Programmaturas matematiskie modeli

1
Programmaturas matematiskie modeli

• Sintakse un semantika

2
Galigs automats (akceptors)

• Galigu automatu (akceptoru) raksturo- Galiga
  stavoklu kopa Q (kados stavoklos automats var
  atrasties).- Galigs ieejas simbolu alfabets I
  (kadus ieejas simbolus automats var sanemt /
  kados notikumos automats var piedalities).-
  Pareju attieciba ? ? Q?I?Q. ?q,a,q? ? ?
  apzimejam ari ka q -a? q, pieraksts tam, ka no
  stavokla q, sanemot ieeja simbolu a, automats var
  pariet uz stavokli q.- Sakuma stavoklu kopa S ?
  Q, beigu stavoklu kopa F ? Q.
• Definejam, ka automats ir kortežs A ?Q, I,
  ?, S, F? (minetie 5 elementi automatu raksturo
  viennozimigi).
• Automats akcepte vardu. I - galigo vardu kopa
  alfabeta I.
• (x ? I ) ? ?k x a1a2ak, ?i?k ai ? I.
• Rakstam q -x? q, ja q -a1? q1 a2? q2 ak? qk
  q pareja ar vardu x no stavokla q uz stavokli
  q.
• Definicija. Automats A akcepte vardu x ? I , ja
  ?q ? S, ?q ? F q -x? q.
• Definicija. Automata A valoda L(A) x ? I A
  akcepte x.

3
Galigs automats ka programmas modelis

• Galigs skaits dažadu stavoklu un parejas starp
  tiem.
• Kafijas automats
• Katra bridi atrodas viena no 2 stavokliem
• Var pienemt monetu, vai var izdot kafiju.
• Stavokli nosaka iepriekšeja darbibu seciba.
• Galigs dažadu stavoklu skaits, galigs skaits
  variantu, ka automats var reaget pašreizeja
  situacija.
• Ir sistemas, ko var adekvati aprakstit ar galigu
  automatu.
• Cita veida sistemam galigs automats var but
  abstrakcija, kas var atspogulot vairakas (lai
  ari ne visas) butiskas sistemas ipašibas.
• Galigi automati butiski gan valodu sintakses, gan
  semantikas uzdošana (redzesim ari atškiribas
  starp šiem 2 lietojumiem).

4
Galigi automati un diskretie procesi

• Galigs automats A ?Q, I, ?, S, F?, kur ? ?
  Q?I?Q, S ? Q, F ? Q.
• Automats define diskreto procesu katra bridi
  automats atrodas noteikta stavokli. Ienakošie
  simboli maina automata stavokli.
• Diskretais process programmas semantiskais
  objekts
• Katrs no stavokliem parada, kadas ir talakas
  iespejamas automata darbibas (sk. kafijas
  automats).
• Katram automatam ta darbibas laika iespejams
  galigs iekšejo situaciju skaits.
• Iekšeja situacija raksturo, kas ar automatu
  noticis pagatne, un kas ar to var notikt nakotne.
  
• Galigam automatam galiga, ierobežota atmina par
  to, kas ir noticis pagatne.
• C, PASCAL programma vadibas informacija
  dati, mainigo vertibas, var izdarit vairak, neka
  ar galigo automatu.

5
Determineti automati

• Galigs automats A ?Q, I, ?, S, F?, kur ? ?
  Q?I?Q, S ? Q, F ? Q.
• Definicija. Automats A ir determinets, ja (1) ?!
  q?S (automatam ir tieši viens sakuma stavoklis)
  un(2) ?q?Q, ?a?I q a?q ? q a?q ? q q
  (ne vairak ka 1 parejas iespeja no katra
  stavokla ar katru ieejas alfabeta simbolu).
• Automats ir nedeterminets, ja tam neizpildas
  kada no prasibam (1) vai (2).
• Kadreiz lieto vardus nedeterminets automats,
  lai uzsvertu, ka nav zinams tas, ka automats ir
  determinets (bet tas nav ari izslegts, ka
  automats var izradities determinets).
• Varam rakstit Det ? Aut, kur Det determineto
  automatu kopa, bet Aut visu (vispar sakot,
  iespejams, ka nedeterminetu) automatu kopa.
• Definicija. Automats A ir pilns, ja ?q?Q, ?a?I
  eksiste tads q, kam q a?q .
• Piezime. Atseviškos avotos par determinetiem var
  tikt saukti automati, kas ir vienlaikus gan
  determineti (šeit dotas definicijas nozime), gan
  pilni.

