Hipot

1
Hipotézisvizsgálat

• az adatforrás muködési mechanizmusát egy
  véletlen eloszlás jellemzi
• az adatok ismeretében megfogalmazódnak bizonyos
  hipotézisek erre az eloszlásra nézve
• ellenorizzük, hogy az adatok mennyire támasztják
  alá a hipotéziseket

2
A hibák táblázata

• Adott próbastatisztika mellett az elso ill.
  másodfajú hiba csak egymás rovására csökkentheto.
  Az elsofajút írjuk elo kicsinek, ezért az
  elutasítás a szignifikáns eredmény

3
Megvalósítás

• próbastatisztika az adatok függvénye
• elutasítási (kritikus) vs. elfogadási tartomány
• nem tipikus értékek vs. tipikus értékek
• szignifikancia szint az elsofajú hibát eloírtan
  alacsony szinten kívánom tartani

4
A p-érték fogalma
van egy olyan legkisebb szigni- fikanciaszint,
amelyen már biztosan el kell fogadnunk a
nullhipotézist
elfogadási tartomány
Ez az ún. p-érték
a p-érték nagy a p-érték kicsi
H0-t elfogadjuk H0-t elvetjük
5
Statisztikai próbák

• t-próba

• F-próba

6
t-próba

• Ismert m várható érték és ? szórás mellett a
  normális eloszlású minta standardizált átlaga
• standard normális eloszlású lesz.
• m-et a H0 hipotézisben feltételezett értékével,
  ?-t a tapasztalati szórásnégyzettel (ez már
  valváltozó) helyettesítve Student féle t
  eloszlást kapunk - ennek kritikus értéke felett
  utasítunk el

7
A normális eloszlás és a Student-féle t-eloszlás
standard normális eloszlás
1 szabadsági fokú Student- eloszlás
3 szabadsági fokú Student- eloszlás
8
Az F-eloszlás
9
Hotelling féle T2 próba

• A normális eloszlású minta standardizált
  átlagának négyzete egy ?2n eloszlású változó
  n-edrészével egyezo eloszlású
• Ennek analógiájára, normális eloszlású vektor
  értéku mintából elkészítjük az
• statisztikát, melynek eloszlása Hotelling féle T2
  lesz - ennek kritikus értéke felett utasítunk el

10
Hatások vizsgálata

• Szórásanalízis
• (ANOVA)

• Regresszió

Y
X
11
Szóráselemzés

• Azt vizsgáljuk, hogy egy bizonyos faktornak
  (körülménynek) van-e hatása a kimeneti változó
  (válasz) várható értékére
• a faktort különbözo szintekre állitjuk be és
  méréseket végzünk
• nullhipotézis a faktornak nincs hatása, azaz a
  várható értékek egyenloek
• az adatok alapján ezt megpróbáljuk megcáfolni

12
Egy faktor esete
Az adatok Yi,j
Az adat sorszáma a i 1 ,..., Nj csoporton
belül (egy rögzített faktorbeállítás melletti
mérések)
A csoport sorszáma j 1 ,...,
k (a faktor különbözo beállításai, szintjei)
13
A Nullhipotézis

• A modell szerint a mért érték az elméleti érték
  a megfigyelési zaj összegeként adódik
• A zaj független értéku, normális eloszlású
• Yi,j mj ei,j
• A nullhipotézisben az elméleti (várható) értékek
  egyenloségét feltételezük (a faktor nem hat)
• H0 m1... mk
• Ennek elutasítása a szignifikáns eredmény

14
A döntés elve

• A várható értékek egyenloségérol döntünk a
  szórások elemzésének segítségével.
• Ha valóban n független azonos eloszlású mintánk
  van az egyes csoportokban, akkor a csoportátlagok
  szórásnégyzete a minta szórásnégyzetének
  n-edrésze.
• Ha igaz a nullhipotézis, akkor ugyanez a becsült
  szórásnégyzetekre is áll - szorozzuk be tehát
  oket n-nel és teszteljük az egyenloségüket.
• Független normális eloszlású minták
  szórásnégyzeteinek egyenloségét F-próbával
  tesztelhetjük.
• A Fisher-Cohran tétel biztosítja, hogy az
  átlagokból számolt tapasztalati szórásnégyzet
  független legyen az összevont mintából származó
  tapasztalati szórásnégyzettol - de ez csak
  normális eloszlású minta esetén igaz!

15
A négyzetösszegek felosztása
Az átlagok felbontása
A négyzetösszegek felbontása
16
A négyzetösszegek felosztása
Másképpen SSössz SScsb SScsk
A szabadsági fokok
17
Az F-próba
A H0 mellett a csk csoportok közötti és csb
csoporton belüli szórásnégyzetek aránya kicsi és
az eloszlása ismert
(n-k)SScsk
eloszlása Fdfcsk,dfcsb

(k-1)SScsb
18
Egy példa ipari alkalmazások közül

• A gyártmány súlyának elemzése a keverék
  suruségének függvényében. Különbözo
  suruségbeállítások mellett 10-10 próbagyártást
  végeztek, és mérték a súlyt. A kapott eredmények
  láthatóak az ábrán. A kék pont az adott beállítás
  melletti átlag.

