Polinomios

1
Polinomios
2
Trabajo Práctico Nº 6Polinomios
1) Efectuar P ? Q  3 P Q  P2
Q e indicar su grado cuando esto
sea posible
a) P x2 - 2 Q - 3 x2 6
b) P x 2 Q x2 4 x 4
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
Glosario
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 
qué puede decirse del grado de los
siguientes polinomios ? a) P Q b)
P3 c) P Q d) P3 Q3
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
3) Determinar a ? R para
a) P a ? x3 - a ? x 2 es tal que P(2) - 1
b) P x2 2 ? x a es tal que 0 es una de sus raíces
c) P a ? x2 - a ? x 6 satisface que P(-1) 6 y gr(P) 2
Glosario
Ejercicios para Practicar
Ejercicio Resuelto
3
4) Hallar el cociente y el resto de la división
de P por Q en cada uno de los siguientes casos 
a)
b)
Glosario
Ejercicios para Practicar
Ejercicio Resuelto
5) Determinar el valor de k tal que P 2 x3
k x2 5 x 3 sea divisible por Q x2 - x 3
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
6) Para qué valores de a y b el polinomio
es divisible por (x 4)  y tiene resto
-18 al dividirlo por (x - 2) ?
Glosario
Ejercicios para Practicar
Ejercicio Resuelto
7) Determinar a, b, c ? R  para que 
a) P a x2 b x c tenga a 1 y a 0 como raíces
b) P x2 - b x a y Q a x3 b tengan a 2 como raíz común
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
Glosario
4
10) Determinar en cada caso la multiplicidad de ?
como raíz de P 
8) Hallar todas las raíces de los siguientes
polinomios 
d)
a)
b)
e)
si i es raíz de P
c)
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 6 x2 - 8 x
8 sabiendo que x 2 es una raíz doble.
Glosario
Ejercicios para Practicar
Ejercicio Resuelto
a) P (x - 1)2 ? (x2 - 1) ? (x3 - 1) ? 1
b) P x8 - x6 6 x3 ? 0
Glosario
Ejercicios para Practicar
Ejercicio Resuelto
5
11) a) Sea P 2 x3 - 11 x2 17 x - 6 
hallar todas sus raíces sabiendo que el producto
de dos de ellas es 1. b)
Dado P(x) 8 m x2 7 (m - 1) x 1 con m ? 0,
determinar m en los siguientes casos
i) las raíces son opuestas iii) las raíces son reales e iguales.
ii) las raíces son recíprocas
c) Hallar las raíces de los siguientes polinomios
reales 
i) P(x) 2 x3 - x2 - 18 x 9 si ?1 ?2 0
ii) P(x) x3 2 x2 3 x 2 si ?1 ?2 ?3
Ejercicio Resuelto
Glosario
Ejercicios para Practicar
6
Un polinomio es una expresión de la forma
una sucesión de sumas de términos conformados por
un coeficiente ai multiplicado por un factor xi
1
2
3
Podemos escribir
donde el coeficiente an se llama coeficiente
principal
el mayor exponente de x (n), le da el grado al
polinomio
Si an ? 0 y aunque alguno(s) o todos- los
coeficientes ai? an sean nulos
Decimos entonces que el polinomio
Faltan los términos de grado 1 y n-1
el polinomio es de grado n, pero incompleto
es de grado n
polinomio completo de grado 3
P x3 3 x2 6 x -1
polinomio incompleto de grado 4
P x4 3 x2 6 x -1
7
La suma de polinomios, se efectúa operando
solamente entre términos de igual grado
P x4 3 x2 6 x 1 Q x3 5 x2 - 2 x 3
P Q ( x4 3 x2 6 x 1 ) ( x3 5 x2 - 2
x 3 )
1
2
3
agrupamos los términos de igual grado de cada
polinomio
P Q
x4

