ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato l

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ATTENZIONE !per visualizzare le formule occorre
avere installato lEquation Editor di Office
oppure il programminoMath Type
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Formulazione finitadellelettromagnetismo

• partendo dai fatti sperimentali

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La formulazione differenziale delle leggi fisiche
Dai tempi dellinvenzione del calcolo
infinitesimale, avvenuta circa tre secoli fa,
le leggi fisiche sono state formulate in
termini di equazioni differenziali.
Lavvento dei calcolatori ha fatto nascere la
necessità di avere una descrizione discreta delle
leggi fisiche.
Cosa è avvenuto ?
Invece di ripartire dalle leggi fisiche per
ottenere direttamente una formulazione
discreta sono stati escogitati diversi
procedimenti per discretizzare le equazioni
differenziali.
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Procedimento attuale
Il procedimento che si segue per giungere alla
risoluzione dei problemi della fisica è
illustrato nello schema che segue
La soluzione numerica, esige la trasformazione
delle equazioni differenziali in equazioni
algebriche.
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Dalla formulazione differenziale a quella discreta
Siamo abituati a scrivere le leggi della fisica
direttamente in forma di equazioni differenziali
e successivamente le convertiamo in equazioni
algebriche attraverso uno dei tanti metodi di
discretizzazione.
problemi fisici
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Formulazione finita
E proprio il processo di discretizzazione necessa
rio per la soluzione numerica che fa nascere la
seguente domanda
?
È possibile una formulazione finita dellelettroma
gnetismo?
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Vogliamo dimostrare che una formulazione finita
è possibile,
è facile,
è intuitiva,
si presta immediatamente alla risoluzione
numerica.
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La formulazione integrale
Una formulazione finita sembra essere esistere
già la formulazione integrale.
Senonché la formulazione integrale è indotta
dalla formulazione differenziale, non è ottenuta
a partire dalle leggi sperimentali.
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Dalla formulazione differenziale a quella finita
problema fisico
dopo possiamo dedurre la formulazione
differenziale se è necessario!
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Formulazione finita
Lobiettivo che ci proponiamo è quello di
ottenere una formulazione finita che parta dai
fatti sperimentali.
Da questa sarà possibile poi dedurre la
formulazione integrale e infine quella
differenziale.
Formulazione finita
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Le variabili dellelettromagnetismoparte I
Dal momento che la formulazione matematica di una
teoria fisica è resa possibile dallesistenza
grandezze fisiche appare evidente che una
formulazione finita delle leggi fisiche deve
partire da un riesame delle grandezze fisiche.
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Una prima classificazione delle variabili fisiche

• variabili globali
• variabili intermedie
• variabili locali

globali
intermedie
locali
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Una prima classificazione delle variabili fisiche
complessi di celle
formulazione finita
variabili globali
funzioni di dominio
flusso di carica
corrente
densità di flusso
densità di corrente
variabili locali
funzioni di punto
coordinate
formulazione differenziale
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Le 6 variabili globali dellelettromagnetismo
Le 6 variabili locali dellelettromagnetismo
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Le variabili globali si misurano !
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La tensione elettrica ed il flusso magnetico si
calcolano
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definizione operativa
Quindi alle grandezze globali si può dare una
definizione operativa
Questo implica che possono essere prese come
punto di partenza per la formulazione finita.
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Le leggi dellelettromagnetismo
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Conservazione della carica
La carica elettrica che esce attraverso il bordo
di un volume durante un intervallo di tempo è
opposta alla variazione della carica contenuta
nel volume durante lintervallo.
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Induzione elettrostatica (Gauss)
Il flusso elettrico attraverso il bordo di un
volume ad un istante è uguale alla carica
elettrica contenuta entro il volume in
quellistante.
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Legge di Gauss della magnetostatica
Il flusso magnetico associato al bordo di un
volume ad ogni istante è nullo.
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Legge di Faraday-Neumann
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Legge di Ampère-Maxwell
Limpulso della forza magnetomotrice lungo il
bordo di una superficie durante un intervallo è
uguale al flusso di carica attraverso la
superficie nellintervallo aumentato della
variazione del flusso elettrico associato alla
superficie in quellintervallo.
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Riassunto
Uno dei principi fondamentali dellelettromagnetis
mo è il principio di sovrapposizione degli
effetti (quando le cariche e le correnti si
considerino congelate). Esso assicura la
linearità delle equazioni.
In sintesi le leggi fondamentali
dellelettromagnetismo sono