6
Galigi automati piemeri

• Galigs automats A ?Q, I, ?, S, F?, kur ? ?
  Q?I?Q, S ? Q, F ? Q.
• 1) I a,b, L x ? I (b,x) ir nepara
  skaitlis ((b,x) burta b ieiešanas reižu
  skaits varda x).

Katrs no stavokliem raksturo sanemto b burtu
skaitu para skaits, vai nepara skaits. Automats
nevar atškirt, vai sanemti 5 vai 9 b burti. 2) I
a,b,c, L x ? I ?y,z? I, x y a b b z
(akcepte tos un tikai tos vardus, kas satur
fragmentu abb).
Katrs no stavokliem raksturo to sakuma fragmentu
no varda abb, kas jau ir nolasits. Šis sakuma
fragments raksturo, kadas darbibas ar ieejas
simboliem veicamas turpmak.
7
Galigie automati iespejas

• Galigs automats var atpazit valodas
• L x1, x2, , xn jebkura galiga valoda.
• I a,b, L x ? I (b,x) ir nepara
  skaitlis . Var but ari burta ieiešanas reižu
  skaita dališanas ar citu skaitli, noteikts
  minimali nepieciešamais burtu skaits, u.taml.
• I a,b,c, L x ? I ?y,z? I, x y a b b
  z (akcepte tos un tikai tos vardus, kas satur
  fragmentu abb). Var but jebkurš cits fragments.
  Var but gan apakšvards, gan apakšvirkne, u.c.
  Piemerus var turpinat.
• Valodas, ko galigs automats var atpazit t.s.
  regularas valodas (sk. automatu teorija).
• Teorema. Ja valodam L1 un L2 eksiste galigi
  automati, kas tas atpazist, tad galigi
  atpazistoši automati eksiste ari valodam- L1 ?
  L2, L1 ? L2, I \ L1, - L1 L2 x y x ?
  L1, y ? L2 - L1 x1 x2 xn n ? 0 ? ?i?n
  xi?L1
• Teoremu var pielietot ari vairakkartigi, lai no
  vienkaršakam valodam uzkonstruetu sarežgitakas
  valodas (pieradijuma pieejamas konstrukcijas, kas
  pec vienkaršakas valodas atpazistošajiem
  automatiem uzkonstrue automatus sarežgitakam
  valodam).

8
Regularas valodas (definicija)

• Regularas izteiksmes alfabeta ?, kopa R(?)
• Ja a ? ?, r0,r1 ? R(?), tad kopa R(?) ietver ari
  šadus elementus r
• r ? ? a (r0)(r1) (r0)(r1)
  (r0) (r0)
• Katrai regularai izteiksmei r atbilst valoda L(r)
  ? ? .
• L(?) ?
• L(? ) ?
• L(a) a
• L(XY) L(X) ? L(Y)
• L(XY) L(X) L(Y) xy x ? L(X) ? y ? L(Y)
• L(X) ?i ? N L(Xi), kur L(X0) ? un L(Xi1)
  L(XXi)
• L((X)) L(X)

9
Galigie automati ierobežojumi

• Valodas, ko neviens galigs automats nevar atpazit
  (piemeri)
• L an bn I n ? N , vardi, kas sastav no
  noteikta skaita a burtiem, kam seko tikpat daudz
  b burti.
• Automatam, kas šadu valodu atpazitu, butu
  jaakcepte katru no taja ietvertajiem vardiem, un
  tas nedrikstetu akceptet nevienu citu vardu. Var
  pieradit, ka šads galigs automats nav iespejams
  (pa celam jaatceras potenciali neierobežots
  informacijas daudzums cik tad a burtu lidz šim
  bija?).
• Pienemsim, ka ir kaut kads automats A, kas
  atpazist valodu L. Automatam A ir noteikts skaits
  stavoklu n.
• Apskatam celu (vienu no celiem), kadu automats A
  iziet no sakuma stavokla lidz akceptejošam
  stavoklim ar vardu an bn , šaja cela stavokli pec
  fragmenta ai apstrades apzimejam ar si.
• Aplukojam stavoklus s0, s1, sn. Ta ka šo stavoklu
  ir n1, bet automata ir tikai n dažadi stavokli,
  tad si sj, kaut kadiem i, j, kam i lt j. Redzam,
  ka automats akcepte ari vardu an-ji bn, ko tam
  nevajadzetu akceptet. Pretruna.

