Diapozitivul 1

1
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
GEOMETRIE
CLASA a VI-a
Semestrul I II
Capitole
1. Figuri si corpuri geometrice
2. Dreapta
3. Unghiuri
4. Congruenta triunghiurilor
5. Perpendicularitate
6. Paralelism
7. Proprietati ale triunghiurilor
8. Patrulatere
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
2
FIGURI SI CORPURI GEOMETRICE
.
3
INSTRUMENTE GEOMETRICE
1. Rigla gradata se utilizeaza pentru
constructia de drepte si segmente de dreapta de
lungimi date si pentru masurarea lungimilor
segmentelor de dreapta.
2. Compas se utilizeaza pentru constructia de
cercuri si de arcuri de cerc de asemenea este
folosit la constructia triunghiurilor si a unor
linii importante in triunghi.
3. Echerul este folosit pentru verificarea
masurilor unor unghiuri date dar si pentru
constructia unghiurilor de 30, 45, 60, 90 de
grade.
4. Raportorul este folosit pentru constructia
si verificarea masurii unui unghi dat.
.
4
FIGURI GEOMETRICE
Prezentare prin descriere si desen
Linia franta este formata din reuniunea a mai
multor segmente de dreapta.
Linia curba este formata din reuniunea de arce
de cerc si de segmente de dreapta.
Triunghiul este figura geometrica formata din
trei laturi.
Cercul
Patrulaterul este figura geometrica formata din
patru laturi.
Unghiul
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
5
CORPURI GEOMETRICE
CONUL
Varf
Varf
CUBUL
Muchie
Suprafata conica
Fata
Varf
PARALELIPIPEDUL DREPTUNGHIC
PIRAMIDA
Muchie
Fata
CILINDRUL
SFERA
Suprafata cilindrica
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
6
DESFASURAREA PARALELIPIPEDULUI DREPTUNGHIC
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
7
IDENTIFICAREA UNOR FIGURI GEOMETRICE PLANE PE
FETELE CORPURILOR GEOMETRICE
Triunghi
Patrat
Dreptunghi
Cerc
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
8
DREAPTA
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
9
PUNCT, DREAPTA, PLAN
1. Punctul este figura geometrica ce se aseamana
cu o urma lasata de varful unui creion. Punctul
nu are dimensiune.
Se reprezinta in desen astfel
A
Se noteaza cu litere mari de tipar
2. Dreapta este figura geometrica ce se aseamana
cu un fir perfect intins si fara margini. Dreapta
are o singura dimensiune lungimea.
Se reprezinta in desen astfel
d
A
B
Se noteaza cu litere mici de mana
sau daca exista pe dreapta doua puncte, de ex.
AB
Se reprezinta in desen astfel
3. Planul este figura geometrica ce se aseamana
cu o panza perfect intinsa si fara margini.
Planul are doua dimensiuni lungimea si latimea.
A
C
Se noteaza cu litere mici de mana, grecesti
?
B
Sau daca exista trei puncte in plan, de ex. (ABC)
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
10
SEMIDREAPTA, SEGMENT, SEMIPLAN
