Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali

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Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali
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ES-1
SERIE TEMPORALI

• Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO
  (problemi dinamici)

• Introduzione della variabile t

• Analisi nel dominio del tempo

• Analisi nel dominio della frequenza

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ES-2
Serie temporali e computer

• I segnali del mondo reale possono essere
  modellati come funzioni reali x() di una
  variabile reale t (segnali analogici).

• Necessità di segnali campionati

T periodo di campionamento x(nT) sequenza

• Teorema di Nyquist

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ES-3
Dal segnale discreto al vettore
Hp x(t) ad energia finita ? x(nT) di lunghezza
finita NT
Proiezione lungo lasse Fi
Punto dello spazio ?N-D
Un segnale discreto di lunghezza N è un vettore
in uno spazio N-dimensionale
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ES-4
Loperatore ritardo
delta di Dirac
d ? basi per rappresentare i segnali discreti
nel dominio del tempo
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ES-5
Lo spazio del segnale
z
asse x
x(n-3)
x(n-2)
x(n-1)
x(n)
x(n)
Traiettoria del Segnale
asse y
x(n-4)
x(n-3)
x(n-2)
x(n-1)
x(n-3)
y
x(n-1)
x(n-2)
asse z
x
x(n-5)
x(n-4)
x(n-3)
x(n-2)
Spazio di ricostruzione o Spazio del segnale
x(n-3)
x(n-2)
x(n-1)
x(n)
linea di ritardo

• La traiettoria dipende dalle proprietà della
  serie temporale e può permettere ad un sistema
  connesso alloutput della linea di ritardo di
  estrarre il modello della serie.

Un enorme numero di campioni ? enorme dimensione
dello spazio
Sottospazio del segnale
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ES-6
Il sottospazio del segnale
K dipende dalla complessità della traiettoria
Potrebbe servire K-D KK
I rami si incrociano. Perdo il mappaggio 1 a 1
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ES-7
Trovare la dimensione K dello spazio di
ricostruzione che quantifichi appropriatamente le
proprietà del segnale
Finestra temporale sliding
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ES-8
IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE)
N
å
(
)
(
)
(
)
(
)
T
T


-

w
n
x
n
x
w
i
n
x
w
n
y
i

0
i


(
)
(
)
(
)
(
)
-

-N
1
n
x
n
x
n
x
n
x
K



w
w
w
w
K
1
0
N
FIR ? FINITE IMPULSE RESPONSE (risposta
impulsiva finita)
y(n) ha lespressione vista nelle reti Hebbiane
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ES-9
x
x(n-N)
x(n-1)
x(n)

• y è la proiezione di x sul vettore peso w ?
• Il C.L. è un proiettore lineare dellinput nello
  spazio del segnale, secondo la direzione dei pesi
• La scelta ottimale dei pesi preserva al massimo
  linformazione contenuta nellinput

Idea base del filtraggio
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ES-10
Esempi di filtraggio
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ES-11
ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO (SISTEMI LINEARI)
La risposta impulsiva
Risposta impulsiva h(n)

• Descrive completamente un sistema lineare

per il combinatore lineare

h(i) wi

• La h(n) di un C.L. ha lunghezza finita ? FIR

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ES-12
La convoluzione
y(n) risposta ad un generico input x(n)
sistema causale
Per il combinatore lineare
M N campioni
(notare la pesantezza del calcolo)
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ES-13
Sistemi ricorrenti e stabilità
IL FILTRO IIR
Un filtro IIR è caratterizzato da connessioni
ricorrenti o feedback
Esempio
? Eq.ne alle differenze

• La h(n) ha estensione infinita IIR ? Infinite
  Impulse Response

(risposta impulsiva infinita)
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ES-14
Analisi della stabilità
0 lt m lt 1
stabile
m 0
marginalmente stabile

• lt 0

instabile
Obiettivo dellelaborazione dei segnali avere un
sistema che risponda allinput ? a risposta
impulsiva di durata finita
Importanza del coefficiente di feedback
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ES-15
ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

• Descrizione di un segnale mediante il suo SPETTRO

x(t) ? x(n) Tf N Tc n 0, , N-1
Intervallo di campionamento
Numero di campioni
nN-1
x(n) generico campione n 0, , N-1
segnale campionato
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ES-16
La trasformata di Fourier
Trasformata di Fourier del segnale
x(t)
Spettro continuo
N numeri
Tf N Tc
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ES-17
La trasformata di Fourier discreta (DFT)
DFT
IDFT
X (k)
Tf NTc
t
N-1
Tc
fc/2
ff
k
N CAMPIONI
Spettro di N righe
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ES-18
d(n - N 1)
x(N -1)
X(N -1)
d(n - 1)
x(1)
X(1)
x(0)
X(0)
d(n)
Dominio della frequenza
Dominio del tempo
X(k) ? C X(k) k - esimo coeff. di
Fourier X(k) trasformata di Fourier
discreta DFT o spettro X(k) spettro delle
ampiezze / X(k) spettro delle fasi
x(k) ? R
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ES-19
La Z-trasformata
z ? C
Combinatore lineare
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ES-20
La funzione di trasferimento
Funzione di trasferimento
Z-trasformata della risposta impulsiva (polinomio
algebrico)
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ES-21
La risposta in frequenza
H(e jwt) H(w) risposta in frequenza
H(w) è H(z) calcolata nel cerchio unitario e jw
T
H(w) è periodica in w con 2p/T (come e jwT)
-1
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ES-22
DFT della risposta impulsiva

• Proprietà
• Risposta a regime
• Calcolo veloce (FFT)
• H(w) ? C H(w) / H(w)

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ES-23
Poli e zeri della risposta in frequenza
zeri z 0 poli z 1-m
Osservazioni qualitative
Stabilità
0ltmlt1
Polo nel cerchio unitario
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ES-24
Filtri lineari
H(k) kcut
Segnale Rumore ad alta frequenza
Segnale filtrato
Tf N Tc
X(k)
PASSA BASSO
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ES-25
Passa - basso
Passa - alto
Passa - banda

• Per la scelta dei wi
• Procedura di sintesi
• Procedure di ottimizzazione