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NÚMEROS CONSTRUÍBLES

• Por
• Carlos Mario Cárdenas

Institución educativa Santa Teresa Medellín -
Colombia
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Objetivos

• Recordar la importancia de Los Elementos de
  Euclides en el desarrollo lógico de la geometría
  y de otras ramas de las matemáticas.
• Elaborar de manera sistemática la teoría de Los
  Números Construíbles a partir de construcciones
  con regla y compás.

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AgradecimientosA Ana Celia Castiblanco, a mi
Institución Educativa y a mi familia por el
inmenso apoyo que me han brindado.
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Tópicos

• Un poco de historia Algunos personajes de la
  Antigüa Grecia.
• Los tres primeros postulados del libro I de
  Euclides.
• Qué es un número construíble?
• Construcción de números.
• El subcampo de los números construíbles.

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Grandes personajes de la Antigüa Grecia

• Tales de Mileto (624-547 a.C.)
• Llevó la Geometría, conocida en Egipto hasta
  Grecia. Se le acreditan algunos resultados de la
  geometría entre ellos el hoy conocido Teorema de
  Tales.

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• Pitágoras de Samos (569-475 a.C)
• A él se le acreditan pruebas de muchos
  teoremas tales como los ángulos de un triángulo
  suman 180 y el famoso teorema que lleva su
  nombre (el cual había sido conocido
  experimentalmente en Egipto 100 años antes).

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• Hipócrates de Chios (470-410 a.C)
• Escribió los "Elementos de la Geometría",
  libro sobre el cual quizás se basó Euclides 100
  años después. En este libro estudió dos problemas
  clásicos El de la cuadratura del círculo y el
  de la duplicación del cubo.

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• Platón (427-347 a.C)
• Fundó "La Academia" en el año 387 a.C.
  Enfatizó la idea de demostrar e insistió en
  definiciones precisas e hipótesis claras,
  pavimentando el camino a Euclides.

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• Theaetetus de Atenas (417-369 a.C)
• Creador de la geometría de los sólidos.
  Construyó los cinco sólidos regulares, trabajo
  que sirvió como base para el Libro XIII de Los
  Elementos de Euclides. Sus trabajos sobre
  cantidades racionales e irracionales le sirvieron
  a Euclides en la elaboración del libro X.

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• Eudoxus de Cnidus (408-355 a.C)
• Desarrolló una teoría de proporciones (Libro
  V de Los Elementos). Eudoxus también trabajó
  muy tempranamente sobre métodos de integración
  con los que determinó el área de círculos y el
  volumen de pirámides y conos.

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• Menaechmus (380-320 a.C)
• Fue un pupilo de Eudoxus. Fue el primero en
  mostrar que las elipses, hipérbolas y parábolas
  eran obtenidas cortando un cono en un plano no
  paralelo a la base.

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• Euclides de Alexandría (325-265 a.C)
• Es mejor concocido por sus 13 libros "Los
  Elementos" (300 a.C), recogiendo los trabajos de
  sus predecesores, en un todo cuyas partes estaban
  lógicamente conectadas.

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Logros de los griegos en la matemática teórica

• La teoría de números.
• La geometría métrica.
• La geometría no métrica.
• la teoría del razonamiento, demostraciones
  matemáticas y en teorías axiomáticas.

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Construcciones asumidas en los Elementos

• POSTULADO 1
• Dibujar una línea recta finita dados dos de sus
  extremos.
• POSTULADO 2
• Extender o prolongar indefinidamente la línea
  recta de extremos A y B.

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• POSTULADO 3
• Describir un círculo, dado un punto A (el
  centro del círculo) y otro punto B (ubicado en la
  circunferencia del círculo).
• Tan pronto como el compás se levanta del plano,
  colapsa (compás ideal).
• El punto A y el Punto B se ubican en el plano
  antes de aplicar este postulado.

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TRANSFERIR MEDIDAS USANDO SÓLO REGLA Y COMPÁS

• PROPOSICIONES 2 Y 3
• Dibujar un segmento igual a uno dado con un
  extremo en un punto dado.
• Extraer del mas grande de dos segmentos dados,
  un segmento igual al pequeño (Ver Dibujos).

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Importante

• Estas proposiciones permiten sustraer, adicionar,
  comparar líneas ( ley de tricotomía para líneas).
• Luego sugieren teorizar alrededor de lo que
  podríamos llamar la aritmética geométrica de
  líneas.
• Además establecen la equivalencia entre el compás
  ideal y el moderno.

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Construcciones derivadas

• Paralela a una recta dada y por un punto dado.
• Perpendicular a una recta.
• Construcción del triángulo equilátero.
• Bisectar ángulos y segmentos.

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Construcciones imposibles La duplicación del cubo
20
La trisección de un ángulo
21
La cuadratura del círculo
22
Estos tres problemas clásicos de la matemática
griega fueron extremadamente importantes en el
desarrollo de la geometría.
23
Los Griegos conjeturaron que estos problemas eran
imposibles de solucionar con las herramientas
euclideanas de regla y compás.
24
En el siglo XIX, Galois, Lindemann y Wantzel
probaron que estos problemas son imposibles de
resolver.
25
Qué hicieron?Transformaron estos problemas en
problemas algebraicos que envuelven Números
Construíbles.
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Problemas algebraicos

• Es la raíz cúbica de 2 construíble?
• Dado un ángulo A, para el cual cos A es
  construíble, es cos A/3 construíble?
• Es vp construíble? O mejor, es p construíble?

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Qué es un Número Construible?

• Un número x es construíble si y sólo si se puede
  construir un segmento de longitud x, a partir de
  otro segmento de longitud 1, usando sólo regla y
  compás.

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Los Números Construíbles aparecen como resultado
de un número finito de construcciones básicas y
derivadas usando sólo regla y compás.
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Construcción de números

• Los naturales y los enteros son Números
  Construíbles.
• La raíz cuadrada también es construíble.
• a/b (con b?0) es construíble, luego Q es
  construíble.

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Construcción de la razón dorada 1/2v5/2
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El conjunto C de los números construíbles es un
subcampo de R
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Las demas propiedades de un campo son inherentes
a cualquier subconjunto de R.

• El elemento identidad para el producto.
• La propiedad distributiva, asociativa y
  conmutativa para el producto.
• La propiedad asociativa y conmutativa para la
  suma.

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BIBLIOGRAFÍA

• M. V. Gutiérrez, Notas de Geometría, Universidad
  Nacional de Colombia, Bogotá, 1992.
• http//aleph0.clarku.edu/djoyce/java/elements/ele
  ments.html
• http//www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibon
  acci/phi2DGeomTrig.htmlcons1
• Dev K. Devlin, El Lenguaje de las Matemáticas,
  Ed. Printer Latinoamericana Ltda, Bogotá, 2003.

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FIN DE LA PRESENTACIÓN