A
B
A
O
Semidreapta este dreapta marginita la un capat.
Segmentul de dreapta este dreapta marginita la
ambele capete.
O originea semidreptei.
Segmentul de dreapta se noteaza cu AB daca
punctele A si B apartin segmentului sau (AB) daca
punctele A si B nu apartin segmentului.
Semidreapta se noteaza OA daca punctul O
apartine semidreptei sau (OA daca punctul O nu
apartine semidreptei.
O dreapta imparte un plan in doua semiplane
A
d
Un punct nu poate fi decat intr-un singur
semiplan.
Se poate nota astfel dA sau (dA.
Semiplan
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
11
POZITIILE RELATIVE ALE UNUI PUNCT FATA DE O
DREAPTA
A
d
B
In figura de mai sus, punctul A se afla pe
dreapta d
Scriem A?d si citim punctul A apartine dreptei d.
In figura de mai sus, punctul B nu se afla pe
dreapta d
Scriem B?d si citim punctul B nu apartine
dreptei d.
Prin doua puncte distincte trece o dreapta si
numai una.
Mai multe puncte ce se afla pe o dreapta se
numesc puncte coliniare.
B
A
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
12
POZITIILE RELATIVE A DOUA DREPTE
1. Drepte concurente.
A
Doua drepte sunt concurente daca au un punct
comun.
d2
d1
d1?d2 A
d2
2. Drepte identice.
d1
Doua drepte sunt identice daca au doua puncte
distincte comune.
A
B
d1?d2 A,B, A ? B.
3. Drepte paralele.
Doua drepte se numesc paralele daca nu au nici un
punct comun.
d1
d1?d2 ?
d2
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
13
LUNGIMEA UNUI SEGMENT. SEGMENTE
CONGRUENTE. MIJLOCUL UNUI SEGMENT
A
B
Distanta de la punctul A la punctul B este
lungimea segmentului AB.
Lungimea segmentului AB se noteaza cu AB.
Tot cu AB se noteaza si lungimea segmentului (AB).
Doua segmente de lungimi egale se numesc segmente
congruente.
B
Mijlocul unui segment este punctul ce imparte
segmentul dat in doua segmente congruente.
Daca AB CD 1,5 cm
1,5 cm
A
Atunci segmentele AB si CD sunt congruente.
A
B
M
C
1,5 cm
Daca AM MB, atunci
AB ? CD
M este mijlocul lui AB.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
D
.
14
UNGHIURI
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
15
UNGHIURI DEFINITIE. NOTATII. ELEMENTE
D e f i n i t i e . Figura geometrica formata
din doua semidrepte care au aceeasi origine se
numeste u n g h i .
Unghiurile se noteaza
A
AOB
Laturile unghiului
O
Interiorul unghiului
sau
AOB
B
Exteriorul unghiului
Varful unghiului
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
16
MASURAREA UNGHIURILOR
Si unghiurile se masoara! Ceea ce se masoara este
,,deschiderea dintre laturile unghiului. (in
nici un caz lungimile laturilor).
Unitatea de masura a unghiului este gradul
sexagesimal.
Instrumentul de masura se numeste raportorul.
Submultiplii gradului sunt 10 60 (60 de
minute).



