Una superficie c

1
Una superficie cónica es aquella que se obtiene
al hacer girar una recta g, llamada generatriz,
alrededor de otra recta e, llamada eje, cuando g
y e son secantes.El punto de corte de ambas
rectas es el vértice V de la superficie.Al
cortar a la superficie así formada por un plano
se obtienen secciones que se llaman
cónicas.Cuando el plano cortante contiene al
vértice se obtienen las llamadas cónicas
degeneradas, que son un punto, una recta o un par
de rectas secantes.
SUPERFICIE CÓNICA
Generatriz
Eje
2

• CÓNICAS DEGENERADAS

ß
a
a
ß
a
ß
Punto Recta
Rectas secantes a lt ß a
ß a gt ß
3
CÓNICAS NO DEGENERADAS
Circunferencia
Elipse
Circunferencia El plano secante es
perpendicular al eje. Elipse El plano secante
forma con el eje un ángulo (?) menor que con las
generatrices (?) En ambos casos la cónica es una
curva cerrada y corta a todas las
generatrices Parábola El plano secante es
paralelo a una generatriz, cortando a una sola de
las hojas de la superficie cónica. ?
? Hipérbola El plano secante forma con el eje
un ángulo (?) menor que con las generatrices (?)
y corta a las dos hojas de la superficie
cónica. En ambos casos la cónica es una curva
abierta y no corta a todas las generatrices.
? gt ?
? 90º
Hipérbola
Parábola
? lt ?
? ?
4
Circunferencia como sección de un cono
Al cortar la superficie cónica con un plano se
obtienen unas curvas que se llaman cónicas. Las
distintas posiciones del plano determinan
diferentes cónicas.
Circunferencia cónica no degenerada que se
obtiene cuando el plano secante es perpendicular
al eje del cono, corta a todas las generatrices y
no pasa por el vértice.
5
Estudio sintético de la circunferencia
Circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro.
Radio
Diámetro
Cuerda
6
Ecuación de la circunferencia
Ecuación analítica de la circunferencia (x
a)2(y b)2 r2
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
x2 y2 D x E y F 0
Inversamente dada x2 y2 D x E y F 0 su
centro y el radio serán
7
Condiciones para que una ecuación represente a
una circunferencia
kx2 ky2 2akx 2bky k(a2b2 R2)0
Ax2 By2 Cxy D x E y F 0
Identificando coeficientes se obtiene
8
Posiciones relativas de un punto y una
circunferencia
Si d(P, O) r el punto P está en la
circunferencia
Si d(P, O) gt r el punto P es exterior
Si d(P, O) lt r el punto P es interior
9
Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta

• Si d(O, s) gt r, la recta s es exterior.
• Recta y circunferencia no tienen puntos en común.

• Si d(O, s) r, la recta s es tangente.
• Recta y circunferencia tienen un punto en común.

• Si d(O, s) lt r, la recta s es secante.
• Recta y circunferencia tienen dos puntos en común.

10
Posiciones relativas de una recta y una
circunferencia
Para saber cuántos puntos en común tienen una
recta a x b y c0 y una circunferencia Ax2
Ay2 Bx Cy D 0 hemos de saber
cuántas soluciones tiene el sistema
a x b y c 0 Ax2 Ay2 Bx Cy D
0
Al despejar y de la ecuación de arriba y
sustituir en la de abajo obtenemos
Mx2 Nx P 0
D N2 - 4 M P gt 0 ? ? dos soluciones ? ? dos
puntos de contacto
D N2 - 4 M P 0 ? ? una solución ? ? un punto
de contacto
D N2 - 4 M P lt 0 ? ? sin solución ? ? sin
puntos de contacto
Recta secante
Recta tangente
Recta exterior
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Posiciones relativas de dos circunferencias

• Si d(O, O') r r', las circunferencias son
  tangentes exteriores.
• Si d(O, O') r r', las circunferencias son
  tangentes interiores.
• Las circunferencias tienen un punto en común.

• Si d(O, O') lt r r', las circunferencias son
  interiores.
• Si además tienen el mismo centro son
  concéntricas.
• Las circunferencias no tienen puntos en común.

• Si d(O, O') gt r r', las circunferencias son
  exteriores.
• Las circunferencias no tienen puntos en común.

