PLS2

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• PLS2 MATEMATICA
• Dalla MAGIA dei QUADRATI
• alla MAGIA delle IMMAGINI

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• Dalla MAGIA dei QUADRATI
• alla MAGIA delle IMMAGINI

Quadrati magici
Matrici e determinanti
Le immagini
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Secondo una leggenda cinese, l'imperatore YU
(circa 4000 anni fa) stava cercando di arginare
una piena del fiume LO (affluente del Fiume
Giallo) quando vide uscire dallo stesso fiume una
tartaruga divina con dei misteriosi segni sul
guscio. Tali segni furono studiati e, capito il
messaggio, la piena del fiume fu arginata.
Su quella tartaruga era presente il primo
quadrato magico noto. La storia ci dice in
realtà che YU il Grande fu il primo imperatore a
costruire opere di gestione delle acque e fu il
primo ad organizzare la Cina in uno stato diviso
in Nove Province (i nove settori presenti sul
carapace della tartaruga).
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Molto probabilmente questa serie di simboli è nata molto più tardi (circa 400 anni prima della nascita di Cristo) e forma quello che viene definito un quadrato magico 3x3 di grande interesse matematico e spirituale il Lo-Shu.
4 9 2
3 5 7
8 1 6

• LO SHU ha le seguenti caratteristiche
• È un quadrato di numeri con somma costante 15 su
  ogni riga, colonna o diagonale
• Il numero centrale, il 5, è la media aritmetica
  di tutte le coppie di numeri opposti

• Se si moltiplica il numero centrale 5 per
  lordine del quadrato, cioè 3, si ottiene il
  valore della somma costante, cioè 15. E sempre il
  numero centrale moltiplicato per lordine,
  elevato al quadrato, è uguale alla somma totale
  dei numeri che compongono il quadrato magico
• 5x315 e 5 x 32 45
• (Queste formule valgono per qualsiasi quadrato
  magico di ordine dispari e quindi anche per
  quadrati 5 x 5, 7 x 7 e così via.)

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Lo studio dei quadrati magici nellantichità è
legato allidea che potessero avere particolari
virtù e perciò venivano utilizzati per costruire,
ad esempio dei talismani (incisioni su placche
d'oro o d'argento) impiegati come rimedi per
guarire dalla peste al mal d'amore.I quadrati
magici erano sicuramente già noti in Cina nei
primi secoli dopo Cristo nel X secolo i cinesi
conoscevano quadrati fino all'ordine 10.
Quadrati magici si trovano anche nella cultura
indiana. Il primo quadrato magico di ordine 4
venne realizzato dall'astrologo indiano
Varahamihira nel VI secolo d.C. Un ben noto e
antico quadrato magico fu trovato nel tempio di
Parshvanath Jain a Khajuraho datato X secolo, ha
la particolarità che ogni sottoquadrato (ovvero
ogni quadrato 2x2 in esso contenuto), ha lo
stesso valore della costante magica, che è 34.
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
6
In Mesopotamia i primi quadrati magici di ordini
5 e 6 comparvero in un'enciclopedia di Baghdad
che si fa risalire al 983 a.C., ma pare che
alcuni più semplici fossero conosciuti da
parecchi matematici arabi già in epoca precedente.
La conoscenza di queste strutture giunsero in
Europa relativamente tardi. Nel 1300,
analizzando il lavoro dellarabo Al-Buni,
lerudito bizantino greco Manuel Moschopoulos
(circa 1265-1316) scrisse un trattato matematico
a proposito dei quadrati magici, andando oltre il
misticismo dei suoi predecessori. Si pensa che
Moschopoulos fu il primo occidentale ad occuparsi
dellargomento.
Ritratto di Luca Pacioli
Intorno alla metà del XV secolo l'italiano Luca
Pacioli studiò i quadrati e raccolse tantissimi
esempi.
7

• Uno dei più famosi quadrati magici è sicuramente
  quello che compare nellincisione di Dürer,
  Melancolia I.

