Ensembles de test et morphismes sans r

1
Ensembles de test etmorphismes sans répétition

• Francis Wlazinski - Gwénaël Richomme

2
Introduction

• Alphabet ensemble fini de symboles (lettres)

Exemples a,b,g,d 0,1
a,b,c a,b

• Mot suite finie de lettres

Exemples abaca abbabaabbaababbabaababbaab
babaabbaababbaabb a e
3

• Cest de linformatique ???
• (ASCII binaire) 1000011010011111001011110011111
  010001000
• 00110010011001010100000110110001001111101001110111
  0
• 11001101101111111001011011011100001111010011010011
  1
• 10001111010111001010100000011111101111110111111

• ADN

4
Applications de la combinatoire des mots
- compression de données - biologie recherche
de séquences - systèmes distribués, calcul
parallèle - compilateurs ?
5

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba
6

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba
7

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba
8

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba
9

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba

• Répétitions

• Chevauchement

• Puissance k

10

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba

• Répétitions

x u x u x avec x ?A et u ?A

• Chevauchement

• Puissance k

11

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba

• Répétitions

x u x u x avec x ?A et u ?A

• Chevauchement

Exemples abcabca ou aaa

• Puissance k

12

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba

• Répétitions

x u x u x avec x ?A et u ?A

• Chevauchement

Exemples a bc a bc a ou aaa

• Puissance k

13

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba

• Répétitions

x u x u x avec x ?A et u ?A

• Chevauchement

Exemples abcabca ou a a a

• Puissance k

14

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba

• Répétitions

x u x u x avec x ?A et u ?A

• Chevauchement

Exemples abcabca ou aaa
uk avec u ?A A\? et k ??

• Puissance k

Exemples abab k 2 (carré) ababab k
3 (cube) abababab k 4 puissance 4
15

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba

• Répétitions

x u x u x avec x ?A et u ?A

• Chevauchement

Exemples abcabca ou aaa
uk avec u ?A A\? et k ??

• Puissance k

Exemples ab ab k 2 (carré) ababab k
3 (cube) abababab k 4 puissance 4
16

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba

• Répétitions

x u x u x avec x ?A et u ?A

• Chevauchement

Exemples abcabca ou aaa
uk avec u ?A A\? et k ??

• Puissance k

Exemples abab k 2 (carré) ab ab ab k
3 (cube) abababab k 4 puissance 4
17

• A monoïde libre engendré par lalphabet A.

• u facteur de v ? v p u s avec p,s ?A

Exemple aba est facteur de ababacaba

• Répétitions

x u x u x avec x ?A et u ?A

• Chevauchement

Exemples abcabca ou aaa
uk avec u ?A A\? et k ??

• Puissance k

Exemples abab k 2 (carré) ababab k
3 (cube) ab ab ab ab k 4 puissance 4
18

• Mots sans chevauchement, mots sans carré, mots
  sans cube, mots sans puissance k.

ab ab ba est un mot sans chevauchement
Exemple
ababba est un mot sans chevauchement
ababba est un mot sans chevauchement

• Morphisme

f A ? B vérifiant f (u v) f (u) f (v)
?u,v ?A
Exemple soit f un morphisme défini sur a,b,c
f (b aacacb)
f (b) f (aacacb)
f (baacacb)
f (b) f (a acacb)
f (b) f (a) f (acacb)
f (b) f (a) f (a) f (c) f (a) f (c) f (b)
19

• Exemples de morphismes

• Le morphisme de Thue-Morse m a,b ?
  a,b
• a ? ab
• b ? ba

m(abba)
ab
ab
ba
ba

• Le morphisme de Fibonacci ?(a) ab et
  ?(b) a

20

• Morphismes qui préservent labsence dune
  répétition

• Morphismes qui engendrent des mots sans une
• répétition

21

• Morphismes qui préservent labsence dune
  répétition

• Morphismes qui engendrent des mots sans une
• répétition

22

• Morphisme sans chevauchement morphisme qui
  préserve labsence de chevauchement

Exemples ? le morphisme (échange) E
a,b ? a,b a ? b b ?
a
est sans chevauchement.
? le morphisme de Thue-Morse est sans
chevauchement (Thue 1912).
? le morphisme de Fibonacci nest pas sans
chevauchement bba sans chevauchement
?(bba) a a ab
23
chevauchement chevauchement

