Magia Matematyki

1
Magia Matematyki

• Czyli jak powstal swiat

2
Matematyka to..
3
Dla niektórych feralny przedmiot
4
Dla innych ogromny zbiór wiedzy
5
Czesc uczniów reaguje na nia tak.
6
Inni widza w niej caly swiat
7
Tak jawi sie wiekszosci humanistów
8
A my spróbujemy pokazac jej piekniejsza twarz!
9
Historia swiata i liczb- czyli jak powstal swiat?

• Basniowa historia, w której poznajemy tajemnice
  swiata i jego powstanie. Dowiemy sie jak to
• sie stalo, ze matematyka pojawila sie na swiecie
  i dlaczego odgrywa ona tak duza role w
• zyciu kazdego czlowieka.

10
Spis tresci

• I Rola matematyki w jezyku polskim
• 1. Liczby w Biblii
• 2. Symbolika liczb
• 3. Cos dla poetów czyli zartobliwie o liczbach.
•  
• II. Rola matematyki w historii
• 1. Wydarzenia i magia dat
• 2. Szyfry
• III. Rola historii i jezyka polskiego w
  matematyce
• 1. Wplyw wykopalisk na rozwój matematyki
• 2. Literki, slowa, zdania, czyli jak to z ta
  matematyka bylo
•  
• IV. Ankieta czyli co humanisci mysla o
  matematyce?

11
Literki, slowa, zdania, czyli jak to z ta
matematyka bylo

• Kulturowe uwarunkowania matematyki
• Matematyka w ramach poszczególnych kultur
• Okres paleolityczny
• Okres historyczny
• Okres starozytny
• Okres wczesnego sredniowiecza (ok. 300 p.n.e.
  ok. 400 n.e.)
• Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. ok. 1200 n.e.)
• Pózne sredniowiecze (ok. 1200 n.e. 1596 n.e.)
• Matematyka europejska

12
Liczby w Biblii

• Z pewnoscia nieraz slyszale(a)s juz, ze w Biblii
  rózne liczby zawieraja w sobie glebsze znaczenia
  i sa odzwierciedleniem ustanowionych przez Boga
  regul i praw. Ich znajomosc jest rzecza jak
  najbardziej pozyteczna - pod warunkiem jednak, ze
  nie skupiamy sie na liczbach samych w sobie, ale
  robimy krok dalej, wyciagajac z ich znaczenia
  konkretne wnioski.

13
O

• kazuje sie, ze Bóg zaplanowal cale nasze zycie
  wlasnie w oparciu o schemat siódemki. Kazdy rok,
  to ciag nastepujacych po sobie tygodni, z
  których kazdy sklada sie z siedmiu dni. Przy czym
  6 dni przeznaczonych jest na prace, a siódmy na
  odpoczynek. Chcac podkreslic waznosc tej zasady,
  Bóg nie stworzyl calego swiata w jednej chwili
  -co nie stanowiloby dla Niego najmniejszego
  problemu - ale rozlozyl jego powstanie na szesc
  kolejnych dni. Siódmego zas dnia odpoczal. Nie
  wnikam tu, czy relacje o stworzeniu swiata tak
  jak ja traktujesz doslownie, czy tez jest ona dla
  Ciebie tylko metafora. Bez wzgledu na to, jak ja
  postrzegasz, akurat w tym momencie nie ma to
  wiekszego znaczenia - zwróc uwage jedynie na sam
  schemat.

14
J

• ak juz wspomnialem, czlowiekowi przyporzadkowana
  jest w Biblii liczba 6. Którego dnia czlowiek
  zostal stworzony? Wlasnie szóstego. Pojawil sie
  na samym koncu, jako ukoronowanie calego procesu
  stwarzania. Mozna wiec powiedziec, ze w pewnym
  sensie pierwszych szesc dni nalezalo do
  czlowieka. Ostatni jednak - siódmy dzien - do
  Boga, poniewaz tego dnia Bóg odpoczywal.
  Zapamietaj szczególnie te dwa ostatnie zdania,
  gdyz jeszcze do nich wrócimy.
•  
• Od momentu stworzenia czlowieka, siódemka w
  mniejszym lub wiekszym stopniu wpleciona jest w
  jego zycie, o czym przekonujemy sie czytajac
  Stary Testament. Najbardziej jest to widoczne na
  przykladzie Izraela, którego swieta oraz rózne
  elementy zycia codziennego i religijnego opieraly
  sie na tym wlasnie schemacie. Dla przykladu
  menora to swiecznik siedmioramienny, tzw. lata
  jubileuszowe nastepowaly co siódmy rok, po
  siedmiu latach hebrajski niewolnik odzyskiwal
  wolnosc, siedem dni Noe czekal w arce na pierwsze
  krople deszczu, po siedmiu dniach Bóg przemówil
  do Mojzesza na górze Synaj, siedem dni trwalo
  Swieto Przasników i Szalasów, siedem dni Izrael
  okrazal Jerycho, siedmiu kaplanów nosilo arke
  przymierza, itd.

15
N

•  
• iech to jedno, umilowani, nie uchodzi uwagi
  waszej, ze u Pana jeden dzien jest jak tysiac
  lat, a tysiac lat jak jeden dzien"
•  
• Jesli, zgodnie z ta zasada, podstawimy pod kazdy
  z dni stworzenia swiata tysiac lat, to nagle
  wszystko staje sie jasne. Historia ludzkosci musi
  sie zamknac w 7 tysiacach lat. A jak to wyglada w
  praktyce, z naszego punktu widzenia? Okazuje sie,
  ze wszystko idealnie sie zgadza. Z genealogii
  Noego, siegajacej az do Adama, wynika, ze
  pierwszy czlowiek zostal stworzony ok. 4000 lat
  p.n.e. Mamy wiec pierwsze 4 "dni". A wlasciwie
  okres ten nalezy podzielic na dwa etapy, po 2000
  lat kazdy. Od Adama do Abrahama (protoplasty
  narodu Izraelskiego) minelo pierwsze 2000 lat. Od
  wyjscia Abrahama z Ur Chaldejskiego, przez dzieje
  Izraela az do poczatku naszej ery uplynelo
  kolejne 2 tys. lat. Tak wiec na czasy Starego
  Testamentu przypada pierwsze 4000 lat naszej
  historii (4 dni). Od pierwszego do ponownego
  przyjscia Jezusa liczymy natomiast kolejny etap -
  czasy Nowego Testamentu, czyli Ere Kosciola.
  Podobnie jak dwa pierwsze, tak i ten powinien
  przypuszczalnie trwac ok. 2000 lat. A ile lat
  naszej ery juz minelo? Cale dwa tysiace.
•  
• A zatem, wszystkie trzy dotychczasowe etapy, z
  których kazdy trwal ok. 2000 lat, w sumie daja
  nam 6000 lat, bedac odpowiednikiem pierwszych
  szesciu dni stworzenia. Pamietasz mysl, która
  podkreslilem wczesniej z zapowiedzia, ze jeszcze
  do niej wrócimy? Brzmiala ona mniej wiecej tak
  Pierwszych szesc dni stworzenia swiata nalezalo
  do czlowieka (czlowiek zostal stworzony szóstego
  dnia, jako ukoronowanie calego procesu),
  natomiast siódmy, ostatni do Boga, poniewaz tego
  dnia Bóg odpoczywal.

16
I

• dokladnie tak ma wygladac historia ludzkosci.
  Szesc tysiecy lat mialo uplynac w tym
  normalnym" ksztalcie, takim, jaki obserwujemy
  do tej pory. Natomiast siódme tysiaclecie ma byc
  juz zupelnie inne, poniewaz w jakis sposób bedzie
  odzwierciedlac dzien odpoczynku Boga.
• Czy zdajesz sobie zatem sprawe, na jakim etapie
  historii obecnie sie znajdujemy? Jestesmy juz na
  poczatku ostatniego tysiaclecia, a normalny,
  znany nam bieg historii, symbolicznie zakonczyl
  sie wraz z koncem XX wieku. Podkreslam -
  symbolicznie. Bo nietrudno zauwazyc, ze wszystko
  toczy sie jak na razie "po staremu". Jest tak,
  poniewaz najczesciej nowe epoki nie rozpoczynaja
  sie równo z kalendarzem, ale najpierw ma miejsce
  kalendarzowy, symboliczny poczatek, a dopiero
  pózniej, po pewnym okresie przejsciowym,
  nastepuje wlasciwe rozpoczecie nowego etapu. Dla
  przykladu, mimo iz Bóg zapowiedzial Abrahamowi,
  ze jego potomkowie wyjda z niewoli po 400 latach,
  to jednak ich faktyczne wyjscie nastapilo po 430
  latach. Istnial wiec 30-letni dodany okres
  przejsciowy. Podobnie XX wiek nie rozpoczal sie
  faktycznie w 1901 roku, a dopiero wraz z wybuchem
  I Wojny Swiatowej (1914). Do tego czasu swiat
  wciaz tkwil mentalnie w wieku XIX. Potrzebne jest
  wiec jakies przelomowe wydarzenie, które staje
  sie umowna granica pomiedzy stara a nowa epoka.
  Niemniej jednak, kazdy kolejny rok XXI wieku jest
  juz czescia ostatniego tysiaclecia, a ono nie
  bedzie wygladalo tak, jak wszystkie poprzednie.
  Obecne tysiaclecie jest w Biblii ukazane jako
  Tysiacletnie Królestwo Chrystusa. Bez wzgledu na
  to, jak nierealne moze sie to komus jeszcze
  wydawac, to tysiaclecie bedzie nalezalo do
  Chrystusa, tak jak do Boga nalezal siódmy dzien
  stworzenia. I nie chodzi tu o jakas duchowa
  przynaleznosc, ale o faktyczne rzady Jezusa nad
  cala Ziemia, rozpoczete po Jego powrocie i
  ustanowieniu wlasnego Królestwa.

