Generalising from number properties to algebra

1
Generalising from number properties to algebra

• Anne Lawrence
• Adviser in Numeracy, Mathematics and NCEA

2
Teaching progression (adapted from Pierre
Kieren)
Materials


Images
Knowledge
3
A Teaching Progression

• Start by
• Using materials, diagrams to illustrate and solve
  the problem
• Progress to
• Developing mental images to help solve the
  problem
• Extend to
• Working abstractly with the number property

4
To reinforce and consolidate

• Move back and forth between
• Using materials, diagrams to illustrate and solve
  the problem
• and
• Developing mental images to help solve the
  problem
• and
• Working abstractly with the number property

5
Discovering algebraic rules for expanding

• Based on an array model for multiplication
• Ideas adapted from
• Cyril Quinlan. Analysing teaching/learning
  strategies for algebra. P 459-464. MERGA 18
  (Eighteenth annual conference of the mathematics
  education research group of Australasia Darwin
  1995).
• http//www.blackdouglas.com.au

6
One bracket with addition

• Start with 3 rows of 7 counters

7



(No Transcript)
8
Discuss how this might be written



Focus on
9
Place a straw between two columns



What does it now show?Record it as
10
How else can you place the straw to show the same
thing?



Discuss what this shows
11
How else can you place the straw to show
something different?



12

• How many different ways of placing the straw can
  you find?
• How many different ways can you find of writing
  ?
• Record them all.
• Can you find a pattern?

13
What about placing the straw along the row?



14

• Repeat using different numbers with one straw.
• Progress to using grids to show the same thing.

15
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
16
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
17
Generalise to number properties
18
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
19
Generalise to number properties
20
Numbers greater than 10
21
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
22
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
23
A suggested progression

• Start with rows of counters in columns
• Use a straw to generate different number
  properties
• Repeat for different numbers
• Generalise number properties with words
• Extend from counters to grids or arrays
• Generalise properties using symbols

24
Investigate

• Two brackets with addition
• One bracket with subtraction
• Two brackets with subtraction

25
Two brackets with addition
26
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
27
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
28
One bracket with subtraction
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
29
What about these?
30
Questions to consider
Is the use of counters necessary? Do students
need to cut out grids or is shading of rectangles
sufficient? How important is recording? What is
the best way of leading into the use of symbols?
31
(No Transcript)