10
Galigie automati ierobežojumi (2)

• Valoda, ko neviens galigs automats nevar atpazit
• L x ? I x ir simetrisks (ja I sastav no
  vismaz 2 simboliem).
• Pieradijums analogisks valodas an bn I n ? N
  gadijumam.
• Pienemam pretejo, ka eksiste kads automats A, kas
  var atpazit valodu L, šim automatam ir noteikts
  stavoklu skaits, n.
• Aplukojam vardu an b an , tas ir simetrisks,
  tadel A šo vardu atpazist, eksiste celš automata
  no sakuma stavokla uz beigu stavokli, gar kuru
  var tikt nolasits šis vards.
• Fiksejam vienu no šadiem celiem, šaja cela
  stavokli pec fragmenta ai apstrades apzimejam ar
  si.
• Analogiski ka iepriekšeja gadijuma pieradam, ka
  šis automats akceptes ari vardu an-ji b an ,
  kur i lt j ? n, kurš nav simetrisks.
• Pretruna.

11
Nedetermineti automati valodas

• Teorema. Katram nedeterminetam automatam A
  eksiste atbilstošs determinets automats A, kuram
  L(A) L(A).
• Automats A akcepte tos un tikai tos vardus,
  kurus akcepte automats A.
• Ja automatam A ir n stavokli, tad automatam A
  stavoklu skaits neparsniegs 2n.
• Konstrukcijas ideja (no A iegut A)Ja A ?Q,
  I, ?, S, F?, tad A ?2Q, I, ?, S, F?, kur
  jaunas stavoklu kopas 2Q elementi ir visas kopas
  Q apakškopas Q1 -a? Q2, ja Q2 q ?q ?Q1
  q -a?q Q1 ?F, ja ?q ?Q1 q ?F.
• Daudzos gadijumos konstrukcijas var but
  vienkaršakas (mazak stavoklus prasošas).
• Noverojums dažadas abstrakto mašinu klases (Det
  un Aut), tomer viena un ta pati izteiksmes speja
  (speja akceptet vienas un tas pašas valodas).
• Piemers uzkonstruet atbilstošu determinetu
  automatu.

12
Nedetermineti automati diskretas iekartas

• Ja meginam nedeterminetu automatu izpildit, ar
  kadu diskreto procesu sastopamies?
• Kas notiek tad, ja viena bridi dažadas iespejas
  izpildit pareju, kas atbilst sanemtajam ieejas
  simbolam a?
• Klasiska pieeja (ka iepriekšeja slaida) automats
  atceras visas iespejas, kadas bija izdarit šo
  pareju (atceras visus stavoklus, lidz kuram ar
  lidz šim sanemto vardu bija iespejams aiziet) un
  procesa (ieejas varda) beigas apskatas, vai starp
  visam iespejam bija kada, kas ir laba (noved
  lidz akceptejošam stavoklim).
• Reala laika pieeja automata iekšiene notiek
  nedetermineta izvele katra simbola sanemšanas
  bridi.
• Vai šadi 2 automati ir ekvivalenti (uzskatam, ka
  visi automatu stavokli ir akceptejoši)?
• Abi automati akcepte vienu un to pašu valodu a
  ( an n ? N ).

Reala laika izpratne labas puses automata
iespejams strupcelš stavoklis, no kura nav
iespejama neviena talaka pareja. Reala laika
sistemam tas ir slikti.
13
Divas pieejas automatu nedeterminitatei

• A. Valodu pieeja automats akcepte vardu, ja
  eksiste celš cauri tam, pa kuru var šo vardu
  nolasit.
• Automati ir ekvivalenti, ja tiem valodas sakrit.
• B. Reala laika pieeja automats katra savas
  izpildes reize izpilda vienu no nedeterminetas
  izveles scenarijiem.
• Lai pieraditu kadu automata ipašibu, to japierada
  visiem automata celiem.
• A sintakses analize izmantota pieeja.
• B semantiskaja modelešana tipiski izmantotais
  variants (izmanto ari valodu pieeju)
• Laba zina determinetiem automatiem dažadi
  semantiskie modeli ir sava starpa lidzvertigi.
• Nedetermineti modeli paralelam sistemam mazliet
  velak šaja kursa.