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• Nel 1600
• Frenicle de Bessy (1605- 1665) matematico
  francese amico di Cartesio e Fermat calcolò nel
  1663 il numero dei quadrati magici perfetti del
  quarto ordine sono 880, con somma costante 34,
  su righe, colonne e diagonali.
• Nel 1973
• - e solo grazie al computer - si riuscì ad
  estendere il risultato ai quadrati di ordine 5
  che sono 275 305 224.
• Ancora oggi non è noto il numero preciso dei
  quadrati magici di ordine 6, ma siamo vicini alla
  soluzione. Secondo le più recenti indagini,
  dovrebbero essere circa 17 miliardi di miliardi.

Pierre De Fermat
Resta comunque da risolvere il problema più
generale trovare la regola che consenta di
determinare il numero di quadrati magici di un
dato ordine n.
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Si sa invece come calcolare la somma costante su
righe, colonne e diagonali essa è data dalla
formula
Nel tempo i matematici hanno cercato di passare
alla terza dimensione, occupandosi di cubi magici
perfetti, definiti come i cubi nei quali ogni
quadrato è magico (ogni diagonale risulta magica
e non soltanto le quattro diagonali principali).
Il primo cubo magico perfetto, di ordine 7, con
i primi 343 numeri disposti in modo che su ogni
possibile riga, colonna o diagonale la somma è
sempre 1204, venne scoperto soltanto nel 1866 da
un missionario inglese, docente di matematica, il
reverendo Andrew H. Frost.
Andrew H. Frost (Hull 1819 - Cambridge 1907)
10
Il metodo per costruire un quadrato magico con n
dispari è abbastanza semplice e viene spiegato
qui di seguito.

• Si inizia mettendo 1 nella colonna
• centrale della fila superiore.

Si compila la colonna seguente del numero uno (a
destra) e ad una fila superiore. Se siete già
alla fila superiore, si compila una colonna alla
destra nella fila inferiore.
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• E se siete nella colonna di estrema
• destra, si compila il numero
• seguente nella colonna di estrema
• sinistra, una fila in su.
• Se il quadrato già è occupato da
• Un numero più piccolo, si posiziona
• Il numero seguente nel quadrato
• immediatamente sotto all'ultimo
• immesso.
• Si procede in tal maniera fino a
• comporre tutto il quadrato.

Infine, si verifica che ogni fila, colonna e
diagonale diano come somma algebrica lo stesso
numero, in questo caso, 65.
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• La parola matrice deriva dal latino matrix-icis
  ed il suo
• significato è
• ciò da cui ha origine un fenomeno, radice.
• In matematica è una tabella di numeri, ognuno dei
  quali è
• identificato dalla coppia di fattori che indicano
  rispettivamente
• la riga e la colonna della tabella in cui è
  collocato.
• I numeri che compaiono nella tabella si dicono
  elementi della
• matrice. La loro individuazione avviene
  attraverso la loro
• posizione di riga e colonna.
• Il primo indice è l'indice di riga mentre il
  secondo è l'indice di
• colonna.
• Ad esempio, il quadro di numeri

