Teoria de Conjuntos-1

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Linguagem de 1ª ordem da teoria de conjuntos

• Teoria de conjuntos linguagem universal nas
  ciências
• útil na modelização de estruturas muito diversas
• Abordagem
• Partir da noção intuitiva de conjunto
• identificar 2 princípios básicos que a
  caracterizam
• axioma da extensionalidade
• axioma da compreensão
• explorar consequências lógicas dos axiomas
• mostrar inconsistência dos axiomas
• rever axiomas para os da teoria de conjuntos
  moderna

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Teoria dos conjuntos de Cantor
Georg Cantor(1845-1918) Matemático que
desenvolveu a sua actividade na Alemanha Trabalha
na definição dos números reais e estuda a
cardinalidade dos conjuntos Desenvolve primeira
teoria dos conjuntos infinitos

• Conceito intuitivo de conjunto
• Conjunto colecção de coisas (elementos)
• Linguagem de 1ª ordem 2 símbolos de relação
  , Î
• Domínio de discurso pode ter outros objectos que
  não conjuntos
• Set(x) predicado para a propriedade x é
  conjunto
• 2 tipos de variáveis
• a, b, c, conjuntos
• x, y, z, quaisquer objectos do domínio
• Em vez de "x y (Set(y) Ù xÎy) escreve-se "x
  a (xÎa)

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Axiomas de Cantor

• Axioma da extensionalidade
• Um conjunto é completamente determinado pelos
  seus elementos
• Se os conjuntos a e b têm os mesmos elementos,
  ab
• "a "b "x (xÎa xÎb) ab
• Implicações
• Identidade de um conjunto não depende da forma de
  o descrever
• Exemplo
• Nota
• Axioma seria inaceitável numa teoria de
  propriedades.
• 2 propriedades podem verificar-se para
  exactamente os mesmos objectos e serem distintas

conjunto dos primos entre 6 e 12 conjunto das
soluções da equação x2 - 18x 77 0 7,11
4
Axiomas de Cantor

• Axioma da compreensão
• Toda a propriedade determina um conjunto
• Para uma propriedade P, existe o conjunto de
  todos os objectos para os quais se verifica P
• Propriedades fórmulas de 1ª ordem
• Para cada fórmula P(x) considera-se o axioma
• a "x xÎa P(x)
• Existe um conjunto cujos elementos são
  exactamente os objectos que verificam P(x)
• Expressão não é axioma mas esquema de axiomas
  existe 1 para cada wff P(x)
• P(x) pode ter variáveis z1, zn para além de x
  quantificação implícita é universal
• "z1"zn a "x xÎa P(x)

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Explorar axiomas

• Usando a extensionalidade infere-se versão mais
  forte da compreensão
• Conjunto de objectos que satisfazem P(x) é único
• "z1"zn !a "x xÎa P(x)
• Prova
• Compreensão existe pelo menos 1 conjunto de
  objectos que satisfazem P(x)
• Falta prova que existe no máximo 1
• a e b conjuntos que verificam P(x)
• "x xÎa P(x)
• "x xÎb P(x)
• Então "x xÎa xÎb e pela extensionalidade ab
• Conjunto de objectos que satisfazem P(x)
• x P(x)

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Conjuntos singulares e vazio

• 1 só objecto x satisfaz P(x)
• Pelo axioma da compreensão existe conjunto a
  cujo único elemento é x
• a x
• distinguir objecto x de conjunto singular que
  contém x
• Nenhum objecto satisfaz P(x)
• conjunto vazio
• existe 1 no máximo
• notação Æ, , x x ¹ x, ...

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Subconjuntos

• Definição Para os conjuntos a e b
• a subconjunto de b se todo o elemento de a é
  elemento de b
• a Í b
• abreviatura de
• "x xÎa xÎb
• novo símbolo de relação binária, introduzido por
  um axioma
• "a"b a Í b "x (xÎa xÎb)
• Teorema 1 Para conjuntos a e b, ab sse a Í b e
  b Í a
• "a"b (a b a Í b Ù b Í a)
• ab e e b são o mesmo conjunto, cada
  elemento de a é elemento de b e vice-versa
• a Í b e b Í a Extensionalidade basta
  provar que a e b têm os mesmo elementos decorre
  da premissa cada elemento de a é elemento de b
  e vice-versa

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Intersecção e união

• Definições a e b conjuntos arbitrários
• 1. A intersecção de a e b, a Ç b, é o conjunto
  cujos elementos são exactamente os objectos que
  pertencem a a e a b
• 1. A união de a e b, a È b, é o conjunto cujos
  elementos são exactamente os objectos que
  pertencem a a ou a b
• Poderemos provar que existem os conjuntos a Ç b e
  a È b?
• Teorema 2 Para todo o par de conjuntos a e b,
  existe 1 e 1 só conjunto c cujos elementos são
  objectos em a e em b
• "a"b!c "x xÎc (xÎa Ù xÎb)
• Prova (prova condicional geral)
• Sejam a e b conjuntos arbitrários
• Compreensão c x xÎa Ù xÎb existe o conjunto
  pretendido
• Extensionalidade c é único

