Tema 2 DOMINANCIA

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Tema 2DOMINANCIA

• La estrategia débilmente dominante de un jugador
  en un juego es una estrategia que le reporta
  mayores o iguales pagos que el resto de sus
  estrategias sea cual sea la combinación de
  estrategias de sus oponentes.
• DOMINANCIA decimos que una acción de un jugador
  en un juego domina a otra acción de dicho jugador
  si la primera le proporciona pagos mayores que la
  segunda, para toda combinación de acciones
  posible de sus oponentes. Diremos que la segunda
  acción es una acción dominada.
• FUNCIÓN DE MEJOR RESPUESTA (o de reacción) de un
  jugador en un juego
• indica la estrategia (o estrategias) que
  maximizan los pagos del jugador para cada una de
  las posibles combinaciones de estrategias de sus
  oponentes.
• Observar que para calcular relaciones de
  dominancia entre tus estrategias y tu función de
  mejor respuesta, sólo necesitas conocer tus
  propios pagos.

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Alguna predicciones estratégicas sencillas

• Un jugador racional con preferencias egoistas,
• Debe jugar su estrategia dominante en un juego
  (si la tiene)
• No debe jugar una estrategia dominada (si la
  tiene)
• Probablemente jugará su estrategia débilmente
  dominante en un juego (si la tiene).

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ANALISIS DE MEJOR RESPUESTA
L M R
U 3 , 0 3 , 5 -100 , 3
D 0 , 5 0 , 3 3 , 0

• Función de mejor respuesta del jugador 1
• f1(L) U , f1(M) U, f1(R) D
• Función de mejor respuesta del jugador 2
• f2(U) M , f2(D) L

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FUNCIÓN DE MEJOR RESPUESTA Y DOMINANCIA.

• Las funciones de mejor respuesta de los jugadores
  nos proporcionan un método alternativo en juegos
  bipersonales para descubrir relaciones de
  dominancia
• A) Si un jugador tiene siempre una única y misma
  mejor respuesta ante todas las acciones del
  rival, entonces esta acción será su acción
  dominante.
• B) Si un jugador tiene una acción que siempre es
  mejor respuesta ante todas las acciones del rival
  (aunque no necesariamente única), entonces esta
  acción será su acción débilmente dominante.
• C) Si existe alguna acción que nunca es mejor
  respuesta a ninguna acción del rival o mezcla
  aleatoria de éstas (acción mixta), entonces será
  una acción dominada (puede que por una acción
  mixta).

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ELIMINACIÓN SUCESIVA DE ACCIONES DOMINADAS

• Los jugadores racionales nunca utilizarán una
  acción dominada.
• Pero si tenemos un juego con información completa
  implica que cada jugador conoce los pagos y la
  racionalidad del oponente.
• Luego, si éste último tiene una acción dominada,
  su rival puede saberlo y anticipar con seguridad
  que dicha acción no será utilizada.
• Una vez eliminada dicha acción, puede ser que
  aparezcan relaciones nuevas de dominancia en el
  juego reducido (que no existían en el juego
  original).

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ELIMINACIÓN SUCESIVA DE ACCIONES DOMINADAS

• Para proceder a eliminar estas nuevas acciones
  dominadas hace falta que los jugadores sepan que
  ambos conocen los pagos y la racionalidad del
  oponente. Esto se cumple con información
  completa.
• Este proceso de eliminación sucesiva de acciones
  dominadas puede seguir, apoyándose cada iteración
  en un eslabón superior de la cadena de
  conocimiento público.
• Si el proceso da lugar a una predicción única, es
  decir, a una combinación de acciones de los
  jugadores , decimos que el juego es resoluble por
  eliminación sucesiva de acciones dominadas.

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ELIMINACIÓN SUCESIVA DE ACCIONES DOMINADAS

• Esta será la predicción entre jugadores que
  utilizan la información completa existente en el
  juego.
• Pero, es necesario
• que se cumplan tantos eslabones de información de
  la cadena de conocimiento público, como
  iteraciones de eliminación se realicen.
• absoluta seguridad sobre los pagos y la
  racionalidad del oponente (ninguna duda).

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ADIVINA LA MITAD DE LA MEDIA

• Escribe tu nombre y un número entero entre 0 y
  100 en la papeleta.
• El jugador que se acerque más a la mitad de la
  media de los números escritos por todos es el
  ganador.

