PRIMJENA%20FOURIEROVIH%20REDOVA%20U%20RJE

1
PRIMJENA FOURIEROVIH REDOVA U RJEŠAVANJU
PARCIJALNIH DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBISeminarski
rad

• Nataša Nikl
• Zagreb, svibanj 2011.

2
SADRŽAJ

• UVOD
• Fourierovi redovi
• Parcijalne diferencijalne jednadžbe
• OPCI DIO
• Titranje žice
• Titranje membrane
• ZAKLJUCAK

3
UVOD-Fourierovi redovi

• Razvio ih francuski fizicar i matematicar Joseph
  Fourier (1768-1830).
• Rastavljaju periodnu funkciju na zbroj
  jednostavnih funkcija, sinusa i kosinusa.
• Najvažniji alat za rješavanje problema koji
  ukljucuju obicne i parcijalne diferencijalne
  jednadžbe.

4

• Za funkciju f(x) kažemo da je periodna ako je
  definirana za sve realne x i ako postoji neki
  pozitivan broj T takav da je
• (1)
• za sve x. Broj T se tada naziva period od f(x).
  Iz izraza (1) proizlazi, da za bilo koji cijeli
  broj n vrijedi
• za svaki x, tako da je svaki višekratnik nT
  (n?0) od T, takoder period funkcije.
• Poznati primjeri periodnih funkcija su sinus i
  kosinus funkcije.

5

• Pretpostavimo da je f(x) periodna funkcija s
  periodom 2p koja se može razviti u
  trigonometrijski red
• (2)
• Za pretpostavljenu funkciju f(x) želimo odrediti
  koeficijente a0, an i bn pripadajuceg reda (2).
• Prvo, kako bismo odredili ao integriramo (2) od
  p do p, pa imamo
• Nakon što integriramo clan po clan, prvi clan na
  desnoj strani jednak bude 2pa0, dok su ostali
  integrali jednaki nuli, stoga dobivamo
• (3)
• što je podrucje ispod krivulje f(x) na intervalu
  od p do p, podijeljeno sa 2p.

6

• Slicno se odreduju koeficijenti a1, a2Pomnožimo
  izraz (2) s cosmx, gdje je m bilo koji pozitivni
  cijeli broj, te integriranjem od p do p
  dobijemo
• (4)
• Integriranjem clan po clan dobijemo
• m1,2, (5)
• Na kraju, odredujemo b1, b2,iz izraza (2). Ako
  pomnožimo (2) sa sin mx, gdje je m odredeni
  pozitivni cijeli broj, integriranjem od p do p
  dobijemo
• (6)
• Integriranjem clan po clan na kraju dobijemo
• m1,2,

7

• Zamjenom n umjesto m, dobijemo tzv. Eulerove
  formule
• (a)
• n1,2,.. (b) (7)
• n1,2, (c)
• Za periodnu funkciju f(x) sa zadanim periodom 2p
  možemo izracunati koeficijente an i bn te
  formirati trigonometrijski red
• a0a1 cosxb1 sinxan cosnxbn sinnx
• Ovaj red se tada naziva Fourierov red funkcije
  f(x), a odgovarajuci koeficijenti dobiveni iz (7)
  nazivaju se Fourierovi koeficijenti funkcije
  f(x).

8
UVOD-Parcijalne diferencijalne jednadžbe

• Jednadžba koja obuhvaca jednu ili više
  parcijalnih derivacija (nepoznate) funkcije od
  dviju ili više nezavisnih varijabli.
• Red najvece derivacije predstavlja red jednadžbe.
• Primjeri nekih važnijih parcijalnih
  diferencijalnih jednadžbi su

9

• Parcijalna diferencijalna jednadžba je linearna
  ako je prvog stupnja zavisne varijable i njenih
  parcijalnih derivacija.
• Ako svaki izraz takve jednadžbe sadrži ili
  zavisnu varijablu ili jednu od njezinih
  derivacija, jednadžba je u tom slucaju homogena,
  a u suprotnom slucaju nehomogena.
• Rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe u
  nekoj domeni R prostora nezavisnih varijabli je
  funkcija koja ima sve parcijalne derivacije koje
  se pojavljuju u jednadžbi i zadovoljavaju
  jednadžbu bilo gdje u domeni R.
• Ukupan broj rješenja parcijalne diferencijalne
  jednadžbe opcenito je vrlo velik.
• Jedinstveno rješenje parcijalne diferencijalne
  jednadžbe koje odgovara danom fizikalnom problemu
  bit ce dobiveno upotrebom dodatnih informacija
  koje proizlaze iz fizikalnog problema.