disposto su 3 righe e 5 colonne è una matrice 3 x
5.
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Anche se il nome matrice è stato introdotto solo
nella metà del 1800, i primi approcci con matrici
e determinanti,relativi allo studio di sistemi di
equazioni lineari risalgono già ai babilonesi che
studiarono problemi con più equazioni lineari
(ne è rimasta traccia in alcune tavole
ritrovate).
Il reperto più antico contenente una matrice come
strumento di risoluzione di sistemi lineari è
cinese, scritto tra il 300 a.C e il 200 d.C. Nel
testo compare anche il concetto di determinante
(per una matrice 2x2) ed è forse dovuto al
matematico cinese Liu Hui nel 263.
14
In Occidente questi argomenti riapparvero e si
svilupparono non prima del XVII secolo con
lapporto di Leibniz e Cramer che svilupparono
la teoria a partire dalla fine del 1600.
Successivamente vi lavorarono Gauss e Jordan che
definirono lalgoritmo che prende il loro nome.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 21 giugno
1646 Hannover, 14 novembre 1716)
Camille Jordan (Lione, 5 gennaio 1838 Milano,
22 gennaio 1922)
Carl Friedrich Gauss (Braunschweig,30 aprile
1777 Gottinga, 23 febbraio 1855)
15
Come abbiamo già detto, solo nella metà del 1800
J. J. Sylvester diede a questa struttura
matematica il nome di matrice, nome che
ritroviamo negli studi dei matematici che poi
seguirono, tra i quali uno dei più importanti fu
Hilbert con la sua trattazione dell'algebra
delle matrici infinite.
James Joseph Sylvester (Londra, 3 settembre 1814
Londra, 15 marzo 1897)
David Hilbert (Königsberg, 23 gennaio 1862
Gottinga, 14 febbraio 1943)
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Operazioni delle matrici

• Due matrici A e B, entrambe di tipo , possono
  essere sommate. La loro somma A B è definita
  come la matrice i cui elementi sono ottenuti
  sommando i corrispettivi elementi di A e B.
  Formalmente
• (A B)i,j Ai,j Bi,j
• La moltiplicazione per uno scalare è
  un'operazione che, data una matrice A ed un
  numero c (detto scalare), costruisce una nuova
  matrice cA, il cui elemento è ottenuto
  moltiplicando l'elemento corrispondente di A per
  c la matrice e lo scalare scelti devono
  appartenere allo stesso campo. Formalmente
• (cA)ij cAi,j.

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• La moltiplicazione tra due matrici A e B è
  un'operazione più complicata delle precedenti. A
  differenza della somma, non è definita sommando
  semplicemente gli elementi aventi lo stesso
  posto.
• La moltiplicazione è definita soltanto se le
  matrici A e B sono rispettivamente di tipo mxn
  e nxp in altre parole, il numero di righe di B
  deve coincidere con il numero n di colonne di A.
  Il risultato è una matrice di tipo mxp . Si
  possono ad esempio moltiplicare una matrice3x4
  e una 4x2, ed il risultato è una matrice . Non
  si possono moltiplicare una 3x3 e una 4x3.
• Il prodotto di A e B è la matrice C AB di
  dimensione mxp , il cui elemento di posizione
  (i,j) è dato dalla somma

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PROPRIETA

• Le operazioni di somma e prodotto di matrici
  soddisfano tutte le proprietà usuali della somma
  e del prodotto di numeri, ad eccezione, nel caso
  del prodotto di matrici, della proprietà
  commutativa.
• Sia 0 la matrice nulla, fatta di soli zeri (e
  della stessa taglia di A). Sia inoltre - A ( -
  1)A la matrice ottenuta moltiplicando A per lo
  scalare - 1. Valgono le relazioni seguenti, per
  ogni A,B,C matrici per cui queste operazioni
  hanno senso.
• A 0 0 A A (la matrice nulla è l'elemento
  neutro della somma)
• A ( - A) 0 (esistenza di un inverso per la
  somma)
• (A B) C A (B C) (proprietà associativa
  della somma)
• A B B A (proprietà commutativa della somma)
  
• (AB)C A(BC) (proprietà associativa del
  prodotto)
• (A B)C AC BC (proprietà distributiva)
• C(A B) CA CB (proprietà distributiva)
• Le prime 4 proprietà affermano che le matrici
  formano un gruppo abeliano rispetto
  all'operazione di somma. Come mostrato sopra, il
  prodotto non è commutativo in generale.