17
M

• ozna powiedziec, ze Bóg dal szatanowi 6000 lat
  na przedstawianie swoich argumentów i pokazanie,
  jak bedzie wygladala nasza rzeczywistosc, gdy
  bedzie mial wolne pole do dzialania. Ten etap
  zbliza sie juz jednak ku koncowi. Czas dany
  szatanowi niebawem sie zakonczy i jak czytamy w
  Objawieniu Jana, zostanie on zwiazany wlasnie na
  tysiac lat (Obj. 202). Dopiero wtedy, poprzez
  doskonale rzady swojego Syna, Bóg pokaze nam, jak
  wygladalby swiat, gdybysmy nie oddali panowania
  nad nim silom ciemnosci.
•  
• O tym, jak bedzie wygladal ten nowy swiat, pisal
  juz prorok Izajasz, jakies 800 lat przed nasza
  era. Przy czym objawienie, jakie w tamtym czasie
  otrzymal, bylo jeszcze niepelne - nie wiedzial,
  ze ta nowa rzeczywistosc bedzie wynikiem
  przejecia rzadów nad swiatem przez Bozego Syna i
  ze laczny czas trwania Jego Królestwa wyniesie
  1000 lat. O tym dowiadujemy sie dopiero z
  ostatnich stron Biblii.
•  
• Generalnie jednak, jego wyjatkowosc bedzie
  polegala na tym, ze szatan nie bedzie mial juz na
  cala nasza rzeczywistosc zadnego wplywu, a tym
  samym grzech zostanie prawie calkowicie
  wyeliminowany z zycia ludzkiego ("prawie",
  poniewaz jesli juz sie pojawi, to w wyniku
  swiadomego wyboru czlowieka, a nie kuszenia ze
  strony szatana). Cos w rodzaju klatwy, jaka stala
  sie udzialem swiata wraz z pojawieniem sie
  grzechu zostanie cofniete.
•  
• "Tam beda mieszkali, bo nie bedzie juz klatwy.
  Jeruzalem bedzie zyc bezpiecznie."

18
C

• ofniecie klatwy bedzie sie przejawialo m.in. w
  tym, ze warunki przyrodnicze powróca
• do stanu sprzed pojawienia sie
  grzechu. Dlugosc ludzkiego zycia znów
  diametralnie
• sie wydluzy i zycie po kilkaset lat
  znowu stanie sie rzecza powszechna (Izaj. 6522).
  Ten, kto umrze jako stulatek, bedzie uznawany za
  zmarlego w bardzo mlodym wieku.
•  "Nie bedzie juz tam niemowlecia, które by zylo
  tylko kilka dni, ani starca, który by nie dozyl
  swojego wieku, gdyz za mlodzienca bedzie
  uchodzil, kto umrze jako stuletni, a kto grzeszy,
  dopiero majac sto lat bedzie dotkniety klatwa.
• Ponadto, znikna takie pojecia jak zwierzeta
  drapiezne, miesozerne, rosliny trujace, choroby.
  Przyroda wróci do tej harmonii jaka miala na
  poczatku, tuz po stworzeniu. Zwierzeta znów beda
  jedynie roslinozerne (Izaj. 6525), a widok
  dziecka wkladajacego reke do nory weza nikogo nie
  bedzie napawal strachem (Izaj. 118). Krótko
  mówiac - bedzie po prostu pieknie, tak jak na
  poczatku zaplanowal to Bóg. I chociaz teraz to
  wszystko moze sie wydawac wielu osobom zbyt
  niewiarygodne, to jednak tak wlasnie juz wkrótce
  bedzie wygladalo obecne tysiaclecie.
•  Na zakonczenie przypomnijmy historia ludzkosci
  miala trwac 3 x 2000 lat i wlasnie tyle jest za
  nami. Weszlismy w siódme, ostatnie tysiaclecie i
  oczekujemy juz tylko jego faktycznego
  rozpoczecia.
•    2000 2000 2000 1000
•  (Adam-Abraham) (Abraham-Jezus) (Jezus-Koniec)
  (Tysiacletnie Królestwo)

19
Symbolika liczb

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12
• 13
• 21
• 40
• 666
• 10 000

20
1

• Uwazana byla za liczbe najdoskonalsza. Jest
  liczba pierwsza. Symbolizuje poczatek oraz
  niewidzialna lecz aktywna sile stwórcza (Boga).
  Jest zródlem i i kresem wszystkiego, centrum.
  Odnosi sie takze do czlowieka jako do jedynej
  istoty wyprostowanej. Oznacza cechy takie jak
  oryginalnosc, indywidualnosc, a takze samotnosc.
• Przyslowia
• "Nie ma dwóch bez jednego

21
2

• Jest pierwsza liczba parzysta. Uwazana byla za
  zlowieszczy symbol. Oznaczalo sie nia opozycje,
  konflikt, szpiegów. Przedstawia osiagnieta
  równowage lub tez nieujawnione zagrozenie. Jest
  cyfra przyporzadkowana wszystkim dwuznacznym
  zdarzeniom, sytuacjom oraz postaciom o pozytywnym
  jak i negatywnym znaczeniu. Oznacza takze
  symetrie. Wyraza najbardziej surowy podzial na
  biale i czarne, kobiete i mezczyzne, dobro oraz
  zlo. Dwójka to takze dualizm, walka, ruch,
  postep, rywalizacja, wzajemnosc w milosci lub w
  nienawisci. Oznacza chwiejnosc charakteru
  (rozdwojenie jazni). Liczba ta ma takze zwiazek z
  czlowiekiem. Kazdy z nas ma bowiem parzyste
  organy ciala (dwoje oczu, uszu, rak, nóg). Wyraza
  kobiecosc.
• Przyslowia
• - "gdzie dwóch sie bije tam trzeci korzysta"
• - "dwa razy daje, kto predko daje"
• - "nieszczescia chodza parami"
• - "druga strona medalu"
• - "W tym najwiekszy jest ambaras, zeby dwoje
  chcialo naraz"

22
3

• Uwazana jest za liczbe doskonala, obejmujaca
  caloksztalt rzeczy w wyniku tego, ze jest suma
  cyfr 1 oraz 2. Symbolizuje boskie trójce wielu
  wyznan chrzescijanska - Bóg ojciec, Syn bozy i
  Duch Swiety egipska - Ozyrys, Izyda, Horus,
  babilonska - Ea, Marduk, Gibil hinduistyczna -
  Brahma-stwórca (Trimurti) , Wisznu-zycie,
  Siwa-smierc grecka - Zeus z potrójna blyskawica,
  Pluton (Hades) z trzyglowym psem Cerberem,
  Posejdon z trójzebem. Liczba ta oznacza takze
  swiatlo, slonce oraz ogien. Dzieki laczeniu w
  sobie cech pierwszych dwóch liczb trójka
  symbolizuje swiadomosc, harmonie, równowage oraz
  rozwój i wzrost. Zwiazki z liczba trzy to
  poczatek, srodek i koniec niebo, ziemia i
  pieklo wiara, nadzieja oraz milosc.
• Przyslowia
• - "gzie dwóch sie bije tam trzeci korzysta"
• - "plesc trzy po trzy"
• - "Wszystko, co zlozone z trzech, jest doskonale"

23
4

• Uchodzila za liczbe swieta, zwlaszcza w
  starozytnej Grecji. Sa cztery strony swiata,
  cztery pory roku, a my czesto szukamy
  czterolistnej koniczyny, która przynosi
  szczescie. Symbolizuje ziemie oraz
  powierzchownosc. Jesli chodzi o te liczbe mozemy
  wyróznic kilka jej zwiazków takich jak cztery
  pory roku cztery wiatry cztery strony swiata
  cztery zywioly cztery rzeki rajskie cztery fazy
  zycia cztery podstawowe pierwiastki czterej
  jezdzcy Apokalipsy.
• Przyslowia
• - "spadac na cztery lapy"
• - "cztery sciany"
• - "zamknac na cztery spusty"
• - "w cztery oczy"
• - "kuty na cztery nogi"
• - "dzielic wlos na czworo"

24
5

• Jest suma pierwszej cyfry parzystej 2 i pierwszej
  nieparzystej 3. To symbol zjednoczenia, centrum,
  harmonii i równowagi, istnienia materialnego,
  postrzegalnego. Liczba 5 uwazana byla za liczbe
  szczesliwa. Byla miedzy innymi symbolem potegi
  Boga i czlowieka (rozstawione nogi i rece oraz
  glowa). Mamy piec palców u reki, piec palców u
  stopy, piec zmyslów wzrok, sluch, dotyk, wech i
  smak. Reprezentuje takze czlowieka (jak na
  pentagramie Agryppy) i wszechswiat oraz jego dwie
  osie pionowa i pozioma, przechodzace przez
  wspólny srodek. 5 staje sie w ten sposób symbolem
  doskonalosci i porzadku. W symbolice hinduskiej 5
  jednoczy w sobie 2 oznaczajace zasade zenska i 3
  zasade meska. Wyraza w ten sposób zycie. Oznacza
  czlowieka oraz mikrokosmos. Jest to cyfra
  symbolizujaca zycie na lonie natury i jak
  twierdza chinczycy tam gdzie sie ona pojawia tam
  szczescie jest blisko. Symbolizuje rowniez 5
  swietych planet znanych pitagoryjczykom.
• Przyslowia
• - "piate kolo u wozu"

