Punktbeschriftung mit vier Rechtecken gleicher H

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Punktbeschriftung mit vier Rechtecken gleicher
Höhe (Anzahlmaximierung)

• Julia Löcherbach

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Voraussetzungen

• Rechtecke sollen
• achsenparallel sein
• Punkte berühren
• sich nicht überschneiden
• feste Höhe und beliebige Breite haben
• möglichst viele Punkte beschriften

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4-Positionen-Modell
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Prinzip des Greedy-Algorithmus KSW 99

• Finden des linksten Rechtecks, d.h. dasjenige,
  dessen rechte Kante am weitesten links liegt
  (hier rot)
• Hinzufügen zur Lösung

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Bezeichnungen

• Menge P von Punkten, die bisher kein Label haben
• Punkt pi mit Label li
• Referenzpunkt des Labels ist dessen linke untere
  Ecke
• Breite bi des Labels ist beliebig, die Höhe ist 1
  (gegebenenfalls Skala anpassen)

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Bezeichnungen

• Label li zur Lösung hinzugefügt
• innerhalb von li, im Rechteck eine Einheit
  darunter und jeweils links davon kann kein
  Referenzpunkt mehr liegen
• Beide Rechtecke zusammen und deren gemeinsame
  Kante ist das erweiterte Rechteck ii

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Datenstrukturen

• Prioritäten-Suchbaum mit Referenzpunktpositionen
• Speicherplatz O(n)
• Anfrage liefert in O(k log n) Zeit zu gegebener
  x-Koordinate und y-Intervall alle Punkte (Anzahl
  k), die links davon liegen (hier rot)

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Datenstrukturen

• Heap speichert Summe von x-Koordinate und
  Labelbreite jedes Referenzpunktes
• Wurzel hält das Minimum, d.h. den Referenzpunkt,
  der zum linksten Rechteck gehört

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Heap CLR96

• Array bzw. kompletter binärer Suchbaum (alle
  Ebenen gefüllt, außer evtl. unterste nur
  teilweise)
• Speicherplatz O(n)
• Basis-Operationen zum Erhalt der Struktur
  (Einfügen, Löschen, extract-min) brauchen O(log
  n) Zeit

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Algorithmus

• Solange noch Einträge im Heap sind
• Minimum des Heaps bestimmt nächstes Label
• Löschen des Minimums (extract-min)
• Anfrage an Prioritäten-Suchbaum, welche
  Referenzpunkte ungültig werden
• Löschen der entsprechenden Einträge im Heap und
  im Prioritäten-Suchbaum

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Laufzeit

• Anzahl der Operationen im Heap ist begrenzt durch
  O(n) und Operationen brauchen höchstens O(log n)
• Prioritäten-Suchbaum enthält zuerst n Punkte, es
  werden keine hinzugefügt
• Anfragen brauchen O(k log n) diese k Punkte
  werden gelöscht und tauchen später nicht mehr auf
• ? Laufzeit des Algorithmus O(n log n)

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Faktor-1/k-Approximierung

• Algorithmus mit der Greedy-Strategie, immer das
  linkste Rechteck als nächstes auszuwählen, findet
  mindestens 1/k so viele Rechtecke wie in der
  optimalen Lösung
• Wie groß ist k?

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Zuschlags-Beweis

• Sei Lopt die Menge der Labels, die in der
  optimalen Lösung vorkommen
• In Lleft seien die Labels, die vom
  Greedy-Algorithmus berechnet wurden (Menge Lleft
  ist maximal)
• Jedes Label in Lopt ist entweder in Lleft oder
  schneidet eines aus Lleft, dessen rechte Kante
  mindestens genauso weit links liegt

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Zuschlags-Beweis

• Jedes Label aus Lopt - Lleft gibt einen Punkt an
  ein Label aus Lleft , das mindestens so weit
  links liegt und es schneidet
• Jedes Label aus Lopt ? Lleft bekommt einen Punkt
• Jedes Label aus Lleft bekommt höchstens k Punkte
  also wie viele?