1 60 (60 de secunde).
Definitie. Doua unghiuri cu masurile egale se
numesc unghiuri congruente.
O
Daca m(ltAOB) m(ltAOB)
A
atunci unghiurile sunt congruente
400
400
O
AOB ? AOB
B
A
B
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
17
CLASIFICAREA UNGHIURILOR
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
1. Unghi nul
2. Unghi ascutit
A
O
A
B
m(ltAOB) 00
00 lt m(ltAOB) lt 900
O
3. Unghi drept
B
4. Unghi obtuz
B
m(ltAOB) 900
B
900 lt m(ltAOB) lt 1800
O
A
5. Unghi plin (sau cu laturile in prelungire)
O
A
m(ltAOB) 1800
A
O
B
.
18
UNGHIURI ADIACENTE. BISECTOAREA
A
Definitie. Bisectoarea unui unghi propriu este
semidreapta cu originea in varful unghiului,
situata in interiorul unghiului si formeaza cu
laturile unghiului doua unghiuri congruente.
O
B
A
M
O
C
Doua unghiuri se numesc adiacente daca au varful
comun, o latura comuna iar celelalte doua laturi
sunt respectiv de o parte si de cealalta a
laturii comune.
B
AOM ? MOB
OM bisectoarea unghiului AOB
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
19
UNGHIURI COMPLEMENTARE SI SUPLEMENTARE
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
B
C
B
A
C
O
O
A
Unghiurile AOB si BOC sunt complementare daca
suma masurilor lor este egala cu 900.
Unghiurile AOB si BOC sunt suplementare daca suma
masurilor lor este egala cu 1800.
.
20
UNGHIURI OPUSE LA VARF
B
Definitie. Doua unghiuri cu acelasi varf se
numesc opuse la varf daca laturile unuia sunt in
prelungirea laturilor celuilalt.
C
O
Unghiurile AOC si BOD sunt opuse la varf si sunt
congruente.
A
D
Unghiul BOC este suplementul unghiului AOC sau a
unghiului BOD.
Suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct
este de 3600.
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
21
CALCULE CU MASURI DE UNGHIURI
INMULTIREA
SCADEREA
ADUNAREA
1201535? 8
7001220 3403540
6204551 4303948
6907180 3403540
960120280980440
10508499
Pentru ca
10602539
280440 12020.
3503640
IMPARTIREA
120
6101255
14
25
6105120 si rest 1060
(1260)572514 si rest 2120
(5120)5125525
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
22
CONGRUENTA TRIUNGHIURILOR
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
23
TRIUNGHI. DEFINITIE. ELEMENTE
Definitie. Se numeste triunghi o figura
geometrica ce rezulta dintr-o reuniune ca
AB?BC?CA, unde A, B, C sunt puncte
necolineare.
C
Varf
Latura
Interior
Unghi
A
B
Triunghiul se noteaza astfel ?ABC.
Triunghiul are
3 varfuri 3 laturi 3
unghiuri.
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
24
CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR
Triunghi scalen
Triunghi echilateral
Triunghi isoscel
Are laturile de lungimi diferite.
Are doua laturi de lungimi egale.
Are toate cele trei laturi egale.
Triunghi ascutitunghic
Triunghi dreptunghic
Triunghi obtuzunghic
Are un unghi drept.
Are un unghi obtuz.
Are toate unghiurile ascutite.
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
25
PERIMETRUL TRIUNGHIULUI
Definitie. Suma lungimilor laturilor unui
triunghi se numeste perimetrul triunghiului.
A
Conditia de existenta a unui triunghi
abgtc acgtb bcgta
Perimetrul triunghiului ABC
b
c
P?ABC a b c
Semiperimetrul triunghiului
C
B
a
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
26
UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI
Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura
cu (urmariti figura)
A
Unghi exterior
?
Atunci avem relatiile
? 1800 ?
? ? ?
? ? ? 1800.
?
?
?
B
C
D
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
27
CONSTRUCTIA TRIUNGHIURILOR
C a z u l L.U.L.
Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor.
Construiti un triunghi cu doua laturi de 5 si
respectiv 4 cm si masura unghiului cuprins intre
ele de 700.
Etapele de lucru
1. Construiti cu rigla un segment de 5cm.
4 cm.
2. Construiti un unghi de 700, una din laturi
fiind de 5 cm.
3. Luati pe cea de-a doua latura un segment de
4cm.
700
4. Uniti extremitatile celor doua laturi
construite.
5 cm.
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
28
CONSTRUCTIA TRIUNGHIURILOR
C a z u l U.L.U.
Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor.
Construiti un triunghi cu o latura de 5cm si doua
unghiuri alaturate laturii cunoscute, de 600 si
respectiv 750.
Etapele de lucru