x3



( - 3 x2 2 x2 )
( 6 x 2 x )
( -1 3 )
Y luego operamos los términos obtenidos
P x4 x3 5 x2 4 x 2
Para multiplicar dos polinomios, se usa la
propiedad distributiva (aplicando la regla de los
signos) y luego se resuelven cada uno de los
términos que resulten
Luego sumamos los términos de igual grado
R S ( x4 3 x2 6 x ) ( x3 - 2 x 3 )
x4 x3 x4 (-2 x) x4 3 (-3x2) x3
(-3x2) (-2x) ( -3 x2) 3 6x
x3 6x (-2x) 6x 3
R S x7 - 2x5 3x4 - 3x5 6x3 - 9x2 6x4 -
12x2 18x
R S x7 - 5x5 9x4 6x3 - 21x2 18x
8
1 ) Si a) P x2 2 y Q
- 3 x2 6
x2 ? (- 3 x2) x2 ? 6 ( 2 ) ? (-3x2) (-2)
? 6
P ? Q ( x2 2 ) ? ( - 3 x2 6 )
grado 4
P ? Q -3 x4 6 x2 6 x2 - 12
-3 x4 12 x2 - 12
3P ? Q 3 ? ( x2 2 ) ( - 3 x2 6 )
3 x2 6 - 3 x2 6
0
P2 ? Q ( x2 2 )2 ? ( - 3 x2 6 )
( x4 - 4x2 4 ) ? ( - 3 x2 6 )
grado 6
-3x6 6x4 12x4 - 24x2 - 12x2 24
-3x6 18x4 - 36x2 24
grado 3
b) P x 2 Q x2 4 x 4
P ? Q ( x 2 ) ? ( x2 4 x 4 )
x3 4 x2 4 x 2 x2 8 x 8
x3 6 x2 12 x 8
3P Q 3( x 2 ) ( x2 4 x 4 )
(3 x 6) (x2 4 x 4)
x2 7 x 10
grado 2
P2 ? Q ( x 2 )2 ? ( x2 4 x 4 )
( x2 4 x 4 ) ? ( x2 4 x 4 )
x4 4x3 4x2 4x3 16x2 16x 4x2 16x
16
P2 ? Q x4 8x3 24x2 32x 16
grado 4
9
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 
qué puede decirse del grado de los siguientes
polinomios ?
El grado de un producto de polinomios siempre va
a estar dado por la suma de los grados de los
polinomios
a) P Q
Si P es gr(4) y Q es gr(3) P Q es gr (7)
La potencia de un polinomio será otro polinomio
cuyo grado es el grado del polinomio base
multiplicado por el exponente
b) P3
Si P es gr(4) P3 es gr (4 3) 12
El grado de la suma de dos polinomios será igual
al grado del polinomio de mayor grado ó
eventualmente menos (si los términos de mayor
grado se anulan entre sí)
c) P Q
Si P es gr(4) y Q es gr(3) P Q es gr (4)
ó menor
d) P3 Q4
Si P es gr(4) P3 es gr(12) y si Q es
gr(3) Q4 es gr(12)
P3 Q4 es gr (12) ó menor
10
3 a) si P a ? x3 - a ? x 2 para hallar a
tal que P(2) - 1
debemos especializar el polinomio por x 2
Esto es colocar el valor 2 en cada uno de los
lugares que ocupa x en el polinomio
e igualamos a - 1
P a ? x3 - a ? x 2
resolvemos despejando a
a ? 23 - a ? 2 2
- 1
a ? 8 - a ? 2 2
8 a 2 a 2
6 a 2
- 1
Las raíces de un polinomio son los valores de x
que hacen el polinomio igual a 0
6 a - 1 - 2
6 a - 3
a - 1/2
b) P x2 2 ? x a es tal que 0 es una de sus
raíces
P x2 2 ? x a
02 2 ? 0 a 0
Entonces cuando x 0 P 0
a 0
3 c
11
c) Si P a ? x2 - a ? x 6 satisface que
P(-1) 6 y gr(P) 2
Para x - 1
P a ? x2 - a ? x 6
a ? (-1)2 - a ? (-1) 6
a ? 12 a ? 1 6
pero . . .
entonces
2 a 6 6
2 a 6 - 6
a 0
y resulta que P no es de grado 2 en consecuencia
no existe el valor de a buscado
Si a 0 P 0 ? x2 - 0 ? x 6 6
12
Algoritmo del cociente de polinomios
Para dividir un polinomio
planteamos el esquema de la división entre
números enteros
por un polinomio
4
5
buscamos un valor que multiplicado por el
coeficiente principal de P2
-





