ARTE Y COMBINATORIA

1
ARTE Y COMBINATORIA

• Inspiración o simple probabilidad?
• Álvaro Fernández Fernández del Amo
• 04297

2

• 1-BREVE BIOGRAFÍA DE MOZART
• Wolfgang Amadeus Mozart nació en Salzburgo, el
  27 de enero de 1756 y murió en Viena el 5 de
  diciembre de 1791. Es considerado como uno de los
  más grandes compositores de música de todos los
  tiempos. A pesar de que murió muy joven, nos ha
  legado una obra que abarca todos los géneros
  musicales de su época óperas, conciertos,
  sonatas, sinfonías. Según el testimonio de sus
  contemporáneos era, un virtuoso del piano, el
  violín y la viola.
• A los cuatro años practicaba el clavicordio y
  componía pequeñas obras de considerable
  dificultad a los seis, tocaba con destreza el
  clave y el violín. Podía leer música a primera
  vista, tenía una memoria prodigiosa y una
  inagotable capacidad para la improvisación.
• Existen numerosas leyendas acerca de su
  enemistad con Salieri, algunas de las cuales
  involucran a éste último en la muerte de Mozart.
  Sin embargo parecen infundadas, aunque son
  aceptadas por muchas personas debido a la
  literatura y el cine.

Mozart perteneció a una logia masónica, de la que
llegó a ser Maestro. Algunas evidencias de esto
se encuentran en sus obras, como la Flauta
Mágica. Sin embargo, también sobre este hecho se
ha construido una leyenda de tintes oscurantistas
y misteriosos que distorsionan una realidad mucho
más simple.
3

• 2-EL JUEGO DE LOS DADOS
• Entre las obras de Mozart se encuentra
  Musikalisches Würfelspiel. Se publica por primera
  vez en 1793.
• Es en realidad un generador de valses. Consta de
  176 compases, de los que se pueden obtener un
  número de valses casi infinito, de 16 compases
  cada uno, sin más que tirar unos dados.
• La manera de seleccionar los compases y su orden
  es la siguiente
• Se tiran dos dados, y según sea su suma, se toma
  el compás correspondiente a esa suma, de la
  primera columna. Para dos dados, la suma está
  comprendida entre 2 y 12 (11 posibles valores),
  que son las 11 filas de la tabla.
• Se repite el proceso con las 16 columnas,
  obteniéndose los 16 compases que formarán nuestro
  vals.

El número que aparece en cada casilla indica el
número de compás, de entre los 176, que se ha de
coger. Véase que cada compás puede salir solo una
vez, pues en total hay 176 casillas Por ejemplo,
si al tirar los dados 16 veces obtenemos las
sumas 5,4,7,3,12,7,6,9,10,8,8,2,6,8,3,7
deberíamos coger los compases 40,95,27,63,28,68,3
6,94,65,155,57,9,76,168,116,151
4
Si no tenemos en cuenta que algunos compases son
iguales entre sí, el número total de posibles
piezas es de
(en cada tirada hay 11 posibles resultados, y se
realizan 16 tiradas)
Al tirar los dos dados, no todos los números del
2 al 12 tienen la misma probabilidad de salir
De este modo, el vals más probable sería el
(7,7,7,..7,7), correspondiente a sacar un siete
en cada tirada, con una probabilidad
Por contra, el vals más improbable sería el
(2,2,22) ó el (12,12,12,.12), ambos con
probabilidad
5

• 3-ALGUNOS CÁLCULOS
• Si cada vals dura unos 30segundos
• En 1minuto escuchamos ?2valses
• En 1día ?172800valses
• En 1año ?63.072.000valses
• .para escucharlos todos seguidos

La edad del universo se calcula en 15 mil
millones de años, sólo 15 veces más
6
Vamos a calcular la posibilidad de escuchar
repetido uno de los valses Si tomamos el vals
más frecuente, el (7,7.7), con posibilidad
Vemos que su complementario -la probabilidad de
que éste no ocurra- es
(atención!)
Así pues, la posibilidad de que se repita el vals
(7,7,..7) al cabo de N lanzamientos es
Y si lo que queremos ver es cuántos lanzamientos
han de hacerse para tener una cierta probabilidad
de que se repita
7

