Estat

1
Estatística EspacialAnálise de Padrões de
Distribuição de Pontos
INPE - Divisão de Processamento de Imagens
2
Organização

• Introdução
• Distribuição de Pontos
• Caracterização de Distribuição de Pontos
• Estimador de Intensidade (Kernel Estimation)
• Modelagem de Distribuição de Pontos
• Método do Vizinho Mais Próximo
• Função K
• Exemplos Práticos com o Sistema Spring

3
Introdução - preliminares

• Consideramos aqui fenômenos expressos através de
• ocorrências pontuais.
• São observações disponíveis no espaço.
• Representações pontuais podem corresponder a
  dados como
• índice de mortalidade,
• ocorrências de doenças,
• localização de espécie vegetais, etc.
• Objetivo
• aumentar o entendimento do processo verificando
• hipóteses viáveis ou inferir valores em
  áreas sem
• observações.

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Introdução - preliminares

• A L G U N S E X E M P L O S
• Epidemologia
• A distribuição dos casos de uma doença formam um
  padrão no espaço ? Existe associação com alguma
  fonte de poluição ? Evidência de contágio ?
• Crime
• Roubos que ocorrem em determinadas áreas estão
  correlacionados com características sócio
  econômicas ?
• Geologia
• Dado um conjunto de amostras, qual a extensão de
  um depósito mineral ?

5
Introdução - preliminares

• Mapeando a violência - localização pontual

Santos,S.M., 1999
6
Clusters

• Cluster qualquer agregado de eventos.
• resultado de classificação onde se busca definir
  um grupamento de semelhantes.
• Cluster espacial
• agregado de eventos no espaço ou a ocorrência de
  taxas semelhantes em área próximas.
• Detecção de cluster espacial
• estabelecer a significância de um sobre-risco em
  um determinado espaço ou tempo e espaço.

7
Clusters

• O que causa um cluster?
• Agentes infecciosos, contaminação ambiental
  localizada, efeitos colaterais de tratamentos,
  etc.
• Os estudos
• evidência de tendência geral à clusterização, ou
  a um determinado e predefinido agregado.
• Podem ser usados para pontos ou áreas.
• Fatores de controle
• distribuição populacional e outras covariáveis
  que podem criar agregados.

8
Conceitos Básicos

• Estacionariedade
• As propriedades estatísticas da variável
  independem de sua localização absoluta, ou seja,
  a média e a variância são constantes em qualquer
  sub-área e a covariância entre dois pontos
  quaisquer depende somente de sua localização
  relativa
• Isotropia
• Além de estacionário, a covariância depende
  somente da distância entre os pontos e não da
  direção entre eles.
• Processo de modelagem
• Transformações visando obtenção de
  estacionariedade
• Ajuste de modelos.

9
Introdução - preliminares

• Fenômeno espacial contínuo ou discreto
• Discreto - espaço contém entidades do mundo real
• Na concepção Spring denominado de modelo de
  objetos
• Exs municípios, quadras, escolas, hospitais,
  etc...
• Contínuo - informação presente em todas as
  posições
• Na concepção Spring denominado de modelo de campo
• Exs temperatura, pressão, teor de argila no
  solo, etc...

10
Introdução - preliminares
C L A S S E S D E P R O B L E M A S
11
Distribuição de Pontos

• Padrão pontual - conjunto de dados consistindo de
  uma série de localizações pontuais (p1, p2,
  ...,pn) que estão
• associados a eventos de interesse dentro da
  área de estudo.

• p1

• p2

• p3

• p1

Área de Estudo

• p4

• p5

• p6

• p7

• p8

12
Distribuição de Pontos
?
Distribuições pontuais tem as seguintes
características

• As localizações não estão associadas a valores,
  mas apenas a ocorrência dos eventos.
• Dimensão das medidas é zero. Medidas válidas na
  distribuição de pontos são o de ocorrências no
  padrão e as localizações geográficas.
• Área dos eventos não é uma medida válida apesar
  de em muitos casos ocuparem espaço.
• Entidades geográficas representadas como pontos
  no mapa são considerados de mesma qualidade.

13
Distribuição de Pontos - Estatísticas Descritivas

• A distribuição de características pontuais pode
  ser descrita pela

• Frequência
• Densidade
• Centro Geométrico
• Dispersão Espacial
• Arranjo Espacial

• Com exceção do arranjo espacial, a avaliação das
  propriedades espaciais
• pontuais pode ser realizada através de
  estatísticas descritivas básicas.