-
-

2
x2
resulte igual en valor absoluto al an de P1 y ése
es el coeficiente principal del polinomio cociente
2 ? 1 2
Multiplicamos el monomio así formado por cada
término de P2 y los resultados encolumnamos
debajo de P1 con los términos de igual grado
y le agregamos como factor x elevado a un valor
tal, que multiplicado por el grado de P2 resulte
del mismo grado que P1
? para restar coloco -
? - - para restar coloco
? para restar coloco -
Luego viene la colocación del signo, operamos en
cada caso respetando la regla de los signos, y
luego para restar cambiamos el signo que resulta
buscando que al operar el primer término se anule
13
Ahora sumamos
Bajamos el término de mayor grado de P1 que
todavía no se operó, con su signo
Y empezamos de nuevo el procedimiento
- -
2
x2
7
x

11


-
-
Resultado
-
-

resto
De manera que C ? P2 R P1
14
4) Para dividir
por
Examinamos P y Q, y hallamos que ambos son
polinomios incompletos entonces los completamos
con términos de coeficientes nulos
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
y operamos
colocamos los signos de manera que al cambiar
para restar, el primer término del resultado se
anule
-
-
-


sumamos . . .
-
-
-
bajamos a con su signo
Y empezamos a operar nuevamente
15
4) Para dividir
por
Examinamos P y Q, y hallamos que P es un
polinomio incompleto entonces lo completamos con
términos de coeficientes nulos
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
y operamos
colocamos los signos de manera que al cambiar
para restar, el primer término del resultado se
anule

-

2
-
-

sumamos . . .
bajamos 0x2 con su signo
-
-
Y empezamos a operar nuevamente
otra vez . . .

-

-
- 3
16
5) para determinar k tal que
sea divisible por por
buscaremos el cociente P / Q, y al resto lo
igualamoa a cero. Entonces podremos decir que P
es divisible por Q
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
y operamos
-