14
Pareju sistemas

• Programmas semantiskais objekts var nebut
  galigs.
• Pareju sistema visparigaja gadijuma M ltS, V,
  ?, I, FgtS stavoklu kopa (galiga vai
  bezgaliga), konfiguraciju kopa, ietverta visa
  informacija par programmas stavokli (gan datu,
  gan vadibas informacija)V programmas ievada
  un izvada darbibu kopa (var tikt sadalita kopas
  Vin un Vout, kas atbilst ieejas un izejas
  darbibam, vai ari tikt veidota ka Dekarta
  reizinajums Vin ? Vout)? ? S ? V ? S pareju
  attieciba, parasti determineta (vienam stavoklim
  un vienai ieejas darbibai tikai viena iespejama
  pareja)I ? S sakuma stavoklu kopa (var but
  vajadziga kopa, kas satur vairak, neka vienu
  elementu, ja programmas ieejas datus ietveram
  stavokla informacija)F ? S beigu stavoklu
  kopa.
• Pareju sistemas aplukosim operacionalas
  semantikas ietvaros.

15
Paplašinatie automati

• Ja sistemas struktura ir galiga vadibas
  komponente un datu komponente, kuru erti aplukot
  ka iespejami bezgaligu, tad pareju sistemu var
  attelot t.s. paplašinata automata veida.Šadi var
  raksturot proceduru semantiku tradicionalas
  programmešanas valodas.
• Paplašinats automats A ?Q, D, L, V, E, S, D0,
  F?Q galiga vadibas stavoklu kopaD
  (iespejami) bezgaliga datu vertibu kopa, piemeram
  DFun(Var,Z) galigai mainigo kopai Var L
  galiga notikumu (ieejas un izejas simbolu) kopaV
  (iespejams) bezgaliga ieejas un izejas datu
  vertibu kopaE škautnu kopa, ?e?E definetas
  funkcijas s(e) ?Q - izejas virsotne, t(e) ?Q
  ieejas virsotne, l(e) ?L iezime
  (notikums), p(e) D x V ? 0,1 škautnes
  predikats, ?(e) D x V ? D x V datu
  transformacija ( e ?s,t,l,p,? ? ).S ? Q
  sakuma virsotnu kopa, F ? Q beigu virsotnu
  kopa, D0 ? D sakuma datu elementu kopa.
• Vienkaršaks variants V () , p(e) D ?
  0,1, ?(e) D ? D.
• Paša paplašinata automata semantika pareju
  sistemas veida
• Pareju attieciba ? ? (Q x D) x (V x L x V) x (Q
  x D)
• Pareja notiek pa škautni e no ?q,d? uz ?q,d? ,
  automatam piedaloties notikuma l(e), sanemot
  ieeja v un izdodot izeja v, ja p(e)(d,v) 1 un
  ?(e)(d,v) (d,v).

16
Blokshema ka paplašinats automats
while ?(xy) do if x?y
then yy-x else xx-y fi od
A ?(xy)
-

B x?y

E beigas
-
C yy-x
D xx-y

• Piemers vienkarša programma un atbilstoša
  blokshema.
• Paplašinatais automats vadibas bloks datu
  bloks, komandas izpilde maina noradi uz kartejo
  instrukciju vadibas bloka, maina datu
  informaciju.
• Blokshema puscelš uz atbilstoša paplašinata
  automata definiciju.
• Vadibas stavoklu kopa A, B, C, D, E
• Datu stavoklu kopa StVar x,y ? Z (vai
  Fun(x,y, Z), vai Z ? Z)
• Lai paplašinato automatu definetu precizi,
  vajadzigi vel pareju nosacijumi pA, pA-, pB,
  pB- (ka predikati kopa StVar) un pareju
  funkcijas fA, fA-, fB, fB-, fC, fD (ka
  funkcijas StVar ? StVar).