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Distribuição de Pontos - Estatísticas Descritivas

• Frequência - de características pontuais que
  ocorrem no mapa.
• Nota- A comparação de duas distribuição de
  frequência pode ser enganosa
• se a área não é considerada.
• Quando dois padrões de pontos que
  diferem na área são comparados,
• é aconselhável compará-los pela
  densidade.
• Densidade - Frequência / Área
• Centro Geométrico e Dispersão Espacial - são
  medidas que caracterizam as
• propriedades geográfica de um padrão de pontos.
• Centro Geométrico média das coordenadas de
  localização X e Y
• Dispersão desvio padrão de cada média (X e Y).

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Distribuição de Pontos - Estatísticas Descritivas

• A figura abaixo apresenta quatro padrões de
  pontos (A, B, C e D).

L O C A L I Z A Ç Õ E
S ------------------------------------------------
----------------------------------------- A
B C
D ------------------------------------------------
----------------------------------------- (2, 7)
(3, 6) (2,4) (3,4) ----------------
--------------------------------------------------
----------------------- (3, 5) (4, 4)
(3,10) (5,2) ---------------------------------
--------------------------------------------------
------ (3, 6) (4, 5) (4,7)
(5,8) --------------------------------------------
--------------------------------------------- (3,
7) (4, 6) (5,2)
(7,11) -------------------------------------------
---------------------------------------------- (3,
8) (5, 4) (7,4)
(8,5) --------------------------------------------
--------------------------------------------- (4,
6) (5, 5) (7,6)
(8,8) --------------------------------------------
--------------------------------------------- (4,
7) (5, 6) (7,9)
(9,2) --------------------------------------------
--------------------------------------------- (4,
8) (5, 7) (10,2) (10,8) ------------
--------------------------------------------------
--------------------------- (5, 6) (6, 4)
(11,6) (12,2) ------------------------------
--------------------------------------------------
--------- (5, 7) (6, 5) (11,10)
(13,4) -------------------------------------------
---------------------------------------------- (5,
8) (6, 6) (13,4)
(13,6) -------------------------------------------
---------------------------------------------- (5,
9) (7, 5) (13,8) (13,8)
16
Distribuição de Pontos - Estatísticas Descritivas

• A figura abaixo apresenta quatro padrões de
  pontos (A, B, C e D).

Frequência 12 em A, B, C, D
Densidade 180/12 em A, B, C, D
Centro Geométrico
CGa
CGd
CGb
CGc
Nota CGa e CGb representam bem a tendência
central porque ambas distri- buições estão
concentradas em torno dos respectivos centros.
Por outro lado, CGc e CGd não são bons
indicadores para suas respectivas
distribuições.
17
Distribuição de Pontos - Estatísticas Descritivas

• Padrões de pontos com diferentes características
  de dispersão espacial

?x gt ?y
?x lt ?y
?2x ?2y
?2x ?2y
? (significante)
? (insignificante)
18
Distribuição de Pontos - Arranjos Espaciais

• Uma característica importante de um padrão
  espacial é a localização dos pontos e
• a relação entre eles. Isto tem um efeito
  significativo na distribuição dos padrões.

• Objetivo verificar se os eventos observados
  apresentam algum tipo de padrão sistemático, ao
  invés de estar distribuídos aleatoriamente.

Aleatório
Agrupado
Regular

• Na realidade o que se deseja é detectar padrões
  de aglomerados espaciais (clusters).

• Base conceitual -gt supor uma distribuição
  estocástica que serve de base para a hipótese de
  aleatoriedade.

• No caso de pontos é usual utilizar a distribuição
  de Poisson.

19
Caracterização de Distribuição de Pontos

• Processo de análise de pontos pode ser descritos
  em termos de
• Efeitos de Primeira Ordem
• considerados globais ou de grande escala.
• correspondem a variações no valor médio do
  processo.
• Neste caso estamos interessados na intensidade do
  processo
• (No Eventos / Unidade de Área).
• Efeitos de Segunda Ordem
• denominados locais ou de pequena escala.
• representam a dependência espacial no processo
• A maior parte das técnicas de análise de
  distribuição de pontos supõe um comportamento
  isotrópico.

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Caracterização de Distribuição de Pontos

• Técnicas a serem abordadas
• Para Efeitos de Primeira Ordem
• Estimador de Intensidade (Kernel Estimation) ?
• Para Efeitos de Segunda Ordem
• Vizinho mais Próximo ?
• Função K ?