Si analizamos la función


Vemos que es del tipo

Que para


Se comporta de la siguiente manera

-No tiene sentido estudiar la función para
valores de N menores que 0 pues significaría un
número de lanzamientos negativo -Vemos que
necesitaríamos infinitos lanzamientos para tener
una probabilidad del 100. La función tiende
asintóticamente a 1 y es cero en el origen. Para
el resto de valores nos da una posibilidad entre
0 y 1
Calculamos algunos valores significativos

lanzamientos
lanzamientos
8
Si hacemos los mismos cálculos para el vals menos
probable, el (2,2,..2), tenemos

lanzamientos
lanzamientos

• Traduciendo estos valores en tiempo, como ya
  hicimos, vemos que necesitaríamos
• -100.000años para tener un 50 de posibilidades
  de que se repitiera el vals más probable
• años para que aleatoriamente se
  volviera a repetir el menos probable de todos con
  un 95 de posibilidades!!!
• De esta manera, si tiramos los dados y escuchamos
  el vals que nos salga, casi con toda seguridad
  seremos las únicas personas que han escuchado esa
  melodía en la historia, y las únicas que la
  escucharán también en muchos millones de años!!!
• El sol se apagará en sólo 5mil millones de años
  ( ) de modo que hará falta que viajemos
  por el espacio y nos establezcamos en otros
  mundos para confiar en que nuestra melodía vuelve
  a ser escuchada
  

Esto es casi la edad del Universo al
cuadrado!!!!!!!!
9
4-UNA BREVE INTRODUCCIÓN A LA ESCRITUA MUSICAL El
compás es la unidad en la que se estructura una
pieza musical. En una partitura, cada compás se
marca con unas barras verticales, que marcan la
separación con el anterior y con el siguiente.
El compás se divide en unidades de tiempo, que
pueden ser ocupadas por notas musicales o por
silencios. El número de unidades tanto de sonido
como de silencio es exacto y no puede ser
vulnerado. La escritura musical tiene unas leyes
y una estructura muy matemática y precisa, pese a
lo que pueda parecer. Toda melodía, por muy
anárquica que parezca, siempre estará dividida de
manera precisa en compases.
Ahora la voz de arriba toca cuatro corcheas, que
equivalen a dos negras, mientras la voz de abajo
está en silencio
Compás. En este caso, la voz de arriba se
mantiene en silencio, mientras que la de abajo
toca dos notas negras
Al principio de la pieza se indica el tiempo
mediante los dos números que aparecen. En este
caso cada compás tendrá dos notas negras
Esta pieza tiene dos voces, cada una representada
en un pentagrama. Los compases de cada voz han de
coincidir de manera exacta
Melodía longitudinal
Armonía vertical
La dificultad de componer música estriba no solo
en componer una melodía que se ajuste a estas
reglas, sino también en lograr que al sucederse
unos a otros, los compases formen una melodía
coherente y bella, a la vez que cada uno esté en
armonía con los sonidos de las otras voces que
suenan a la vez.
10
5- INSPIRACIÓN O SIMPLE PROBABILIDAD? Más que
los cálculos sobre el número de valses que se
obtendrían y el tiempo que se requeriría para
escucharlos, lo que realmente importa es la
calidad de estos. Cualquier persona con mínimos
conocimientos musicales podría hacer algo
similar escoger unos compases y crear unas
tablas similares a las de Mozart de modo que
también generaría una infinidad de piezas
distintas. Pero, para obtener un resultado
satisfactorio, Mozart no pudo limitarse
simplemente a escribir 176 compases
independientes unos de los otros (algo que podría
hacer cualquiera), sino que de alguna manera tuvo
que pensarlos para que formasen melodías
coherentes entre ellos, ordenándolos de manera
adecuada en las tablas. Sería Mozart consciente
de las distintas posibilidades que cada vals
tenía de salir como resultado de lanzar los
dados? Si fuera así, el vals (7,7,7), o los
valses con más cincos y seises obtenidos de los
dados, deberían ser los más brillantes, mientras
que otros como el (12,12,12.12) o el (2,2,2.2)
deberían ser los menos logrados.
Es probable que si, aunque escuchándolos, resulta
muy difícil asegurar nada. Tras haber visto las
casi infinitas posibilidades de valses que se
pueden obtener, resulta asombroso que cualquier
vals que generemos suene sorprendentemente bien,
incluidos aquellos con menos posibilidades de ser
obtenidos al azar. Vemos entonces la verdadera
dificultad de idear algo similar a esto, cosa que
no está precisamente al alcance de cualquiera con
unos mínimos conocimientos musicales, como podría
parecer. No en vano se dice que Mozart fue el
mayor genio de la música de todos los tiempos.
11