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MATRICI QUADRATE

• Fra le matrici, occupano un posto di rilievo le
  matrici quadrate, cioè le matrici nxn , che hanno
  lo stesso numero n di righe e di colonne.
• La più importante matrice è forse la matrice
  identità In è una matrice avente 1 su ogni
  elemento della diagonale e 0 altrove. La matrice
  è importante perché rappresenta l'elemento neutro
  rispetto al prodotto infatti le matrici
  possono essere moltiplicate fra loro, e vale
  (oltre a quelle scritte sopra) la proprietà
  seguente per ogni A
• AIn InA A (elemento neutro del prodotto)
• Nello spazio delle matrici sono quindi definiti
  una somma ed un prodotto, e le proprietà elencate
  fin qui asseriscono che l'insieme è un anello,
  simile all'anello dei numeri interi, con l'unica
  differenza che il prodotto di matrici non è
  commutativo.

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DETERMINANTI

• In algebra lineare, il determinante è una
  funzione che associa ad ogni matrice quadrata A
  uno scalare che ne sintetizza alcune proprietà
  algebriche.
• Esso viene generalmente indicato con det(A) e a
  volte con A .
• Il determinante è un potente strumento usato in
  vari settori della matematica innanzitutto nello
  studio dei sistemi di equazioni lineari, quindi
  nel calcolo infinitesimale a più dimensioni (ad
  esempio nel Jacobiano), e poi nel calcolo
  tensoriale, nella geometria differenziale, nella
  teoria combinatoria, etc.

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LE IMMAGINI
Il calcolo matriciale, ovvero l'insieme delle
operazioni che possono essere eseguite sulle
matrici, è oggi utilizzato nello studio di molti
problemi complessi soprattutto legato alluso
dellinformatica ed è fondamentale nella gestione
della grafica digitale.
Licona di questo nuovo utilizzo delle matrici è
la foto di Lena Sjööblom (31 marzo 1951) che non
è una studiosa, ma semplicemente un'ex modella
svedese, playmate del mese di novembre 1972 della
rivista Playboy.
Nel Maggio del 1997 è stata la madrina della
conferenza indetta per i 50 anni di attività
della Society for Imaging Science and Technology
(IST). Ma come nasce questa nuova storia legata
alle matrici.
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Prendiamo, ad esempio, questa matrice quadrata
16x16 formata da numeri compresi tra 0 (nero) e
255 (bianco). Che cosa può rappresentare ? Se
legata a problemi di grafica, può semplicemente
indicare le tonalità di grigio presenti in una
fotografia in bianco e nero. I numeri definiscono
pixel per pixel la tonalità di grigio necessaria
con 0corrispondente al nero e 255 al bianco.
Questa matrice (anchessa un quadrato magico nel
suo genere) è in realtà la riproduzione di un
opera di Escher.
193 199 228 238 226 242 244 244 247 235 229 243 218 195 188 162
196 203 220 221 204 235 235 225 238 244 230 222 218 198 195 175
192 195 199 186 202 211 208 199 207 224 228 220 214 199 202 185
164 163 160 146 122 98 102 114 111 124 160 183 194 189 202 195
132 134 143 133 131 115 110 104 71 43 53 79 127 139 172 178
134 147 173 167 165 178 164 141 121 82 51 56 79 104 151 165
155 178 212 200 199 172 144 134 135 123 103 93 68 99 151 165
158 184 217 197 175 69 19 33 37 51 68 58 47 78 131 144
52 82 145 197 157 44 1 5 16 9 2 8 3 7 23 46
58 66 47 17 46 0 0 0 0 0 0 5 8 1 0 0
67 115 112 75 26 0 0 0 0 8 29 30 16 9 0 0
3 51 117 156 182 174 177 153 120 79 44 5 0 0 2 3
0 0 24 47 103 99 97 74 44 11 4 0 0 0 8 12
35 28 15 6 27 19 8 3 10 9 32 33 23 31 32 25
27 26 45 63 73 74 60 58 74 73 85 67 71 72 63 48
68 73 83 80 91 119 122 115 123 118 133 113 104 106 99 85
Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948 Escher Drawing Hands, 1948
23
Certo la foto è molto più bella ma sicuramente la
matrice potrebbe risultare molto più
affascinante Se impariamo a modificare il valore
numerico corrispondente al singolo pixel possiamo
ottenere la modificazione dellimmagine