• Morphisme sans
  morphisme qui préserve labsence de

Exemples ? le morphisme (échange) E
a,b ? a,b a ? b b ?
a
est sans chevauchement.
? le morphisme de Thue-Morse est sans
chevauchement (Thue 1912).
? le morphisme de Fibonacci nest pas sans
chevauchement bba sans chevauchement
?(bba) a a ab
24

• Morphisme sans
  morphisme qui préserve labsence de

carré carré
25
cube cube

• Morphisme sans
  morphisme qui préserve labsence de

26
puissance k puissance k

• Morphisme sans
  morphisme qui préserve labsence de

Exemples ? le morphisme échange sur a,b
est sans puissance k pour tout entier k ? 2.
? le morphisme de Thue-Morse est sans puissance k
pour tout entier k gt 2 (Brandenburg 1983).
? le morphisme dIstrail défini par h(a)
abc, h(b) ac et h(c) b nest pas sans
carré aba sans carré h(aba) abc ac abc
27

• T ensemble de test fini pour morphismes
• sans de A vers B

chevauchement f sans
chevauchement ? f (T) sans chevauchement
? f A ? B,
Exemple a,aa est un ensemble de test pour les
morphismes sans chevauchement de a vers B.
28

• T ensemble de test fini pour morphismes
• sans de A vers B

chevauchement f sans
chevauchement ? f (T) sans chevauchement
? f A ? B,
Exemple aa est un ensemble de test pour les
morphismes sans chevauchement de a vers B.
29

• T ensemble de test fini pour morphismes
• sans de A vers B

chevauchement f sans
chevauchement ? f (T) sans chevauchement
? f A ? B,
Exemple aa est un ensemble de test pour les
morphismes sans chevauchement de a vers B.
30

• T ensemble de test fini pour morphismes
• sans de A vers B

carré f sans carré ? f
(T) sans carré
? f A ? B,
Exemple a est un ensemble de test pour les
morphismes sans carré de a vers B.
31

• T ensemble de test fini pour morphismes
• sans de A vers B

cube f sans cube ? f (T)
sans cube
? f A ? B,
Exemple aa est un ensemble de test pour les
morphismes sans cube de a vers B.
32

• T ensemble de test fini pour morphismes
• sans de A vers B

puissance k f sans puissance
k ? f (T) sans puissance k
? f A ? B,
Exemple a k-1 est un ensemble de test pour
les morphismes sans puissance k de a vers B.
33

Ensembles de test finis
34

Ensembles de test finis
35

• Morphismes qui préservent labsence dune
  répétition

• Morphismes sans chevauchement
• Morphismes uniformes sans chevauchement
• Morphismes sans cube
• Morphismes sans puissance k

• Morphismes qui engendrent des mots sans une
• répétition

36

• Morphismes qui préservent labsence dune
  répétition

• Morphismes sans chevauchement
• Morphismes uniformes sans chevauchement
• Morphismes sans cube
• Morphismes sans puissance k

• Morphismes qui engendrent des mots sans une
• répétition

37
Morphismes sans chevauchement

• Proposition
• Si Card(B) ? Card(A) ? 3, il n'y a pas d'ensemble
  de test fini pour morphismes sans chevauchement
  de A vers B.

Idée de la preuve u?a,b tel que a u a sans
chevauchement. f u a,b,c ? a,b,c f u(a)
abc, f u(b) bca et f u(c) cababc f u(u)
abccaab.
w mot sans chevauchement sur a,b,c, f u(w)
contient un chevauchement ? c a u a c facteur
de w.
38
TB aba, bab, abba, baab.
Proposition f a,b ? B non-effaçant. f (TB)
sans chevauchement ? f sans chevauchement
Théorème Card(B) ? 3 et T ? a,b. T ensemble de
test pour morphismes sans chevauchement
non-effaçants de a,b vers B ?
?w?T, w sans chevauchement TB ? Fact(T).
39
TB aba, bab, abba, baab.
Corollaire Card(B) ? 3 et T ? a,b. T ensemble
de test pour morphismes sans chevauchement de
a,b vers B ?
?w?T, w sans chevauchement. TB ?
Fact(T). ?u?T / ua ? 3. ?v?T / vb ? 3.
?w?T, w sans chevauchement. TB ?
Fact(T). ?u?T / ua ? 3. ?v?T / vb ? 3.
?w?T, w sans chevauchement. TB ?
Fact(T). ?u?T / ua ? 3. ?v?T / vb ? 3.
Corollaire f a,b ? B avec Card(B) ?
3. f sans chevauchement ? sans
chevauchement
f (abbabaab)
f (abbabaab)
f (abbabaab)
f (abbabaab)
f (abbabaab)
f (abbabaab)
40