25
6

• Symbolizuje doskonalosc, wyrazona graficznie
  przez szesc trójkatów równobocznych wpisanych w
  okrag. Kazdy bok trójkata dlugoscia odpowiada
  promieniowi okregu, a szesc wyraza prawie
  dokladnie stosunek obwodu do promienia. Jest to
  równiez cyfra oznaczajaca walke dobra ze zlem. W
  Apokalipsie szóstka ma znaczenie zdecydowanie
  negatywne. Oznacza grzech. Trzy szóstki oznaczaja
  sile zla. 6 jest czesto przedstawiana jako
  pieczec Salomona, wyrazajaca zwiazek dwóch
  przeciwstawnych elementów, symbol makrokosmosu i
  czlowieka ogólnie, jako rodzaju ludzkiego. Ten
  sam motyw graficzny pojawia sie równiez w
  Indiach, wyrazajac równowage pomiedzy zywiolem
  wody i zywiolem ognia. Oznacza takze szescian,
  polaczenie szesciu kwadratów symbol solidnosci i
  stalosci.
• Przyslowia
• - "pal szesc!"
• - "starczy szesc stóp ziemi"
• - "gdzie kucharek szesc ,tam nie ma co jesc"

26
7

• Swieta liczba wszystkich ludów starozytnych. Jej
  moc potwierdzaly zjawiska niebieskie siedem dni
  kazdej fazy ksiezyca i istnienie siedmiu planet.
  W systemie pitagorejczyków symbol wszechswiata,
  gdyz laczy cztery zywioly z boskoscia trójki,
  Ziemie i Niebo. 7 laczy w sobie 4 (która
  symbolizuje ziemie) i 3 symbol nieba. Przedstawia
  w ten sposób caly wszechswiat stanowiacy
  dynamiczna calosc. Róza o siedmiu platkach jest
  symbolem siedmiu nieb. 7 to liczba calosci,
  porzadku moralnego. W starozytnym Egipcie
  symbolizowala wieczne zycie. Przedstawia caly,
  zamkniety cykl, doskonalosc dynamiczna. Wg
  tradycji 3 religii monoteistycznych swiat zostal
  stworzony w siedem dni. Symbolizuje takze
  szczescie (szczesliwa 7). Liczba ta laczy w sobie
  siedem cudów swiata siedem dni stworzenia swiata
  oraz siedem kolorów teczy.
• Przyslowia
• - "za siedmioma górami, za siedmioma rzekami..."
• - "od siedmiu bolesci"
• - "ocet siedmiu zlodziei"

27
8

• Liczba 8 byla uznawana za symbol doskonalosci i
  nieskonczonosci (reprezentuje jej znak). Ma duze
  znaczenie w religii chrzescijanskiej. Osiem osób
  liczyla zaloga Arki Noego (Noe, jego zona i trzej
  synowie Noego z zonami). Oznacza takze zdrowie,
  bogactwo oraz milosc.
• Przyslowia
• - "ósmy cud swiata"

28
9

• Liczba ta jest uwazana za swieta gdyz jest
  wynikiem mnozenia trzech przez trzy. Jest takze
  ostatnia cyfra co symbolizuje przelom. Liczba ta
  ma takze inne wlasciwosci matematyczne np.
• 9 2 18 i 1 8 9
• 5 9 45 i 4 5 9
• 9 3 27 i 2 7 9
• 4 9 36 i 3 6 9
• 6 9 54 i 5 4 9
• 7 9 63 i 6 3 9
• W starozytnej Grecji 9 ma znaczenie rytualne.
  Demeter przez 9 dni wedruje po swiecie w
  poszukiwaniu swojej córki Persefony. Dziewiec muz
  przychodzi na swiat za sprawa Zeusa podczas
  dziewieciu milosnych nocy. 9 symbolizuje owocne
  poszukiwania, ukoronowanie wysilków, zakonczenie
  procesu tworzenia. 9 to równiez wszechswiat jako
  calosc zlozona z trzech czesci. Kazdy ze swiatów
  niebo, ziemia i pieklo, jest przedstawiany za
  pomoca trójkata lub cyfry 3. Wedlug tradycji
  judeochrzescijanskiej istnieje 9 hierarchii
  anielskich, 9 sfer niebieskich, 9 kregów
  piekielnych. Egipcjanie nazywali 9 Góra
  Sloneczna. Wyrazala ona dla nich przemiany,
  którym podlegala w trzech swiatach ( boskim,
  ziemskim i intelektualnym) trójca bóstw Ozyrys,
  Izyda i Horus, przedstawiajaca Esencje,
  Substancje i Zycie. 9 oznacza równiez zbawienie,
  dlatego w tradycji chrzescijanskiej Jezus,
  ukrzyzowany o trzeciej, zaczyna agonie o szóstej
  i umiera o dziewiatej. 9 jest ostatnia w szeregu
  cyfr. Jest wiec koncem i zarazem ponownym
  poczatkiem, przeniesieniem zjawiska na nowy,
  szerszy plan. Zwiazana jest z idea ponownych
  narodzin, kielkowania, jak i jednoczesnie
  smierci, zaniku. Przez dziewiec miesiecy trwa tez
  okres ciazy.
• Przyslowia
• - "ni w piec, ni w dziewiec"

29
10

• Liczba ta jest suma pierwszych czterech liczb 1
  2 3 4 10 (Pitagorejski symbol
  doskonalosci). Zawsze byla uwazana za liczbe
  swieta. Dziesiec to suma palców obu rak i suma
  palców obu nóg. Gdy chcemy sie uspokoic, liczymy
  do dziesieciu, gdy chcemy dodac sobie odwagi lub
  mocy, takze liczymy do dziesieciu. Wszyscy znaja
  dziesiecioro przykazan, a czesto ludzie sami
  wymyslaja dziesiec zasad i zalecaja ich
  przestrzeganie. Oznacza doskonalosc wszechswiata.
  Dzieki przejsciu z ostatniej cyfry (9) staje sie
  pierwsza liczba przez co symbolizuje nowy lad.
• Przyslowia
• - "dziesiata woda po kisielu"
• - "piate przez dziesiate"
• - "dziesiata muza"

30
11

• Liczba 11 jest miedzy innymi symbolem nadmiaru i
  przesady, nieporzadku i grzechu. Ma duze
  znaczenie w religii chrzescijanskiej. Oznacza
  niekiedy grzech, gdyz przekracza 10 (liczbe
  Dziesieciorga Przykazan).

31
12

• Liczba 12 byla uwazana za liczbe szczesliwa i
  swieta. Rok ma dwanascie miesiecy, jest dwanascie
  znaków zodiaku, bylo dwunastu apostolów, ale i
  zbójców, tuzin i dwanascie sztuk. Rzymianie na 12
  tablicach z brazu spisali kodeks praw. Prawo
  dwunastu tablic bylo pierwszym dokumentem
  pisanym, swiadectwem kultury Rzymu. Mlodziez
  rzymska uczyla sie z nich czytac. Jest to liczba
  podzielna przez kolejne liczby 1, 2, 3, 4 oraz 6,
  stad (prawdopodobnie) posiadajaca znaczenie
  szczególne. Oznacza takze niewinnosc, skromnosc i
  dziewictwo. Laczy w sobie 12 miesiecy 12
  apostolów 12 znaków zodiaku. Symbolizuje tez
  laske, milosc i spokój. W symbolice ludowej
  oznacza godzine duchów.
• Przyslowia
• - "za piec dwunasta"
• - "liczony na tuziny"

32
13

• Juz w starozytnosci uwazano 13 za zlowrózbna,
  przynoszaca nieszczescie. W ostatniej wieczerzy
  uczestniczylo 13 osób. Kabala podaje, ze istnieje
  13 zlych duchów. 13 rozdzial Apokalipsy jest
  rozdzialem mówiacym o Antychryscie, o Bestii.
  Jednoczesnie jednak 13 oznaczala od dawna osobe,
  rzecz, lub pojecie najsilniejsze, najpiekniejsze,
  najlepsze w danej grupie. 13 to Zeus w otoczeniu
  12 bogów greckich, oraz Ulisses, któremu jako
  jedynemu sposród 13 towarzyszy udaje sie ocalic
  zycie w spotkaniu z cyklopem. Jako suma
  statycznej 10 i dynamicznej, twórczej 3,
  trzynastka oznacza równiez podazanie ku smierci,
  do zakonczenia jakiegos procesu lub etapu,
  wysilek tworzenia, który od czasu do czasu ulega
  zalamaniu, by pojawic sie ponownie gwaltowna
  przemiane, która niszczac stare daje jednoczesnie
  trudny poczatek temu, co nowe. Dla scislosci
  Ostatnia Wieczerza, to 12 Apostolów - wsród nich
  Judasz - i to 12 ma znaczenie symboliczne, nie
  13. Po smierci Judasza wybrano na jego miejsce
  Macieja po to, by ta symbolika byla zachowana.

33
21

• W Biblii i tradycji biblijnej 21 oznacza zupelna,
  calkowita doskonalosc, boska madrosc, osiagniety
  cel i zwiazana z tym pelnie szczescia. Jest to
  równiez symbol niezaleznego czlowieka, jednostki
  dokonujacej wyboru miedzy swiatem ducha i swiatem
  materialnym, miedzy dobrem a zlem. To dynamiczny
  wysilek indywiduum, który powstaje z konfliktu
  miedzy przeciwienstwami. 21 jest liczba
  oznaczajaca odpowiedzialnosc. Nieprzypadkowo w
  wielu kulturach ukonczenie 21 roku zycia wiazalo
  sie z osiagnieciem pelnoletniosci.