10

• Na primjer, u nekim slucajevima ce biti zadane
  vrijednosti traženog rješenja na granicama neke
  domene (rubni uvjeti) u drugim slucajevima
  kada je vrijeme t jedna od varijabli, vrijednosti
  rješenja u slucaju kada je t0 biti ce zadane
  (pocetni uvjeti).
• Ako je obicna diferencijalna jednadžba linearna i
  homogena, znamo da tada iz poznatog rješenja
  možemo superpozicijom dobiti daljnja rješenja.
  Slicno vrijedi i za homogenu linearnu parcijalnu
  diferencijalnu jednadžbu, odnosno vrijedi
  sljedeci teorem
• Temeljni teorem 1. Ako su u1 i u2 neka rješenja
  linearne homogene parcijalne diferencijalne
  jednadžbe u nekom podrucju, tada je
• gdje su c1 i c2 konstante, takoder rješenje te
  jednadžbe na tom podrucju.

11
OPCI DIO-Titranje žice

• Jednodimenzionalna valna jednadžba
• Prvi važan primjer parcijalne diferencijalne
  jednadžbe bit ce izvod jednadžbe malih poprecnih
  titraja elasticne žice koja je rastegnuta na
  duljinu l i ucvršcena na krajevima.
• Pretpostavimo da je žica iskrivljena i u jednom
  trenutku, recimo t0, puštena da titra. Problem
  je odrediti titranje žice, tj. naci njeno
  vertikalno odstupanje u(x,t) u nekoj tocki x i u
  nekom vremenu t (slika 1.)

12

• Slika 1. Titrajuca žica
• Pretpostavke
• 1. Masa žice po jedinici dužine je konstanta
  (homogena žica).
• Žica je savršeno elasticna i ne pruža nikakav
  otpor savijanju.
• 2. Napetost uzrokovana rastezanjem žice prije
  ucvršcivanja na krajnjim tockama je tako velika
  da se utjecaj gravitacijske sile na žicu može
  zanemariti.
• 3. Gibanje žice je malo poprecno gibanje u
  vertikalnom smjeru, odnosno, svaka cestica žice
  giba se strogo okomito, te odstupanje i nagib na
  bilo kojoj tocki žice su mali u apsolutnoj
  vrijednosti.

13

• Kako bismo dobili diferencijalnu jednadžbu
  razmatramo sile koje djeluju na mali dio žice
  (Slika 1.).
• Kako nema kretanja u horizontalnom smjeru,
  horizontalne komponente napetosti moraju biti
  konstante, pa zakljucujemo
• (1)
• T1 i T2 su napetosti na krajnjim tockama P i Q od
  promatranog dijela žice.
• U vertikalnom smjeru imamo dvije sile -T1cosa i
  T2cosß od T1 i T2 predznak minus se pojavljuje
  jer je komponenta u tocki P usmjerena prema
  dolje. Prema drugom Newtonovom zakonu rezultanta
  tih dviju sila jednaka je
• Koristeci (1) dobivamo
• (2)

14

• tana i tanß su nagibi zavoja žice u x i ?x,
  odnosno
• i
• U ovom slucaju moramo pisati parcijalne
  derivacije buduci da u ovisi i o t. Dijeleci (2)
  s ?x dobivamo
• Ako pretpostavimo da ?x teži nuli, dobivamo
  linearnu homogenu parcijalnu diferencijalnu
  jednadžbu
• (3)
• Dobivena jednadžba je takozvana
  jednodimenzionalna valna jednadžba.

15

• Separacija varijabli (metoda produkta)
• Titranje elasticne žice, kao što smo vidjeli u
  odlomku prije, može se opisati jednodimenzionalnom
  valnom jednadžbom
• (1)
• gdje je u(x,t) otklon žice. Kako je žica
  ucvršcena na krajevima x0 i xl, imamo dva rubna
  uvjeta
• u(0,t)0, u(l,t)0 za svaki t. (2)
• Nacin gibanja žice ovisit ce o pocetnom otklonu
  (otklon pri t0) i pocetnoj brzini kretanja
  (brzina pri t0). Oznacavanjem pocetnog otklona s
  f(x) i pocetne brzine s g(x), dobivamo dva
  pocetna uvjeta
• u(x,0)f(x) (3)
• (4)

16

• Korak 1. Koristeci metodu separacije varijabli
  dobit cemo dvije obicne diferencijalne jednadžbe,
  a navedena metoda daje rješenja (1) u obliku
• u(x,t)F(x)G(t) (5)
• koja su produkti dviju funkcija, a svaka ovisi
  samo o jednoj varijabli x, odnosno t.
• (6)
• i (7)

17

• Korak 2. Sada cemo odrediti rješenja onih
  jednadžbi koje zadovoljavaju rubne uvjete,tj.
  rješenja F i G iz (6) i (7) tako da uFG
  zadovoljava (2). Stoga, funkcije
  raspisano
• (n1,2,)
• su rješenja pocetne jednadžbe (1) koja
  zadovoljavaju zadane rubne uvijete (2). Ove
  funkcije nazivaju se svojstvene ili
  karakteristicne funkcije, a vrijednosti se
  nazivaju svojstvenim ili karakteristicnim
  vrijednostima titrajuce žice. Skup vrijednosti
  ?1, ?2,se naziva spektar.