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Berechnungs-Beweis

• Labels aus Lleft in Schnittmenge bekommen genau
  einen Punkt
• Jedes andere Label in Lleft bekommt maximal zwei
  Punkte, da gleiche Höhe vorausgesetzt und
  Berühren nicht erlaubt ist
• ? k 2

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Andere Modelle

• Anzahl der möglichen Rechteck-positionen nicht
  beschränkt
• Schieber-Modelle

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Anpassung des Algorithmus

• Neue Bezeichnungen
• Mögliche Positionen der Referenzpunkte
  dargestellt durch Segmente (für den Referenzpunkt
  pi horizontal h2i und h2i-1 und vertikal v2i und
  v2i-1)

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Bezeichnungen

• Die rechte Umhüllende aller erweiterten Rechtecke
  ii begrenzt alle Referenz-punktpositionen, die
  nicht mehr möglich sind ? Grenze G (hier schwarz)

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Datenstrukturen

• Mehr Datenstrukturen, um das linkste Rechteck zu
  finden und die Strukturen auf dem aktuellen Stand
  zu halten
• Man braucht Heaps, Prioritäten-Suchbäume und
  Rot-Schwarze Bäume

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Datenstrukturen

• Drei Heaps halten Informationen über die
  Segmente, die G schneiden oder vollständig rechts
  davon liegen
• Einen Rot-Schwarzen Baum gibt es für jedes
  vertikale Segment gi in G, der Informationen über
  die horizontalen Segmente, die gi schneiden,
  enthält
• Zum Updaten brauch man zwei Prioritäten-Suchbäume
  und einen Rot-Schwarzen Baum

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Algorithmus

• Solange Elemente in den Heaps sind
• Mit den Heaps und den Rot-Schwarzen Bäumen Suche
  nach dem und Platzierung vom linksten Rechteck
• Erneuern der Grenze G
• Anfrage an die Prioritäten-Suchbäume
• Aktualisierung der Datenstrukturen

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Laufzeit

• Speicherplatz der Heaps, Prioritäten- Suchbäume
  und Rot-Schwarzen Bäume ist durch O(n) begrenzt
• Operationen auf Strukturen brauchen O(log n) bzw.
  O(k log n) Zeit
• Anzahl der Operationen maximal O(n)
• ? Laufzeit ist O(n log n)

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Verhältnis zweier Modelle

• Zwei Modelle können auch in ihrer optimalen
  Lösung unterschiedlich viele Punkte einer Menge P
  von Punkten beschriften (mit Quadraten)
• Das Verhältnis beschreibt wie viel mehr Punkte
  mit dem einen als mit dem anderen Modell
  beschriftet werden können

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2S- und 4P-Modell

• Überführung des 2-Schieber-Modells in das
  4-Positionen-Modell durch Schieben nach links
  oder rechts
• Das Verhältnis ist zwei, d.h. theoretisch können
  doppelt so viele Punkte mit dem 2S-Modell
  beschriftet werden

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Tatsächliche Werte
Schriftgröße Modell Modell Modell Modell Modell Modell
Schriftgröße 1P 2P 4P 1S 2S 4S
5 87 97 100 101 102 102
6 81 95 100 101 103 103
7 78 94 100 103 106 107
8 76 94 100 102 106 106
9 74 92 100 102 108 110
10 72 91 100 102 110 113
11 72 91 100 101 111 115
12 70 89 100 101 112 114
13 70 89 100 101 112 115
14 69 89 100 102 111 114
15 69 89 100 101 114 117
Beschriftung von 1000 Städten in KSW99
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Literatur

• KSW99 Marc van Kreveld, Tycho Strijk, Alexander
  Wolff. Point labeling with sliding labels.
  Computational Geometry Theory and
  Applications, 1321-47, 1999.
• CLR96 Thomas H.Cormen, Charles E. Leiserson,
  Ronald L. Rivest. Introduction to Algorithms.
  MIT Press, 16. Auflage