21
Estimador de Intensidade (Kernel Estimation)

• Segundo (Bailey e Gatrell, 1995)
• Onde
• A função I( ) -gt FDP, escolhida de forma adequada
  para construir uma superfície contínua sobre os
  dados.
• O parâmetro ? denominado largura de faixa,
  controla o amaciamento da superfície gerada.
• S representa uma localização qualquer na área de
  estudo e Si são as
• localizações dos eventos observados.
• n representa o número de eventos.

22
Estimador de Intensidade (Kernel Estimation)

• Uma função muito utilizada para I() é
• onde
• h representa a distância entre a localização em
  que desejamos
• calcular a função e os eventos observados.
• Assim o estimador de intensidade pode ser
  expresso como
• onde
• hi é a distância entre o ponto a calcular S e o
  valor observado Si.

23
Estimador de Intensidade (Kernel Estimation)

• A Figura abaixo ilustra a idéia do estimador de
  intensidade

kernel
S
t
Si
hi
24
Estimador de Intensidade (Kernel Estimation)

• Efeito da Largura de Faixa (t)

Banda estreita
t

Banda larga
25
Estimador de Intensidade (Kernel Estimation)

• Uma visão do Kernel no Sistema SPRING

Plano de Informação (PI)
Grade de Intensidade
Superfície de saída
Observações
kernel
Ponto a ser estimado
26
Estimador de Intensidade (Kernel Estimation)

• Exemplo Mapeando a violência na cidade de Porto
  Alegre - RS.

Kernel
Santos,S.M., 1999
27
Vizinho mais próximo

• Kernel
• explorar a variação da média do processo na
  região de estudo - propriedade de primeira ordem
• Propriedades de segunda ordem
• distâncias entre os eventos
• Dois tipos de distâncias
• evento-evento (W) e ponto aleatório-evento (X)
• Função empírica
• histograma das distâncias para o vizinho mais
  próximo - cada classe do histograma é uma
  contagem de eventos que ocorrem até aquela
  distância

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Vizinho mais Próximo

• O método do vizinho mais próximo estima a função
  de distribuição
• cumulativa ( ) baseado nas distâncias
  entre eventos em uma
• região de análise.

• Pode ser estimado empiricamente por

onde

• w distância de entrada

• wi distância entre eventos

• n número de eventos

• A plotagem dos resultados de em relação
  as distâncias, pode ser
• utilizado como um método exploratório para
  verificar se existe evidência
• de interação entre os eventos.

29
Método - Vizinho mais Próximo
Baseado na distância mínima entre os pontos
1 distância
distância mínima
2 distância
3 distância
30
Método - Vizinho mais Próximo

• Na prática a distância de entrada w está
  compreendida entre um valor
• mínimo e máximo estabelecido pelo usuário.
  Além disso, deve-se definir
• também o número de intervalos desejados (Ex
  com 9 intervalos).

31
Método - Vizinho mais Próximo

• Análise exploratória de padrões de distribuição
  de pontos utilizando

1
0
w
0
1
0
w
0
32
Teste de Significância

• Teste de Significância
• comparar com distribuições teóricas ou simulações
  querepresentem a Completa Aleatoriedade
  Espacial
• A hipótese de CAE
• evento segue um processo de Poisson homogêneo
  sobre a região estudada,
• Outras modelos
• processo de Poisson heterogêneo, processo de Cox,
  etc.

33
Método - Vizinho mais Próximo

• A significância do resultado da análise
  exploratória, do padrão de
• distribuição de pontos, utilizando o método
  vizinho mais próximo pode ser
• avaliada através de um modelo teórico
  denominado Aleatoriedade Espacial
• Completa ( Complete Spatial Randomness - CSR
  ).

• Na realidade o que se faz é comparar a
  distribuição dos eventos observados
• com o que se esperaria na hipótese CSR.

• Esta metodologia consiste em se criar envelopes
  de simulação para a
• distribuição CSR, afim de acessar a
  significância dos desvios.

• Na hipótese de CSR, a função de distribuição
  G(w) seria dada por um
• processo de Poisson, como segue (Bailey e
  Gatrell, 1995)

34
Método - Vizinho mais Próximo

• A estimação simulada para a distribuição G(w)
  assumindo-se CSR é
• calculada como (Bailey e Gatrell, 1995)

onde

• , i 1, 2, ..., m são funções de
  distribuição empíricas, estimadas a
• partir de m simulações
  independentes dos n eventos, na hipótese
• CSR (n eventos independentes e
  uniformemente distribuídos).

35
Método - Vizinho mais Próximo

• Para calcular a condição de aleatoriedade,
  calcula-se os envelopes de
• simulação superior e inferior, definidos como
  segue (Bailey e Gatrell, 1995)

• Envelope superior

• Envelope inferior

36
Método - Vizinho mais Próximo

• A plotagem x , com adição dos
  envelopes, permite medir a
• significância dos desvios relativo a
  aleatoriedade.