17
Tema galigu automatu analize

• Programmaturas matematiskie modeli

18
Galigu automatu analize

• Ja dots galiga automata apraksts (automata
  diagramma, automata pareju uzskaitijums teksta
  forma, vai ka citadi), vai mes varam kaut ko
  pateikt par to diskreto procesu, ko šis automats
  realize? Par valodu, ko šis automats apraksta?
• Automatu analizes problemas (piemeri)
• Pec dota automata A noskaidrot, vai L(A) ? ?
• Pec dota automata A un dota a ? I noskaidrot, vai
  L(A) satur kadu vardu x, kura ir vismaz viens
  (vai tieši viens) a burts?
• Pec dota automata A un dota q ? Q noskaidrot, vai
  automata eksiste celš no kada sakuma stavokla
  lidz stavoklim q?
• Pec 2 dotiem automatiem A un B noskaidrot, vai
  L(A) L(B) ?
• Fakts. Visas šeit minetas (un daudzas citas
  radniecigas) galigo automatu analizes problemas
  ir algoritmiski atrisinamas (katrai no šim
  problemam eksiste algoritms, kas to risina).
• Motivacija automatam ir galigs skaits stavoklu,
  visus tos ir iespejams parlasit.
• Jautajums vai mes negribetu algoritmus lidzigu
  problemu risinašanai attieciba uz C vai PASCAL
  programmam, kuras mes rakstam?

19
Galigu automatu analize definicijas

• Aplukojam X ?Q.
• Definejam
• Step(X,a) q ?Q ?q ? X q -a?q no X
  ar a viena soli sasniedzamo stavoklu kopa
• Step(X) q ?Q ?q ? X ?b ?I q -b?q
  no X viena soli sasniedzamo stavoklu kopa
• Reach(X,i) no X ar ne vairak ka i soliem
  sasniedzamo stavoklu kopa
• Reach(X,0) X
• Reach(X,i1) Reach(X,i) ? Step(Reach(X,i))
• Ieviešam Next(X) X ? Step(X), tad Reach(X,i1)
  Next(Reach(X,i))
• Next 2Q ? 2Q (2Q - stavoklu kopas Q
  apakškopu kopa)
• Teorema. Funkcija Next ir monotona, t.i. ja A ?B,
  tad Next(A) ?Next(B)
• Reach(X) ? Reach(X,s) s ?N - visu no X
  sasniedzamo stavoklu kopa.

20
Galigu automatu analize piemers

• Pec dota automata A ?Q, I, ?, S, F? noskaidrot,
  vai L(A) ? ? (t.i., vai L(A) satur vismaz vienu
  vardu)?
• Buvejam kopas Ri Reach(S,i) ne vairak, ka i
  solos no S sasniedzamo stavoklu kopa.
• R0 S -- Visi sakuma stavokli, sasniedzami 0
  solos no S.
• Ri1 Ri ? Step(Ri) Next(Ri) -- ne vairak, ka
  i1 solos sasniedzamie stavokli
• Beidzam, kad Ri1 Ri. Apskatamies, vai Ri ? F ?
  ?.
• Kapec šads bridis bus?
• Tapec, ka R0 ? R1 ? R2 ? ? Q galiga kopa.
• Kapec programma izdos pareizu atbildi?
• Ta ka Ri Ri1 tad Next(Ri ) Next(Ri1), t.i.
  Ri1 Ri2 , tatad, pec indukcijas ?k Ri
  Rik . Secinam ?s ?N Rs ? Ri tatad Ri ? Rs
  s ?N Reach(S) visu sasniedzamo stavoklu
  kopa.
• Tatad, L(A) ? ? tad un tikai tad, ja Ri ? F ? ?.
• Programmas pseidokods
• Kopai X ? Q rakstam X(q) 1, ja q ?X, citadi
  X(q) 0.
• Mainigie (masivi) R(q), q ?Q karteja kopa
  Ri1 , T(q), q ?Q iepriekšeja kopa Ri

21
Galigu automatu analize piemers, programma

• Pec dota automata A ?Q, I, ?, S, F? un dota a ?
  I noskaidrot, vai L(A) satur kadu vardu x?
• Programmas pseidokods
• Kopai X ? Q rakstam X(q) 1, ja q ?X, citadi
  X(q) 0.
• Mainigie (masivi) R(q), q ?Q karteja kopa
  Ri1 , T(q), q ?Q iepriekšeja kopa Ri
• ?q T(q) 0 ?q R(q) S(q) / sakuma
  inicializacija R1 S /
• while ?q ( R(q) ? T(q)) do
• ?q T(q) R(q) / Nokopejam kartejas
  vertibas uz iepriekšejam /
• for all q ?Q, T(q) 1 if ?b ?I q -b?q then
  R(q) 1
• end for / Cikla veidojam jaunas kartejas
  vertibas /
• end while
• if ?q R(q) 1 ? F(q) 1 then print Yes! else
  print No ..