1. Construiti cu rigla un segment de 5 cm.
2. Construiti un unghi de 600 alaturate laturii
de 5cm.
3. Construiti la cealalta extrema a laturii date,
un unghi de 750.
4. Identificati punctul de intersectie a
dreptelor construite.
750
5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile
laturii de 5cm.
600
5 cm.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
29
CONSTRUCTIA TRIUNGHIURILOR
C a z u l L.L.L.
Avem nevoie de o rigla gradata si un compas.
Construiti un triunghi cu lungimile laturilor de
5, 6 si 7 cm.
Etapele de lucru
1. Construiti cu ajutorul riglei o latura, spre
exemplu, de 5 cm.
2. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu
deschizatura de 6 cm, si cu varful in A trasati
un arc de cerc.
6 cm.
7 cm.
3. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu
deschizatura de 7 cm, si cu varful in B trasati
un arc de cerc.
4. Identificati punctul de intersectie al arcelor
de cerc.
5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile
laturii de 5cm.
5 cm.
A
B
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
30
CAZURILE DE CONGRUENTA
CAZUL L.U.L.
CAZUL U.L.U.
CAZUL L.L.L.
Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate
doua laturi si unghiul determinat de ele,
respectiv congruente
Doua triunghiuri sunt congruente daca au toate
laturile, respectiv congruente
Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate o
latura si unghiurile alaturate ei, respectiv
congruente
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
31
ELEMENTE DE RATIONAMENT GEOMETRIC
demonstratie vine din limba latina
demonstratio dovedire.
axioma vine din limba greaca axioma opinie,
teza admisa.
teorema vine din limba greaca theorema
examinare, cercetare.
ipoteza este compus din doua cuvinte provenite
din limba greaca hypo sub si thesis
punere.
premisa vine din limba latina praemissus
pus inainte, anterior.
concluzie vine din limba latina conclusio
incheiere.
O problema de geometrie este compusa din trei
parti ipoteza (datele problemei), concluzia
(cerinta problemei) si demonstratia (rezolvarea
problemei).
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
32
PERPENDICULARITATE Semestrul II
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
33
DREPTE PERPENDICULARE
Definitie. Doua drepte se numesc perpendiculare
(ortogonale) daca la intersectia lor formeaza un
unghi drept (de 900).
Doua drepte perpendiculare se pot construi cu
ajutorul unui echer urmariti figura din stanga.
Cum se arata pe figura ca dreptele sunt
perpendiculare
d1
Cum se scrie
d1 ? d2
d2
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
34
DISTANTA DE LA UN PUNCT LA O DREAPTA
A
Distanta de la un punct la o dreapta data este
lungimea segmentului de dreapta perpendicular dus
din punctul dat pe dreapta data.
Urmariti cu atentie cum se construieste
,,distanta de la un punct la o dreapta cu
ajutorul echerului.
O
Oblica fata de dreapta d este dreapta ce trece
prin punctul A si un punct de pe dreapta d
diferit de cel O.
d
oblica
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
35
CAZURILE DE CONGRUENTA A TRIUNGHIURILOR
DREPTUNGHICE
Cazul C.I. Doua triunghiuri dreptunghice sunt
congruente daca au cate o cateta si ipotenuza,
respectiv congruente.
Cazul C.C. Doua triunghiuri dreptunghice sunt
congruente daca au catetele respectiv congruente.
Cazul I.U. Doua triunghiuri dreptunghice sunt
congruente daca au cate un unghi ascutit si
ipotenuzele, respectiv congruente.
Cazul C.U. Doua triunghiuri dreptunghice sunt
congruente daca au cate o cateta si un unghi
ascutit, respectiv congruente.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
36
MEDIATOAREA UNUI SEGMENT
C O N S T R U C T I A M E D I A T O A R E I
Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei si a
echerului
Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei si a
compasului
Faza 1. Se masoara lungimea segmentului si se
afla mijlocul acestuia
Faza 1. Se construieste segmentul AB
Faza 2. Cu ajutorul compasului, cu varful din A
si din B, de o parte si de alta a segmentului se
traseaza arce de cerc, fara a modifica raza
compasului
Faza 2. cu ajutorul echerului se construieste
perpendiculara pe mijlocul segmentului
Faza 3. Prin punctele de intersectie al arcelor