-
bajamos 3


Y empezamos a operar nuevamente
-

-
Para que P sea divisible por Q, el resto debe ser
0
Ambos términos deben ser 0 y esto se logra con
17
es divisible por (x 4)  entonces
6)
Si P es divisible por (x4) -4 es raíz del
polinomio luego si especializo el polinomio por
4, tendrá resultado 0
entonces
Si al dividir por (x-2) se obtiene resto -18
entonces
Con los resultados obtenidos componemos un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Se puede escribir
Se puede escribir
El sistema será
18
En el sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas,
Verificamos que las ecuaciones estén ordenadas,
de manera que las incógnitas queden encolumnadas
y los términos independientes en el 2º miembro
Y resolvemos por cualquiera de los métodos
conocidos (determinantes, sustitución, etc.)
El polinomio es
19
7) P a x2 b x c tiene a 1 y a 0 como
raíces
Si 1 y 0 son raíces del polinomio si
especializo el polinomio por 1 y 0
respectivamente, tendrán resultado 0
entonces
entonces
Se verifica la condición siempre que c 0 y
?a??b? pero tienen signos diferentes
b) Si P x2 - b x a y Q a x3 b para
hallar valores de a y b que tengan a 2 como
raíz común
Conformamos el sistema de 2 ecuaciones con 2
incógnitas
20
Y resolvemos el sistema aplicando sustitución
si
Sustituimos este resultado en la primera ecuación
y tenemos
entonces
Ahora que conocemos el valor de a, podemos buscar
el valor de b, haciendo
Los polinomios buscados resultan ser
21
Regla de Ruffini
8a
8b
Al dividir un polinomio
8c
8e
por un polinomio Q de grado 1 de la forma x - ?
9
10
El resultado será un polinomio C de grado n 1
Aplicamos la siguiente regla Se trazan dos
rectas
se escriben los coeficientes del polinomio P en
orden de grado decreciente
Se ubica convenientemente el valor ?
y se procede con el siguiente algoritmo
Bajamos el coeficiente principal an como cn-1
multiplicamos cn-1 x ? y colocamos debajo de an-1
Sumamos an-1 ?cn-1
y multiplicamos ese resultado cn-2 x ? y
colocamos debajo de an-2
Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta
terminar de operar los coeficientes
an-1
an-2
an
a2
a1
. . . . . . .
a0
?
?cn-1
?cn-2
?c2
?c1
?c0
cn-2
cn-3
c1
c0
r
cn-1
22
En el esquema
a2
a1
. . . . . . .
an-1
an-2
a0
an
. . . . . . .
?cn-1
?cn-2
?c2
?c1
?c0
?
cn-1
. . . . . . .
cn-2
cn-3
c1
c0
r
8a
8b
8c
9
10
8e
Los ci son los coeficientes del polinomio cociente
P
Q
Y r es el resto que resulta de dividir P / Q
r
C
Observe que si P es divisible por Q, r 0
y también que si r 0 ? es raíz del
polinomio
23
Teorema de Gauss
Sea
8a
8b
Si P admite raíces racionales, éstas raíces serán
de la forma
9
8c
y q es divisor de an
p es divisor de a0
donde
p divisores de 2 son ? 2 ? 1
a0 2 y an 1
Si P x3 - 2x2 x 2
q divisores de 1 son ? 1
posibles raíces son ? 2 ? 1
Es claro que los valores p/q hallados no son
necesariamente las raíces, sino que pueden ser
raíces, porque, si el polinomio admite raíces
racionales, entonces esas raíces son de la forma
p/q pero . . .
No todos los p/q tienen que ser necesariamente
raíces del polinomio P
Si las raíces no son racionales son irracionales
o complejas, en ese caso no estarán entre los
valores hallados de la forma p/q
24
Para comprobar cuales son raíces y cuales no, una
alternativa es especializar en el Polinomio cada
uno de los valores de p /q que son posibles
raíces.
8a
y las posibles raíces son ? 2 ? 1
Si P x3 - 2x2 x 2
8b
Para x 2
P 23 2 ? 22 2 2
8 8 2 2
0
x 2 es raíz
9
8c
Para x -2
P (-2)3 2 ? (-2)2 (-2) 2
- 8 8 2 2
-12
x - 2 no es raíz
x -1 es raíz
Para x -1
P (-1)3 2 ? (-1)2 (-1) 2
- 1 2 1 2
0
Para x 1
P 13 2 ? 12 1 2
1 2 1 2
0
x 1 es raíz
