Sabit Varyans

1
Sabit Varyans
Var(uiXi) Var(ui) E(ui2) s2 ? Esit Varyans
EKKYnin varsayimlarindan biri anakütle
regresyon fonksiyonu ui lerin esit varyansli
olmasidir. Her hata terimi varyansi bagimsiz
degiskenlerin verilen degerlerine göre s2 ye esit
ayni (sabit) bir degerdir. Bu nedenle esit
varyansa sabit varyans da denir.
2
Sabit Varyansta Hatalarin Dagilimi
Tüketim
yt
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xt
Gelir
3
Sabit Varyans Durumu
yt
f(yt)
Tüketim
.
.
.
.
x1
x2
x3
x4
xt
Gelir
4
Farkli Varyans Kavrami

• Sabit varyans(homoscedasticity) varsayimina
  göre verili
• açiklayici degiskenlerine bagli olarak
  nin kosullu varyansi sabittir
• Farkli varyans (heteroscedasticity) durumunda
  ise de-gistikçe nin kosullu
  varyansi da degisir
• Farkli varyansa bir örnek olarak tasarruflarin
  varyansinin gelirle birlikte artmasini
  verebiliriz.
• Yüksek gelirli ailelerin tasarruflari, düsük
  gelirli ailelere oranla hem ortalama olarak daha
  çoktur hem de degisirligi daha fazladir.

i1, 2,..,n
5
Farkli Varyans
Var(uiXi) Var(ui) E(ui2) si2 ? Farkli
Varyans
6
Farkli Varyansta Hatalarin Dagilimi
Tüketim
.
yt
xt
Gelir
7
Farkli Varyans Durumu
yt
f(yt)
Tüketim
.
.
Zengin bireyler
.
Yoksul bireyler
x1
x2
x3
x t
Gelir
8
Farkli Varyansin Nedenleri

• Hata terimi varyansinin degisken olma
  nedenlerinden bazilari sunlardir
• Hata ögrenme (error learning) modellerine göre
  bireyler bazi konulari ögrendikçe daha az hata
  yaparlar. Buna göre de nin de zamanla
  küçülmesi beklenir.
• Örnek olarak, bilgisayarda klavye kullanma
  süresi arttikça hem klavye hatalari hem de
  bunlarin varyanslari azalir.

9
Farkli Varyansin Nedenleri

• Gelir düzeyi arttikça gelirin harcanabilecegi
  seçenekler de genisler. Böylece, gelir düzeyi ile
  birlikte hem harcamalarin hem de bunlarin
  varyanslarinin artmasi beklenir.
• Zaman içerisinde veri derleme tekniklerinin
  gelismesine kosut olarak de düsebilir.
• Farkli varyans disadüsen(outlier) gözlemlerin
  bir sonucu olarak da ortaya çikabilir.Böyle
  gözlemlerin alinmasi ya da birakilmasi, özellikle
  de örneklem küçükken sonuçlari önemli ölçüde
  degistirebilir.

10
Farkli Varyansin Nedenleri

1. Farkli varyansin bir diger nedeni de model
   belirleme (spesifikasyon) hatasidir. Özellikle de
   önemli bir degiskenin modelden çikartilmasi
   farkli varyansa yol açabilir.
2. Farkli varyans sorunu yatay kesit verilerinde
   zaman serisi verilerine oranla daha fazla
   görülebilmektedir. Bunun nedeni, zaman
   serilerinde degiskenlerin zaman içerisinde yakin
   büyüklüklerde olma egilimidir.

11
Farkli Varyans ile Karsilasilan Durumlar

• Kesit Verilerinde.
• Kar dagitim modellerinde.
• Sektör modellerinde.
• Ücret modellerinde.
• Deneme - Yanilma modellerinde.

12
En Küçük Kareler Ile Ilgili Özellikleri

• 1. En Küçük Kareler Tahmincileri dogrusal ve
  sapmasizdir.
• 2. Katsayi tahmincileri etkin degildir.
• 3. En Küçük kareler tahmincilerinin standart
  hatalari dogru degildir.
• 4. Standart hata formulleri dogru olmadigindan
  güven araliklari ve hipotez testleri geçerli
  degildir.