de cerc se construieste o dreapta ce va fi
mediatoarea segmentului dat.
B
A
A
B
M
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
37
PROPRIETATEA MEDIATOAREI
Teorema. Orice punct de pe mediatoarea unui
segment este egal departat de extremitatile
segmentului dat.
P
DEMONSTRATIE
?
PA?PB
A
B
M
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
38
MEDIATOAREA INTR-UN TRIUNGHI
A
Punctul de intersectie al celor trei mediatoare
se numeste centrul cercului circumscris
triunghiului.
Daca OB R (raza cercului circumscris), atunci
avem
O
R
B
C
Unde a, b, c sunt lungimile celor trei laturi
iar A este aria triunghiului.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
39
BISECTOAREA UNUI UNGHI
Constructia bisectoarei cu ajutorul raportorului
bisectoarea
1. Se construieste unghiul dat.
2.Cu ajutorul raportorului se masoara unghiul,
masura se imparte la doi si se pune semnul in
dreptul masurii injumatatite.
3. Cu ajutorul riglei se construieste semidreapta
din varful unghiului ce va trece prin semnul
masurii injumatatite.
Constructia bisectoarei cu ajutorul compasului
1. Se construieste unghiul dat.
2. Cu varful compasului in O se construieste un
arc de cerc ce taie laturile unghiului in A si B.
A
M
3. Cu varful compasului in A si respectiv in B se
construiesc doua arce de cerc, de raze egale, ce
se vor intersecta in punctul M.
4. Cu rigla se construieste semidreapta ce pleaca
din O si trece prim punctul M.
O
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
B
.
40
PROPRIETATEA BISECTOAREI
Teorema. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi
este egal departat de laturile unghiului dat.
Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu
originea in varful unghiului, se afla in
interiorul acestuia si il imparte in doua
unghiuri adiacente congruente.
A
M
ltAOM ? ltBOM
Bisectoarea este locul geometric al tuturor
punctelor egal departate de laturile unghiului.
O
B
Daca MA ? OA MB ? OB atunci
MA ? MB
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
41
BISECTOAREA INTR-UN TRIUNGHI
Cele trei bisectoare intr-un triunghi se
intersecteaza intr-un singur punct, O, numit
centru cercului inscris in triunghi.
A
Daca AA si BB sunt bisectoare si se
intersecteaza in punctul O, atunci si CO este
bisectoarea unghiului BCA.
Daca r este raza cercului inscris in triunghiul
ABC, atunci avem
B
C
O
r
Unde A este aria triunghiului iar p este
semiperimetrul triunghiului
C
B
A
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
42
UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PERPENDICULARE
Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare,
sunt congruente.
Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare,
sunt suplementare.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
43
PARALELISM
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
44
DREPTE PARALELE
Definitie. Doua drepte diferite continute in
acelasi plan, care nu au nici un punct
comun se numesc drepte paralele.
a
Scriem aceasta astfel a??b.
b
Si intelegem ca a?b?
Daca a??c si b??c, atunci
c
a
b
a??b
Axioma paralelelor. Printr-un punct dat, exterior
unei drepte date, exista o singura paralela la
dreapta data.
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
45
CRITERII DE PARALELISM
a
Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza
doua perechi de unghiuri alterne interne
congruente. Urmariti figura.
b
Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza
patru perechi de unghiuri corespondente
congruente. Urmariti figura(animatie morisca).
c
Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza
doua perechi de unghiuri alterne externe
congruente. Urmariti figura.
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
46
UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PARALELE
Unghiurile cu laturile respectiv paralele, sunt
congruente.
Unghiurile cu laturile respectiv paralele, sunt
suplementare.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
47
PROPRIETATILE TRIUNGHIURILOR
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
48
SUMA MASURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI
A
d
TEOREMA. Suma masurilor unghiurilor unui triunghi
este de 1800.
1
2
Demonstratie

