Le travail a

1
LEAU MONTE!
ATHENEE ROYAL GATTI DE GAMOND 65, rue du
MARAIS 1000 Bruxelles Parrain du projet
JEAN DRABBE Professeur Emérite de
lULB Professeur CHANTAL RANDOUR-GABRIEL
Le travail a été exécuté par les élèves de 5ème
6h math et 6ème 4h math. Pour chacun, ce fut une
motivation pour apprendre et appliquer de
nouvelles connaissances mathématiques figurant
dans le programme. Chaque groupe a du expliquer
ses réalisations à ses condisciples afin de
pouvoir fournir les explications au public en
labsence de certains élèves. Un échange entre
les connaissances des élèves des deux niveaux a
montré les liens entre les études dune année à
lautre et limportance de la maîtrise à long
terme des notions rencontrées. La présentation à
un public varié, a obligé les élèves à adapter
leur discours, à rechercher une pédagogie, à
dégager les éléments essentiels de leur travail
et a donné un sens naturel à la restitution des
apprentissages. Ce dossier permet, si vous
disposez du logiciel Cabri-géomètre TM de
visualiser les figures réalisées en cliquant sur
les images.
2
La démarche Dans un premier temps, les élèves de
5ème 6h math cherchent à simuler le remplissage
du cylindre et de 2 cônes (un sur pointe et
lautre sur sa base) afin dobserver le
comportement de fonctions indiquant la hauteur du
niveau de leau. Le problème a sa place dans le
cours danalyse, mais la partie dessin fera appel
à des notions de géométrie. Le logiciel
Cabri-Géomètre IItm est choisi pour réaliser une
animation. Ces élèves nayant pas la connaissance
du logiciel Cabri ni le concept de dérivée, la
première partie du travail consiste en
lapprentissage des concepts et la
familiarisation avec le logiciel.
Un des objectifs est de remplir un icosaèdre et
de le représenter en perspective oblique. Jean
Drabbe développe les calculs pour résoudre ce
problème. Pour commencer la recherche, il propose
de remplir un octaèdre. Les formules sont
calculées en classe et quelques notions de
géométrie descriptive et de géométrie dans
lespace permettent de représenter loctaèdre se
remplissant en perspective oblique. Le
remplissage de licosaèdre demande trop de
calculs et donc trop de temps pour être développé
dans la classe. Il pourrait se faire avec
quelques élèves plus tard.
3
Les élèves de 6ème 4h math, déjà familiarisés
avec Cabri, simulent le remplissage de la sphère
après avoir appris les notions de calcul
intégral. Les formules démontrées, se pose le
problème de résoudre une équation du 3ème
degré. Jean Drabbe propose de résoudre ce
problème par une trisection dangle. Les élèves
de 5ème et de 6ème sont amenés à faire une
construction Cabri pour résoudre géométriquement
léquation et la tester dans divers cas. Une
démonstration utilisant la trigonométrie et
nécessitant de nouvelles formules pas encore
découvertes par la classe est faite et montre la
pertinence de la construction.
4
Les acquis des élèves liés au projet Lobservati
on de la croissance des fonctions et du
comportement des dérivées dessinées par
approximation, est une belle application des
notions danalyse que doivent maîtriser les
élèves du secondaire avec lavantage dun support
lié à une réalité. La comparaison des dérivées
dans le cas du remplissage de la sphère et de
loctaèdre fait mieux comprendre aux élèves le
rôle de la dérivée seconde. La représentation en
perspective oblique de loctaèdre est un bon
exercice pour appliquer les théorèmes vus en
géométrie et une introduction aux changements de
base si lon veut travailler avec des systèmes de
coordonnées. Le travail des élèves réalisé, ils
doivent présenter le problème au public. Ils
proposent un jeu de devinettes consistant à
présenter une fonction, le spectateur
devant trouver le récipient correspondant au
dessin. Afin dattirer le spectateur ils
doivent concevoir le dessin de manière à simuler
le remplissage des récipients avec une animation
et jouer alors avec des paramètres.
5
LEAU MONTE!
Le développement mathématique détaillé Introducti
on A la Cité des Sciences de Paris, des robinets
de même débit remplissent des récipients de même
volume et de même hauteur. Des graphiques
indiquant la hauteur de leau et la vitesse de
remplissage pour chaque récipient, en fonction du
temps sont dessinés. Le spectateur est invité à
associer un graphique à un récipient. Voici une
simulation de cette expérience réalisée avec le
logiciel Cabri-Géomètre.
