1.1. EL SISTEMA DE LOS N

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LOS NÚMEROS REALES
Prof Haroldo Cornejo Olivarí
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Introducción
El ente básico de la parte de la matemática
conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado
sistema de los número reales. Números tales como
1, , 3, ?3 e, p  y sus correspondientes
negativos, son usados en mediciones
cuantitativas. 
Existen dos métodos principales para estudiar el
sistema de los números reales. Uno de ellos
comienza con un sistema mas primitivo tal como
el conjunto de los números naturales o enteros
positivos 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de él,
por medio de una secuencia lógica de definiciones
y teoremas, se construye el sistema de los
números reales.
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En el segundo método se hace una descripción
formal del sistema de los números reales
(asumiendo que existe), por medio de un conjunto
fundamental de propiedades (axiomas) de las
cuales muchas otras propiedades pueden deducirse. 
En esta primera parte, se hará una presentación
intuitiva del conjunto de los números reales. Se
parte de un conjunto primitivo como es el
conjunto  N de los números naturales y se
efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo,
atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas
ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se
van definiendo resultan insuficientes para la
solución, que a un desarrollo axiomático del
mismo. 
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CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales está
constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes
6 conjuntos
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1. Conjunto de los números naturales. 
El conjunto de los números naturales, que se
denota por N ó también por Z, corrientemente se
presenta asi 
N 1, 2, 3, 4, 5, ... 
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2. Conjunto de los números enteros.
El conjunto de los números enteros, que se denota
por Z , corrientemente se presenta así 
Z ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... 
En el conjunto de los números enteros, se pueden
resolver ecuaciones que no tienen solución en N ,
como sucede por ejemplo con la ecuación x 3
1, cuya solución es x -2.
Puede notarse que N ??Z. 
?Z. 
N
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3. Conjunto de los números racionales. 
El conjunto de los números racionales, que se
denota por Q, se define de la siguiente manera
Q  a/b a, b son enteros y b?0 
La introducción de los números racionales
responde al problema de resolver la ecuación
a?x b, con a, b? R, a ? 0.
Ésta tiene solución en Z, sólo en el caso
particular en que a es un divisor de b
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Q
Note que todo entero n puede escribirse como el
número racional n/1 y, en consecuencia, se puede
concluir que
Z ? Q
Z
N
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4. Conjunto de los números irracionales.
El conjunto de los números irracionales, que se
denota por Q, está constituido por los números
reales que no admiten la representación racional.
Ejemplos de esta clase de números son el número
e (base del logaritmo natural), ?,  Las raíces de
valores que no son cuadrados perfectos, etc. 
En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones
que no tienen solución en Q , como sucede, por
ejemplo, con la ecuación x2 2 0, cuyas
soluciones son x ??2 , que no son números
racionales. 
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5. Conjunto R de los números reales
Q
R Q ? Q.
Z
N
En el conjunto R de los números reales, están
definidas dos operaciones adición () y
multiplicación (), las cuales verifican las
siguientes propiedades (llamadas también
axiomas de cuerpo).
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Axiomas de cuerpo 
Sean a, b, c, d ? ?
1. Clausura 
a b ? ?
a ? b ? ?
2. Conmutativa
a b b a
a ? b b ? a
3. Asociativa
a ( b c ) (a b) c
a ?( b ? c ) (a ? b) ? c
4. Elemento Neutro
l! 0 ? ? / a 0 0 a a
El real 0 es llamado elemento neutro aditivo.
l! 1 ? ? / a ? 1 1 ? a a
El real 1 es llamado elemento neutro
multiplicativo.
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a ? a-1 a ? 1
5. Elemento Inverso
Para cada número real a, existe un real único
llamado el inverso aditivo de a, y que se denota
a tal que 
a (-a) 0
Para cada número real a ? 0, existe un real único
llamado el recíproco de a, (inverso
multiplicativo) y que se denota por a-1 ó
tal que 
6. Distributiva 
? a, b, c, ?? R , a ? (bc) a?b a?c
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para la adición   x y x z ? y z 
CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LOS AXIOMAS DE CUERPO
T1. Ley cancelativa
Para la multiplicación Si x ? 0, xy xz ?
y z
T2. ? a, b  ? R, la ecuación x a b,
tiene una y solo una solución en R.
T3. ? x ? R  , x 0 0
T4. x y 0 ? x 0 v y 0.
T5. ?x ?R , si x?? 0, entonces x-1 ? 0.
T6. Si y ? 0, entonces,
T7. ?x ?R , -(-x) x.
T8. Si x ? 0, entonces (x-1)-1 x
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T9. ? x, y ?R, -(x y) (-x) (-y)
T10. Si x ? 0, y?? 0, entonces (xy)-1
x-1.y-1
T11. Si b ? 0, d ? 0, entonces
T12. Si b ? 0, d ? 0, entonces
T13. Si b ? 0, d ? 0, entonces
T14. ?x ?R , -x (-1)x
T15. (-1) ? (-1) 1
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T16. (-x) ? (-y) x?y
T17. -(xy) (-x)y x(-y)
T18.
y ? 0 
T19. x(y-z) x y x z
T20. (x-y) (y-z) x z
T21. (a-b) - (c-d) (ad) (bc)
T22. (a b) ? (c d) (a ? c b ? d) (a ?
d b ? c)
T23. (a - b) ? (c - d) (a ? c b ? d) - (a ?
d b ? c)
T24. a - b c d ?? a d b c
T25. Si x2 x ? x, entonces, x2 y2
(x-y) ? (xy)
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