34
666

• "Tu jest potrzebna madrosc. Kto ma rozum, niech
  liczbe Bestii przeliczy liczba to bowiem
  czlowieka. A liczba jego szescset szescdziesiat
  szesc." (Ap. 1318).
• Wszystkie symbole, jakimi Jan posluguje sie w
  Apokalipsie maja swe korzenie w Biblii, dlatego
  musimy siegnac do niej, aby zrozumiec znaczenie
  liczby 666.
•  Podczas, gdy siódemka jest w Biblii liczba
  doskonalosci i odpoczynku Bozego, szóstka to
  liczba czlowieka bez Boga i bez Jego odpoczynku.
  Szóstka symbolizuje rebelie czlowieczenstwa wobec
  Boga, obsesje wokól samego siebie, zamiast
  oddania chwaly Stwórcy. Szóstka wystepuje w
  Biblii po raz pierwszy w dniu stworzenia Adama (
  Rdz.127. 31), dlatego zwana jest "liczba
  czlowieka" ( Ap.1318). Pózniej pojawia sie w
  kontekscie odstepstwa, polegajacego na wstawieniu
  uczynków ludzkich w miejscu dziel Boga,
  sygnalizujac uzurpacje atrybutów Boga przez
  czlowieka. Pierwszy dopuscil sie takiego
  przestepstwa Kain ( Rdz.43-5). Uczcil Boga
  owocem swej pracy ( Rdz.43), lekcewazac
  polecenie, aby zlozyc w ofierze zwierze. Kiedy
  ofiara z owoców jego pracy nie zostala przyjeta,
  zwrócil sie przeciw Ablowi, którego dar Bóg
  przyjal, gdyz wyrazal wiare w przyjscie Chrystusa
  - Baranka, na którego te ofiary mialy wskazywac.
  Biblia wymienia tylko szesc imion w genealogii
  Kaina, podkreslajac odstepczy charakter
  zapoczatkowanej przez niego religijnosci (
  Rdz.417_18). Szóstka to liczba pychy, odstepstwa
  i samo-wywyzszenia. Potrójna szóstka ilustruje
  odstepczy system czasów konca, który opiera sie
  na ludzkich dokonaniach. Próba stworzenia go i
  narzucenia swiatu siega budowniczych wiezy Babel.
  W ich slowach szesc razy pojawiaja sie zaimki my
  i nas (Rdz.113-5). Szóstka byla podstawowa
  liczba w babilonskim sposobie liczenia. Wciaz
  liczymy czas poslugujac sie systemem opartym na
  szóstce (godzina ma 60 minut, a minuta 60
  sekund). Zloty posag Nabuchodonozora, któremu
  nalezalo oddac czesc lub zginac mial 60 lokci
  wysokosci i 6 lokci szerokosci. Ksiega Daniela
  wymienia go szesc razy. Apokalipsa mówi szesc
  razy o czczeniu Bestii i jej pietna. Tylez razy
  pojawia sie w tej ksiedze " Babilon" i "
  Nierzadnica".

35

• Szóstka implikuje stawianie ludzkich uczynków w
  miejscu Bozych, co bylo esencja systemu
  babilonskiego. Charakteryzuje on do dzis niemal
  wszystkie religie, wlacznie z wieloma wyznaniami
  chrzescijanskimi.
•  Szóstka jest tylko o jeden mniejsza od siódemki
  , która jest liczba Bozej pelni i doskonalosci.
  Szóstka na pierwszy rzut oka wydaje sie bliska
  idealu Bozego, a faktycznie jest jego negacja.
  Zbudowana na ludzkiej niedoskonalosci rosci sobie
  pretensje do Boskiej doskonalosci. Bluzniercze
  imiona Bestii, której liczba wynosi 666 (Ap.131
  173) sugeruja, ze przypisuje czlowiekowi tytuly
  i atrybuty Boga.
•  Pieczec Boza oparta na siódemce jest
  przeciwienstwem odstepczego pietna Bestii.
  Pieczec i pietno, tak jak szóstka i siódemka
  reprezentuja dwa przeciwstawne systemy religijne.
  Pierwszy opiera sie na posluszenstwie z milosci i
  wdziecznosci za Jego laske. Drugi, na ludzkich
  tradycjach, zwiedzeniu i przemocy. Pierwszy
  wywyzsza Boga Ojca, Syna i Ducha Swietego, drugi
  Smoka, Bestie i Falszywego Proroka.
•  Przyjecie pietna w czasach konca bedzie
  równoznaczne z akceptacja autorytetu instytucji
  reprezentowanej przez Bestie, dlatego pietno
  zawiera nie tylko liczbe, ale takze imie Bestii
  (Ap. 1317). Bestia nie jest pojedynczym
  czlowiekiem z imieniem 666 na czole, jak to
  naiwnie ukazuja filmy z Hollywood, ani
  superkomputerem w Brukseli, lecz systemem wladzy,
  tak jak wszystkie inne Bestie w apokaliptycznych
  proroctwach (Dn.7 Ap.13).
• Jedni przyjma pietno Bestii ufni w slusznosc
  nakazów tego religijno-politycznego systemu
  czasów konca, inni choc nie uwierza jej
  religijnym roszczeniom, przyjma je z obawy przed
  represjami. Dlatego pierwsi maja pietno na
  czolach, a drudzy na rece. Podporzadkowanie
  autorytetowi Bestii pieczetuje ludzi, jako
  zwolenników falszywej trójcy, a zatem niewolników
  Szatana.

36

•  
• W tym samym czasie na ziemi gloszone jest
  trójanielskie poselstwo, które mówi o potrzebie
  przyjecia pieczeci Boga i posluszenstwa wobec
  Jego Prawa. Przyjecie autorytetu Slowa Bozego
  pieczetuje ludzi Boza pieczecia. Zapieczetowani
  nia staja sie czescia zbawionych symbolizowanych
  w czasach konca przez 144.000 ( Ap.146_12).
•  "Obraz Bestii sprawia, ze wszyscy... otrzymuja
  znamie na prawa reke lub na czolo i ze nikt nie
  moze kupic ni sprzedac, kto nie ma znamienia -
  imienia bestii lub liczby jej imienia." (
  Ap.1315-17).
• JAK OBLICZYC LICZBE BESTII?
• Najbardziej sekretny symbol starozytnych religii
  misteryjnych skladal sie z trzech liter "s",
  która w jezyku greckim posiada wartosc szóstki.
  Litere "s" nazywano stigma (stad sigma ), czyli
  "pietnem". Wypalano je na czolach niewolnikom
  oraz wyznawcom niektórych kultów. Pietno sluzylo
  jako swego rodzaju znak tozsamosci i lojalnosci.
• Litery w starozytnych alfabetach posiadaly
  numeryczna wartosc, stad liczby sluzyly czasem
  jako kryptogramy. W czasach babilonskich imie
  Stura, "sekretnego" boga" Babilonczyków,
  zawieralo liczbe 666. W ich jezyku (aramejskim)
  liczba jego imienia wynosila 666. Stura czcili
  magowie chaldejscy holdujacy misteryjnym kultom
  slonecznym, ci, którzy byli najwiekszymi wrogami
  ludu Bozego - Daniela i jego trzech przyjaciól
  (Dn.3, 6).
• S T U R
• 200 60 400 6 666

37

• Persowie w 539 roku p.n.e. wygnali z Babilonu
  kaplanów i magów chaldejskich, którzy udali sie
  do Pergamonu, czyniac go nowa stolica okultyzmu i
  religii slonecznych. Ostatni wladca Pergamonu
  zapisal w testamencie Rzymowi zarówno swe
  panstwo, jak kultowy tytul Pontifex Maximus. W
  ten sposób Rzym stal sie spadkobierca
  okultystycznego dziedzictwa Babilonu. Nie
  przypadkiem chrzescijanie we wczesnych wiekach
  identyfikowali liczbe 666 ze slowem Lateinos
  ("Rzymianin"). Zawieralo bowiem imie "sekretnego
  boga" Babilonczyków, którego Rzymianie zwali
  Saturnem - bogiem slonca. Podobnie jak
  Babilonczycy, takze Rzymianie przesladowali lud
  Bozy.
• L A T E I N O S
• 30 1 300 5 10 50 70 200 666
•  
•  Kosciól, który poszedl na kompromis z panstwem
  Konstantyna Wielkiego, stal sie dziedzicem Rzymu.
  Papiez przyjal religijny tytul rzymskich cezarów
  Pontifex Maximus, a takze tytul Vicarius Christi
  noszony przez cesarza Konstantyna Wielkiego.
  Chrzescijanie, którzy wskazywali na odstepstwa
  papiestwa byli przesladowani, tak jak Daniel i
  jego przyjaciele w Babilonii, a apostolowie przez
  Rzym cezarów. W jezyku greckim, który byl w
  pierwszych wiekach jezykiem kosciola
  chrzescijanskiego, wartosc liczbowa slów "
  kosciól rzymski" (gr. Italika Ekklesia ) wynosi
  666...
• I T A L I K A E K K L E S I A
• 10 300 1 30 10 20 1 5 20 20 30 8 200
  10 1 666
•  
•  