P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces
tres raíces por ser las tres raíces racionales,
pudieron ser encontradas mediante el Teorema de
Gauss
Observe también que la aplicación del Teorema de
Gauss nos proporcionó una posible raíz de la
forma p/q x -2 que resultó no ser raíz de P
Porque el teorema de Gauss proporciona todas las
raíces racionales, pero no todas las expresiones
p/q tienen necesariamente que ser raíces del
polinomio
25
Descomposición de un polinomio en un producto de
factores binomiales
8a
8b
Sea
8c
8d
9
8e
Cuyas raíces son ?1 ?2 ?3 . . . . . ?n-1 ?n
El polinomio P puede escribirse
Observe que si x toma el valor de cualquiera
de las raíces ?i
Habrá al menos un factor que será (x - ?i) (?i
- ?i ) 0
Haciendo P 0
Puede suceder que un valor ?i sea r veces raíz
de un polinomio
entonces tenemos una raíz múltiple y suponiendo
que ?1 es dos veces raíz del polinomio y ?2 es
tres veces raíz del polinomio y las restantes
raíces son simples, el polinomio factoreado será
. . .
26
8 a) Para hallar las raíces de
Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an
2 y a0 -1
Los divisores de a0 son p ? 1
Los divisores de an son p ? 1 ? 2
Ruffini
Gauss
Las posibles raíces son de la forma
Podríamos especializar el polinomio con cada uno
de estos valores, pero estaríamos solamente
comprobando si esos valores son o no raíces del
polinomio en cambio si aplicamos la Regla de
Ruffini, al verificar una raíz, hallamos también
un polinomio de grado inferior que es submúltiplo
de P y en consecuencia sus raíces son raíces de
P de manera que si las raíces no fueran todas
racionales, vamos situándonos en mejores
condiciones para resolver el polinomio, aplicamos
entonces Ruffini.
El sentido de aplicar Ruffini es que si ? es
raíz del polinomio P, entonces P es divisible por
(x - ?). Detectamos si ? es raíz del polinomio P
y al mismo tiempo obtenemos los coeficientes de
un polinomio de grado inferior, cuyas raíces son
los mismos valores de raíces que nos restan
encontrar aún
8 e
8 d
8 c
8 b
27
-1
-1
2
2
2
3
1
1
Ruffini
Gauss
2
? 0
1
2
3
1 No es raíz del polinomio
-1
-1
2
2
-2
-5
3
-1
2
? 0
-1 No es raíz del polinomio
-3
-6
5
-1
-1
2
2
1
1
0
2
0
0
2
?
1/2 ES raíz del polinomio
8 e
8 d
8 c
8 b
28
Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio,
entonces es posible escribir
como
Ruffini
Gauss
0
2
Buscamos ahora raíces para el polinomio múltiplo
de menor grado
2
Factoreo
-1
No es raíz del polinomio
2
-1
? 0
De (2x2 2) 0 despejamos x
Entonces
Observe que se cumple que si P tiene raíces
racionales, éstas son de la forma p/q en este
caso existe una raíz racional y dos raíces
complejas
Las raíces son ?1 1/2 ?2 i ?3 -i
Como ejercicio te propongo que verifiques los
resultados obtenidos
asimismo se verifica que si un número complejo
es raíz de un polinomio, su conjugado también es
raíz del mismo polinomio.
8 e
8 d
8 c
8 b
29
8 b) Para encontrar las raíces de
Multiplicamos previamente todo el polinomio por
2, para eliminar los coeficientes con forma de
fracción y hallamos un polinomio equivalente
Ruffini
Gauss
Factoreo
Que este polinomio es equivalente al polinomio
dado, significa que sus raíces son las mismas
Para aplicar el Teorema de Gauss
an 1 y a0 -6
p ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 y q ? 1
Aplicando la Regla de Ruffini
-6
-6
11
1
entonces
1
6
-5
1
1
-5
0
6
Buscamos ahora las raíces de
8 e
8 d
8 c
30
Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo
grado encontramos las raíces de
Gauss
Factoreo
x2 3
Las raíces de
x3 2
Son x1 1 x2 2 x3 3
Comprobamos que las raíces obtenidas son
racionales (enteros) y están incluidas entre las