REMPLISSAGE DE 2 CONES ET DUN CYLINDRE Les
données suivantes sont choisies mais peuvent être
modifiées H la hauteur des récipients V le
volume des récipients D le débit des robinets
Temps nécessaire pour remplir entièrement les
récipients T V/D Le temps t varie de 0 à
T Volume obtenu au temps t V(t) t.D
6
PETIT FORMULAIRE
7
Remplissage dun cylindre et de 2 cônes. Le
volume V et la hauteur H étant déterminés, les
bases sont obtenues par calcul.
8
Dessin du cylindre et des 2 cônes en projection
verticale
9
Calcul de H(t) pour chaque récipient dans le
cas ci-dessous t 2.46
Figure Cabri de El Madyouni A.M.
10
Graphique des hauteurs en fonction du temps pour
chaque récipient
Hauteur
temps
11
Hauteur
temps
Figure Cabri de Sarout J.
12
Graphique des fonctions hauteur et de leur
dérivée en fonction du temps obtenues par calcul
approché Choisir un nombre p, calculer dans les 3
cas le rapport (h(tp)-h(t) ) / p et diminuer p
le plus possible (p0.0001 donne une bonne
approximation )
Hauteur
Cliquer sur la figure pour voir limage Cabri
temps
13
REMPLISSAGE DE LOCTAEDRE données V et D
Sur la projection verticale, on voit en vraie
grandeur la hauteur des faces et d un côté, les
segments roses sur cette figure représentons
loctaèdre en perspective oblique
14
Appelons c(t1) le côté du carré à la hauteur h(t1)

15
Quand t parcourt le segment T/2 à T, il suffit de
laisser vide Vvide(t2) V-V(t2) Ce volume
correspont à une hauteur Hvide(t2) en utilisant
la formule pour ce volume
16
Voici la simulation du remplissage dun octaèdre
et dun cylindre de volume V et de hauteur H La
tangente à la fonction h(t) en t est représentée
par un segment. Pour le construire on dessine la
droite comprenant les points( t,h(t)) et
(tp,h(tp)) avant de donner à p une valeur très
petite.
Hauteur
temps
17
Voici le niveau deau atteint pour 2 temps
différents dans loctaèdre représenté en
perspective oblique avec Cabri. remle logiciel
ne permet pas de mettre en bleu tout le volume
rempli.
Cliquer sur la figure pour voir limage Cabri
Figure Cabri de Sarout J.
18
REMPLISSAGE DE LA SPHERE données Vet D
1/Calcul du volume v dune calotte de hauteur h
dans une sphère de rayon r
19
2/Calcul de la hauteur h dune calotte sphérique
de volume v, r étant le rayon de la
sphère d après les calculs de Jean Drabbe
20
remarque
21
3/Résolution de x³-3x-b0 avec b?-22
a/Dessinons une de ces fonctions
22
b/Représentons des fonctions de ce type et
faisons varier b entre -2 et 2 Observons les
divers zéros de ces fonctions.
Cliquer sur la figure pour voir limage cabri
23
(No Transcript)
24
d/vérifions le résultat sur un exemple
25
e/résumons ...
26
f/Les solutions construites et calculées !
Cliquer sur la figure pour voir limage cabri
Figure de El Boulahli S.
27
4/Formule pour la hauteur h dune calotte de
volume v dans une sphère de rayon r
28
Voici la simulation du remplissage de 3
récipients de même volume Le cylindre a le même
diamètre que celui de la sphère. Les unités de ce
dessin sont les mêmes que sur le dessin suivant.
Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A.
29
Voici les fonctions donnant les hauteurs de leau
en fonction du temps et la dérivée de ces
hauteurs par rapport au temps dans les 3
récipients.
Hauteur
temps
Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A.
30
Voici le graphique des fonctions dérivées
lorsquon modifie léchelle des y pour le
remplissage du cylindre, de la sphère et de
loctaèdre.
Hauteur
Cliquer sur la figure pour voir limage cabri
Figures de Tabich H. et Chellai I. et Souici A.
temps
31
Cliquer sur la figure pour voir limage cabri
Associe une courbe à un des 4 récipients!
32
Associe une courbe à un des 4 récipients!
33
Cliquer sur la figure pour voir limage cabri
Associe une courbe à un des 3 récipients!
34
Cliquer sur la figure pour voir limage cabri
Associe une courbe à un des 3 récipients!
35
SOURCES Textes et correspondance de Jean Drabbe
Citésdocs Explora n46, Mathématiques Editions
de la Cité des Sciences et de lIndustrie Paris
2001