38

•  
• W VI wieku biskupi Rzymu stali sie
  religijno-politycznymi przywódcami Europy,
  prowadzac sredniowieczny kosciól w odstepstwo i
  przesladujac tych, którzy odrzucali ich duchowy
  autorytet. Oficjalnym jezykiem kosciola stala sie
  lacina. Czy przypadkiem, lacinski tytul Vicarius
  Filii Dei, który uzurpuje prerogatywy i pozycje
  Chrystusa ma w tym jezyku wartosc liczbowa 666?
  Czy przypadkiem slowo vicarius ("nastepca") jest
  tlumaczeniem greckiego anti ? Tytul Vicarius
  Christi (Nastepca Chrystusa) jest doslownym
  przekladem nowotestamentowego greckiego slowa
  antichristos (antychryst).
• V I C A R I U S F I L I I D E I
• 5 1 100 0 0 1 5 0 0 1 50 1 1 500 0 1 666

39

• Nie wiemy, jaki bedzie kryptonim Bestii w czasach
  konca. Prawie na pewno zaden z wyzej
  wymienionych, choc w swoim czasie mogly
  identyfikowac poszczególne "glowy" Bestii.
  Studium przeszlych odstepczych systemów pokazuje
  jednak, ze system ten cechowac bedzie duchowa
  arogancja, wymieszanie prawdy z falszem i religii
  z polityka, a takze przesladowanie prawdziwego
  ludu Bozego.
•  
• Niektórzy komentatorzy proroctw dopatruja sie
  pietna Bestii w mikrochipach, które maja byc
  wprowadzone pod skóre, w super-komputerach,
  kartach, na których mozna zmiescic wszystkie dane
  o czlowieku i tym podobnych srodkach. Wszystkie
  osobiste dane o czlowieku mozna zmiescic na
  ukladzie scalonym wielkosci glówki szpilki i
  umiescic pod skóra. Taki znak moze posluzyc za
  karte kredytowa, medyczna, paszport, prawo jazdy,
  a nawet wycofac z obiegu gotówke. Jednoczesnie
  moze posluzyc panstwu za narzedzie scislej
  kontroli, gdyby otrzymac go mogli wylacznie
  ludzie lojalni wobec rzadzacego systemu. Bez
  niego nikt nie móglby kupowac ani sprzedawac...
•  
• Takie technologie moga posluzyc Szatanowi, aby
  narzucic sankcje przeciwko tym, którzy nie
  przyjma jego pietna, jak to zapowiada Apokalipsa
  (1315-17). Wydaje sie jednak, ze obecnie Szatan
  wykorzystuje te popularne wsród chrzescijan
  mrzonki jako zaslone dymna, aby odwrócic ich
  uwage od prawdziwego pietna. Pietno i pieczec sa
  czescia duchowego wielkiego boju i dlatego maja
  duchowy charakter. Pieczec wiaze sie z wiernoscia
  wobec przykazan Bozych, zas pietno z wyborem
  ludzkich nakazów w miejsce Bozych. Pamietajmy o
  tym, kiedy slyszymy sensacje o mikrochipach,
  uniwersalnych kartach i superkomputerach.

40
40

• Liczba uwazana za magiczna, poniewaz czesto
  wystepuje w Biblii jej znaczenia to oczekiwanie,
  przygotowanie np.
• post, pokuta
• odrodzenie, oczyszczenie
• zakonczenie cyklu zmian, dopelnienie sie
• Zwiazki
• wody potopu pokrywaly ziemie przez 40 dni i nocy
• Mojzesz 40 dni i nocy bez jedzenia i picia
  oczekiwal aby otrzymac Tablice
• 40 lat trwala wedrówka izraelitów przez pustynie
• po 40 lat królowali Dawid, Salomon i Joas
• Jezus przez 40 dni poscil na pustyni...
• ...a po zmartwychwstaniu przez 40 dni pokazywal
  sie uczniom
• od Srody Popielcowej do Wielkanocy uplywa 40 dni
  Wielkiego Postu
• Przyslowia
• "zycie zaczyna sie po czterdziestce"
• "czlowiek jest glupi do czterdziestego roku
  zycia gdy wtedy zaczyna pojmowac swa glupote,
  jest juz za pózno
• Luter

41
10 000

• Dziesiec tysiecy - w Chinach symbol czegos, co
  wystepuje w wielkiej ilosci, w jezyku potocznym
  uwazana za najwieksza liczbe

42
Szyfry

• Tajemnicze przekazy w radiu i Internecie
• Enigma
• Szyfr Cezara
• Szyfr one-time-pad
• Ciekawostki
• Co ma wspólnego kryptologia z Kamasutra?
• Colossus pierwszym komputerem.
• RSA Zlamany?
• Dla kogo kryptologia?
• To nie baron Playfair wymyslil szyfr Playfair.
• Europa zacofana.

43
Tajemnicze przekazy w radiu i Internecie

• Historia jak rodem ze szpiegowskich powiesci z
  czasów "zimnej wojny" i wojen wywiadów. Kto
  publikuje i emituje w eter tajemnicze kody?
• Zaczelo sie od niewinnego anonsu, opublikowanego
  w Craigslist, siódmym na swiecie serwisie
  ogloszeniowym. Anons zaciekawil Emmanuela
  Goldsteina, twórce kultowego magazynu hackerów
  2600. I tak sie zaczelo...
• Ogloszenie, zatytulowane For mein fraulein, co w
  mieszance angielskiego i niemieckiego oznacza
  "dla mojej pani", zawieralo równie lakoniczna
  tresc zachecajaca nieznajoma do zadzwonienia pod
  podany numer telefonu Mein Fraulein, I haven't
  heard from you in a while. Won't you call me? 212
  796 0735.
• Hampton zadzwonil pod podany numer, gdzie czekala
  go niespodzianka - odczytany przez zacinajacy sie
  automat ciag liczb. Liczby wystepowaly w blokach
  po piec cyfr, kazdy blok byl powtarzana
  dwukrotnie a w sumie bylo ich piecdziesiat.
  Komunikat zaczyna sie od informacji, ze jest to
  grupa 415 i konczy dwoma dodatkowymi cyframi.
  Mozna go odsluchac tutaj
• Kto opublikowal to ogloszenie? Nie wiadomo. W
  kilka dni pózniej na Craigslist pojawilo sie
  podobne ogloszenie, tym razem z grupa 617
• Ogloszenia w prasie zachodniej byly w czasach
  "zimnej wojny" ulubiona technika anonimowego
  publikowania zaszyfrowania instrukcji dla
  "nielegalów", czyli agentów radzieckiego wywiadu
  dzialajacych na Zachodzie w ukryciu. Agent mial
  obowiazek czytac wskazane przez oficera
  prowadzacego pismo i zwracac uwage na ogloszenia
  zawierajace okreslone slowa kluczowe - takie jak
  "for meine fraulein". Dalsza tresc ogloszenia
  zawierala zwykle kod, na przyklad slowo
  oznaczajace ustalona wczesniej instrukcje.
• Trudno powiedziec na ile ta stara technika
  sprawdza sie dzisiaj, w czasach Usenetu i forów
  dyskusyjnych. W odróznieniu od np. Usenetu
  (alt.test) ogloszenia ktos jednak przeglada.

44
Enigma

• Enigma byla uzywana komercyjnie od lat 20. XX
  wieku, a pózniej zostala zaadaptowana przez
  instytucje panstwowe wielu krajów. Podczas II
  wojny swiatowej maszyna ta byla wykorzystywana
  glównie przez sily zbrojne oraz inne sluzby
  panstwowe i wywiadowcze Niemiec, ale takze innych
  panstw. Enigma nalezala do rodziny
  elektromechanicznych wirnikowych maszyn
  szyfrujacych i byla produkowana w wielu róznych
  odmianach.
• Po raz pierwszy szyfrogramy zakodowane przy
  pomocy Enigmy udalo sie rozszyfrowac polskim
  kryptologom w 1932. Prace Polaków, glównie
  Mariana Rejewskiego, Jerzego Rózyckiego i Henryka
  Zygalskiego, pozwolily na dalsze prace nad
  dekodowaniem szyfrów stale unowoczesnianych
  maszyn Enigma najpierw w Polsce, a po wybuchu
  wojny we Francji i Wielkiej Brytanii.
• Najczesciej odszyfrowywanymi wiadomosciami byly
  przekazy zaszyfrowane Enigma w wersji Wehrmachtu
  (Wehrmacht Enigma). Brytyjski wywiad wojskowy
  oznaczyl Enigme kryptonimem ULTRA. Nazwa ta
  powstala ze wzgledu na najwyzszy stopien
  utajnienia faktu zlamania szyfru Enigmy, wyzszy
  niz najtajniejszy (ang. Most Secret), czyli Ultra
  tajny.

45
(No Transcript)
46
Szyfr Cezara

• Historia i zastosowanie Jest to szyfr za pomoca,
  którego Juliusz Cezar szyfrowal swoje listy do
  Cycerona. Jako ciekawostke mozna podac, ze szyfr
  ten byl podobno uzywany jeszcze w 1915 roku w
  armii rosyjskiej, gdyz tylko tak prosty szyfr
  wydawal sie zrozumialy dla sztabowców.
• Opis metody Kazda litere tekstu jawnego
  zamieniamy na litere przesunieta o 3 miejsca w
  prawo. I tak litere A szyfrujemy jako litere D,
  litere B jako E itd. W przypadku litery Z
  wybieramy litere C. W celu odszyfrowania tekst
  powtarzamy operacje tym razem przesuwajac litery
  o 3 pozycje w lewo.
• Zapis matematyczny tych operacji wyglada
  nastepujaco
• Szyfrowanie
• CE(p)(p3)mod 26
• Deszyfrowanie
• pD(c)(c-3)mod 26
• Przyjmuje sie, ze alfabet sklada sie z 26 liter.