posibles raíces de la forma p/q
Pero recordemos que este es un polinomio
equivalente del que realmente nos interesa, y que
hemos comenzado multiplicando por 2 para trabajar
con mas comodidad de manera que lo
recomponemos dividiendo todo el polinomio
factoreado por 2
8 e
8 d
8 c
31
8 c) Al polinomio
Le falta el término independiente
Podemos comenzar sacando factor común x
Gauss
Ruffini
(si x 0 al ser x un factor, se anula toda la
expresión)
Encontramos que la primera raíz x1 0
Factoreo
Buscamos entonces las restantes raíces en
donde
an 1 y a0 -4
p son divisores de a0 q son divisores de an
p ? 1 ? 2 ? 4 y q ? 1
-4
1
-4
1
-4
1
-4
1
-1
4
0
-1
1
-2
2
1
1
0
1
-4
0
2
-2
-6 ?0
-1 ES es raíz x2 -1
1 No es raíz
8 e
8 d
32
despejamos
entonces
Buscamos ahora las raíces de
Factoreo
x3 2 y x4 -2
Con x1 0 y x2 -1 hallados
el polinomio P se puede factorear (transformarlo
en un producto de factores binomiales)
8 e
8 d
33
Polinomio de grado cuatro con los términos de
grado 3 y 1 nulos
8 d) Si
Es posible aplicar la fórmula para la ecuación
bicuadrática, que no es otra cosa que a la
fórmula de la ecuación de segundo grado
Factoreo
Aplicarle nuevamente raíz cuadrada, y así
a 1 b 3 c -7/4
Puede factorearse como
8 e
34
Sabiendo por la consigna que i es raíz del
polinomio
8 e) Si
Entonces i también es raíz del polinomio
aplicaremos Ruffini para esas dos raíces
conocidas y el polinomio de grado 4 quedará
reducido a un polinomio de grado 2
Ruffini
Factoreo
-5
-5
7
6
1
-6
i
5 6i
-1 - 5i
i
1
-5 i
6 - 5i
6i
0
-i
-i
5i
-6i
-5
1
6
0
Finalmente
35
Factorear un polinomio es transformar la expresión
Raíces múltiples
9
10
En otra de tipo
Donde los ?i son las raíces del polinomio con
1 ? i ? n
Puede suceder que ?1 ?2 ?3 entonces diremos
que ese valor de ?1 es tres veces raíz del
polinomio ó lo que es lo mismo ?1 es raíz triple
de P
En un polinomio de grado 8 (que tiene n raíces)
pueden haber, por ejemplo 2 raíces dobles, una
triple y una simple, en ese caso será
?1 es raíz doble ?3 es raíz triple ?2 es raíz
doble ?4 es raíz simple
36
9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 6 x2
- 8 x 8 sabiendo que x 2 es una raíz
doble.
Buscamos las restantes raíces aplicando Ruffini
Ruffini
Factoreo
8
-8
-4
6
1
-8
Por ser x 2 raíz doble, volvemos a aplicar
Ruffini para x 2
2
4
-4
2
1
-2
2
-4
0
2
2
0
4
Ahora despejamos x de la expresión resultante
0
1
2
0
Conocidas todas las raíces, factoreamos el
polinomio
Que también se puede escribir
37
10 a) determinar la multiplicidad de ? 1 en
P (x - 1)2 ? (x2 - 1) ? (x3 - 1)
P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1)2 y
(x2 - 1) son de grado 2 y (x3 - 1) es de grado
3 entonces P es de grado 7
Ruffini
Factoreo
Significa que P tiene 7 raíces, que pueden
repetirse varias veces o ser todas iguales ó ser
todas diferentes, etc.
Acá x 1 es dos veces raíz del polinomio
Analizamos por separado cada factor
(x - 1)2 (x - 1) (x - 1)
acá x 1 es una vez más raíz del polinomio
(x2 - 1) (x 1 ) (x 1)
también x -1 es raíz del polinomio
1 es nuevamente una vez mas raíz del polinomio
-1
0
0
1
En x3 1
1
1
1
1
Resolviendo x2 x 1 0 se obtienen las
restantes raíces
1
1
0
1
10 b
38
Resolviendo P x2 x 1 0 con la
fórmula de la ecuación de segundo grado
Resolvemos con a 1 b 1 c1
Para a x2 b x c 0
Factoreo
Diferencia de cuadrados
P (x - 1)2 ? (x2 - 1) ? (x3 - 1) es
? 1 es cuatro veces raíz de P el orden de
multiplicidad de ?1 es 4
10 b
39
10 b) Para determinar la multiplicidad de ?
0 en
Factoreo
Factoreamos P y obtenemos
No tiene raíz
Con seguridad el factor
Podemos afirmar entonces que el orden de
multiplicidad de la raíz ? 0 en
Es k 3
40
