Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 7

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Sistemi di Supporto alle Decisioni ILezione 7

• Chiara Mocenni
• Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e L2
  in Ingegneria Informatica
• III ciclo

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Reti Bayesiane
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• Le reti Bayesiane sono modelli grafici della
  conoscenza in un dominio incerto. Basandosi sulla
  regola di Bayes, esprimono relazioni di
  dipendenza condizionale (archi) tra le variabili
  in gioco (nodi). Il vantaggio principale del
  ragionamento probabilistico rispetto a quello
  logico sta nella possibilità di giungere a
  descrizioni razionali anche quando non vi è
  abbastanza informazione di tipo deterministico
  sul funzionamento del sistema.

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• Le reti bayesiane possono essere utilizzate in
  ogni settore in cui sia necessario modellare la
  realtà in situazioni di incertezza, cioè in cui
  siano coinvolte delle probabilità.

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La regola di Bayes

• Spesso, nei ragionamenti probabilistici, capita
  che si debba valutare una probabilità avendo già
  delle informazioni su quanto è già accaduto in
  precedenza. Dati due eventi A e B, se questi
  sono in qualche modo correlati, è ragionevole
  pensare che il sapere che uno dei due è già
  avvenuto possa migliorare la conoscenza della
  probabilità dell'altro.

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• Dato uno spazio di probabilità (W,A, P.), dove
• W spazio campionario (insieme di tutti i
  possibili risultati dell'esperimento)
• A spazio degli eventi (contenente W)
• P. funzione di probabilità con Dominio in A e
  Codominio in 0,1
• dati due eventi A e B appartenenti ad A,
  indichiamo con
•                                  PAB
• la probabilità che si verifichi A sapendo che si
  è già verificato B, cioè la probabilità di A
  condizionata a B.

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Regola di Bayes

• PAB PA,B / PB (per PB?0), dove
  PA,BPBA PA
• Forma completa
• dato lo spazio di probabilità ( W, A, P.),
  siano B1,B2,...Bn appartenenti ad A
• per ogni i PBigt0 i?i BiBj0 WUiBi allora
  per ogni A appartenente ad A
• PBkA PABk PBk / (S i PABi PBi )

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• Supponiamo che viviate a Londra e che abbiate
  notato che in inverno piove (P) il 50 (p(P))
  delle volte ed è nuvoloso (N) l80 (p(N)) delle
  volte (talvolta è nuvoloso ma non piove).
• Daltra parte, il 100 delle volte in cui piove è
  anche nuvoloso (p(NP)).
• Qual è la probabilità che oggi piova essendo
  nuvoloso (p(PN))?
• La regola di Bayes ci può aiutare in questo,
  infatti
•    p(PN) p(P)p(NP)/p(N) 0.5 x 1.0 / 0.8
  0.625 5/8. Quindi 5/8 delle volte a Londra,
  quando è nuvoloso, piove.

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Le reti Bayesiane

• Si usa una struttura di dati chiamata rete
  bayesiana (o rete di credenze)  per rappresentare
  la dipendenza fra le variabili e per dare una
  specifica concisa della distribuzione di
  probabilità congiunta.

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• Una rete Bayesiana è un grafo in cui valgono le
  seguenti proprietà 
• 1)      Un insieme di variabili casuali
  costituiscono i nodi della rete   
• 2)      Un insieme di archi con verso connette le
  coppie di nodi (Il significato intuitivo di una
  freccia dal nodo X al nodo Y è che X ha
  uninfluenza diretta su Y)

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• 3)      Ogni nodo ha una tabella delle
  probabilità condizionate che quantifica gli
  effetti che i genitori hanno sul nodo, dove per
  genitori si intendono tutti quei nodi che hanno
  frecce che puntano al nodo
• 4)      Il grafo non ha cicli diretti  

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• Un nodo che non ha genitori diretti (cioè non ha
  frecce che puntano verso di lui) contiene una
  tabella di probabilità marginali.
• Se il nodo è discreto contiene una distribuzione
  di probabilità sugli stati della variabile che
  rappresenta.
• Se il nodo è continuo contiene una funzione
  gaussiana di densità (definita da media e
  varianza) della variabile casuale che
  rappresenta.

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• Se un nodo ha parenti (cioè uno o più frecce che
  puntano verso di lui) allora il nodo contiene una
  tabella di probabilità condizionate.
• Se il nodo è discreto la funzione di probabilità
  condizionata contiene la probabilità condizionata
  del nodo data una configurazione dei suoi
  parenti.
• Se il nodo è continuo, la funzione di probabilità
  condizionata contiene media e varianza di ogni
  configurazione degli stati dei suoi nodi parenti.