• Morphismes qui préservent labsence dune
  répétition

• Morphismes sans chevauchement
• Morphismes uniformes sans chevauchement
• Morphismes sans cube
• Morphismes sans puissance k

• Morphismes qui engendrent des mots sans une
• répétition

41
Morphismes uniformes sans chevauchement
Théorème Card(B) ? Card(A) ? 3 et T ? A. T
ensemble de test pour morphismes uniformes sans
chevauchement de A vers B ?
?w?T, w sans chevauchement. TU ? Fact(T).
42

• TU1 xw0x x ?A, w0 ?A et ?a ?A, xw0a ? 1
• x,y,b ?A et w1,w2 ?A
• TU2 xw1bw2y ?a ?A, w1bw2 a ? 1
• w1 w2 ? 1, bw2x 0 w1by
• TU TU1 ? TU2
• où A alphabet

Corollaire Card(B) ? Card(A) ? 3 et f A ?
B uniforme. f sans chevauchement ? f sans
chevauchement jusqu'à Card(A) 2.
43
Théorème T ? a,b. T ensemble de test pour
morphismes uniformes sans chevauchement de a,b
vers B
ab,ba ? Fact(T) aa,bb ? Fact(T) ? ?
aab,bba,ababb,babaa ? Fact(T) ? ?
baa,abb,bbaba,aabab ? Fact(T) ? ?
? (si Card(B) 2)
aa,bb,aba,bab ? Fact(T)
aab,bba,ababb,babaa ? Fact(T) ? ?
baa,abb,bbaba,aabab ? Fact(T) ? ?
? (si Card(B) gt 2)
44
Corollaire Card(B) ? Card(A) 2 et f A ?
B uniforme. f sans chevauchement ? f sans
chevauchement jusqu'à 3.
Corollaire f a,b ? a,b uniforme. f sans
chevauchement ? f (abba) sans chevauchement
Corollaire f a,b ? B uniforme et Card(B) ?
3. f sans chevauchement ? f (aababb) sans
chevauchement
45

• Morphismes qui préservent labsence dune
  répétition

• Morphismes sans chevauchement
• Morphismes uniformes sans chevauchement
• Morphismes sans cube
• Morphismes sans puissance k

• Morphismes qui engendrent des mots sans une
• répétition

46
Morphismes sans cube

• Proposition
• Si Card(A) ? 3 et Card(B) ? 2, il n'y a pas
  d'ensemble de test fini pour morphismes sans cube
  de A vers B.

Idée de la preuve a?A, x,y,z?A et u,v?(A\a)
sans cube tels que (u,v) ? ?????. f u,v A ?
(A\a ? x,y,z) f u,v(a) x (z y u x y v x)2
z y et f u,v(b) b ?b? A\a.
w mot sans cube sur A, f u,v(w) contient un
cube ? a v a u a facteur de w.
w mot sans cube sur A, f u,v(w) contient un
cube ? a v a u a facteur de w.
47
Tmin abbabba, ababba, abbaba, aabba, abbaa,
ababa, baabaab, babaab, baabab, bbaab,
baabb, babab
Théorème T ? a,b. T ensemble de test pour
morphismes sans cube de a,b vers B ?
?w?T, w sans cube Tmin ? Fact(T).
Corollaire f a,b ? B f sans cube ?
f (aabbababbabbaabaababaabb) sans cube
48
Corollaire (Leconte 85) f a,b ? B f
sans cube ? f sans cube jusquà 7. ?
Les images par f de tous les mots sans cube de
longueur 7 sont sans cube.
49

• Morphismes qui préservent labsence dune
  répétition

• Morphismes sans chevauchement
• Morphismes uniformes sans chevauchement
• Morphismes sans cube
• Morphismes sans puissance k

• Morphismes qui engendrent des mots sans une
• répétition

50
Morphismes sans puissance k

• Proposition
• Si Card(A) ? 3 et Card(B) ? 2, il n'y a pas
  d'ensemble de test fini pour morphismes sans
  puissance k de A vers B.

