O Problema de Corte de Estoque

1
O Problema de Corte de Estoque

• Características típicas

problema de várias mochilas - seleção de
objetos
muitos itens devem ser produzidos, porém, de
poucos tipos (alta repetição)
muitos objetos (barras) dever ser cortados,
porém, de poucos tipos. Muitos objetos serão
igualmente cortados (padrões de corte)
2
Exemplo Cortar barras de 240 cm (estoque) para
a produção de 1000 itens de 30 cm (tipo
1) 1250 itens de 42 cm
(tipo 2) 2000 itens de
45 cm (tipo 3)

• total de 4250 itens cortados de apenas 3 tipos
  (bin-packing?)

• muitas barras devem ser igualmente cortadas
• (padrão de corte maneira particular de cortar
  uma barra,
• que deve ser repetida várias vezes)

• Qual o número mínimo necessário de barras ?
• Como devem ser cortadas as barras (padrões de
  corte) ?

3

• A cada padrão de corte associamos um vetor
  m-dimensional que contabiliza os itens
  produzidos
• onde ?i é o número de itens do tipo i no padrão.

? a ( 2 1 0 2 )T
Um vetor (?1 ?2 ...?m ) corresponde a um padrão
de corte se
4
Restricões de processo

• Restrições adicionais de processo
• F Número Máximo de Facas

2 Facas laterais para imperfeições!
5 Facas ? 4 itens!
5
Restricões de processo
Restrições adicionais de processo Cortagem em
estágios O Problema da Mochila
Compartimentada

• Compartimentos carregados com itens de mesma
  classe
• Ex. medicamentos, alimentos, roupas limpas,
  roupas sujas, etc.
• Os compartimentos têm tamanhos máximos e mínimos
  e cada novo compartimento inserido na mochila
  perde-se espaço

6
O Problema da Mochila Compartimentada
fase 1
fase 2
7

• Observações
• Ao reconhecer um padrão de corte pelo seu vetor
  associado, não distinguimos entre padrões do
  tipo
• ? (2
  1 2)T
• ? (2
  1 2)T
• ? Padrões equivalentes

8

• Modelagem matemática
• 1. Defina todas as possíveis maneiras de se
  cortar os objetos em estoque, isto é, todos os
  padrões de corte
• problema combinatório
• 2. Decida quantas vezes cada padrão de corte deve
  ser utilizado para atender a demanda

9
O Problema de Corte de Estoque
Exemplo Comprimento das barras em estoque L
120cm Comprimentos (demanda) dos itens (m 3)
l1 30cm (d1 1000) l2 42cm (d21250)
l3 45cm (d32000)
homogêneos
10
O Problema de Corte de Estoque

• Variáveis de decisão
• xj número de vezes que o padrão j é
  utilizado, j 1,2,...

Base inicial formada pelos padrões homogêneos
11
O Problema de Corte de Estoque
Modelagem Matemática

• Apenas um tipo de barra em estoque em quantidade
  ilimitada.
• Diversos tipos de barra em estoque em quantidade
  ilimitada.
• Diversos tipos de barra em estoque em quantidade
  limitada.
• Problemas de dimensão maiores que 1.

12
Apenas um tipo de barra em estoque
O Problema de Corte de Estoque

• Dados do problema
• m número de tipos de itens
• li comprimento do item tipo i
• di quantidade demandada do item tipo i
• L comprimento (único) da barra em estoque
• c custo de cada barra em estoque

Objetivo Atender a demanda ao custo mínimo.
13
modelo básico
O Problema de Corte de Estoque

• Etapa 1 Defina todos os possíveis padrões de
  corte, ou seja, determine todas as soluções do
  sistema

Suponha que as soluções sejam
14
O Problema de Corte de Estoque
Etapa 2 Seja xj o número de vezes que o objeto
(barra) é cortado usando o
padrão de corte j, j 1,,n.