Envelope Inferior
Estimado
Envelope Superior

• Se a condição de CSR for válida para os dados
  observados, a plotagem
• x deve ser praticamente
  linear com um ângulo de 45o

37
Método - Vizinho mais Próximo

• Se o dado apresenta tendências para
  agrupamento, os traçados no gráfico
• estarão acima da linha de 45o.

• Por outro lado, se o dado apresenta padrões de
  regularidade os traçados
• ficarão abaixo da linha de 45o.

38
Método - Vizinho mais Próximo

• O exemplo abaixo refere-se a crimes juvenis na
  região de Cardiff, UK
• (Herbert, 1980). Neste caso percebe-se a
  posição dos envelopes e
• da distribuição acima da linha de 45o, o que
  caracteriza agrupamento
• para as distâncias em análise.

Distância? mín.0.? máx.16 intervalos10
simulações10
39
Função K

• Vizinho mais próximo
• pequena escala
• Função K
• propriedades de segunda ordem de um processo
  isotrópico
• Definição (Bailey e Gatrell, 1995)
• ?K(h) E (eventos a distância h de um evento
  arbitrário)
• onde
• ? - No eventos / área
• E() - operador esperança.

40
Função K

• ?K(h) E (eventos a distância h de um evento
  arbitrário)

R
eventos 7
h
Lembrando que
? denominado de intensidade ou
? no eventos/R R área
eventos 3
h
41
Função K

• Necessitamos agora, definir um estimador para a
  função k
• ?K(h) E (eventos a distância h de um evento
  arbitrário)
• ?K(h) , onde dij é a
  distância entre os eventos i e j.
• 
  Ih(dij) 1 se dij lth, 0 se dij gt h.
• 
  ?R n eventos em R.
• Resultando
• O estimador de lambda , então

42
Função K

• Uma idéia gráfica do que está embutido na
  notação do estimador da função K

43
Função K

• Para um processo aleatório o esperado de
  eventos a uma distância h
• de UM evento escolhido aleatoriamente é
  lk(h)lph2 (Bailey e Gatrell, 1995)

Processo aleatório
h
h
h
Áreaph2
h
h
h
44
Função K

• Uma vez obtido, este pode ser plotado
  e examinado.
• O gráfico da função K não é tão intuitivo quanto
  a do gráfico do vizinho
• mais próximo. Portanto utiliza-se uma função
  auxiliar L, para facilitar a
• interpretação.
• O estimador da função L é

45
Função K

• Interpretação da plotagem de

• extremos positivos mais agrupamento

• em torno de zero aleatório

0

• extremos negativos mais regularidade

h
46
Função K

• Exemplo - O exemplo abaixo refere-se ao
  município Bood Moor, situado no condado de
  Cornwall, Inglaterra. Dados geomorfológicos com
  36 localizações de rochas de granito. Neste caso
  percebe-se que para distâncias entre
  aproximadamente 2.5 a 3 (extremo positivo do
  gráfico) há evidências de agrupamento.

Distância? mín.0.5 máx.4 intervalos10
47
Função K

• Uma abordagem similar a do vizinho mais próximo
  pode ser feita para se
• estimar a significância dos desvios da
  distribuição em relação a aleato-
• riedade (CSR).

• Idéia realizar simulações CSR sobre a região R e
  computar os envelopes
• superior e inferior.

• O envelope superior é definido como (Baley e
  Gratel, 1995)

• O envelope inferor é definido como (Baley e
  Gratel, 1995)

48
Função K

• Análise do gráfico com os envelopes
  Upper(h) e Lower(h).

Upper(h)
aleatório
Lower(h)
h
49
Função K

• Exemplo - mudas de Sequoia, Califórnia. Dados
  representam 62 mudas distribuídas numa região de
  23m2.

50
AULA PRÁTICA NO SISTEMA SPRING

• BANCOS DE DADOS
• PORTO ALEGRE eventos de violência (homicídios,
  acidentes de transito e suicídios) na cidade de
  Porto Alegre - RS.
• BoodminMoor refere-se ao município Bood Moor,
  situado no condado de Cornwall, Inglaterra. Dados
  geomorfológicos com 36 localizações de rochas de
  granito.
• Cardiff estado em Wales, UK. Dados representam
  localizações das 168 residências de infratores
  juvenis no estado de Cardiff.
• Redwood mudas de Sequoia, Califórnia. Dados
  representam 62 mudas distribuídas numa região de
  23m2.