• A gyártmány súlya a keverék suruségének
  függvényében

19
A szórások

• Az egyes oszlopokra elkészít-jük a
  mintaátlagokat. (Kék).
• Becsüljük a mintaátlagokból a teljes minta
  szórásnégyzetét.
• Majd a zöld oszlopokra szá- mítjuk a
  négyzetösszegeket, ezeket összeadjuk és osztunk a
  szabadsági fokkal Újra a sárga összevont minta
  szórásnégyzetét becsüljük.
• A kétféleképp számított szórásnégyzet eltérésének
  szignifikanciáját F-próbával teszteljük.

20
MINITAB-os elemzés eredménye
One-way ANOVA Wt3 versus Mix Source DF SS
MS F P Mix 6 569.8 95.0
4.60 0.001 Error 63 1301.2 20.7 Total 69
1871.0

• Szabadsági fokok 7 Mix csoport van gt k7
  dfcskk-16
• Összesen 70 megfigyelésünk van gt N70,
  dfcsbN-k63
• A csoportok átlagainak az összevont átlagtól vett
  négyzetes eltéréseinek összege SScsk 569.8
  ebbol a négyzetes hiba MScskSScsk/dfcsk94.966
• Ugyanígy A csoportokon belüli átlagoktól vett
  négyzetes eltérések összege (a csoportokra is
  összeadva) SScsb 1301.2 ebbol a négyzetes hiba
  MScsbSScsb/dfcsb 20.653

21
Az F-próba

• A fenti két mennyiség MScsk /MScsb hányadosa az
  F-statisztika értéke 4.598
• Ez adja az adott dfcsk , dfcsbszabadságfokok
  szerinti F-eloszlásból F(dfcsk,dfcsb) a 0.001-es
  p értéket

22
Multi-Faktor ANOVA
Egy tipikus kísérletben nem csak egyetlen hanem
több faktort is figyelembe kell veni. Ezen
faktorok hatását kell ellenorzés alatt tartani.
23
A kísérleti eredmények változékonyságának négy
forrását ismerhetjük fel ebben az esetben (1)
hiba azaz a csoporton belüli változékonyság,
(2) 1 típusú csoport tagságból adódó
változékonyság (3) 2 típusú csoport tagságból
változékonyság (4) kölcsönhatás
24
Az F-próba

A H0 eldöntésére az F próbát éppúgy
alkalmazhatjuk mint az elozoekben
MScsk
(n-k)SScsk
eloszlása Fdfcsk,dfcsb

MScsb
(k-1)SScsb
25
Szóráselemzés tábla

• Ha elutasítjuk H0 -t, akkor mely csoportok
  különböznek? A változékonyság négy lehetséges
  forrása ( 2 fohatás kölcsönhatás hiba) közül
  melyek hatnak és mennyire?
• Megtehetjük, hogy mind a három lehetséges faktor
  (csoport tagság, nemek, kölcsönhatás) szerint
  szóráselemzést végzünk és ennek segítségével
  döntünk a ható faktorokról

26
Többváltozós szóráselemzésMultivariate ANOVA
MANOVA

• Most is azt vizsgáljuk, hogy egy bizonyos
  faktornak (körülménynek) van-e hatása a kimeneti
  változó (válasz) várható értékére, de a válasz
  most vektor értéku, tehát többféle mennyiséget
  mérünk
• Ekkor nem szórásunk, hanem szórásmátrixunk van.
• Ha a nullhipotézis fennáll, a csoportátlagokból
  számolt szórásmátrix becslés a teljes mintából
  számolt n-edrésze ( a becslési ingadozás)
• Ezért egyik szorozva a másik inverzével közel az
  egységmátrixot kell hogy adja - de ezt hogyan
  teszteljük?

27
MANOVA próbák

• A szorzatmátrix sajátértékeinek kell 1-hez
  közelinek lennie
• Ezt tesztelik a
• Wilk
• Lawley- Hotelling
• Pillai
• Roy
• próbák
• Nincs közöttük egyenletesen legerosebb és ilyet
  nem is lehet konstruálni

28
Lineáris regresszió
29
A legkisebb négyzetek módszere
289.931
Y
12.8776
1.16013
59.4174
X
30
Regresszió

• Az Y eredményváltozó (függo változó) közelítése
  az X faktorokkal (magyarázó változók). Általában
  lineáris regressziót keresünk (ekkor a magyarázó
  változók lineáris függvényével közelítünk).
• Azt az egyenest keressük, amelyre az egyenes
  által adott közelítés és a ténylegesen megfigyelt
  pontok közötti négyzetes eltérés minimális. A
  megoldás
• Ez a hatásos becslés is, ha a modellbeli hiba
  független, azonos, normális eloszlású.

31
A becslés standard hibája

• A független, azonos, normális eloszlású hiba
  esetén sok minden jól számolható, például az
  egyenes együtthatóinak standard hibája
• 
  ahol
• Ebbol a becsült regressziós együtthatók
  szignifikanciáját t-próbával vizsgálhatjuk.

32
Az illeszkedés méroszáma

• Ez igen lényeges, mert hiba lenne valójában nem
  illeszkedo modellbol következtetéseket levonni.
  Az illeszkedés méroszáma az R2 statisztika,
• ill. ennek korrigált változata, (adjusted R2)
  amikor a magyarázó változók számát is figyelembe
  vesszük.

33
Lack of fit teszt

• Az illesztett regressziós egyenes, illetve az
  átlag, mint vízszintes egyenes körüli szórásokat
  hasonlítjuk össze. A szórások egyezését
  F-próbával teszteljük.
• Amennyiben a lineáris kapcsolat ténylegesen jelen
  van, úgy az egyenes körüli szórás kisebb, tehát a
  szórások egyezését elutasítjuk.