i1, i2 e i3 come indicato. Se, poi, il
calcolo del valore della corrente ij darà un
risultato negativo, vorrà semplicemente dire che
il verso di percorrenza inizialmente scelto per
la corrente ij era opposto a quello
reale. Nellesempio in figura, nel nodo d entrano
le correnti i1 e i3 ed esce la corrente i2 . Dal
momento che la corrente è un moto di cariche e
che la carica totale si deve conservare, si deve
avere i1 i3 i2 Tale legge è nota con il nome
di prima legge di Kirchoff (legge dei nodi), e
stabilisce che la somma delle correnti entranti
in un nodo deve essere uguale alla somma delle
correnti che escono dal nodo stesso (o, in modo
equivalente, che la somma algebrica delle
correnti deve essere nulla).
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Resistenze in parallelo
Nel caso di tre o più resistenze collegate in
parallelo, le resistenze sono sottoposte alla
stessa d.d.p. o f.e.m., e si vengono ad
individuare tre maglie e quattro nodi. Come nel
caso delle resistenze in serie, le resistenze
possono essere sostituite da una resistenza
equivalente Req alla quale il generatore eroga la
stessa corrente che erogava al gruppo di
resistenze ed ai capi della quale cè la medesima
d.d.p. Vab. Per quanto visto precedentemente, si
può scrivere Inoltre, nei nodi a e b valgono le
leggi dei nodi, per cui i i1 i2 i3 e
risolvendo le espressioni precedenti sostituendo
al posto di i1 i2 i3 i loro valori, si
ottiene Il che fornisce lequazione Che può
essere generalizzata, nel caso di più resistenze,
come
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Amperometri e voltmetri
Lo strumento utilizzato per misurare la corrente
è detto amperometro. Il metodo più comune per
effettuare una misura di corrente è quello di
interrompere il filo ed inserire lamperometro A
in serie in modo che la corrente da misurare
passi attraverso lo strumento. Si consideri il
circuito a due resistenze R1 e R2 in figura, e si
supponga per semplicità r0 (resistenza interna
del generatore nulla). Senza amperometro la
corrente circolante nel circuito vale i, mentre
tenendo conto dellamperometro e della sua
resistenza interna rA, la corrente diventa i.
Esse sono date da
Siccome lo strumento dovrebbe perturbare il meno
possibile il circuito per fornire un valore i il
più possibile vicino ad i, si vede che deve
essere rA ltlt R1 e R2 (in un buon amperometro la
resistenza interna dellamperometro deve essere
trascurabile rispetto a quelle del circuito). Lo
strumento utilizzato per misurare la tensione è
detto voltmetro. Il metodo più comune per
effettuare una misura di tensione è quello di
porre il voltmetro in parallelo rispetto
allelemento del circuito di cui si vuole
conoscere la tensione. Considerando lo stesso
circuito a due resistenze R1 e R2 in figura, e
supponendo sempre r0, senza voltmetro la caduta
di tensione su R1 vale V1, mentre con il
voltmetro la caduta di tensione su R1 (e sul
voltmetro che ha resistenza interna RV) vale V1.
Esse sono date da Senza amperometro la corrente
circolante nel circuito vale i, mentre tenendo
conto dellamperometro e della sua resistenza
interna rA, la corrente diventa i. Esse sono
date da
dove R1V è il parallelo tra R1 e RV si ha che V1
e V1 sono tanto più simili quanto più RV gtgt R1
in un buon voltmetro la resistenza interna deve
essere molto più grande di quella del circuito.
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Circuiti RC carica di un condensatore
Nel circuito C è inizialmente scarico.
Lequazione del circuito (legge di Kirchhoff
generalizzata) è
?
? e integrando cioè
Da cui si ha
dove e è la costante
di tempo capacitiva del circuito (s), e dove le
condizioni iniziali sono
La corrente i(t) si ottiene mediante derivata

? dove Si noti che per t
5tC si ha q 0.993 Q e i 0.006 I
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Circuiti RC scarica di un condensatore
Nel caso della scarica del condensatore, C è
inizialmente carico (per t 0 qQ) e
allaccensione del tasto T si scarica sulla
resistenza R. Lequazione del circuito può essere
scritta (legge Kirchhoff) come ?
? ? Da
cui si ottiene
cioè   Per quanto riguarda la corrente, essa
vale  cioè
dove Anche in questo
caso si può notare come, per t 5tC , si abbia q
0.006 Q e i - 0.006 I Nel circuito RC,
lenergia dissipata nella resistenza R durante la
scarica del condensatore e quella fornita dal
generatore ed accumulata nel campo E del
condensatore valgono rispettivamente
cioè
cioè E tale uguaglianza dimostra
che lenergia accumulata nel condensatore sotto
forma di campo elettrico si è dissipata sotto
forma di calore nella resistenza per effetto
Joule.