47

• Opis procedury Szyfrowany/deszyfrowany tekst
  znajduje sie w pliku. Dodatkowo przed
  uruchomieniem procedury nalezy stworzyc drugi
  plik, bedacy plikiem wynikowym. W programie
  podajemy nazwy tych plików. Nastepnie otwierane
  sa oba pliki i jezeli operacja ta powiedzie sie,
  zaczyna sie szyfrowanie/deszyfrowanie. Za kazdym
  razem pobierana jest jedna litera tekstu.
  Nastepnie zgodnie z kodem ASCII przydzielana jest
  ona do trzech mozliwych grup duze litery, male
  litery lub cyfry. W przypadku oryginalnego szyfru
  Cezara nie bylo mozliwosci szyfrowania cyfr.
  Cyfry sa w procedurze szyfrowane za pomoca
  przesuniecia o trzy a nastepnie wykonywana jest
  operacja mod 10. Nie jest to w pelni zgodne ze
  standardem algorytmu Cezara. Jezeli ktos uwaza
  szyfrowanie cyfr za cos niepotrzebnego wystarczy,
  ze usunie ostatni blok instrukcji else if.
  Wszystkie inne znaki w tym spacja podczas
  szyfrowania ulegaja usunieciu. Jezeli komus
  zalezy, aby inne znaki tez byly szyfrowane
  wystarczy, aby dodal kolejne instrukcje else if
  (operacja mod wystapi tylko wtedy, gdy dodajemy
  jeszcze jakas grupe znaków a nie pojedyncze
  znaki). Nalezy dodac je w miejscu gdzie w
  programie widnieje odpowiedni komentarz. Po
  zamianie kazdej litery zapisywana jest ona w
  pliku wyjsciowym. Na koncu oba pliki sa zamykane
  i procedura konczy sie.
• W przypadku procedury deszyfrujacej zastosowalem
  troche inna metode. Poniewaz litera a ma numer
  zero. Zatem gdy odejmujemy wartosc 3. Uzyskujemy
  wynik -3. Aby uzyskac poprawny wynik wystarczy
  odjac od 26 wartosc bezwzgledna wyniku (lub
  jezeli ktos woli dodac ten wynik).

48
Szyfr one-time-pad

• Historia i zastosowanie Jest to jedyny
  bezwarunkowo bezpieczny szyfr, co zostalo
  udowodnione matematycznie w 1949 przez Shannon'a.
  Algorytm ten zaproponowany zostal przez Gilberta
  Vernama z ATT w 1917 roku. Jezeli chodzi o
  pojecie klucza losowego to pierwszy raz
  wprowadzil je Joseph Mauborgne.
• W literaturze mozna spotkac informacje, ze
  podobno goraca linia pomiedzy Waszyngtonem a
  Moskwa szyfrowana byla z wykorzystaniem tego
  algorytmu.
• Opis metody Mozna wyróznic 2 wersje tego
  algorytmu
• -wersja binarna (szyfr Vernama)
• -wersja znakowa
• Mozna zatem zadac sobie pytanie dlaczego powyzsze
  algorytmy zapewniaja slabe lub srednie
  bezpieczenstwo a ten zapewnia bezwarunkowe
  bezpieczenstwo.
• Otóz cala tajemnica tkwi tutaj w zalozeniach
  nalozonych na haslo.
• Sprawdzone musza byc wszystkie 3 ponizsze
  warunki
• - haslo musi byc ciagiem losowym
• - haslo musi byc jednorazowe
• - dlugosc hasla musi byc przynajmniej tak samo
  dluga jak dlugosc szyfrowanego tekstu

49

• Przy krótkich tekstach nawet sprawdzenie
  wszystkich mozliwosci nie da nam odpowiedzi, gdyz
  napastnik otrzyma wiele poprawnych slów i nie
  bedzie w stanie wybrac z nich slowa wlasciwego.
• Zlamanie chocby jednego z tych warunków powoduje,
  ze otrzymany szyfrogram moze byc juz latwy do
  odszyfrowania.
• Jezeli chodzi o 2 i 3 warunek to sa one
  stosunkowo proste do spelnienia, chociaz trudno
  wyobrazic sobie kazdorazowe przekazywanie hasla
  odbiorcy.
• Najwiekszym problemem jest wygenerowanie losowego
  hasla. Wiele metod, które moga wydawac sie losowe
  (stukanie w klawiature, ciag wyliczany na
  podstawie czasu czy stanów procesora nie jest do
  konca wartoscia losowa). Istnieja jednak
  algorytmy generujace ciagi pseudolosowe. Ciagi
  pseudolosowe sa to ciagi generowane na podstawie
  losowego zarodka, korzystajac z algorytmu
  deterministycznego. Powstajacy ciag ma cechy
  ciagu losowego. Istnieje wiele algorytmów
  generujacych ciagi pseudolosowe BBS,
  Bluma-Micaliego, Shamira, oparty na RSA.

50
Co ma wspólnego kryptologia z Kamasutra?

• Jeden z najstarszych opisów szyfrowania przez
  podstawianie znajduje sie w dziele "Kamasutra",
  napisanym w IV wieku przez braminskiego uczonego
  Vatsyayana, który korzystal z rekopisów
  pochodzacych nawet z IV w p.n.e. "Kamasutra"
  zaleca kobietom poznanie 64 sztuk, takich jak
  gotowanie, ubieranie sie, masaz i przygotowanie
  perfum. Na liscie tej znajduja sie równiez inne
  sztuki, takie jak wrózbiarstwo, gra w szachy,
  introligatorstwo i stolarka. Natomiast pozycja
  numer 45 to mlecchita-vikalpa, sztuka
  poslugiwania sie tajnym pismem, która ma pomóc
  kobietom w ukryciu swoich zwiazków.

51
Colossus pierwszym komputerem.

• Tommy Fowlers zbudowal w 1943 roku maszyne
  Colossus na podstawie projektu Maxa Newmana. Moc
  obliczeniowa tej maszyny byla wieksza od
  uznawanej za pierwszy komputer maszyny ENIAC.
  Collosus byl przeznaczony do kryptoanalizy szyfru
  Lorenz, który uzywany byl do szyfrowania
  lacznosci pomiedzy Hitlerem i jego generalami.
  Plany oraz istnienie maszyny zostalo utajnione ze
  wzgledu na wojskowy charakter projektu.

52
RSA Zlamany?

• Istnieje wielomianowy algorytm faktoryzacji
  liczb. Jest to algorytm Shora. Za jego pomoca w
  latwy sposób mozna odszyfrowac wszystko, co jest
  zaszyfrowane przy pomocy algorytmów, których sila
  tkwi w problemie faktoryzacji. Przykladem takiego
  algorytmu jest algorytm RSA. Jedynym problemem,
  jest brak komputera kwantowego, który jest
  wymagany przez algorytm Shora. W przypadku
  wynalezienia komputerów kwantowych wiekszosc
  algorytmów uzywanych do szyfrowania bylaby
  bezuzyteczna. Dotyczy to szczególnie algorytmów
  szyfrowania symetrycznego takich jak DES, IDEA,
  AES itp. oraz algorytmów szyfrowania
  asymetrycznego opartych na innym trudnym
  problemie a mianowicie problemie logarytmowania
  dyskretnego.

53
Dla kogo kryptologia?

• Autorami systemów przekazywania sekretnych
  informacji byli mnisi i wojskowi, matematycy i
  tajni agenci. Do nich dolaczyl znany polityk i
  maz stanu, Thomas Jefferson, wspólautor
  amerykanskiej Deklaracji Niepodleglosci, trzeci
  prezydent Stanów Zjednoczonych. Wynalazl on
  maszyne szyfrujaca - nazwana jego imieniem kolem
  Jeffersona.

54
To nie baron Playfair wymyslil szyfr Playfair.

• Pierwszy baron Playfair z St. Andrews byl dobrze
  znana postacia w wiktorianskiej Anglii pelnil
  funkcje spikera Izby Gmin i prezesa Royal
  Society. Wprowadzil reformy w angielskim systemie
  opieki zdrowotnej i byl zaprzyjazniony z fizykiem
  Charlesem Wheatstone'em, którego nazwisko pojawia
  sie w nauce elektrycznosci dzieki mostkowi
  Wheatstone'a. Obaj panowie obrali sobie za hobby
  kryptologie. W owych czasach w londynskim
  "Timesie" ukazywaly sie czesto prywatne
  ogloszenia napisane szyfrem. Obaj bawili sie
  odszyfrowywaniem tych tajnych wiadomosci. Mogli w
  ten sposób sledzic korespondencje pewnego
  studenta z Oksfordu z najwyrazniej zamezna dama z
  Londynu. Gdy mlodzieniec zaproponowal damie, by z
  nim uciekla, Wheatstone zamiescil w "Timesie"
  tekst napisany szyfrem kochanków, w którym
  apelowal do sumienia damy. Potem ukazala sie juz
  tylko krótka zaszyfrowana wzmianka "Charles, nie
  pisz juz wiecej, przejrzano nasz szyfr".
• Wheatstone mógl zaproponowac im lepsza, wlasna
  metode szyfrowania. Jego przyjaciel Playfair
  opublikowal ja pózniej, nie przemilczajac
  nazwiska prawdziwego autora. Mimo to nosi ona do
  dzis nazwe Playfair.

55
Europa zacofana.

• Zródlem kryptologii wcale nie byla Europa. W
  latach od 800 do 1200 arabscy uczeni odnotowali
  wiele osiagniec nauki. W tym samym czasie Europa
  tkwila w intelektualnych ciemnosciach. Podczas
  gdy Al-Kindi opisywal zasady kryptoanalizy,
  Europejczycy wciaz biedzili sie z podstawami
  kryptografii.