13
yt b1 b2xt et
Farkli varyans durumunda
En küçük kareler varyans formulu geçersizdir
Enküçük kareler varyans formulu asagidaki gibi
düzeltilmelidir.
14
Farkli Varyansin Belirlenmesi

• Grafik Yöntemle.
• Sira Korelasyonu testi ile.
• Goldfeld-Quandt testi ile.
• White testi ile.
• Lagrange çarpanlari testi ile

15
Grafik Yöntem
16
Grafik Yöntem
17
Grafik Yöntem
18
Sira Korelasyonu Testi
1.Asama
H0 r 0
H1 r ? 0
ttab ?
2.Asama
a ?
s.d.?
3.Asama
4.Asama
thes gt ttab
H0 hipotezi reddedilebilir
19
Sira Korelasyonu Testi
Y
X
e
Xs
es
di2
di
75 88 95 125 115 127 165 172 183 225
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
7.0545 4.7091 -3.6364 11.0182 -14.327 -17.672 4.98
18 -3.3636 -7.7091 18.9455
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
-4
16
3
-1
1
2
1
1
7
-3
9
8
-3
9
9
-3
9
4
3
9
1
7
49
6
3
9
10
0
0
Sdi2112
Mutlak degerli olarak bulunduklari yer itibariyle
küçükten büyüge sira numarasi verilir
dXs -es
20
Sira Korelasyonu Testi
0.3212
1.Asama
H0 r 0
H1 r ? 0
ttab 2.306
2.Asama
a 0.05
s.d. 8
3.Asama
0.9593
4.Asama
thes lt ttab
H0 hipotezi reddedilemez.
21
Goldfeld-Quandt Testi
Büyük örneklere uygulanan bir F testidir. Bu test
s2i nin farkli varyansinin bagimsiz
degiskenlerden biri ile pozitif iliskili oldugunu
varsayar.
s2i Xi ile pozitif (ayni yönde) iliskilidir
ve s2i farkli varyansi Xin karesi ile
orantilidir. Yani Xi degerleri arttikça s2i
degeri de artmaktadir.
22
Goldfeld-Quandt Testi
Y b1 b2 X2 b3 X3 ... bk Xk u
Y X2s X3 ... Xk
I.Alt Örnek n1
YI b11 b21 X2 b31 X3 ... bk1 Xk u
Se12?
Çikarilan Gözlemler
n(1/6) lt c lt n(1/3)
II.Alt Örnek n2
YII b12 b22 X2 b32 X3 ... bk2 Xk u
Se22?
23
Goldfeld-Quandt Testi
1.Asama
H0 Esit Varyans
H1 Farkli Varyans
2.Asama
a ?
Ftab ?
3.Asama
X bagimsiz degiskeninin degerleri küçükyen büyüge
dogru ilgili Y bagimli degiskeninin degerleri de
tasinarak siralanir. Ortadan c kadar gözlem
çikarilir.
4.Asama
Fhes gt Ftab
H0 hipotezi reddedilebilir
24
Yil Tasarruf Tasarruf Gelir
1 264 8777 8777
2 105 9210 9210
3 90 9954 9954
4 131 10508 10508
5 122 10979 10979
6 107 11912 11912
7 406 12747 12747
8 503 13499 13499
9 431 14269 14269
10 588 15522 15522
11 898 16730 16730
12 950 17663 17663
13 779 18575 18575
14 819 19635 19635
15 1222 21163 21163
16 1702 22880 22880
17 1578 24127 24127
25
Yillar Tasarruf Gelir
18 1654 25604
19 1400 26500
20 2017 27430
21 1829 27670
22 1600 28150
23 2200 28300
24 2105 29560
25 2250 32100
26 2420 32500
27 1720 33500
28 2570 35250
29 1900 36000
30 2100 36200
31 2300 38200
Gelir bagimsiz degiskenine göre tasarrufu da
siraliyoruz.
26
n1 Tasarrfuf Gelir n2 Tasarrfuf Gelir
1 264 8777 1 1829 27670
2 105 9210 2 1600 28150
3 90 9954 3 2200 28300
4 131 10508 4 2105 29560
5 122 10979 5 2250 32100
6 107 11912 6 2420 32500
7 406 12747 7 1720 33500
8 503 13499 8 2570 35250
9 431 14269 9 1900 36000
10 588 15522 10 2100 36200
11 898 16730 11 2300 38200
Gelire göre sirandi. Ortadan 31/48 veya 9 gözlem
çikarilacak. Iki alt grup olusturuldu.
27
(195.4)
(0.015)
(0.025)
(817.3)
28
f1f2(n-c-2k)/29 sd de Ftab3.18
Fhes gt Ftab
H0 hipotezi reddedilebilir
29
Goldfeld-Quandt Test
lnMaas b1 b2 Yil b3 Yil2
n/3222/372
Dependent Variable lnMaas Included
observations 222 Variable Coefficient Std.
Error t-Statistic Prob. C 3.809365 0.041338
92.15104 0.0000 Yil 0.043853 0.004829 9.081
645 0.0000 Yil2 -0.000627 0.000121 -5.190657 0.
0000 R-squared 0.536179 Mean dependent
var 4.325410 Adjusted R-squared 0.531943
S.D. dependent var 0.302511 S.E. of
regression 0.206962 Akaike info
criterion -0.299140 Sum squared resid 9.380504
Schwarz criterion -0.253158 Log