Escher Drawing Hands, 1948
24
Semplicemente (!) agendo sui valori numerici presenti nella matrice che la rappresenta si può passare da questa foto
a questaltra!
25
Sempre variando i valori numerici relativi ai
pixel che formano unimmagine possiamo
deformarla, capovolgerla, distorcerla.
Se da questa foto vogliamo estrarre solo la parte a destra (fare uno zoom solo sugli occhi) basta agire sui numeri della matrice per creare delle maschere che permettono di far vedere solo la parte che ci interessa
26
Le seguenti operazioni logiche AND e OR permettono di costruire la maschera voluta Per avere una maschera nera Valore pixel AND 11111111 (bianco) valore pixel (per la zona da ritagliare) Valore pixel AND 00000000(nero) nero (per la zona da nascondere)

Per avere una maschera bianca Valore pixel OR 11111111 (bianco) bianco Valore pixel OR 00000000 (nero) valore pixel

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Matrice di trasformazione Matrice di trasformazione Matrice di trasformazione Matrice di trasformazione
1 1
-1 2
punti del piano punti del piano punti trasformati
x y x' y'
O 0 0 O 0 0
A 0,5 0 A' 0,5 -0,5
B 1 0 B' 1 -1
1 1 2 1
C 0 1 C' 1 2
0 0,2 0,2 0,4
0 0,4 0,4 0,8
0 0 0 0
Mediante la matrice di trasformazione la figura a
fondo giallo si trasforma in quella a fondo
verde basta una matrice per deformare la figura.
Partendo da questa idea si sono costruiti tutti
i software di gestione e modifica delle immagini.
28
E se la foto è a colori? Ritroviamo qualcosa di
simile ai cubi magici infatti
Nel 1931, una apposita commissione CIE
(Commission Internationale dellEclairage) ha
proceduto ad una standardizzazione dei tre colori
primari, fissando i seguenti valori B
435.8 nm G 546.1 nm R 700 nm
E quindi Questa immagine a colori è
rappresentata mediante la sovrapposizione di tre
matrici nelle quali sono codificati i livelli di
luminosità dei tre colori fondamentali rosso,
verde, blu (RGB)
29
Infine i colori primari possono essere sommati a
due a due in modo da produrre i cosiddetti colori
secondari
il magenta (M), rosso blu
il ciano (C), verde blu
il giallo (Y), rosso verde
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Hanno partecipato

• Bossa Aniello(5BL)
• Cozzolino Jessica(5BL)
• Cuciniello Maria(5BL)
• Giampaglia Laura(5BL)
• Iarrobino Antonella(5BL)
• Lisita Emanuela(5BL)
• Oliviero Pasquale(5BL)
• Tammaro Gennaro(5BL)

• Cataldo Vittoria(4BL)
• Cimmino Filomena Chiara(4BL)
• Niglio Vincenzo(4BL)
• Nocerino Filippo(4BL)
• Pignalosa Leopoldo(4BL)
• Maddaloni Laura(3BL)
• Esposito Valerio(4AL)
• Sannino Gianmauro(4AL)
• Maddaloni Rosario(3AL)
• Sorrentino Vincenzo(3AL)

Con la collaborazione di Prof.ssa Norina Di
Fiore Prof.ssa Rita Punzo
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Sitografia e Bibliografia

• Italo Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa
  Problemi bizzarri - Paradossi algebrici e
  meccanici - Moto perpetuo - Grandi numeri - Curve
  e loro tracciamento meccanico - ecc., Hoepli -
  Milano, 1978. pp. 776 ISBN 8820304694
• http//it.wikipedia.org/
• http//www.matematicamente.it/
• Autore Coautore Lamberti Lamberto, Mereu Laura,
  Nanni Augusta, Corso di matematica uno, due, tre
  - Editore ETAS (RCS LIBRI) Codice ISBN
  884506199
• Autore Prof. Salvatore Cuomo Lezioni del corso
  PLS2 e SICSI (www.dma.unina.it)