18

• Korak 3. Dobivena rješenja jednadžbi bit ce
  sastavljena tako da rezultat bude rješenje
  jednadžbe vala (1), zadovoljavajuci takoder
  zadane pocetne uvjete, stoga promatramo
  beskonacni red
• (8)
• Iz gore navedenog reda te iz (3) slijedi da je
• (9)
• Da bi jednadžba (8) zadovoljila pocetni uvjet
  (3), koeficijenti Bn moraju biti izabrani tako da
  u(x,0) postane poluperiodno proširenje reda od
  f(x), koji se naziva Fourierov sinusni red od
  f(x)
• n1,2,.. (10)
• Slicno, diferenciranjem (8) po t, te koristeci
  uvjet (4) dobivamo

19

• Kako bi (8) zadovoljila pocetni uvjet (4),
  koeficijent da za t0, postane Fourierov
  sinusni red od g(x).
• ili, kako je imamo
• n1,2, (11)
• Slijedi da je u(x,t) rješenje pocetne jednadžbe
  (1) koje zadovoljava rubne i pocetne uvjete pod
  uvjetom da red (8) konvergira i da konvergiraju
  redovi dobiveni diferenciranjem (8) dvaput (po
  clanovima) s obzirom na x i t te da imaju sume
  i koje su neprekidne.
• Dakle, rješenje (8) je cisto formalni izraz i tek
  ga trebamo potvrditi. Zbog jednostavnosti
  razmatramo samo slucaj kada je pocetna brzina
  g(x)0. Tada je 0 i izraz (8) se reducira u
  oblik

20

• , (12)
• Moguce je sumirati red tj.,napisati ga u konacnoj
  ili zatvorenoj formi, koristeci
• Stoga, izraz (12) možemo pisati u obliku
• Gornja dva reda dobivena su zamjenom x ct i x
  ct varijablom x u Fourierovom sinusnom redu (9)
  za f(x) pa je
• (13)
• gdje je f neparno periodno proširenje f sa
  periodom 2l.

21

• Buduci da je f(x) neprekidna na intervalu 0 x
  l i nula u krajnjim tockama, slijedi iz (13) da
  je i u(x,t) neprekidna za sve vrijednosti obiju
  varijabli x i t. Diferenciranjem (13) vidimo da
  je u(x,t) rješenje od (1) ako je f(x) dvostruko
  diferencijabilna na intervalu 0ltxltl i ima
  jednostrane druge derivacije u x0 i xl, koje su
  jednake nuli. Uz ove uvjete u(x,t) je rješenje od
  (1) koje zadovoljava rubne i pocetne uvjete.
• Ako su f(x) i f(x) samo djelomicno neprekidne
  ili ako jednostrane derivacije nisu nule, tada ce
  za svaki t postojati konacno mnogo vrijednosti od
  x za koje druga derivacija od u na postoji. Osim
  u tim tockama valna jednadžba ce biti
  zadovoljena, a u(x,t) možemo smatrati rješenjem
  problem u širem smislu.

22

• D'Alembertovo rješenje valne jednadžbe
• Rješenje (13) možemo odmah dobiti transformacijom
  jednadžbe (1)
• (1)
• u prikladan oblik, tocnije uvodeci nove nezavisne
  varijable
• , (2)
• Na taj nacin u postaje funkcija od v i z, a
  derivacije u (1) se mogu izraziti u obliku
  derivacija s obzirom na v i z upotrebom lancanog
  pravila. Iz (2) vidimo da je vx1 i zx1, zato

23

• Primjenom lancanog pravila na desnoj strani
  dobivamo
• Kako je vx1 i zx1, izraz postaje
• Druga derivacija u (1) se transformira istom
  procedurom, a rezultat je
• Ubacivanjem ovih dvaju rezultata u (1) dobivamo
• (3)
• Integriranjem ove jednadžbe po z dobijemo
• gdje je proizvoljna funkcija od v. Integriranjem
  ovog izraza po v dobivamo

24

• Gdje je proizvoljna funkcija od z.
  Pošto je integral funkcija od v , recimo
  , rješenje u je u obliku
• .
• Zbog (2) možemo pisati
• (4)
• Ovo je poznato kao d' Alembertovo rješenje valne
  jednadžbe (1).
• Funkcije i mogu biti odredene iz
  pocetnih uvjeta.