likelihood 36.20452 F-statistic 126.5823 D
urbin-Watson stat 1.618981
Prob(F-statistic) 0.000000
30
Goldfeld-Quandt Test
1.alt örnek sonuçlari
Dependent Variable lnmaas Sample 1
75 Included observations 75 Variable C
oefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 3.954106 0.059538 66.41324 0.0000 Yil -0
.021930 0.021019 -1.043349 0.3003 Yil2 0.004375
0.001600 2.733929 0.0079 R-squared 0.465625
Mean dependent var 4.031098 Adjusted
R-squared 0.450781 S.D. dependent
var 0.167536 S.E. of regression 0.124160
Akaike info criterion -1.295318 Sum squared
resid 1.109926 Schwarz criterion -1.202619
Log likelihood 51.57443 F-statistic 31.3684
5 Durbin-Watson stat 1.807774
Prob(F-statistic) 0.000000
31
Goldfeld-Quandt Test
2.Altörnek Sonuçlari
Dependent Variable lnmaas Sample 148
222 Included observations
75 Variable Coefficient Std.
Error t-Statistic Prob. C 4.007507 0.976346
4.104598 0.0001 Yil 0.019928 0.060603 0.328
823 0.7432 Yil2 -0.000102 0.000920 -0.110443 0
.9124 R-squared 0.078625 Mean dependent
var 4.513929 Adjusted R-squared 0.053031
S.D. dependent var 0.231175 S.E. of
regression 0.224962 Akaike info
criterion -0.106594 Sum squared
resid 3.643762 Schwarz criterion -0.013895
Log likelihood 6.997288 F-statistic 3.07202
7 Durbin-Watson stat 1.684803
Prob(F-statistic) 0.052446
32
Goldfeld-Quandt Testi
1.Asama
H0 Esit Varyans
H1 Farkli Varyans
2.Asama
a 0.05
1.43ltFtablt1.53
3.2830
3.Asama
4.Asama
Fhes gt Ftab
H0 hipotezi reddedilebilir
33
White Testi
Y b1 b2 X2 b3 X3 u
White Testi için yardimci regresyon
u2 a1 a2 X2 a3 X3 a4 X22 a5 X32 a6
X2X3 v
Ry2 ?
White Testi Asamalari
1.Asama
H0 a2 a3 a4 a5 a60 H1 ailerin en
az bir tanesi anlamlidir
2.Asama
s.d. k-1
c2tab?
a ?
3.Asama
W n.Ry2 ?
W gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
4.Asama
34
White Testi
lnMaas 3.8094 0.0439yil - 0.0006 yil2
White Testi için yardimci regresyon
e2 -0.0018 0.0002 Yil 0.0007 Yil2- 0.00003
Yil3 0.0000004Yil4
Ry2 0.0901
1.Asama
H0 a2 a3 a4 a50 H1 ailerin en az
bir tanesi anlamlidir
2.Asama
a 0.05
s.d.5-14
c2tab9.4877
3.Asama
W n.Ry2 222(0.0901) 20.0022
4.Asama
W gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
35
Lagrange Çarpanlari(LM) Testi
Y b1 b2 X2 b3 X3 u
LM testi için yardimci regresyon
Ry2 ?
LM Testi Asamalari
H0 b 0 H1 b?0
1.Asama
2.Asama
s.d. 1
c2tab?
a ?
3.Asama
LM n.Ry2 ?
LM gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
4.Asama
36
Lagrange Çarpanlari(LM) Testi
lnmaas 3.8094 0.0439yil - 0.0006 yil2
LM Testi için yardimci regresyon
e2 -0.2736 0.0730 (lnmaas-tah)2
Ry2 0.0537
1.Asama
H0 b 0 H1 b?0
2.Asama
a 0.05
s.d.1
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 222(0.0537) 11.9214
4.Asama
LM gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
37
UYGULAMA 32 ailenin yillik gida harcamalari (Y)
ve aylik ortalama gelirleri (X) asagida
verilmistir.
Aile Sayisi Y X u Aile Sayisi Y X u
1 2.2 2.8 -0.75464 17 1.5 2 -1.25412
2 3 3.5 -0.1301 18 5.8 7.2 1.74247
3 4.1 13.5 -1.53666 19 8.2 18.1 1.41032
4 3.5 8.2 -0.80818 20 4.3 6.2 0.49313
5 4.2 5.9 0.46833 21 9.4 16.1 3.11164
6 6.3 15.3 0.21216 22 5.1 25.2 -3.46933
7 4.6 9.7 -0.08417 23 2.4 8.2 -1.90818
8 8.8 26.4 -0.07012 24 8.1 13.4 2.48841
9 7.3 18.2 0.48526 25 4.9 5.6 1.24352
10 4.4 6.7 0.4678 26 3 4.2 -0.30556
11 6.7 11.3 1.61478 27 4.6 8.8 0.14142
12 3.5 4.7 0.06911 28 1.9 3.5 -1.2301
13 6.8 26.3 -2.04505 29 2.6 12.4 -2.76094
14 7.2 22.3 -0.64243 30 3.9 4.3 0.56938
15 3.1 6.1 -0.68181 31 7 12.9 1.51373
16 2.4 3.2 -0.6549 32 11.2 26.5 2.30482
38
UYGULAMA Yi ?0 ?1Xi ?i modeli için sabit
varyans varsayiminin geçerli olup olmadigini