22
Galigu automatu analize piemers (2)

• Pec dota automata A ?Q, I, ?, S, F? un dota a ?
  I noskaidrot, vai L(A) satur kadu vardu x, kura
  ir vismaz viens a burts?
• Kopas Ri ne vairak, ka i solos no S sasniedzamo
  stavoklu kopa, Rai ne vairak, ka i solos no S
  sasniedzamo stavoklu kopa ar vardu, kas satur
  vismaz vienu a simbolu.
• R0 S, Ra0 ?
• Ri1 Ri ? q ?Q ?q ? Ri ?b ?I q -b?q
• Rai1 Rai ? q ?Q ?q ? Ri q -a?q ? q
  ?Q ?q ? Rai ?b ?I q -b?q
• Beidzam, kad Ri1 Ri un Rai1 Rai .
  Apskatamies, vai Rai ? F ? ?.
• Kapec šads bridis bus?
• Tapec, ka R0 ? R1 ? R2 ? ? Q un Ra0 ? Ra1 ? Ra2
  ? ? Q , Q galiga kopa
• Kapec programma izdos pareizu atbildi?
• Definejam R ? Rs s ? N , Ra ? Ras s ?
  N
• Ra to stavoklu kopa, kas sasniedzami ar vardu,
  kurš satur a.
• Ta ka Ri Ri1 , tad Ri1 Ri2 un pec
  indukcijas ?k Ri Rik , tatad Ri R.
• Ta ka Ri Ri1 ? Rai Rai1 , tad Ri1 Ri2
  ? Rai1 Rai2 un pec indukcijas ?k Ri Rik
  ? Rai Raik , tatad Ri R ? Rai Ra.
• Tatad Rai ? F ? ? ? Ra ? F ? ? un algoritms
  izdos pareizu atbildi.

23
Galigu automatu analize piemers, programma (2)

• Pec dota automata A ?Q, I, ?, S, F? un dota a ?
  I noskaidrot, vai L(A) satur kadu vardu x, kura
  ir vismaz viens a burts?
• Programmas pseidokods
• Kopai X ? Q rakstam X(q) 1, ja q ?X, citadi
  X(q) 0.
• Mainigie (masivi) R(q), q ?Q karteja kopa
  Ri1 , T(q), q ?Q iepriekšeja kopa RiRa(q),
  q ?Q karteja kopa Rai1 , Ta(q), q ?Q
  iepriekšeja kopa Rai .
• ?q T(q) 0 ?q R(q) S(q) / sakuma
  inicializacija R1 S /
• ?q Ta(q) 0 ?q Ra(q) 0
• while ?q ( R(q) ? T(q) ? Ra(q) ? Ta(q) ) do
• ?q T(q) R(q) ?q Ta(q) Ra(q)
• for all q ?T(q) if ?b ?I q -b?q then R(q)
  1
• if q -a?q then Ra(q) 1 end for
• for all q ?Ta(q) if ?b ?I q -b?q then Ra(q)
  1 end for
• end while
• if ?q Ra(q) 1 ? F(q) 1 then print Yes!
  else print No ..

24
Galigu automatu ekvivalence

• Definicija. Galigus automatus A un B sauksim par
  ekvivalentiem (klasiskaja nozime), ja L(A)
  L(B).
• Teorema. Eksiste algoritms, kas pec 2 dotiem
  galigiem automatiem nosaka, vai tie ir
  ekvivalenti.
• Pieradijums. Doti 2 automati A ?Q1, I, ?1, S1,
  F1? un B ?Q2, I, ?2, S2, F2?.
• Pienemsim, ka A un B ir pilni, t.i. katra no šiem
  automatiem no katra stavokla eksiste pareja ar
  katru ieejas simbolu.
• (Ja kads no A vai B nebutu pilns, tad to varetu
  parveidot par ekvivalentu pilnu automatu,
  pievienojot papildus neakceptejošu stavokli, uz
  kuru novirzit visas parejas, kas sakotneja
  automata nav definetas).
• Izveidojam automatu A ?? B ? Q1 ? Q2, I, ?, S1
  ? S2, F1 ? (Q2 \ F2) ? (Q1 \ F1) ? F2 ? ,
• kur pareju attieciba ? defineta ka ?s,t ? -a?
  ?s,t ? tad un tikai tad, ja ?s? -a?1 ?s? un ?
  t ? -a?2 ? t ?.
• A un B ir ekvivalenti tad un tikai tad, ja L(A ??
  B) ?.

