MATH

1
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

• Neuvième cours

2
Rappel

• Annuité différée

3
Rappel

• Annuité différée
• Valeur actuelle dune annuité dont le début est
  différé de m périodes

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Rappel

• Annuité différée
• Valeur actuelle dune annuité dont le début est
  différé de m périodes
• Valeur accumulée dune annuité m périodes après
  le dernier paiement

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Rappel

• Annuité différée
• Valeur actuelle dune annuité dont le début est
  différé de m périodes
• Valeur accumulée dune annuité m périodes après
  le dernier paiement
• Valeur dune annuité au me paiement

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Rappel

• Annuité différée
• Valeur actuelle dune annuité dont le début est
  différé de m périodes
• Valeur accumulée dune annuité m périodes après
  le dernier paiement
• Valeur dune annuité au me paiement
• Rente perpétuelle

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Valeur actuelle dune annuité dont le début est
différé de m périodes
Rappel
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Valeur actuelle dune annuité dont le début est
différé de m périodes
Rappel
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Valeur accumulée dune annuité m périodes après
le dernier paiement
Rappel
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Valeur accumulée dune annuité m périodes après
le dernier paiement
Rappel
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Valeur dune annuité au me paiement
Rappel
12
Valeur dune annuité au me paiement
Rappel
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Valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de
période
Rappel
14
Valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de
période
Rappel
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Exemple 1

• Cicéron a laissé en héritage 400 000 placé dans
  un fonds de placement rémunéré au taux effectif
  dintérêt de 6.75 par année. Dans ses dernières
  volontés, il a exprimé le souhait que son
  organisme de charité favori  la Société pour
  lamélioration du discours  recoive une rente
  perpétuelle consistant en des paiements de X
  dollars à tous les ans pour toujours, le premier
  paiement débutant un an après sa mort.
• Déterminer X.

16
Exemple 1 (suite)

• Nous avons le diagramme dentrées et sorties
  suivant

17
Exemple 1 (suite)

• Léquation de valeur avec comme date de
  comparaison le début de la première année est
• X/(0.0675) 400 000
• Nous obtenons ainsi que X 27 000 par année.

18
Rente perpétuelle de début de période
Nous allons maintenant considérer une annuité
pour laquelle les paiements ne sarrêtent jamais
et ceux-ci sont faits au début de chaque période.
Il est possible de calculer sa valeur actuelle.
Cependant il ny a pas de valeur accumulée parce
quil ny a pas de dernier paiement.
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Notation
Nous notons la valeur actuelle de cette rente
perpétuelle de début de période par
20
Le diagramme dentrées et sorties de cette
situation est le suivant
21
Valeur actuelle
Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette
rente. Il est facile par des moyens élémentaires
dobtenir que
où d est le taux descompte équivalent au taux
dintérêt i
22
Valeur actuelle (suite)
En effet,
De cette dernière formule, nous obtenons le
résultat.
23
Interprétation de la formule
où n est un entier et k est un nombre strictement
compris entre 0 et 1.
24
Interprétation (suite)
Nous avons
25
Interprétation (suite)
est donc égale à la valeur actuelle dune annuité
de n paiements de 1 en fin de période auquel
nous ajoutons la valeur actuelle dun paiement
fait à t n k de
26
Interprétation (suite)
Notons que ce dernier paiement
est approximativement égal à k dollars.
27
Interprétation de la formule
où n est un entier et k est un nombre strictement
compris entre 0 et 1.
28
Interprétation (suite)
Nous avons
29
Interprétation (suite)
est donc égale à la valeur accumulée à t n k
dune annuité de n paiements de 1 en fin de
période auquel nous ajoutons un paiement fait à t
n k de
30
Les notions précédentes sont utiles afin de
déterminer le nombre de paiements dune annuité
lorsque nous connaissons le taux dintérêt, les
versements de lannuité et soit sa valeur
actuelle, soit sa valeur accumulée.
31
Par exemple il nexiste pas nécessairement un
entier n qui permette de résoudre léquation
dans laquelle P, R et i sont donnés.
32
Cependant il existe un nombre réel (n k), où
n est un entier et k un nombre compris entre 0 et
1, qui permette de résoudre léquation
dans laquelle P, R et i sont donnés.
33
En effet, nous obtenons
où ? est le taux instantané constant de lintérêt
équivalent au taux dintérêt i
34
Exemple 2

• Un capital de 125 000 doit être utilisé pour
  faire des paiements de 1 000 à tous les mois. Ce
  placement est rémunéré au taux nominal dintérêt
  i(12) 9 par année capitalisé à tous les mois
  et les paiements sont faits à la fin de chaque
  mois. Le premier paiement est fait à la fin du
  premier mois.
• Combien de paiements peut-on faire?

