5 KONUM VEKT

1
5KONUM VEKTÖRÜ

• M.Feridun Dengizek

2
Konum Vektörü

• Uzayda koordinatlari bilinen iki nokta arasindaki
  uzaklik ve yönün tayin edilebilmesi için konum
  vektörü kullanilir.
• Eger sadece bir noktanin koordinati biliniyorsa
  konum vektörü ordinat (0,0,0) noktasindan bu
  noktaya çizilen vektör ile ifade edilir.
• Konum vektörlerinde yükseklik genellikle z
  exseninde ifade edilir. (sag el kuralina uygun)
• Konum vektörlerinin birimi metre (m) dir
• KONUM VEKTÖRÜ NOTASYONU
• Eger uzaydaki noktalardan biri A(x,y,z) olarak
  belirlenmis ise bu noktanin konum vektörü
• rA xA iyA jzA k F 5.1
• Diger B noktasinin konum vektörü
• rB xB iyB jzB k
• A noktasindan B noktasina çizilecek konum vektörü
• ?rABrB-rA
• ?rAB(xB-xA)i (yB -yA)j (zB zA)k F 5.2

3
Konum Vektörü

• IKI KONUM ARASINDAKI MESAFENIN BULUNMASI
• Iki konum arasi mesafe dik koordinat eksenlerinde
  ki bilesen farklarinin kareleri toplaminin kare
  kökü kadardir

F 5.3
Konum vektörünün yönü koordinat eksenlerine olan
açilari ile belirlenir
F 5.4
F 5.5
F 5.6
4
ÖRNEK 5.1

• 0 noktasindan A(-4,3,6) noktasina çizilen konum
  vektörü
• rA -4i3j6k
• 0 noktasindan B(8.-5,13) noktasina çizilen konum
  vektörü
• ?rB(8i-5j13k)m
• A noktasindan B noktasina çizilecek konum vektörü
• ?rABrB-rA
• ?rAB(rBx-rAx)i (rBy-rAy)j (rBz rAz)k
• ?rAB(8-(-4)i (-5-3)j (13-6)k
• ?rAB12i - 8j 7k
• Konum vektörünün skalar büyüklügü

Konum vektörünün yönü
5
Birim Vektör

• Birim vektör u kartezyen notasyonu ile yazilmis
  konum vektörünün skalar büyüklügüne bölünmesi ile
  elde edilir.

F 5.7
NOT Vektörel bir deger skalar bir büyüklük ile
çarpilir veya bölünürse sonuç yine vektörel bir
deger olur. Vektörel bir deger bir baska vektörel
deger ile çarpilir veya bölünürse sonuç skalar
bir büyüklük olur. Vektörel bir deger bir baska
vektörel deger ile toplanir veya çikarilirsa
sonuç yine vektörel bir deger olur.
6
Konumlanmis Kuvvet vektörü

• Bir vektörün dogrultusunu belirleyen iki noktanin
  koordinatlari biliniyorsa önce bu dogrultu birim
  vektör olarak tanimlanir.
• Sonra kuvvetin skalar büyüklügü birim vektör ile
  çarpilarak bu kuvvetin kartezyen koordinatlara
  göre yazilmis vektörel degeri elde edilmis olur
• (Not Buradaki kuvvet vektörünün skalar büyüklügü
  daha önceki dersimizde gördügümüz A noktasinda
  baslayip B noktasinda biten skalar büyüklük
  degil)

F 5.8
F 5.9
F 5.10
7
Problem 5.2

• Bir adam 30 metre yüksekteki A noktasina bagli
  ipi B noktasi dogrultusunda 70 N büyüklügünde bir
  kuvvet ile çekmektedir.
• Bu kuvvetin x,y,z dogrultusundaki bilesenleri ve
  koordinat eksenlerine göre açilarini bulunuz.

8
Problem 5.3

• Bir kapak resimdeki gibi iki halat ile duvara
  asili tutulmaktadir.
• Halatlardan birinde FAB 100N
• digerinde ise FAC 120N kuvvet etkin
  oluyorsa
• Toplam kuvvetin bilesenlerini
• A noktasina etki eden toplam kuvveti bulunuz.

Önce koordinatlari belirleyelim A(0,0,4) B(4,0,0)
C(4,2,0)
9
Problem 5.3 Çözümü
?FTx 150N ?FTy 40N ?FTz-150N
10
FARKLI DOGRULTULARDAKI VEKTÖRLERIN NOKTA ÇARPIMI
(DOT PRODUCT)

• Üçüncü dersimizde bir vektörün büyüklük oraninda
  çarpilmasini veya bölünmesini anlatmistik.
• Bu islem sonuç olarak ayni dogrultuda fakat
  farkli büyüklükte bir vektörün olusmasini saglar.
• Ancak farkli dogrultularda iki vektörün
  çarpilmasi için (özellikle üç boyutlu
  vektörlerde) kartezyen vektör sistemi
  uygulanmalidir.
• Eger

• NOKTASAL ÇARPIM KANUNLARI
• Degisme özelligi ? ABBA
• Çarpma özelligi ? a(AB)(aA)BA(aB)
• Dagitim özelligi? A(BC) (AB)(AC)