• Dreapta d este paralela cu dreapta BC

• Se formeaza unghiuri alterne interne congruente.

m(ltB) m(ltA1)
m(ltC) m(ltA2)
m(ltA)m(ltB)m(ltC) m(ltA)m(ltA1)m(ltA2) 1800.
B
C
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
49
UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI
Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura
cu (urmariti figura)
A
Unghi exterior
?
Atunci avem relatiile
? 1800 ?
? ? ?
? ? ? 1800.
?
?
?
B
C
D
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
50
INALTIMEA INTR-UN TRIUNGHI
A
Inaltimea unui triunghi este perpendiculara dusa
din varful triunghiului pe latura opusa.
Punctul de intersectie al inaltimilor se numeste
ortocentrul triunghiului.
Intr-un triunghi dreptunghic, ortocentrul se afla
in varful unghiului drept.
B
C
H
H
C
B
A
Daca se cunoaste lungimea unei laturi, a, si
inaltimea corespunzatoare acestei laturi, ha,
atunci
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
51
INALTIMEA IN DIFERITE TRIUNGHIURI
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
52
ARIA UNUI TRIUNGHI
1. Daca se cunoaste lungimea unei laturi (baza)
si inaltimea , h, corespunzatoare lui b, atunci
A
ha
b
hb
c
2. Daca intr-un triunghi ha, hb, hc sunt cele
trei inaltimi corespunzatoare laturilor de
lungimi a, b si c, atunci avem
hc
C
a
B
D
a?ha b?hb c?hc
Perimetrul P a b c
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
53
MEDIANA INTR-UN TRIUNGHI
A
Segmentul de dreapta care uneste varful unui
triunghi cu mijlocul laturii opuse se numeste
mediana.
B
Intr-un triunghi, mediana il imparte in doua
triunghiuri echivalente (de arii egale).
C
G
Punctul de intersectie al medianelor se numeste
centrul de greutate al triunghiului.
B
C
A
Intr-un triunghi, medianele se intersecteaza
intr-un punct ce se afla pe mediana la o treime
fata de latura sau la doua treimi fata de varf,
din lungimea medianei.
Exemplu
Daca AA 12cm, atunci AG 2/3 din 12 8cm.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
54
SIMETRIA FATA DE O DREAPTA
Daca avem un punct O si un punct A, atunci
simetricul lui A fata de O este punctul A,
astfel incat punctele A, O, A sa fie colineare
si AO OA
Daca avem un punct A si dreapta d, atunci
simetricul lui A fata de dreapta d este punctul
A, astfel incat AA?d, AA?d O, AO OA.
A
A
O
O
d
A
A
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
55
PROPRIETATILE TRIUNGHIULUI ISOSCEL
A
Are o singura axa de simetrie

• Are doua laturi congruente ABAC.

• Unghiurile de la baza sunt congruente ltB?ltC

• Bisectoarea unghiului de la varf este si mediana,
  si inaltime si mediatoare.

• Bisectoarele unghiurilor de la baza, medianele si
  inaltimile corespunzatoare laturilor congruente,
  sunt respectiv congruente.

C
B

• De exemplu, inaltimile BB si CC sunt congruente.

• Unghiurile de la baza sunt intotdeauna ascutite!

B
C
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
56
PROPRIETATILE TRIUNGHIULUI ECHILATERAL
A

• Are toate laturile congruente.

• Are toate unghiurile congruente si egale cu 600.

600

• Toate cele trei bisectoare (sau mediane,
  inaltimi) sunt congruente. Orice bisectoare este
  si mediana, si mediatoare, si inaltime.

600
600

• Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie
  cele trei bisectoare.