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Intersecção e união

• Teorema 3 Para todo o par de conjuntos a e b,
  existe 1 e 1 só conjunto c cujos elementos são
  objectos em a ou em b
• "a"b!c "x xÎc (xÎa Ú xÎb)
• Prova
• a e b conjuntos arbitrários
• Compreensão c x xÎa Ú xÎb existe o conjunto
  pretendido
• Extensionalidade c é único
• Estatuto de Ç e È na linguagem
• abreviaturas de descrições
• a Ç b é o conjunto cujos elementos são
  exactamente os objectos que são elementos de a e
  de b
• novos símbolos de função binários definições são
  novos axiomas

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Conjuntos de conjuntos

• Pelo axioma da compreensão conjuntos de
  conjuntos podem ser formados arbitrariamente
• Teorema 5 Para quaisquer objectos x e y existe 1
  único conjunto ax,y
• "x"y!a "w wÎa (wx Ú wy)
• Prova
• Existência propriedade P(z) é zx Ú zy
• conjunto z P(z) tem x e y como únicos
  elementos
• Unicidade pelo axioma da extensionalidade
• Teorema 6 Para todo o objecto x existe o
  conjunto singular x
• Prova
• Aplicar o Teorema 5 para xy

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Representar ordenação

• Conjuntos não são ordenados
• O par ordenado ltx,ygt pode ser representado pelo
  conjunto
• x, x,y
• Representação verifica propriedade fundamental
  dos pares
• ltx,ygt ltu,vgt (xu Ù yv)
• A partir de pares ordenados
• ternos e outros tuplos
• relações
• funções

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Conjunto das partes de um conjunto

• Teorema 7 Para todo o conjunto b existe 1 único
  conjunto cujos elementos são exactamente os
  subconjuntos de b
• Prova
• Compreensão existe c x x Í b
• Extensionalidade c é único

Ãb a a Í b

• Exemplo
• b 2,3
• Ãb Æ, 2, 3, 2,3

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Propriedades de Ãb

• Teorema 8 Sendo a e b conjuntos
• 1. b Î Ãb
• 2. Æ Î Ãb
• 3. a Í b sse Ãa Í Ãb
• Conjunto pode ter subconjuntos que são
  elementos
• Ex Blop, Blop

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Propriedades de Ãb

• Teorema 9 Para todo o conjunto b, não se
  verifica Ãb Í b
• um conjunto não pode ter todos os seus
  subconjuntos como elementos
• Prova
• b conjunto arbitrário
• Constrói-se subconjunto de b que não é elemento
  de b
• c x xÎb Ù x Ï x
• c Í b pela definição de c, logo c Î Ãb pela
  definição de Ãb
• Para mostrar que c Ï b Supor cÎb
• Por casos cÎc ou c Ï c
• Se cÎc pela definição, c é elemento de b que
  não pertence a c então c Ï c
• Se c Ï c c é elemento de b que verifica a
  condição de definição de c então cÎc
• Por contradição Ãb Í b é falso

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Conjunto de Russell

• Teorema 10 (conjunto de Russell para b) Para
  todo o conjunto b, o conjunto
• x xÎb Ù x Ï x
• é subconjunto de b mas não elemento de b.
• Falha na axiomatização pode provar-se a negação
  do Teorema 9
• Teorema 11 Existe um conjunto c tal que Ãc Í c
• Prova
• b conjunto arbitrário
• Axioma da compreensão existe conjunto universal
  (V)
• c x x x
• todo o subconjunto de c é elemento de c, logo Ãc
  é subconjunto de c.

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Paradoxo de Russell

• Onde reside a contradição?
• Z x xÎV Ù x Ï x conjunto de Russell para o
  conjunto universal
• Teorema 9 prova que Z é elemento de Z sse Z não é
  elemento de Z
• É o paradoxo de Russell
• Mostra que a axiomatização da noção intuitiva de
  conjunto é inconsistente
• Problema está no Axioma da Compreensão
• Øc "x xÎc x Ï x
• Afrmação verdadeira que contradiz o axioma da
  compreensão
• Intuitivamente
• Alguns predicados têm extensões excessivas para
  serem tratadas como um objecto matemático

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Nova axiomatização

• Predicados com extensões excessivas
• Colecção de todos os conjuntos
• Colecção dos conjuntos que não se contêm como
  elementos
• Evitar a inconsistência - regra de formação de
  conjuntos
• de um conjunto a e uma propriedade P(x) podemos
  formar
• x xÎa Ù P(x)
• se a não é conjunto excessivo um seu subconjunto
  também não
• Axioma da separação
• "ab "x xÎb (xÎa Ù P(x))
• É restrito demais exclui usos legítimos do
  axioma da comprensão
• não pode provar-se a existência da união
• não pode provar-se a existência do conjunto das
  partes

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Axiomas de Zermelo-Frankel

• 1. Extensionalidade
• 2. Separação
• 3. Par não ordenado para quaisquer 2 objectos
  existe um conjunto que os tem como elementos
• 4. União Dado um conjunto a de conjuntos, a
  união dos elementos de a é um conjunto "ab "x
  xÎb cÎa (xÎc)
• 5. Conjunto das partes
• 6. Infinito existe o conjunto de todos os
  números naturais
• 7. Substituição Para todo o conjunto a e
  operação F que define um objecto único para cada
  x em a, existe o conjunto F(x) xÎa
• Se "xÎa !yÎb P(x,y) então existe b y
  xÎa P(x,y)
• 8. Regularidade
• Nenhum conjunto tem uma intersecção não vazia
  com cada um dos seus elementos
• "bb¹Æ yÎb (yÇb Æ)