56
Rok 1592

• W 1592 r. Hideyoshi wyslal 100 tys. Armie na
  podbój Korei, w okresie tych walk generalowie
  zlozyli Hideyoshiemu w darze 40 tys.
  zakonserwowanych uszu i nosów odcietych wrogom,
  które pózniej pokazywano na wystawie w Kioto.

57
Wydarzenia i magia dat

• Szesc ciosów
• Lódz
• Ograniczenie predkosci
• Czy wygrywajac w kosci mozna zostac cesarzem?
• Rok 1592

58
Szesc ciosów

• Admiral dowodzacy flota francuska podczas bitwy
  pod Trafalgarem. W walce wykazal sie duza odwaga,
  ale bitwa zakonczyla sie sukcesem Anglików.
  Polaczone sily francusko hiszpanskie stracily
  dwadziescia jeden okretów i czternascie tysiecy
  zolnierzy, podczas gdy przeciwnicy ani jednego
  okretu i mieli zaledwie czterystu piecdziesieciu
  zabitych. Villneuve dostal sie do niewoli, ale
  wkrótce zostal z niej zwolniony. Przybyl do
  Rennes, gdzie zatrzymal sie w miejscowym hotelu.
  Nie mógl jednak zniesc hanby zwiazanej z kleska i
  czujac sie w pelni odpowiedzialnym za rezultaty
  bitwy, popelnil samobójstwo w hotelowym pokoju
  zadajac, sobie w serce szesc ciosów nozem.

59
Lódz

• Najszybciej rozwijajacym sie miastem Polski byla
  Lódz. Na poczatku XIX wieku byla malenka wioska
  (ok. 500 osób). W 1860 r. liczyla juz 60 tys.
  mieszkanców, a dwadziescia lat pózniej az 253
  tys.! W 1910 liczba ludnosci tego miasta
  osiagnela 408 tys. Co ciekawe, obecnie liczba
  mieszkanców Lodzi spada w 1988 r. bylo ich 854
  tys. a w 2004 r. juz tylko 775 tys.

60
Ograniczenie predkosci

• W latach 1865-96 w Anglii obowiazywal przepis
  ograniczajacy predkosc pojazdów mechanicznych do
  3,2 km/h na terenie miejskim. Poza miastem mozna
  bylo "poszalec" z predkoscia do 6,4 km/h.
  Niestety, ten przepis wstrzymal tylko rozwój
  motoryzacji. We Francji nie bylo takich dziwnych
  zarzadzen dzieki czemu juz w 1881 r. samochód
  parowy osiagnal predkosc 60 km/h.

61
Czy wygrywajac w kosci mozna zostac cesarzem?

• Okazuje sie, ze tak.
• Dzialo sie to w czasie panowania rzymskiego
  cesarza Probusa (276-282 r). Prokulus, dowódca
  legionów galijskich, kilkakrotnie z rzedu wygral
  w kosci. Jak zwykle w takich wypadkach na czesc
  zwyciezcy zaczeto krzyczec "imperator!". To
  wystarczylo. Ktos inny nie wiedzac o co chodzi
  krzyknal "Ave Caesar" i tak juz zostalo.

62
PREHISTORIA

• Przed czterema milionami lat na Ziemi pojawili
  sie ludzie. Stopniowo przybierali pozycje pionowa
  i pozostali w niej do dzis (acz dzis z powrotem
  zaczynaja sie garbic - przy komputerach).
  Wykonywali wlasnorecznie narzedzia z kamienia. Do
  wykonania kamiennego narzedzia potrzeba bylo
  setek uderzen. Nie majac ubran musieli szukac
  schronienia. Aby latwiej znalezc pozywienie wsród
  dzikiej przyrody, organizowali sie w hordy
  (wspólnoty). Gdy ludzie zdobyli umiejetnosc
  rozniecania i podtrzymywania ognia mogli sie przy
  nim ogrzac, zapewnic sobie swiatlo, gotowac
  posilki i odstraszac dzikie zwierzeta. Polowanie
  zajmowalo im duzo czasu i zmuszalo do pokonywania
  wielkich przestrzeni. Budowali drewniane chaty
  kryte skórami, które byly latwe do przeniesienia.
  Z drewna, kosci i kamienia sporzadzali narzedzia
  i bron mysliwska.
• Przy wzglednie szybkim postepie ludzi pierwotnych
  liczby byly dla nich zupelna abstrakcja. Jeden i
  dwa sa bezwzglednie pierwszymi pojeciami
  numerycznymi zrozumialymi dla istoty ludzkiej.
  Wiele jezyków i pism starozytnych i pózniejszych
  nosi wyraznie slady tych pierwotnych rozróznien.
  Zaczac tu nalezy od rozróznienia gramatycznego
  miedzy liczba pojedyncza, podwójna i mnoga, które
  wystepowalo i wystepuje u wielu ludów. I tak na
  przyklad w starozytnej grece "ho lykos" znaczylo
  "wilk", "to lykos" - "dwa wilki", a "hoj lykos" -
  "wilki". W starym jezyku chinskim pojecie "lasu"
  wyrazano powtarzajac trzy razy piktogram
  "drzewo", a pojecie "tlumu" rysujac trzy razy
  obrazek "czlowieka". W jezykach starozytnych
  liczba trzy - trzykrotne powtórzenie piktogramu
  nie tylko oznaczalo trzy przedmioty lub osoby,
  lecz ogólniej, ze jest ich wiele. Czlowiek
  pierwotny nie potrafiac operowac wieloma liczbami
  rozróznial tylko jeden i dwa, a gdy czegos bylo
  wiecej np. dziesiec okreslal to jako duzo.

63

• Gdy ewolucja posunela czlowieka troche naprzód,
  nieswiadomie zaczal wykonywac prymitywne
  technicznie "rachuby". Pierwsza z nich bylo
  wykonywanie naciec (najczesciej na kosci). I tak
  np. gdy prehistoryczny pasterz mial 55 owiec,
  siadal przed jaskinia z kawalkiem kosci i
  krzemienia. Gdy owce wchodzily pojedynczo,
  nacinal kosc krzemieniem, ilekroc przechodzilo
  zwierze. I tak przepusciwszy wszystkie owce, mial
  dokladnie 55 naciec. Odtad gdy z pastwiska beda
  powracaly owce bedzie mógl bez trudu sprawdzic,
  czy cale stado wrócilo, przesuwajac palcem po
  kosci i sprawdzajac naciecia. Drugim sposobem
  bylo liczenie za pomoca czesci ciala. Przynosilo
  to zadowalajace efekty, gdy chodzilo o stosunkowo
  niewielkie ilosci. Sposób byl bardzo prosty,
  dotykalo sie czesci ciala w odpowiedniej
  kolejnosci. Na rysunku, który znajduje sie
  ponizej zostaly przedstawione czesci ciala i
  odpowiadajace im liczby.

64
Mezopotamia

• Aby liczyc nalezy rozwiazac dwa zagadnienia
  ustalic sposób liczenia i stworzyc miana
  liczebników. Nie mozna równiez pominac znaków, za
  pomoca których wyrazamy liczby w pismie. Te znaki
  nazywamy cyframi. Do najstarszych znaków
  cyfrowych naleza znaki babilonskie. Spójrz na
  mapke.

65

• Dwie grube, czarne, wezowate linie - to rzeki
  Tygrys i Eufrat. Starozytni Grecy nazywali ten
  kraj Mezopotamia (po polsku nazwa ta brzmialaby
  Miedzyrzecze, bo zajmuje on doline dwu rzek).
  Czesc Mezopotamii zajmowalo potezne panstwo,
  którego stolica byl Babilon. Babilonczycy pisali
  na glinianych tabliczkach pismem klinowym. Liter
  klinowych bylo bardzo duzo, ale znaków cyfrowych
  niewiele.

66

• Liczby babilonskie sa kombinacjami trzech znaków
  jedynki, dziesiatki i setki. Za pomoca tych
  znaków pisano tysiac, a takze kazda inna liczbe,
  poslugujac sie zasada mnozenia i dodawania, przy
  czym wieksza liczba zawsze poprzedzala mniejsza.

67

• Oprócz tego sposobu pisania liczb Babilonczycy
  poslugiwali sie systemem pozycyjnym i ukladem
  szesc dziesiatkowym. W tym systemie znak jedynki
  moze oznaczac 1, 60, 602 itd., zaleznie od tego,
  na którym miejscu stoi.
• Dla wyrazenia zera pisali dwa pochyle znaki
  jedynki. Uzywali takze ulamków zwyklych i szesc
  dziesiatkowych, które pisali tak jak piszemy
  ulamki dziesietne.

68
Egipt
Prawie tak samo stare jak babilonskie sa
cyfry egipskie. Do wyrazenia swoich mysli na
pismie Egipcjanie uzywali hieroglifów.
69

• Dla cyfr mieli specjalne znaki.

70

• Najpierw pisali liczby wyzszego rzedu, a pózniej
  nizszego. Stosowali przy tym zasade dodawania lub
  mnozenia.

71

• Poslugiwali sie takze ulamkami, które w liczniku
  mialy 1. Pisali je tak jak liczby naturalne
  umieszczajac nad nimi kropke. Dla 1/2 i 2/3 mieli
  oddzielny znak.
• Inne ulamki zapisywali w postaci sumy ulamków o
  licznikach 1. Pisali np. tak jezeli 23 chleby
  podzielimy miedzy 40 osób, to kazda otrzyma 1/4,
  1/5 i 1/8 czesc chleba.