C
B
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
57
TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

PROPRIETATI
A
In orice triunghi dreptunghic, mediana
corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din
lungimea acesteia.
300
B
C
M
Intr-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 300,
lungimea catetei ce se opune acestui unghi este
jumatate din lungimea ipotenuzei.
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
58
LINIA MIJLOCIE IN TRIUNGHI
A
Segmentul de dreapta care uneste mijloacele a
doua laturi se numeste linia mijlocie.
TEOREMA Linia mijlocie intr-un triunghi este
paralela cu cea de-a treia latura si jumatate din
lungimea acesteia.
N
M
MN ?? BC
B
C
P
Daca M, N, P sunt mijloacele celor trei laturi
ale ?ABC, atunci
Perimetrul ?MNP este jumatate din perimetrul ?ABC
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
59
PATRULATERE Conform programei actuale
(revizuite), acest capitol se va face in clasa a
VII-a, sem. I
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
60
PATRULATER CONVEX
Un patrulater se numeste convex daca, oricare ar
fi o latura a sa, cele doua varfuri, nesituate pe
latura considerata, se afla de aceeasi parte a
dreptei in care este inclusa latura respectiva.
Definitia unui elev Patrulaterul convex este
acel patrulater in care diagonalele (ca segmente)
nu se intersecteaza.
D
A
Exemplu de patrulater concav
diagonalele
C
diagonala
B
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
61
PARALELOGRAMUL
Definitie. Se numeste paralelogram patrulaterul
convex care are laturile opuse paralele, doua
cate doua.
Laturile opuse
C
D
Unghiurile alaturate
A
B
Diagonalele
SUMA MASURILOR UNGHIURILOR UNUI PATRULATER CONVEX
ESTE DE 3600.
Unghiurile opuse
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
62
PARALELOGRAMUL - PROPRIETATI
Teorema. Intr-un paralelogram laturile opuse sunt
congruente doua cate doua.
C
D
O
Teorema. Intr-un paralelogram unghiurile opuse
sunt congruente doua cate doua.
A
B
Teorema. Intr-un paralelogram unghiurile
alaturate sunt suplementare doua cate doua.
Teorema. Intr-un paralelogram diagonalele se
intersecteaza injumatatindu-se.
AO OC si BO OD
Orice paralelogram are un centru de simetrie
punctul de intersectie al diagonalelor vezi
animatia.
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
63
DREPTUNGHIUL
C
D
Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi
drept (de fapt toate unghiurile sunt de 900).
O
A
B
PROPRIETATILE PARTICULARE DREPTUNGHIULUI
1. Dreptunghiul are toate unghiurile congruente
si deci toate sunt de 900.
2. Dreptunghiul are diagonalele congruente.
3. Dreptunghiul are doua axe de simetrie (vezi pe
figura animatia).
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
64
ROMBUL
D
Rombul este paralelogramul cu toate laturile
congruente.
In afara de proprietatile generale ale unui
paralelogram, rombul mai are in plus, urmatoarele
proprietati
A
C
O
Teorema. Toate laturile rombului sunt congruente.
Teorema. Intr-un romb diagonalele sunt
perpendiculare intre ele si sunt bisectoarele
unghiurilor lui.
B
Rombul are doua axe de simetrie (vezi pe figura
animatia).
.
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
65
PATRATUL
C
D
Patratul este dreptunghiul cu laturile
consecutive congruente.
O

• Intr-un patrat toate laturile sunt congruente.

A
B

• Intr-un patrat toate unghiurile sunt congruente
  (de 900).

• Intr-un patrat diagonalele au acelasi mijloc.

• Intr-un patrat diagonalele sunt congruente.

• Intr-un patrat diagonalele sunt perpendiculare
  untre ele.

• Intr-un patrat diagonalele sunt bisectoarele
  unghiurilor lui.

Rombul are patru axe de simetrie (vezi pe figura
animatia).
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
66
TRAPEZUL
C
D
Trapezul este patrulaterul convex care are numai
doua laturi (opuse) paralele.
Baza mica.
Baza mare.
Diagonalele trapezului.
B
A
Unghiurile alaturate laturii neparalele sunt
suplementare (suma lor este egala cu 1800).
Tit Cuprian Sarichioi - 2009
.
67
TRANSFORMARILE PARALELOGRAMELOR
DREPTUNGHI
ROMB
PARALELOGRAM
PATRAT
.
.
68
VREAU SA MA MAI UIT INCA ODATA!
Sfarsit