Barangol

1
Barangolás a geometria szépségeiben
2
1. feladat

• Rekkeno hoségben a tuzo napon a patak egyik
  partján áll egy szamár. A patak ugyanazon oldalán
  van egy hus árnyat adó lombos fa is. A szamár
  okos és lusta állat, ezért a legrövidebb úton
  megy a patakhoz inni és onnan a fa alá husölni. A
  patak melyik pontján iszik a szamár?

3
1. feladat megoldása
SK KF SK KF
4
2. feladat

• Adott egy általános és hegyesszögu ABC háromszög
  és AB oldalán egy P pont. Tekintsük az összes ABC
  háromszögbe beírt háromszöget, amelyeknek egyik
  csúcsa P. Szerkesszük meg ezek közül a legkisebb
  kerületut!

5
2. feladat megoldása
PR RS SP P1R RS SP2
6
3. feladat

• Bizonyítsuk be, hogy az elozo példabeli
  háromszögek kerülete annál kisebb, minél közelebb
  van P pont a szemközti csúcshoz!

7
3. feladat megoldása
P1C PC P2C PC
? P1CP2 háromszög egyenloszárú.
Mivel P-t az oldalakra tükröztük, ezért P1CP2?
2?, azaz állandó, a háromszög alapja pedig a
beírt háromszög kerülete. Ez akkor lesz a
legrövidebb, ha a szár a legrövidebb, ez pedig
akkor van, ha P a C-bol induló magasság
talppontja.
8
3. feladat megoldása
C
B
A
Következmény a hegyesszögu háromszögekbe írt
háromszögek közül a talpponti háromszög a
minimális kerületu.
9
4. feladat

• Jelöljük egy háromszögben a csúcs és a
  magasságpont közti szakaszokat m1, m2, m3-mal.
  Igazoljuk, hogy ezek összege nagyobb, mint a
  talpponti háromszög kerülete!

10
4. feladat megoldása
m1 m2 gt c m2 m3 gt a m3 m1 gt b
? m1 m2 m3 gt (a b c)/2 K középvonal gt
Ktalpponti háromszög
11
5. feladat

• Az egyenlo alapú és magasságú háromszögek közül
  melyiknek minimális a kerülete?

A
C
12
6. feladat

• Adott egy síktükör és egy pontszeru fényforrás. A
  tükör melyik pontját kell megvilágítani ahhoz,
  hogy a visszaverodo fénysugár áthaladjon egy
  rögzített F ponton?

13
6. feladat megoldása
Fermat-elv A fény a legrövidebb ideju pályán
mozog, ezért S-bol F-be a legrövidebb úton kell
haladnia.
Következmény visszaverodés törvénye ?1 ?2
14
7. feladat

• Egy 10 méter széles folyón szeretnénk átkelni. A
  folyó sebessége 2 m/s, mi pedig 1 m/s
  sebességgel tudunk evezni a csónakkal. Melyik a
  legközelebbi pont a túlparton, ahova elérhetünk?

15
7. feladat megoldása
A túlsó part elérheto pontjai közül a
legközelebbi iránya O pontból a félkörhöz húzott
érinto irányával egyezik meg.
16
7. feladat megoldása
17
8. feladat

• Tóparton a parttól 20 m távolságban állva
  észrevesszük, hogy a parttól 30 m-re valaki
  segítséget kér a vízben. Milyen útvonalat
  válasszunk a mentéshez, hogy a legrövidebb ido
  alatt érjük el a fuldoklót, ha 2 m/s sebességgel
  tudunk futni és 1 m/s sebességgel úszni?

18
8. feladat megoldása
19
8.feladat megoldása
A t(x) függvényminimumát keressük.
20
t(x) minimuma x 26,8 m esetén lesz, a minimum
értéke 49,49 sec.
21
9. feladat

• Egy négyzet alapú gúla oldaléle 10 dm, és minden
  oldallapja olyan egyenlo szárú háromszög,
  amelyben az alapon fekvo szögek összege
  11-szerese a szárak által bezárt szögnek. E gúla
  alapjának egyik csúcsából elindult egy hangya, s
  mind a négy oldallapon áthaladva, a legrövidebb
  úton visszatért a kiindulási pontba. Hány
  millimétert tett meg a hangya?