25
TITRANJE MEMBRANE

• Dvodimenzionalna valna jednadžba
• Sljedeci važan primjer parcijalnih
  diferencijalnih jednadžbi predstavlja titranje
  membrana. Kao i u slucaju titranja žice, i u ovom
  slucaju moramo postaviti neke važne pretpostavke,
  a one glase
• Masa membrane po jedinici površine je konstantna
  (homogena membrana). Membrana je savršeno
  elasticna i tako tanka da ne pruža nikakav otpor
  savijanju.
• Membrana je napeta i ucvršcena duž cijele njene
  granice u ravnini xy. Napetost membrane po
  jedinici duljine T, uzrokovana rastezanjem
  membrane, jednaka je u svim tockama i u svim
  smjerovima te se ne mijenja tijekom titranja.

26

• 3. Otklon, u(x,y,z), membrane tijekom titranja je
  malen u usporedbi s velicinom membrane, a svi
  kutovi nagiba su maleni.
• Iako ove pretpostavke ne mogu biti realizirane u
  praksi, mala transverzalna titranja tanke fizicke
  membrane ce zadovoljiti ove pretpostavke sa
  zadovoljavajucom tocnošcu. Da bismo izveli
  diferencijalnu jednadžbu koja opisuje gibanje
  membrane, razmatramo sile koje djeluju na malim
  dijelovima membrane (Slika 1.).

27
Slika 1. Titrajuce membrane.

• Kako su otklon membrane i nagibi kutova mali,
  stranice isjecka membrane su jednake ?x i ?y.
  Napetost T je sila po jedinici duljine, stoga su
  sile koje djeluju na rubovima isjecka približno
  jednake T?x i T?y . Buduci da je membrana
  savršeno fleksibilna, ove sile su tangente na
  membranu.

28

• Horizontalne komponente sila dobivene su
  množenjem sila s kosinusom kuta otklona. Kako su
  ti kutovi mali, njihovi kosinusi su približno
  jednaki 1 pa su horizontalne komponente sila na
  suprotnim stranama približno jednake. Tako ce
  gibanje dijelova membrane u horizontalnom smjeru
  biti zanemarivo maleno. Iz ovoga zakljucujemo da
  se membrana giba transverzalno, tj. svaki djelic
  membrane se giba vertikalno.
• Definiranjem vertikalnih komponenti, njihovih
  rezultanti, opcenito izvodom slicnim kao u
  slucaju titrajuce žice dobije se jednadžba koja
  opisuje gibanje membrani, a ona glasi
• (1)
• Jednadžba (1) naziva se dvodimenzionalna valna
  jednadžba.

29

• Postavljanjem rubnog uvjeta
• u0 na rubu membrane za sve t 0, (2)
• te pocetnih uvjeta
• i (3)
• (4)
• slicno kao u slucaju titranja žice, u tri koraka
  dolazi se do rješenja jednadžbe (1).
• Kako bi se dobilo rješenje koje zadovoljava
  pocetne uvjete (3) i (4), za razliku od titrajuce
  žice kada su se razmatrali jednostruki redovi,
  razmatraju se dvostruki redovi
• (5)
• Konacno rješenje pokušavamo dobiti zbrajanjem
  beskonacno mnogo karakteristicnih rješenja.

30

• Iz gornje jednadžbe i iz jed. (3) dobivamo
• (6)
• Ovi redovi se nazivaju dvostruki Fourierovi
  redovi.
• Ako pretpostavimo da se f(x,y) može razviti u
  takav red, tada dolazimo do opce Eulerove formule
  za Fourierove koeficijente za f (x,y), u
  dvostrukim Fourierovim redovima
• m1,2,,
• n1,2,, (7)
• Deriviranjem izraza (5) po t, i koristeci (4)
  dobivamo
• (8)

31

• Ako pretpostavimo da funkcija g(x,y) može biti
  razvijena u dvostruke Fourierove redove, tada
  dobivamo
• m1,2.., n1,2, (9)
• Rezultat je takav, da bi jednadžba (5)
  zadovoljila pocetne uvjete, koeficijenti i
  moraju biti izabrani prema izrazima (7) i (9).

32
ZAKLJUCAK

• Kao što je ranije spomenuto, Fourierov red je
  jedan od najvažnijih alata za rješavanje obicnih
  i parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.
• U ovom radu naglasak je bio pokazati, na
  konkretnim primjerima, primjenu Fourierovog reda
  pri rješavanju parcijalne diferencijalne
  jednadžbe.
• Detaljno je bio prezentiran primjer titrajuce
  žice koji se inace može opisati
  jednodimenzionalnom valnom jednadžbom, a do cijeg
  rješenja smo došli pomocu Fourierovih redova.
• Fourierovi redovi nalaze brojne primjene u
  elektroinženjerstvu, vibracijskim analizama,
  akustici, optici, te brojnim drugim mjestima a
  ovim radom pobliže je opisana jedna od spomenutih
  primjena.

33

• HVALA NA PAŽNJI!