72
Literki, slowa, zdania, czyli jak to z ta
matematyka bylo

• Kulturowe uwarunkowania matematyki
• Matematyka w ramach poszczególnych kultur
• Okres paleolityczny
• Okres historyczny
• Okres starozytny
• Okres wczesnego sredniowiecza (ok. 300 p.n.e.
  ok. 400 n.e.)
• Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. ok. 1200 n.e.)
• Pózne sredniowiecze (ok. 1200 n.e. 1596 n.e.)
• Matematyka europejska

73
Kulturowe uwarunkowania matematyki

• Historia matematyki jest nierozlaczna czescia
  historii ludzkosci. Rozróznianie liczby
  obiektów(przedmiotów, ludzi, zwierzat), co
  najmniej w zakresie brak-jeden-dwa-duzo, jest
  zdolnoscia posiadana przez ludzi prawdopodobnie
  od zawsze (zdolnosc ta posiada równiez wiele
  zwierzat). Wydaje sie jednak, ze do tworzenia
  bardziej zaawansowanej matematyki konieczne jest
  istnienie kultury w ramach której ten rozwój sie
  odbywa. Takie przejawy matematyki jak liczenie w
  ramach systemu liczb naturalnych (1,2,3,4,...)
  wraz z operacjami dodawania i mnozenia, a takze
  badanie proporcji i relacji rozmiarów pomiedzy
  ksztaltami geometrycznymi, czyli elementarna
  arytmetyka i geometria, pojawiaja sie w
  dostepnych zródlach historycznych i
  archeologicznych dopiero wraz z powstaniem i
  rozkwitem starozytnych kultur. Najprawdopodobniej
  kategorie pojeciowe elementarnej matematyki, a w
  konsekwencji sama dziedzina wiedzy, powstaja
  dopiero jako wewnetrzny przejaw danej kultury, w
  rezultacie okreslonych wewnatrzkulturowych
  warunków i potrzeb, takich jak liczenie zwiazane
  z kalendarzem, wlasnoscia i wymiana, oraz
  okreslanie proporcji ksztaltów i dlugosci
  zwiazane z budowaniem, podzialem ziemi i
  estetyka. Matematyka pelni równiez istotna role w
  religijnych przejawach kultury. W zwiazku z tym
  az do okresu nowoczesnosci, w którym nastapila
  ogólnoswiatowa dominacja aparatu pojeciowego
  kultury zachodnioeuropejskiej, mamy do czynienia
  nie z jedna, lecz z róznymi historiami
  matematyki. Do tego czasu kazda kultura posiadala
  swój system pojec matematycznych, w ramach
  którego wyrazala i rozwiazywala problemy zwiazane
  z istotnymi kwestiami danej kultury.  

74

• Oczywiscie, pomiedzy róznymi kulturami bylo wiele
  matematycznych zapozyczen (jednym z
  najslawniejszych sa cyfry 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
  które zostaly zapozyczone przez Arabów z Indii, a
  nastepnie przez Europe od Arabów), jednakze
  polegaly one zawsze na wybiórczym asymilowaniu
  pewnych aspektów matematycznych i ignorowaniu
  innych. Nie oznacza to w zadnym wypadku tego ze
  dedukcyjna i abstrakcyjna metoda matematyczna
  jest subiektywna, lecz jedynie to, ze istotne
  pojecia lub konteksty ich stosowania, metody
  dowodzenia, oraz kryteria wyboru interesujacych
  problemów dla kazdej kultury sa, a przynajmniej
  byly, inne. Nowozytna ogólnoswiatowa ekspansja
  kulturowa Europejczyków doprowadzila bowiem do
  dominacji tej kultury nad innymi, zas
  towarzyszacy temu dynamiczny rozwój europejskiej
  matematyki, poczawszy od XVI i XVII wieku,
  przyczynil sie ostatecznie do wspólczesnego
  ksztaltu matematyki dyscypliny uprawianej w ten
  sam sposób, tymi samymi pojeciami, metodami i
  symbolami, niezaleznie od szerokosci czy dlugosci
  geograficznej. Niezaleznie od tego czy stan ten
  sie bedzie utrzymywal w dowolnie odleglej
  przyszlosci, trzeba miec na uwadze, ze przeszlosc
  (czyli historia) matematyki nie daje sie
  przedstawic na jednej linii nieustannego
  rozwoju i kumulacji wiedzy. Wielokrotnie
  wybitne wyniki byly zapominane lub zagubione, po
  to tylko, by zostac odkryte jeszcze raz, czasem
  po ponad tysiacu lat, zas zapozyczenia byly
  czestokroc mocno wybiórcze. Stad tez mozna
  odniesc mylne wrazenie, ze matematyka
  poszczególnych kultur byla, w porównaniu ze
  wspólczesna, uboga w problemy i metody. Tymczasem
  czesto przedstawienia historii matematyki
  absolutyzuja role tej zachodnioeuropejskiej,
  skutkiem czego wyrazaja pojecia, metody i cele
  pozostalych matematyk nie w ich oryginalnych
  kontekstach (co oczywiscie jest trudnym zadaniem)
  lecz w kontekscie wspólczesnym, usuwajac w cien
  jako nieistotne lub metne to, co w istocie
  stanowilo zywa tresc danej matematyki. Ramy
  niniejszego kursu nie daja mozliwosci dalszego
  zaglebiania sie w te kwestie, lecz warto je miec
  na uwadze zawsze kiedy poruszany jest temat
  historii matematyki. Ponizej przyjrzymy sie
  matematyce rozwijanej w ramach konkretnych kultur
  oraz historii kilku podstawowych problemów
  matematycznych. Przykladowo, niektóre rezultaty
  Archimedesa (III wiek p.n.e.) byly odkryte
  ponownie i niezaleznie dopiero w XVI
• wieku w Europie przez prekursorów rachunku
  rózniczkowego.

75
Literki, slowa, zdania, czyli jak to z ta
matematyka bylo

• Kulturowe uwarunkowania matematyki
• Matematyka w ramach poszczególnych kultur
• Okres paleolityczny
• Okres historyczny
• Okres starozytny
• Okres wczesnego sredniowiecza (ok. 300 p.n.e.
  ok. 400 n.e.)
• Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. ok. 1200 n.e.)
• Pózne sredniowiecze (ok. 1200 n.e. 1596 n.e.)
• Matematyka europejska

76
Okres paleolityczny

• Najstarszym znanym obecnie zapisem swiadomosci
  matematycznej jest tzw. kosc z Lebombo
  (znaleziona na terenie obecnego Królestwa Suazi w
  Afryce Poludniowej), datowana na 35 000 lat
  p.n.e. Zawiera ona 29 scisle ulozonych kresek,
  wyrazajacych oznaczenia kalendarzowe, uzywane po
  dzisiejszy dzien przez klany buszmenów w Namibii.
  Drugim tego rodzaju starym obiektem jest tzw.
  kosc z Ishango (teren zródel Nilu i Jeziora
  Edwarda na granicy pomiedzy Uganda a Zairem),
  datowana na 25 000 lat p.n.e. Kreski w wierszach
  (a) i (b) dodaja sie do 60. Wiersz (b) zawiera
  liczby pierwsze pomiedzy 10 a 20. Wiersz (a) jest
  w miare zgodny z systemem liczbowym opartym na
  10, poniewaz liczby kresek w grupach wynosza 20
  1, 20 1, 10 1, oraz 10 1. Wreszcie wiersz
  (c) wydaje sie ilustrowac metode mnozenia przez
  2, uzywana pózniej w egipskiej matematyce.
  Mikroskopowe badania pokazuja dodatkowe znaki, z
  których wynika ze ta kosc jest równiez
  kalendarzem faz ksiezyca. (Niektórzy wyprowadzaja
  z tego wniosek ze pierwszym matematykiem byla
  kobieta.) Podobna kosc, datowana na ok. 26 000
  lat p.n.e. znaleziono w trakcie wykopalisk w
  obozowiskach lowców mamutów w Dolních Vestonicach
  na Morawach. Kosc ta zawiera 57 kresek, z których
  pierwsze 25 jest zebrane w grupach po piec kresek
  o równej dlugosci, co moze sugerowac liczenie
  odnoszace sie do pieciu palców u dloni.

77
Literki, slowa, zdania, czyli jak to z ta
matematyka bylo

• Kulturowe uwarunkowania matematyki
• Matematyka w ramach poszczególnych kultur
• Okres paleolityczny
• Okres historyczny
• Okres starozytny
• Okres wczesnego sredniowiecza (ok. 300 p.n.e.
  ok. 400 n.e.)
• Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. ok. 1200 n.e.)
• Pózne sredniowiecze (ok. 1200 n.e. 1596 n.e.)
• Matematyka europejska

78
Okres historyczny

• W okresie historycznym istnialo kilka duzych
  obszarów kulturowych które wyksztalcily swoje
  odrebne i jakosciowo rózne matematyki.
  Najwazniejsze z nich to Mezopotamia, Egipt,
  Mezoameryka, Peru, Indie, Chiny, Grecja, Arabia i
  Europa. Dzieje matematyki sprzegaja sie równie
  silnie z historia kultury jak i z historia pisma.
  Wynalazek pisma niezaleznie pojawia sie w
  Mezopotamii ok. 3500 lat p.n.e. (pismo klinowe),
  w Egipcie ok. 3200 lat p.n.e. (pismo
  hieroglificzne), prawdopodobnie w Peru ok. 3000
  lat p.n.e. (pismo wez