12
Potencia de un punto respecto a una circunferencia

• Los triángulos PAB' y PA'B son semejantes ? PA
  . PB PA' . PB
• Se define Potc(P) PA . PB PA' . PB'

13
Expresión analítica de la potencia
Potc(P) PA . PB (d r) (d r) d2 r2
(xo a)2 (yo b)2 r2
Por tanto para hallar la potencia de un punto
respecto a una circunferencia se sustituyen las
coordenadas del punto en la ecuación de la
circunferencia.
14
Potencia y posición relativa
P interior a la circunferencia ? Potc(P) lt 0
P sobre la circunferencia ? Potc(P) 0
P exterior a la circunferencia ? Potc(P) gt 0
15
Eje radical de dos circunferencias
Se define el eje radical de dos circunferencias
como el lugar geométrico de los puntos del planos
que tienen igual potencia respecto de ambas.

• Sean C1 x2 y2 Dx Ey F 0 y C2 x2
  y2 D'x E'y F' 0.
• Para que un punto P(x, y) pertenezca al eje
  radical se ha de cumplir que PotC1(P)
  PotC2(P) . Es decir
• x2 y2 Dx Ey F x2 y2 D'x E'y F'
  Û
• Û (D D') x (E E') y (F F') 0

Por tanto el eje radical de dos circunferencias
es una recta.
16
Estudio geométrico del eje radical de dos
circunferencias
El eje radical es siempre perpendicular a la
línea de centros.
17
Parábola como secciones de un cono
Parábola cónica no degenerada que se obtiene
cuando el plano secante es oblicuo al eje del
cono, paralelo a una generatriz y no pasa por el
vértice.
18
Ecuación de la parábola eje en OY y ramas hacia
arriba
Para obtener una ecuación sencilla de la
parábola, se puede situar el foco, F, en el eje
de ordenadas simétrico respecto al origen de
coordenadas de la directriz, d, que se sitúa
paralela al eje de abscisas. La distancia desde
el foco a la directriz se llama
parámetro. Podemos entonces tomar (por ejemplo)
F(0, p/2) y d y p/2

• P(x, y)

Eliminando radicales x2 2py
19
Estudio sintético de la parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos
del plano, P, que equidistan de un punto fijo F
llamado foco y de una recta d llamada directriz.

• P

• F foco

20
Ecuación de la parábola eje en OY y ramas hacia
abajo
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola
se puede situar el foco, F, en el eje de
ordenadas simétrico respecto al origen de
coordenadas de la directriz, d, que se sitúa
paralela al eje de abscisas. La distancia desde
el foco a la directriz se llama
parámetro. Podemos entonces tomar (por ejemplo)
F(0, p/2) y d y p/2

• P(x, y)

Eliminando radicales x2 2py
21
Ecuación de la parábola eje en OX y ramas hacia
la derecha
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola
se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas
simétrico respecto al origen de coordenadas de la
directriz, d, que se sitúa paralela al eje de
abscisas. La distancia desde el foco a la
directriz se llama parámetro. Podemos entonces
tomar (por ejemplo) F(p/2, 0) y d x p/2

• P(x, y)

Eliminando radicales y2 2px
22
Ecuación de la parábola eje en OX y ramas hacia
la izquierda
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola
se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas
simétrico respecto al origen de coordenadas de la
directriz, d, que se sitúa paralela al eje de
abscisas. La distancia desde el foco a la
directriz se llama parámetro. Podemos entonces
tomar (por ejemplo) F( p/2, 0) y d x p/2

• P(x, y)

Eliminando radicales y2 2px
23
Tangente y normal a una parábola en un punto

• Ecuación de la recta tangente y f(xo) f
  '(xo) (x xo)
• Ecuación de la recta normal y f(xo) (1/ f
  '(xo)) (x xo)
• Propiedad de la tangente
• La tangente y la normal son las bisectrices de
  los ángulos que forman el radio vector de un
  punto P y una recta paralela al eje que pasa por
  P.
• Propiedad del foco
• Todo rayo que sale del foco se refleja en la
  parábola con dirección paralela al eje.
• Todo rayo que llega paralelo al eje de la
  parábola se refleja sobre el foco.

24
Elipse como secciones de un cono
Elipse cónica no degenerada que se obtiene
cuando el plano secante es oblicuo al eje del
cono, corta a todas las generatrices y no pasa
por el vértice.
25
Estudio sintético de la elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos
del plano, P, cuya suma de distancias a dos
puntos fijos, llamados focos (F y F'), es
constante, 2a. Por tanto PF PF' 2a
Eje secundario
Radio vector
Radio vector
Eje focal
26
Segmentos de la elipse. Relación fundamental

• A'A A'F FA A'F A'F' 2a ? OA OA' a

• BB' 2b ? OB OB' b

• FF' 2c ? OF OF' c

• BF BF' 2a ? (BF BF') ? 2 BF 2a ? BF a

a2 b2 c2
27
Excentricidad de la elipse

• e c/a
• 0 lt e lt 1 ya que 0 lt c lt a
• En la medida en que e se aproxima a 0 la elipse
  se parece más a una circunferencia.
• En la medida en que e se aproxima a 1 la elipse
  se parece más a un segmento.