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• Como la media no puede ser mayor que 100, la
  mitad de la media no puede ser mayor que 50.
  Luego cualquier elección por encima de 50 está
  dominada por 50.
• Pero, entonces la media no puede ser mayor que 50
  y la mitad de la media no puede exceder 25. Luego
  cualquier elección por encima de 25.
• El proceso iterativo continua hasta que sólo
  queda el 0.
• Hacen falta 8 iteraciones para resolver este
  juego, luego se necesitan 8 piezas de la cadena
  de conocimiento público para llegar a esta
  conclusión!!
• Una forma más realista de llegar a esta
  predicción racional es el aprendizaje.

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PROVISIÓN PRIVADA DE UN BIEN PÚBLICO

• Supongamos que 20 vecinos se plantean la
  construcción de una piscina en su urbanización.
  La exclusión de su uso es imposible y no existirá
  efecto congestión en caso de construirse. El
  coste de la piscina es de 100 unidades
  monetarias. Algunos vecinos no la valoran nada,
  es decir, les reportaría una utilidad nula. Otros
  vecinos la valoran positivamente y obtendrían una
  utilidad de 20 unidades monetarias cada uno, en
  caso de construirse. Se acuerda el siguiente
  método de decisión cada vecino declara en sobre
  cerrado si está a favor de la construcción o no
  lo está. Si al menos 10 vecinos se declaran a
  favor, la piscina se construye, pagándola los que
  han votado a favor en la proporción
  correspondiente para cubrir el coste de 100.
• Analice esta situación si los vecinos desconocen
  quienes valoran positivamente la piscina y
  quienes no.
• Qué sucede si fuera conocimiento público la
  existencia de 10 vecinos que no la valoran
  positivamente y que el resto la valoran 20
  unidades cada uno?

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PROVISIÓN PRIVADA DE UN BIEN PÚBLICO

• Conjunto de Acciones Sí (S), No(N)
• n número de votos afirmativos (S) entre el resto
  de los 19 vecinos.
• Función de mejor respuesta de un jugador tipo A
  (no valora la piscina)
• Fa(n 9) N
• Fa(n lt 9) N, S
• Función de mejor respuesta de un jugador tipo B
  (valora positivamente la piscina)
• Fb(n 10) N
• Fb(n 9) S
• Fb(n lt 9) S, N

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El dilema de los viajeros.

• Dos viajeros reclaman a una compañía aérea una
  indemnización por la pérdida de idéntico objeto
  artístico a cada uno de ellos. El representante
  de la compañía se declara dispuesto a pagarles
  por la pérdida, pero cómo sólo conoce que el
  valor de este tipo de objetos está entre 180 y
  300 euros, les propone el siguiente
  procedimiento.
• Cada viajero debe escribir en un sobre cerrado el
  precio, entre 180 y 300. Si ambos escriben el
  mismo, se les paga dicho precio a cada uno de
  ellos. Si escriben diferentes precios, concluirá
  que el verdadero precio es el menor y les será
  pagado a los dos. Ahora bien, premiará al
  honesto con 5 euros adicionales y penalizará al
  que ha reclamado el precio mayor restándole 5
  euros.

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El dilema de los viajeros.

• Independientemente del valor del premio/castigo
  (en el ejemplo 5 euros), existe un incentivo
  unilateral a recortar la reclamación del otro
  jugador.
• Función de mejor respuesta del jugador 1 (por
  ejemplo)
• F1(x2) x2 1, para x2 gt 180
• F1(x2) x2 , para x2 180.
• Luego, 300 es una acción dominada para ambos
  jugadores.
• Este juego se puede resolver por eliminación
  sucesiva de acciones dominadas. La solución es
  que ambos piden 180 (resultado ineficiente
  obviamente).

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• ELIMINACIÓN SUCESIVA DE ACCIONES DOMINADAS.
• Un ayuntamiento con tres concejales
  Izquierda(I), Centro (C) y Derecha (D).
• Tres políticas sociales (de bienestar)
  alternativas aumentar el gasto (A), reducirlo
  (R) o mantener la situación (M).
• La ordenación de preferencias de I es (A, M, R)
  (de mejor a peor). Para C es (M, R, A) y para D
  es (R, A, M).
• Deben decidir en una única votación secreta por
  mayoría simple. La abstención no es posible. I
  tiene el poder de romper empates, es decir,
  tiene voto de calidad.

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• I tiene como acción dominante votar A.
• Votar M está dominado por votar R para D.
• Votar A está dominado por votar M para C.
• Una vez eliminadas estas acciones, R es acción
  dominante para C y D.
• Resultado A,R,R y gana R, el peor resultado
  para I ! El privilegio de romper empates se
  vuelve en contra de I, si existe información
  completa, pues su elección es completamente
  previsible.