35
Exemple 2 (suite)

• Le taux dintérêt par mois est

36
Exemple 2 (suite)

• Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à
  t 0

37
Exemple 2 (suite)

• Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à
  t 0

La solution de cette équation est n k
371.0630643 mois. Ici n 371 et k 0.0630643
38
Exemple 2 (suite)

• Cette solution signifie que nous pourrons faire
  un paiement de 1000 à la fin de chaque mois
  pendant 371 mois et un dernier paiement fait
  0.0630643 mois (approximativement 2 jours) après
  le dernier paiement de 1000 et ce dernier
  paiement sera au montant de

39
Remarque 1

• Lexemple précédent illustre une des difficultés
  lorsque ceci a à être mis en application. Lidée
  de faire un paiement de 62.84 environ 2 jours
  après le dernier paiement de 1000 nest pas très
  pratique. La solution est plutôt de gonfler le
  dernier paiement ou encore de faire un paiement
  réduit à la fin du mois suivant.

40
Exemple 3

• Nous allons illustrer ceci dans lexemple 2. La
  solution du dernier paiement gonflé. Nous ferons
  ainsi 370 paiements de 1000 et un dernier
  paiement de X dollars fait un mois après le
  dernier paiement de 1000. Nous allons maintenant
  calculer X.

41
Exemple 3 (suite)

• Nous avons le diagramme dentrées et sorties
  suivant

42
Exemple 3 (suite)

• Léquation de valeurs à la date de comparaison t
  0 est

43
Exemple 3 (suite)

• Léquation de valeurs à la date de comparaison t
  0 est

Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est X
1062.81 et est fait à la fin du 371e mois.
44
Exemple 3 (suite)

• Nous allons illustrer lautre solution, celle du
  dernier paiement réduit dans lexemple 2. Nous
  ferons ainsi 371 paiements de 1000 et un dernier
  paiement de Y dollars fait un mois après le
  dernier paiement de 1000. Nous allons maintenant
  calculer Y.

45
Exemple 3 (suite)

• Nous avons le diagramme dentrées et sorties
  suivant

46
Exemple 3 (suite)

• Léquation de valeurs à la date de comparaison t
  0 est

47
Exemple 3 (suite)

• Léquation de valeurs à la date de comparaison t
  0 est

Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est Y
63.28 et est fait à la fin du 372e mois.
48
Ce que nous avons fait pour calculer le nombre de
paiements dans le cas de la valeur actuelle peut
aussi être utilisé pour le calcul du nombre de
paiements dans le cas de la valeur accumulée.
49
Ainsi il existe un nombre réel (n k), où n
est un entier et k un nombre compris entre 0 et
1, qui permette de résoudre léquation
dans laquelle A, R et i sont donnés.
50
En effet, nous obtenons
où ? est le taux instantané constant de lintérêt
équivalent au taux dintérêt i
51
Exemple 4

• Anatole veut accumuler un capital de 40 000 en
  faisant des versements de 800 à toutes les
  semaines dans un placement rémunéré au taux
  nominal dintérêt i(52) 5 par année
  capitalisé à toutes les semaines.
• Combien de versements doit-il faire?

52
Exemple 4 (suite)

• Le taux dintérêt par semaine est

53
Exemple 4 (suite)

• Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à
  t 0

54
Exemple 4 (suite)

• Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à
  t 0

La solution de cette équation est n k
48.85873717 semaines. Ici n 48 et k 0.
85873717.
55
Exemple 4 (suite)

• Cette solution signifie que Anatole fera un
  versement de 800 à la fin de chaque semaine
  pendant 48 semaines et un dernier versement fait
  à 0. 85873717 semaine (approximativement 6 jours)
  après le dernier versement de 800 et ce dernier
  versement sera au montant de

Le montant accumulé lors de ce dernier versement
sera alors de 40 000.
56
Exemple 4 (suite)

• Si nous considérons plutôt la situation dun
  dernier versement gonflé, alors Anatole fera 48
  versements les 47 premiers au montant de 800 à
  la fin de chaque semaine et un dernier versement
  au montant de X dollars fait à la fin de la 48e
  semaine. Le diagramme de ce flux est

57
Exemple 4 (suite)

• Léquation de valeurs à la date de comparaison t
  48 est

58
Exemple 4 (suite)

• Léquation de valeurs à la date de comparaison t
  48 est

Nous obtenons ainsi que le dernier versement est
X 1519.38 et est fait à la fin de la 48e
semaine.
59
Exemple 4 (suite)

• Si nous considérons plutôt la situation dun
  dernier versement réduit, alors Anatole fera 49
  versements les 48 premiers au montant de 800 à
  la fin de chaque semaine et un dernier versement
  au montant de Y dollars fait à la fin de la 49e
  semaine. Le diagramme de ce flux est

60
Exemple 4 (suite)

• Léquation de valeurs à la date de comparaison t
  49 est

61
Exemple 4 (suite)

• Léquation de valeurs à la date de comparaison t
  49 est

Nous obtenons ainsi que le dernier versement est
Y 681.61 et est fait à la fin de la 49e
semaine.