Relaciones entre Raíces y Coeficientes
Dado un polinomio
Es posible establecer relaciones entre las raíces
?i y los coeficientes ai de P
11a
11b
11c
Con raíces ?1 ?2 ?3 . . . . ?n-1 ?n
?1 ?2 ?3 ?n-1 ?n
La suma de las raíces es igual al segundo
coeficiente cambiado de signo, dividido por el
coeficiente principal
?1 ? ?2 ?1 ? ?3 . . . . ?n-1 ? ?n
?1 ? ?2 ? ?3 . . . . ?n-2 ? ?n-1 ? ?n
La suma de los productos binarios de las raíces
es igual al tercer coeficiente, dividido por el
coeficiente principal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
?1 ? ?2 ? ?3 ? ? ? ? ? ?n-2 ? ?n-1 ? ?n
Análogas reglas valen para las sumas de los
productos ternarios, cuaternarios, etc, con
signos ó alternativamente
El producto de las n raíces es igual al término
independiente dividido por el coeficiente
principal, con signo ó -, según que n sea par o
impar, respectivamente
41
11) a) Sea P 2 x3 - 11 x2 17 x - 6  hallar
todas sus raíces sabiendo que
el producto de dos de ellas es 1.
Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 raíces
Por relaciones entre raíces y coeficientes
?1 ? ?2 ? ?3 ? ? ? ? ? ?n-2 ? ?n-1 ? ?n
3
?1 ? ?2 ? ?3 3
?1 ? ?2 ? ?3
?1 ? ?2 1
1 ? ?3 3
?3 3
pero
entonces
Aplicamos Ruffini con la raíz conocida
-6
-11
17
2
ahora resolvemos la ecuación
6
6
-15
3
x1 2
2
0
-5
2
x2 1/2
Factoreando
Te propongo la verificación de los resultados,
que consiste en efectuar el producto de los
factores binomiales y obtener el polinomio P
11 c
11 b
42
11 b i) Dado P 8 m x2 7 (m - 1) x 1
con m ? 0, determinar m para que
las raíces de P sean opuestas
Si las raíces de P deben ser opuestas
?1 - ?2
?1 ?2
Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes
en nuestro caso
?1 ?2
pero por otro lado, sabemos que
?1 ?2
- ?2 ?2 0
Entonces podemos escribir
?1 ?2
entonces m ? 0
y
Verificamos para m 1
Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo
las raíces
11 c
43
11 b ii) Dado P 8 m x2 7 (m - 1) x 1
con m ? 0, determinar m para que
las raíces de P sean recíprocas
Si las raíces de P deben recíprocas
?1 ? ?2
Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes
en nuestro caso
pero por otro lado, sabemos que
?1 ? ?2
?1 ? ?2
Entonces podemos escribir
?1 ? ?2
1
con m ? 0
y
Verificamos para
Igualando el polinomio P a 0 y aplicando la
fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado
11 c
44
11 b iii) Dado P 8 m x2 7 (m - 1) x 1
con m ? 0, determinar m para que
las raíces de P sean reales e iguales
P tiene dos raíces (grado 2) y si las raíces son
iguales ?1 ?2
En la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado
hacemos
Para que al quedar como soluciones solamente
sean ?1 ?2
Resuelvo ahora la ecuación de 2º grado
11 c
45
11 c i) Para hallar las raíces de P 2 x3 -
x2 - 18 x 9 sabiendo que
?1 ?2 0
Pero si ?1 ?2 0
Planteamos
Aplicamos Ruffini
entonces
Podemos escribir
9
-1
-18
2
Buscamos las restantes raíces
1
-9
0
2
0
0
-18
Entonces ?1 3 y ?2 - 3
Factoreando
Recuerde que se trata de un polinomio no mónico
(an ? 0 ) El polinomio factoreado tiene como
factor el coeficiente principal
46
11 c) ii) Para hallar las raíces de P x3 2 x2
3 x 2 sabiendo que ?1 ?2 ?3
Pero si ?1 ?2 ?3
Planteamos
Aplicamos Ruffini
luego
entonces
Buscamos las restantes raíces
2
2
3
1
-1
-2
-1
-1
1
0
1
2
La raíz cuadrada de un número negativo es un
número imaginario, que lo resolvemos calculando
la raíz cuadrada del valor absoluto y agregamos
el imaginario i
Factoreando
47
Vamos ! ! ! Que falta menos ! ! !
Lo esencial es invisible a los ojos A. De Saint
Exupery
Así como el hierro se oxida por falta de uso, así
también la inactividad destruye el intelecto.
Leonardo Da Vinci.