Idée de la preuve a?A, x,y,z?A et u,v?(A\a)
sans puissance k f u,v A ? (A\a ?
x,y,z) a ? x(z y u x y v x)k-1 z
y b ? b ?b? A\a.
51

• Définitions
• w mot primitif si w v n ? n 1

• f morphisme primitif si f préserve les
  mots primitifs

• (tk)k ? 2 est la suite d'entiers définie par
• t2 3 tk si k ? 4 est pair
• t3 4 tk si k ? 5 est impair

k2 2
k (k - 1) 2
Proposition Un morphisme binaire sans puissance k
(? 2) jusquà tk est primitif.
52
Théorème f morphisme primitif binaire et k ? 2. f
sans puissance k ? f sans puissance k
jusqu'à 2k 1.
Corollaire f morphisme binaire et k ? 2. f sans
puissance k ? f sans puissance k jusqu'à t'k
avec t'2 3, t'3 7 et t'k tk si k ? 4.
Corollaire A alphabet binaire et k ? 2. w?A /
w ? k2 et w sans puissance k est un ensemble
de test pour morphismes sans puissance k sur A.
53

• Morphismes qui préservent labsence dune
  répétition

• Morphismes sans chevauchement
• Morphismes uniformes sans chevauchement
• Morphismes sans cube
• Morphismes sans puissance k

• Morphismes qui engendrent des mots sans une
• répétition

54
Mots engendrés par morphismes
Rappel morphisme de Thue-Morse m a,b ?
a,b a ? ab b ? ba
m (a) ab
m2(a ) m(m(a)) m(ab)
ab
ba
m3(a ) m(m2(a)) m(abba)
ab
ba
ab
ba
m4(a ) abbabaabbaababba
m5(a ) abbabaabbaababbabaababbaabbabaab
?
m?(a ) lim mn(a )
n ? ??
55
Proposition (Karhumäki 81) f endomorphisme sur
a,b prolongeable en a. f engendre un mot sans
chevauchement ? f 7(a) sans chevauchement
Proposition (Séébold 84) f endomorphisme sur
a,b prolongeable en a. f engendre un mot sans
chevauchement ? f sans chevauchement
Proposition (Thue 12) f endomorphisme sur a,b
sans chevauchement ? f mi ou f E ? mi
pour un entier i.
56
Proposition (Berstel 79 - Crochemore 82) f
endomorphisme sur a,b,c prolongeable en a. f
engendre un mot sans carré ? f p(a) sans
carré
Proposition (Crochemore 82) f endomorphisme sur
a,b,c prolongeable en a. f engendre un mot
sans carré ? f sans carré
Proposition (Crochemore 82) f endomorphisme sur
a,b,c prolongeable en a. f engendre un mot
sans carré ? 1. f (abc, acb, bac,
bca, cab, cba) sans carré 2. f (xyx) ou f
(xzx) ou f (xyzx) sans carré pour toute
permutation 3. f (w) sans carré ?w?Fact(f
?(a)) et w 5
57
Proposition (Karhumäki 83) f endomorphisme sur
a,b prolongeable en a. f engendre un mot sans
cube ? f 10(a) sans cube
Proposition f endomorphisme sur a,b
prolongeable en a. f engendre un mot sans
cube ? f sans cube
Contre-exemple f (a) abba f (b)
baababaababbaabbabaabbaababbaabbabaababaababbaab
babaabbaababbaabbabaababaab
58
Proposition f endomorphisme sur a,b
prolongeable en a. f engendre un mot sans cube
? 1. f (abba, baab, aba, bab) sans
cube 2. f (w) sans cube ?w?Fact(f ?(a)) et
w 7
Exemple Dans le cas dun endomorphisme uniforme
f tel que f(a)a f(a)b f(b)a
f(b)b,
59

Conclusion Ensembles de test finis
60

Conclusion Ensembles de test finis
61

Conclusion Ensembles de test finis
62

Conclusion Ensembles de test finis
63

Conclusion Ensembles de test finis
64
Conclusion problèmes connexes

• Puissances fractionnaires
• Sans puissance k ? sans puissance k 1
• Sans chevauchement ? sans puissance k
• Sans cube ? primitif (cas non binaire)

65
(No Transcript)