• Grafik Yöntemle.
• Sira Korelasyonu testi ile.
• Goldfeld-Quandt testi ile.
• White testi ile.
• Lagrange çarpani testi ile
• inceleyiniz.

39
Grafik Yöntem
40
Sira Korelasyonu Testi
1.Asama
H0 r 0
H1 r ? 0
ttab ?
2.Asama
a 0.05
s.d.?
3.Asama
4.Asama
thes gt ttab
H0 hipotezi reddedilebilir
41
Sira Korelasyonu Testi
1.Asama
H0 r 0
H1 r ? 0
ttab 2.042
2.Asama
a 0.05
s.d. 30
1.9454
4.Asama
thes lt ttab
H0 hipotezi reddedilemez.
42
Goldfeld-Quandt Testi
c 32 / 5 6.4 6 gözlem
atilacak. (14.-19. gözlemler)
13 gözlemden olusan iki grup için modeller
1.-13. gözlemler için
Yi 0.5096 0.6078Xi
20.-32. gözlemler için
Yi 3.8153 0.1723Xi
43
Goldfeld-Quandt Testi
1.Asama
H0 Esit Varyans
H1 Farkli Varyans
2.Asama
a 0.05
Ftab 2.82
3.Asama
4.Asama
Fhes gt Ftab
H0 hipotezi reddedilebilir
44
White Testi
White Testi için yardimci regresyon
Ry2 0.2296
e2 -0.6909 0.3498X 0.0058X2
1.Asama
H0 a2 a3 0 H1 ailerin en az bir tanesi
anlamlidir
2.Asama
a 0.05
s.d.3-12
c2tab5.99
3.Asama
W n.Ry2 32(0.2296) 7.3472
4.Asama
W gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
45
Lagrange Çarpanlari(LM) Testi
LM Testi için yardimci regresyon
Ry2 0.201
1.Asama
H0 b 0 H1 b?0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.201) 6.432
4.Asama
LM gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir
46
FARKLI VARYANSI ORTADAN KALDIRMA YOLLARI
Farkli varyans durumunda EKKY tahmincileri
etkinlik özelliklerini kaybettiklerinden
güvenilir degildirler. Bu sebeple farkli varyans
ortadan kaldirilmadan EKKY uygulanmamalidir. Yi
lerin (veya ui lerin) farkli varyanslari s2i nin
bilinip bilinmemesine göre farkli varyansi
kaldiran iki yol vardir