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Esempio 1 Gestione del traffico

• Un Comune può decidere se bloccare o no le auto
  per una giornata nel caso in cui si verifichi uno
  dei seguenti casi 
• viene raggiunto il livello massimo di
  inquinamento, 
• si verifica una congestione delle strade.  
• A seconda della situazione i cittadini dovranno
  decidere se spostarsi con i mezzi pubblici o
  prendere la macchina.

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(No Transcript)
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• Una volta che la topologia della rete è
  specificata dobbiamo solo specificare le
  probabilità condizionate per i nodi che
  partecipano nelle dipendenze dirette, usando
  queste per il calcolo di qualunque altro valore
  di probabilità. Ogni nodo è caratterizzato da una
  tabella delle probabilità condizionate. Ogni riga
  della tabella contiene la probabilità
  condizionata del valore di ogni nodo per un caso
  condizionante.

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Esempio 2 Lalbero di Jack

• Un giorno Jack si accorge che il suo albero di
  mele perde le foglie.
• Jack sa che se lalbero è secco allora è normale
  che perda le foglie.
• Ma Jack sa anche che la perdita delle foglie può
  essere sintomo di malattia per il suo albero.

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La rete per lalbero di Jack
secco
malato
perde le foglie

• La rete consiste di 3 nodi
• Malato, Secco, e Perde le foglie
• Malato può essere malato" o "no"
• Secco può essere secco" o "no"
• Perde le foglie può essere si" o "no".

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• La dipendenza casuale è tra Malato e Perde le
  foglie e Secco e Perde le foglie.
• Ad ogni nodo è associata una tabella di
  probabilità, che possono essere a priori o
  condizionate. Ad esempio
• P(Malatomalato)0.1
• P(Malato"no)0.9
• P(Seccosecco)0.1
• P(Secco"no)0.9

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Seccosecco SeccoNo SeccoNo
Perdesi
Perdeno
Malato Malato Malato No
Malato Malato Malato No
0.95 0.85
0.90 0.02
0.05 0.15
0.10 0.98
P(Perde le foglie Malato, Secco)
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Esempio 3 Diagnosi di un paziente che arriva
in clinica

• Supponiamo di avere di fronte un nuovo paziente,
  di cui non sappiamo niente. Una volta che avremo
  acquisito informazione specifica su di lui la
  nostra rete bayesiana riguardante il suo stato di
  salute potrà essere aggiornato, fornendo
  risultati più attendibili.

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Diagnosi di una malattia polmonare
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I dati

• Statisticamente, in un campione rappresentativo
  di popolazione si conoscono i seguenti dati.
• Il 50 dei pazienti fuma.
• Il 1 ha la tubercolosi.
• Il 5.5 ha un cancro al polmone (?).
• Il 45 ha una qualche forma di bronchite.

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Come si procede

• Si costruisce la rete bayesiana e si analizzano
  i sintomi mostrati dal paziente. Ad esempio,
  supponiamo che
• Il paziente lamenta dispnea.
• Il paziente è stato recentemente in Asia.
• Il paziente è un fumatore.

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Inoltre

• Si effettua una radiografia da cui si vede che
• 1. Risultato negativo
• Sembra che la diagnosi migliore sia che il
  paziente ha una semplice bronchite.
• 2. Risultato positivo
• La probabilità di un cancro o della tubercolosi
  sono aumentate enormemente. E comunque
  necessario effettuare nuovi esami.

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Reti Bayesiane Statiche
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Reti Bayesiane Dinamiche
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Esempio 4 Il pozzo di petrolio

• Un agente deve decidere se perforare o non
  perforare per trovare un pozzo di petrolio. E
  incerto se il punto in cui vuole perforare sia
  secco (dry), umido (wet) o pieno (soaking).
  Lagente puo effettuare una ricerca geologica
  che puo aiutarlo a determinare la struttura
  geologica del sito. La risposta dellindagine
  puo essere molto petrolio (closed), poco
  petrolio (open) o vuoto (diffuse).

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• Le decisioni sono 2
• 1. Fare il test geologico (costo 10 K)
• 2. Perforare (costo 70 K).
• Lutilita della perforazione e determinata dal
  risultato dry, wet o soaking.