25
Paplašinatu automatu analize

• Dažadas paplašinato automatu klases (dažadi
  škautnu predikati un transformejošas funkcijas),
  tam atbilst dažadas analizes iespejas
• Var but ta, ka neeksiste algoritms pat vienkaršu
  ipašibu automatiskai noskaidrošanai noteiktam
  paplašinato automatu klasem
• Pat vienkaršam paplašinato automatu klasem (t.sk.
  paplašinatiem automatiem, kas atbilst proceduram
  parastas programmešanas valodas) neeksiste
  algoritmi vienkaršu ipašibu (piemeram, virsotnes
  sasniedzamiba) automatiskai noskaidrošanai
• Sk. algoritmu teorija ..
• Šaja kursa varesim šos jautajumus aplukot
  programmu korektibas apgalvojumu konteksta

26
Tjuringa mašinas

• Tjuringa mašina - abstrakta mašina, paplašinats
  automats - vadibas bloks galigs automats,-
  datu bloks bezgaliga lenta, sadalita šunas,
  katra šuna iespejams ierakstit vienu simbolu no
  fikseta galiga alfabeta, katra bridi automata
  galvina apluko vienu no šunam- operacija
  atkariga no automata stavokla un no simbola, kas
  uz lentas preti galvinai pec izpildes jauns
  stavoklis, jauns simbols uz lentas un parvietota
  galvina.
• M ?Q, L, P, S, F?
• Q galiga automata stavoklu kopa,
• L 0,1, ?, galigs lentas simbolu alfabets
• P mašinas komandu kopa (programma), katra
  komanda ir forma qiak?qjare, kur qi, qj ?Q, qi
  komandas sakuma stavoklis, qj komandas beigu
  stavoklis ak, ar ?L, ak no lentas nolasitais
  simbols, ar uz lentas uzrakstitais simbols e
  ?L,R,E galvinas nobide L pa kreisi, R pa
  labi, E paliek uz vietas
• Tjuringa mašinas izpilde Ja automats stavokli qi
  redz simbolu ak, tas uzraksta uz lentas simbolu
  ar, pariet uz stavokli qj un pabida galvinu uz
  lentas par e.
• S ? Q sakuma stavoklu kopa, F ? Q beigu
  stavoklu kopa.

27
Paplašinatu automatu algoritmiska analize

• Analizes problemas stavokla sasniedzamiba,
  noteikta darbibas scenarija iespejamiba
  (piemeram, ieciklošanas, utt.),
  programmas/automata atbilstiba specifikacijai
• Galigi automati visas butiskas analizes
  problemas algoritmiski atrisinamas.
• Tjuringa mašinas, universalas programmešanas
  valodas var pieradit, ka visas butiskas
  analizes problemas visparigaja gadijuma
  algoritmiski neatrisinamas.
• Petnieciski jautajumi atrast tadas paplašinato
  automatu / programmu klases, kuram noteikta
  analizes problema tomer ir algoritmiski
  atrisinama. Stavoklu kopa ir bezgaliga, tatad
  metodes nevar but vienkarša parlase.
• Skaititajs zi programmas mainigais sakuma 0,
  operacijas zi zi1, zi zi (-)1, zi 0.
• Teorema. Pec dotas Tjuringa mašinas M var
  uzkonstruet automatu ar 2 skaititajiem A(M), kas
  apstajas tad un tikai tad, ja M apstajas, sakot
  darbu ar tukšu lentu.
• Sekas. Automatu ar 2 skaititajiem klase virsotnes
  sasniedzamibas problema ir algoritmiski
  neatrisinama.
• Teorema. Eksiste algoritms, kas pec dota automata
  ar 1 skaititaju un dotas virsotnes automata
  nosaka, vai ši virsotne ir sasniedzama.
• Citas paplašinato automatu klases interesanta
  petnieciska nozare.