22
9. feladat megoldása
23
9. feladat megoldása
AEA? 60 o és egyenloszárú, ezért AEA háromszög
szabályos. AAAE 10 dm 1000 mm
24
10.feladat

• Egy egyenes kúp alapkörének sugara r, alkotója
  3r. A kúp felületének A pontjából egy légy indul
  el és 1 cm/s sebességgel mindig a kúppaláston
  haladva megkerüli a kúpot. Mekkora a
  megkerüléséhez szükséges minimális idotartam? (Az
  A pont a kúp C csúcsától 10 cm távolságra van.)

25
10. feladat megoldása
? ?120 o
i 2r? (6r?)/3
26
11. feladat

• Egy 3m ? 7m ? 3m méretu szobában a padlón a 3
  méteres él felezopontjában egy pók ül. A pók
  észreveszi a vele átellenben a plafonon a 3
  méteres él felezopontjában tartózkodó legyet.
  Melyik a legrövidebb út, amelyiken a pók elérheti
  a legyet?

27
11. feladat megoldása
28
11. feladat megoldása
1. eset
2.eset
SF3m 7m 10 m
29
11. feladat megoldása
3. eset
30
12. feladat

• Egy henger alakú edény (melynek alaplapjának
  kerülete 6 dm, magassága 4dm) tengelyének
  felezopontjára szimmetrikusan helyezkedik el egy
  hangya és egy mézcsepp, méghozzá a hangya a
  külso, a mézcsepp a belso falon. A hangyának át
  kell másznia az edény peremén, hogy a mézcseppet
  elérje. Számítsuk ki a legrövidebb utat a hangya
  számára!

31
12. feladat megoldása
32
12. feladat megoldása
33
13. feladat

• Négyzet alapú hasáb alapéle a, oldaléle 2a. Egy
  pók a legrövidebb úton szeretne eljutni a hasáb
  felületén az A pontból a G pontba. Milyen
  útvonalon kell haladnia? Mekkora a legrövidebb út
  hossza a-val kifejezve?

34
13. feladat megoldása
35
13. feladat megoldása
1.eset
36
2.eset
37
3.eset
38
14. feladat

• Az ABCD négyzet DC oldalán vegyünk fel egy
  tetszoleges M pontot. MAB? szögfelezoje BC-t
  K-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AM  BK  DM!

39
14. feladat megoldása
AMK ? egyenloszárú ? AMKMKDDMBKDM
40
15. feladat

• Az alábbi cipofuzo kötések közül melyikhez kell a
  legrövidebb (ill. leghosszabb) cipofuzo, ha n
  jelöli a sorok számát, d két szomszédos sor
  távolságát, g pedig a szemközti lyukak
  távolságát?

c)
a)
b)
41
15. feladat megoldása
2(n 1)
n8 d1 cm, g2 cm esetén h?33,305 cm
42
15. feladat megoldása
g
(n-1)
(n-2)
h
n8 d1 cm, g2 cm esetén h?35,44 cm
43
15. feladat megoldása
h (n-1)g
n8 d1 cm, g2 cm esetén h?36,93 cm
44
16. feladat

• Három kör az ábrának megfelelo módon érinti
  egymást és a közös érintojüket. Milyen
  összefüggést állapíthatunk meg a körök sugarai
  között?

45
16. feladat megoldása
46
16. feladat megoldása
47
17. feladat

• Egy derékszögu háromszögbe az ábrán látható módon
  három négyzetet és három kört írtunk. Milyen
  összefüggést állapíthatunk meg a körök sugarai
  között?

48
17. feladat megoldása
49
18. feladat

• Egy derékszögu háromszög hegyesszögei 60o és 30o.
  A háromszögbe két egyenlo sugarú kört írunk,
  amelyek érintik az átfogót, egymást és egy-egy
  befogót. Hányszorosa a kisebbik befogó a körök
  sugarának?

50
18.feladat megoldása
51
19. feladat

• Az ABCD trapéz AB alapjára, mint átmérore írt kör
  érinti a CD alapot és felezi az AD és BC
  szárakat. Mekkorák a trapéz szögei?

52
19. feladat megoldása
EKEO EOKOr ? EOK ? egyenlooldalú, szögei 60
fokosak
EAO ? egyenloszárú, szárszoge 30 o ? alapon fekvo
szögei 75o-osak