• il principio di sovrapposizione degli effetti

• la legge della conservazione della carica

• la legge dellinduzione elettrostatica (Gauss)

• la legge di Gauss della magnetostatica

• la legge di Faraday-Neumann

• la legge di Ampère-Maxwell

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Riassumendo le equazioni dellelettromagnetismo
in forma finita sono
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Le 41 leggi dellelettromagnetismo
valgono QUALUNQUE sia la forma e la dimensione
degli elementi geometrici a cui fanno
riferimento (linee, superfici, volumi)
valgono anche se linee, superfici e volumi stanno
a cavallo di materiali DIVERSI
NON CONTENGONO misure di lunghezza, di area, di
volume, di angoli, di durata e quindi non sono
equazioni metriche
valgono anche per mezzi in MOVIMENTO.
Per queste ragioni si possono denominare
EQUAZIONI DI STRUTTURA
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Le variabili dellelettromagnetismoparte II
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Una seconda classificazione delle variabili
fisiche
In ogni teoria fisica del macrocosmo le variabili
fisiche si possono classificare in una delle tre
classi seguenti (Hallen 1947)
Variabili di configurazione
Variabili di sorgente
Variabili energetiche
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1 - variabili di configurazione
sono quelle che descrivono la configurazione del
campo.
Fra queste vi sono le variabili geometriche e
quelle cinematiche della meccanica,
il potenziale elettrico,
il potenziale vettore magnetico,
il flusso magnetico,
il vettore induzione magnetica,
lintensità del campo elettrico,
la forza elettromotrice, ecc.
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2 - variabili di sorgente
sono quelle che descrivono le sorgenti del campo.
Fra queste vi sono le variabili statiche e
quelle dinamiche della meccanica,
il vettore densità di corrente,
lintensità del campo magnetico,
la forza magnetomotrice,
il vettore induzione elettrica,
La carica elettrica
la corrente elettrica, ecc.
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3 - variabili energetiche
sono quelle che risultano dal prodotto di una
variabile di sorgente per una di configurazione.
Tipiche sono il lavoro, lenergia, la densità
di energia elettrica e magnetica, la potenza, ecc.
Variabili energetiche
Variabili di sorgente
Variabili di configurazione
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I due tipi di orientazione di un elemento
geometrico
Orientazione interna
Orientazione esterna
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Associazione agli elementi orientati
variabili di sorgente ed energetiche orientazione
esterna
variabili di configurazione orientazione interna
Si constata che le variabili di
sorgente e quelle energetiche sono
naturalmente associate agli elementi spaziali e
temporali dotati di orientazione esterna.
Si constata che le variabili di
configurazione sono naturalmente associate agli
elementi spaziali e temporali dotati di
orientazione interna.
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Le equazioni costitutivein forma finita
Le equazioni precedenti danno la struttura del
campo. Le variabili di configurazione sono legate
alle variabili di sorgente mediante le equazioni
costitutive.
Nellelettromagnetismo si hanno tre equazioni
costitutive
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Equazioni costitutive
Sono le equazioni che legano le variabili di
sorgente con le variabili di configurazione
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Le equazioni costitutive in forma finita
Equazione costitutiva elettrica
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Le equazioni costitutive in forma finita
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Le equazioni costitutive in forma finita
Equazione di Ohm
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Le equazioni costitutive in forma finita
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Le equazioni costitutive in forma finita
Le equazioni costitutive DIPENDONO DAL MEZZO
possono essere lineari o non lineari, possono
descrivere un materiale isotropo o anisotropo.
Contengono NOZIONI METRICHE, quali lunghezze,
aree, volumi, perpendicolarità.
Dal momento che sono sperimentate in condizioni
di campo UNIFORME il loro utilizzo in campi non
uniformi è approssimato.
A causa di questo fatto noi siamo spinti ad
usarle in regioni infinitesime. Ed è per questo
che siamo invitati a fare la formulazione
differenziale.
Senonché è sufficiente considerare regioni