• 6-LA MUERTE DEL ARTE?
• Mozart dijo
• Todo está ya compuesto, solo falta escribirlo

Hemos visto que componer consiste simplemente en
combinar adecuadamente los elementos, ya sean
notas o palabras. Obviamente no cualquier
composición aleatoria de notas resultaría una
obra de arte, pero podemos hacernos la siguiente
pregunta

Podríamos llegar a componer todas las músicas
posibles o escribir todas las novelas imaginables?
En la Historia Interminable de Michael Ende, se
plantea precisamente este problema en un momento
del relato los lunáticos (a ese estado están
reducidos los antiguos emperadores) hacen rodar
unos dados con letras inscritas en las caras. Ya
no saben narrar. Han perdido el lenguaje. Por eso
he inventado ese juego para ellos. Como ves, los
entretiene. Y es muy fácil. Si lo piensas,
tendrás que admitir que todas las historias del
mundo, en el fondo, se componen solo de
veintiséis letras. Las letras son siempre las
mismas y solo cambia su combinación. Con las
letras se hacen palabras, con las palabras
frases, con las frases capítulos y con los
capítulos historias. () Y si se juega
eternamente tendrán que surgir todos los poemas,
todas las historias posibles, y luego todas las
historias de historias, incluida esta
precisamente en la que estamos hablando. Es
lógico, no?
12
Realizando todas las combinaciones posibles,
podríamos llegar a agotar todas las posibilidades
de novelas, poemas, sinfonías, sonataso cuadros.
Tanto en la música como en la escritura, se
plantea el problema de la extensión que pudieran
tener las obras, infinita en principio. Veamos un
ejemplo con la pintura, aunque algo similar
podría plantearse con la literatura o la
música Si suponemos un lienzo de y lo
dividimos en pequeños cuadrados de
tendríamos un total de cuadraditos.
Si suponemos una gama de 100 colores distintos
para cada cuadrado, al hacer todas las posibles
combinaciones, tendríamos un total de De este
modo, con un ordenador suficientemente potente
que realizase todas las combinaciones, podríamos
en cuestión de días o meses, pintar todos los
cuadros posibles que jamás se hayan pintado, y
los que aun no han sido pintados. Yendo desde un
lienzo totalmente en blanco hasta uno totalmente
en negro, pasando por el Guernica o un Rembrandt,
abarcaríamos toda la pintura y ya nada nuevo y
original podría ser dibujado por nadie. Sería el
fin del arte como tal ningún hombre podría jamás
volver a crear una obra nueva.
(Podría hacerse el mismo cálculo con un lienzo
más grande o un mayado más fino)
.
.
.
.
Mona Lisa. Leonardo
New York. Mondrian
Sentiríamos la misma admiración por un Picasso
si el ordenador se le hubiera adelantado, sin que
el propio artista nunca lo hubiese llegado a
pintar?Se pagaría lo mismo por él?
13

• 7-BIBLIOGRAFÍA
• http//laberintos.itam.mx/despliega.php?idart162
• http//www.dpye.iimas.unam.mx/mozart/2.html
• http//www.anarkasis.com/pitagoras/100_composicion
  _combinacion/
• http//www.filomusica.com/filo41/mozart.html
• Wikipedia
• Apuntes Estadística Aplicada de Bartolomé Luque
  Serrano, profesor de la ETSIA