Sucesivas elipses en las que a 5. Los focos,
cuando e pasa de 1 a 0, van acercándose cada vez
más al centro.
28
Ecuación de la elipse
Para obtener una ecuación sencilla de la elipse
se sitúan los focos en el eje de abscisas
simétricos respecto al origen de coordenadas, por
lo que el centro de la elipse quedará en (0,0).
Las coordenadas de los focos serán entonces F(c,
0) y F'(c, 0).

• Eliminando radicales (a2 c2) x2 a2 y2 a2
  (a2 c2).
• Como a2 c2 b2. Obtenemos b2 x2 a2 y2 a2
  b2, y dividiendo por a2 b2

29
Ecuación general de las cónicas

• Las ecuaciones más sencillas de las cónicas se
  obtienen cuando los ejes coordenados coinciden
  con sus ejes.
• Qué forma tienen dichas ecuaciones cuando la
  cónica está situada en cualquier parte del plano?

La ecuación general de una cónica
es Ax2BxyCy2DxEyF0 donde A, B y C no son
nulos a la vez.
30
Tangente y normal a una elipse en un punto

• Ecuación de la recta tangente y f(xo) f
  '(xo) (x xo)
• Ecuación de la recta normal y f(xo) (1/ f
  '(xo)) (x xo)
• Propiedad de la tangente los radio-vectores del
  punto P forman el mismo ángulo
  con la recta tangente en dicho punto.

31
Hipérbola como secciones de un cono
Hipérbola cónica no degenerada que se obtiene
cuando el plano es paralelo al eje del cono y no
pasa por el vértice.
32
Estudio sintético de la hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos
del plano, P, cuya diferencia de distancias, en
valor absoluto, a dos puntos fijos, llamados
focos (F y F'), es constante, 2a. Por tanto PF
PF' 2a
Eje secundario
Radio vector
Radio vector
Centro
Eje focal
33
Asíntotas de la hipérbola. Relación fundamental

• A'A AF' A'F' AF' AF 2a ? OA OA' a

• BB' 2b ? OB OB' b

• FF' 2c ? OF OF' c

c2 a2 b2
34
Excentricidad de la hipérbola

• e c/a
• e gt 1 ya que c gt a
• En la medida en que e se hace muy grande las
  ramas de la hipérbola se abren cada vez más.
• En la medida en que e se aproxima a 1 las ramas
  se cierran sobre el eje OX.

Sucesivas hipérbolas en las que a 5. Los focos,
al crecer e, se van alejando del centro.
35
Ecuación de la hipérbola
Para obtener una ecuación sencilla de la
hipérbola se sitúan los focos en el eje de
abscisas simétricos respecto al origen de
coordenadas, por lo que el centro de la elipse
quedará en (0,0). Las coordenadas de los focos
serán entonces F(c, 0) y F'(c, 0).

• Eliminando radicales (c2 a2) x2 a2 y2 a2
  (c2 a2).
• Como a2 b2 c2. Obtenemos b2 x2 a2 y2 a2
  b2, y dividiendo por a2 b2

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Tangente y normal a una hipérbola en un punto

• Ecuación de la recta tangente y f(xo) f
  '(xo) (x xo)
• Ecuación de la recta normal y f(xo) (1/ f
  '(xo)) (x xo)
• Propiedad de la tangente los radio-vectores del
  punto P forman el mismo ángulo con la recta
  tangente en dicho punto.

37
Clasificación de las cónicas

• La gráfica de cualquier cónica no degenerada de
  ecuación
• Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0
• es una elipse si B2 4AC lt 0
• es una parábola si B2 4AC 0
• es una hipérbola si B2 4AC gt 0
• Además si B 0 los ejes de la cónica son
  paralelos a los ejes coordenados, y si B ? 0 la
  cónica tiene los ejes girados respecto a los ejes
  cartesianos.

38
Otra clasificación de las cónicas

• Dado un punto F llamado foco, una recta fija d
  (que no pase por F) llamada directriz y un número
  e gt 0, el conjunto de los puntos P del plano tal
  que
• d(P, F) e . d(P, d)
• es una cónica de excentricidad e.
• Si e lt 1 es una elipse
• Si e 1 es una parábola
• Si e gt 1 es una hipérbola