SUFFICIENTEMENTE piccole, secondo una tolleranza
prestabilita per ogni problema.
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Riassumendo le equazioni dellelettromagnetismo
in forma finita sono
Equazioni costitutive
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Il ruolo della geometria
I fenomeni fisici si svolgono nello spazio. Per
poterli descrivere in termini matematici occorre
passare attraverso la geometria.
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Il ruolo della geometria
La formulazione differenziale, accanto ai
numerosi meriti, ha il torto di spogliare la
fisica degli aspetti geometrici in quanto riduce
tutte le grandezze a funzioni del punto.
La formulazione numerica, al contrario, necessita
di rendere esplicita la geometria che era
nascosta nella formulazione differenziale.
Occorre quindi dare più importanza alla
geometria, ( topologia, metrica, affinità, ecc. )
nello studio della fisica
Che laspetto geometrico diventi sempre più
importante lo mostra il successo che stanno
ottenendo le forme differenziali esterne le quali
restituiscono alle leggi fisiche quegli aspetti
geometrici che erano impliciti ( ma nascosti )
nella formulazione differenziale.
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I complessi di celle
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I complessi di celle
Nella formulazione differenziale si usano
funzioni del punto e quindi occorre utilizzare un
sistema di coordinate.
Nella formulazione finita occorre invece
introdurre un complesso di celle.
Applicando le equazioni in forma finita ad ogni
cella del complesso si perviene ad un sistema di
equazioni algebriche.
La risoluzione numerica dei problemi
elettromagnetici si ottiene quindi applicando le
leggi in forma finita alle singole celle del
complesso.
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Poligoni duali di Voronoi
Alcune leggi fisiche devono essere applicate alle
celle di un complesso altre a quelle del
complesso duale.
Questo può essere formato dai poligoni i cui lati
tagliano ortogonalmente i lati del primale nei
punti di mezzo. Questi si chiamano poligoni di
Voronoi.
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Complesso di celle nel tempo e suo duale
Complesso duale
Complesso primale
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Formulazione differenziale
Formulazione finita
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Estensione delle leggi di Kirchhoff ai campi
Le equazioni finite del campo elettromagnetico che
abbiamo esposto sono lestensione delle
equazioni circuitali di Kirchhoff ai campi.
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Applicazioni numeriche
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Esempio di elettrostatica.
Data una regione bidimensionale delimitata da una
poligonale ABCDEA, assegnato il potenziale sui
lati ABCD, assegnati i flussi elettrici sui lati
DEA, si vuole determinare il potenziale nei
vertici in cui il potenziale è incognito (vertici
in giallo)
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Poisson discreta relativa al nodo h
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Equazione di Poisson discreta
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determinazione dei potenziali
Si ottiene in tal modo un sistema di tante
equazioni quanti sono i potenziali incogniti.
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Conclusione 1 / 2
Abbiamo visto che facendo uso delle variabili
globali, è possibile scrivere le equazioni del
campo elettromagnetico direttamente in forma
finita.
Facendo poi uso di un complesso di celle si
possono applicare le equazioni in forma
finita alle singole celle del complesso.
In questo modo si perviene ad un sistema di
equazioni algebriche e quindi si possono
risolvere numericamente tutti i problemi di campo.
Questo mostra che la formulazione
differenziale, non è lunica formulazione
possibile.
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Conclusione 2 / 2
La formulazione finita mette in evidenza alcune
proprietà geometriche che la formulazione
differenziale teneva nascoste.
In particolare mette in luce il ruolo dei due
complessi e delle orientazioni interna ed esterna.
La formulazione finita è molto semplice, può
essere usata anche in un Istituto Tecnico in
quanto non richiede le equazioni alle derivate
parziali.
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Riassumendo le equazioni dellelettromagnetismo
in forma finita sono
f i n e
Equazioni costitutive
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