• nin BILINMESI HALI

• nin BILINMEMESI HALI

47

• nin BILINMESI HALI

• Genellestirilmis EKKY(GEKKY)

Yi b1 b2 Xi ui
48
Genellestirilmis EKKY(GEKKY)

• Sabit terimi yoktur.

• Iki tane bagimsiz degisken vardir.

49
Genellestirilmis EKKY(GEKKY)
50
Genellestirilmis EKKY(GEKKY)
51
EKKY ve GEKKY Arasindaki Fark
EKKY
min
GEKKY
min
52

• nin BILINMEMESI HALI

1.HAL LOGARITMIK DÖNÜSÜMLER
53
(No Transcript)
54
bölünür
55
(No Transcript)
56
UYGULAMA 32 ailenin yillik gida harcamalari (Y)
ve aylik ortalama gelirleri (X) asagida
verilmistir.
Aile Sayisi Y X u Aile Sayisi Y X u
1 2.2 2.8 -0.75464 17 1.5 2 -1.25412
2 3 3.5 -0.1301 18 5.8 7.2 1.74247
3 4.1 13.5 -1.53666 19 8.2 18.1 1.41032
4 3.5 8.2 -0.80818 20 4.3 6.2 0.49313
5 4.2 5.9 0.46833 21 9.4 16.1 3.11164
6 6.3 15.3 0.21216 22 5.1 25.2 -3.46933
7 4.6 9.7 -0.08417 23 2.4 8.2 -1.90818
8 8.8 26.4 -0.07012 24 8.1 13.4 2.48841
9 7.3 18.2 0.48526 25 4.9 5.6 1.24352
10 4.4 6.7 0.4678 26 3 4.2 -0.30556
11 6.7 11.3 1.61478 27 4.6 8.8 0.14142
12 3.5 4.7 0.06911 28 1.9 3.5 -1.2301
13 6.8 26.3 -2.04505 29 2.6 12.4 -2.76094
14 7.2 22.3 -0.64243 30 3.9 4.3 0.56938
15 3.1 6.1 -0.68181 31 7 12.9 1.51373
16 2.4 3.2 -0.6549 32 11.2 26.5 2.30482
56
57
1.HAL LOGARITMIK DÖNÜSÜMLER
1.Asama
H0 b 0 H1 b ? 0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.0178) 0.5696
4.Asama
LM lt c2tab
H0 hipotezi reddedilemez.
58
1.Asama
H0 b 0 H1 b ? 0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.0509) 1.6288
4.Asama
LM lt c2tab
H0 hipotezi reddedilemez.
59
1.Asama
H0 b 0 H1 b ? 0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.2365) 7.568
4.Asama
LM gt c2tab
H0 hipotezi reddedilebilir.
60
5 .HAL
1.Asama
H0 b 0 H1 b ? 0
2.Asama
a 0.05
s.d.2-11
c2tab3.84146
3.Asama
LM n.Ry2 32(0.0290) 0.928
4.Asama
LM lt c2tab
H0 hipotezi reddedilemez.