F 5.11
KARTEZYEN VEKTÖR NOKTA ÇARPIM FORMÜLÜ
F 5.12
DIKKAT Bu çarpim ile skalar büyüklük elde edilir.
11
VEKTÖR NOKTA ÇARPIMI BIRINCI UYGULAMA ALANI

• Vektör çarpiminin birinci uygulandigi durumIki
  vektörün eksenel bilesenlerinin biliniyor
  (kartezyen koordinatlarinin) olmasi durumunda
  aralarindaki açiyi bulmak için kullanilir.
• Vektörlerin birbiri ile çarpilmasi sonucunda
  skalar bir büyüklük elde edilir. Bu büyüklük
  vektürlerin skalar büyüklükler çarpimina
  bölünerek aralarindaki açi bulunur.
• ÖRNEK PROBLEM 5.4
• Yandaki resimde görülen A ve B vektörleri
  arasindaki açiyi bulunuz

F 5.13
F 5.14
12
VEKTÖR NOKTA ÇARPIMI IKINCI UYGULAMA ALANI

• Uzayda birbiri ile çakisan iki vektör bir düzlemi
  belirler.
• Eger bu iki vektörden birisi konumlanmis kuvvet
  vektörü, digeri birim vektör ise çarpimdan çikan
  sonuç
• iki vektör arasindaki düzlemde
• birim vektör dogrultusunda
• Konumlanmis kuvvet vektörünün diger konum
  vektörüne iz düsümü (Fp) skalar bir büyüklük
  olarak elde edilmis olur.

F 5.15
NOT Konumlanmis kuvvet vektörünü vektörel deger
olarak belirten
ile yukarda F 5.15 de belirtilen bileske
vektörünü skalar deger olarak belirten tanimlar
arasindaki farka dikkat ediniz.
13
PROBLEM 5.5 ÇÖZÜMÜ

• Önce AB borusu ve etki eden kuvvet dogrultusu
  için birim vektör bulunur.

F kuvveti y eksenine paralel diger eksenlere dik
oldugu için birim vektörü
Konumlanmis F kuvvet vektörü
F 5.8
F kuvvet vektörünün A-B dogrultusundaki
bilesenini bulmak için konumlanmis F kuvvet
vektörü AB dogrultusu birim vektörü ile çarpilir
F 5. 15
FAB kuvvetinin normal koordinat sistemindeki
bilesenlerini bulmak için FAB kuvveti borunun
birim vektörü ile çarpilir.
F 5.8
F kuvvetinin boruya dik bileseni FD yi bulmak
için pisagor teoreminden yararlanilir.
14
PROBLEM 5.6

• Tabani 3x3 metre olan bir odanin y ekseni
  üzerindeki kenar çizgisinden 1 metre ileride A
  noktasindan bir boru çikarak x ekseni üzerinde
  köseden 3 metre ileride ve z ekseni üzerinde 1
  metre asagida (bodrumda) B noktasina kadar
  uzanmaktadir.
• Bu boru B noktasina bagli bir halat ile oda
  tabanindan x ekseni üzerindeki C noktasindan 80 N
  degerinde bir kuvvet ile çekilmektedir.
• a. Boru ile halat arasindaki ? açisini bulunuz.
• b. F kuvvetinin boru üzerindeki iz düsümünü
  bulunuz.
• c. F kuvvetinin boruya dik olan bilesenini bulunuz

15
PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ

• 1. Önce A,B,C noktalarinin koordinatlari
  yazilir.
• A(x,y,z) ? A(0,1,0)
• B(x,y,z) ? B(2,3,-1)
• C(x,y,z) ? C(2,0,0)
• Sonra B den A ya borunun ve
• B den C ye kuvvetin (halatin) konum
  vektörleri yazilir.
• rA 0i1j 0k
• rB 2i 3j -1k
• rC 2i 0j 0k
• ? rBA rA -rB
• rBA(0-2)i (1-3)j (0-(-1))k
• rBA-2i-2j1k
• ? rBC rC -rB
• ? rBC(2-2)i (0-3)j (0-(-1))k
• rBC-0i-3j1k

3. Konum vektörlerinin skalar büyüklükleri
bulunur.
16
PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ

• a. Çözümü
• Boru ile halat arasindaki açi

rBC-0i-3j1k
rBA-2i-2j1k
17
PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ

• b. ÇÖZÜMÜ
• 1. Önce boru dogrultusunu ve halat dogrultulari
  için birim vektörler yazilir.

F 5.7
2. F kuvveti halat dogrultusunda etki ettigi için
halat dogrultusu birim vektörü F kuvveti ile
çarpilarak konumlanis kuvvet vektörü bulunur
F 5.8
NOT Burada skalar bir büyüklük, vektörel bir
deger ile çarpilarak bir baska vektörel deger
elde ediliyor
3. Boruya paralel etki eden FP kuvvetini bulmak
için konumlanmis FBC vektörü boru dogrultusundaki
birim vektör ile çarpilarak FP skalar bir
büyüklük olarak bulunur
F 5.15
NOT Burada bir vektörel deger bir baska vektörel
deger ile çarpilarak skalar bir büyüklük elde
ediliyor
4. Boruya dik etki eden degeri bulmak için
pisagor teoreminden yararlanilabilir