• Resolva

Otimização linear método simplex geração de
colunas
m equações algumas dezenas n variáveis
centenas de milhares !
15
Alterações no modelo básico
O Problema de Corte de Estoque

• Demanda com tolerância

16
Alterações no modelo básico
O Problema de Corte de Estoque
2. Função perda
17
O Problema de Corte de Estoque
Alterações no modelo básico
3. Unidade de demanda em toneladas
(bobinas na indústria de papel, metalúrgica,)
Dados adicionais T peso (ton) de cada objeto
T/L peso específico (ton/cm)
peso do item i
peso (ton) dos itens i no padrão j
Mudança de variável
ton. no padrão j
18
O Problema de Corte de Estoque
Alterações no modelo básico
4. Corte de retângulos (indústria de papel)
19
O Problema de Corte de Estoque
Alterações no modelo básico
Sentido da fibra irrelevante ? bobina pode ser
cortada nos comprimentos
Mochila com 2m itens
Padrão j
mesmo item retângulo l1 ? w1 ?1j ?m1,j
qde. do item 1 no padrão j
20
Diversos tipos de barra em estoque em quantidade
ilimitada
O Problema de Corte de Estoque

• Máquinas diferentes produzem os objetos (comp.
  diferentes) em quantidades suficientemente
  grandes para atender toda a demanda (indústria de
  papel).
• Objetos adquiridos no mercado, em tamanhos
  diferentes, onde a oferta é grande (construção
  civil).

21
O Problema de Corte de Estoque
Barras ilimitadas em estoque

• Dados de demanda
• m número de tipos de itens
• li comprimento do item tipo i
• di quantidade demandada do item tipo i

Dados de estoque N número de tipos de
objetos em estoque Lk comprimento do objeto
(barra) tipo k ck custo da barra tipo k
Padrões de corte para barra de comprimento Lk
22
O Problema de Corte de Estoque
Barras ilimitadas em estoque

• Etapa 2 xij o número de vezes que o objeto j é
  cortado usando o padrão de corte i.

23
Diversos tipos de barra em estoque em
quantidades limitadas
O Problema de Corte de Estoque

• Dado adicional ej quantidade disponível
  da barra j, j1,,N.

24
Problemas de dimensões maiores que 1
O Problema de Corte de Estoque
A modelagem anterior ainda é válida
Etapa 1 definição dos padrões de corte (mais
dificil) caso unidimensional
o número de itens no padrão descreve
facilmente o padrão de corte.
Caso bidimensional arranjar uma
quantidade de retângulos
sobre uma placa, sem sobreposição, não é trivial.

• Regras de cortagem cortes guilhotinados,
  estagiados,
• não guilhotinados guillotinados

Etapa 2 quanto usar de cada padrão para atender
a demanda (mesmo modelo de
otimização linear)
25
O Problema de Corte de Estoque Bidimensional
26
Definição. Um corte sobre uma placa retangular
que produza dois novos retângulos é chamado
corte guilhotinado ortogonal, ou simplesmente,
corte guilhotinado.
Uma sequência de cortes guilhotinados, aplicados
sobre a placa e sobre os retângulos resultantes
produz um padrão de corte guilhotinado
a (3, 1, 2, 0, 1)T.
27
Os cortes guilhotinados podem ser organizados em
estágios da seguinte forma Num primeiro
estágio, cortes guilhotinados são feitos sobre a
placa. Em seguida, num segundo estágio, os
retângulos obtidos são cortados
perpendicularmente ao cortes do estágio anterior,
e assim por diante, são definidos estágios de
corte.
Definição Se o número permitido de estágios é
limitado por k, dizemos que o padrão de corte
resultante é um padrão de corte guilhotinado em
k-estágios.
28
O problema de corte bidimensional guilhotinado em
2-estágios
i) Determinar os melhores padrões para as faixas
L?w1 , L?w2 L?wm.
Itens que podem ser cortados na faixa k Wk
i tal que wi ? wk
29
ii) Determinar quantas vezes cada faixa deve ser
utilizada no padrão bidimensional.
Como cada faixa k tem largura wk e a largura da
placa é W, temos então de resolver o seguinte
problema da mochila
V Maximizar V1?1 V2?2 Vr?r
sujeito a w1?1 w2?2 wr?r ? W
?1?0, ?2 ?0,, ?r?0 e inteiros.
30
Exemplo. Placa L?W 110?110 m 4 itens,
comprimentos, larguras e valores de
utilidade i li ? wi vi 1 20? 30 6 2 30?
40 12 3 50? 60 30 4 60? 60 36
Faixa 1 110?30 Faixa 2 110?40
Faixa 3 110?60 W1 1
W2 1, 2
W3 1, 2, 3,4
V1 30
V2 42
V3 66
31
V Maximizar 30 ?1 42 ?2 66?3 sujeito a
30?1 40?2 60?3 ?110 ?1?0, ?2 ?0, ?3?0 e
inteiros. Solução ?1 1, ?2 1, ?3 1, V
138.
32
Heurísticas de arredondamento da solução
O Problema de Corte de Estoque Inteiro
?
heurísticas alternativas Revisão do
arredondamento